1、*第五节一、被积函数含参变量的积分一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分二、积分限含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 含参变量的积分 第九章 一、被积函数含参变量的积分一、被积函数含参变量的积分,),(baRyxf是矩形域设上的连续函数,则积分yyxfd),(确定了一个定义在a,b上的函数,记作yyxfxd),()(x 称为参变量,上式称为含参变量的积分.含参积分的性质 定理定理1.(连续性连续性),),(baRyxf在矩形域若上连续,则由 确定的含参积分在a,b上连续.连续性,可积性,可微性:机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:),(yxf由于在闭区域R上
2、连续,所以一致连续,即,0任给,0存在,),(,),(2211yxyxR内任意两点对只要2121,yyxx就有),(),(2211yxfyxf,0,任给因此,0存在,时当x就有)()(xxxyyxfyxxfd),(),(yyxfyxxfd),(),()(这说明.,)(上连续在bax机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的.,0bax 即对任意yyxfxxd),(lim0yyxfxxd),(lim0同理可证,上连在矩形域若,),(baRyxf续,baxyxfyd),()(则含参变量的积分.,上连续也在机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束 由连续性定理易得下述可积性定理:定理定理2.(可积性可积性),),(baRyxf在矩形域若上连续,yyxfxd),()(则且上可积在,baxyyxfxxbabadd),(d)(Dyxyxfdd),(同样,baxyxfyd),()(且上可积在,yxyxfyybadd),(d)(Dyxyxfdd),(推论推论:在定理2 的条件下,累次积分可交换求积顺序,即yyxfxbad),(dbaxyxfyd),(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.(可微性可微性),(),(yxfyxfx及其偏导数若都在,上连续矩形域baRyyxfxd),()(则且上可微在,bayyxfxxd),
4、(dd)(yyxfxd),(证证:令,d),()(yyxfxgx上的连续是则,)(baxg函数,时故当baxxaxxgd)(xyyxfxxadd),(yxyxfxaxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 yyafyxfd),(),()()(ax因上式左边的变上限积分可导,因此右边，可微)(x且有)()(xgx xaxxgd)(yyxfxd),(此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时,求导与求积运算是可以交换顺序的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.)0(dln10baxxxxIab求解解:yxbayd由被积函数的特点想到积分:abyxxlnxxxablnyxxIb
5、aydd10 xxyybadd10yyxbayd1011yybad1111lnab),1,0(上连续在baxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.d1)1ln(102xxxI求解解:考虑含参变量 t 的积分所确定的函数.d1)1ln()(102xxxtt显然,1,0 1,01)1ln(2上连续在xxt,)1(,0)0(I由于xxtxxtd)1)(1()(102xxttxtxxtd1111121022机动 目录 上页 下页 返回 结束)1ln(arctan)1ln(211122xtxtxt01)1ln(42ln21112ttt)0()1(Ittttd)1ln(42ln211121001a
6、rctan2ln21t012)1ln(8ttttd1)1ln(102I2ln4故2ln8I因此得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分限含参变量的积分二、积分限含参变量的积分在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,),(yxf设为定义在区域 bxa上的连续函数,)()(xyxxoyba)(xy)(xyD则 也是参变量 x 的函数,)()(d),()(xxyyxfx:D其定义域为 a,b .利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.(连续性连续性)在区域若),(yxf),()(),(:bxaxyxyxD上连续,)(),(上的连续函数为其
7、中baxx则函数)()(d),()(xxyyxfx.,上连续在ba证证:令,1,0,)()()(txxtxy则10),()(xfx由于被积函数在矩形域 1,0,ba上连续,由定理1知,上述积分确定的函数.,)(上连续在bax)()()(xxtxtxxd)()(定理定理5.(可微性可微性),(),(yxfyxfx及其偏导数若都在,上连续矩形域dcbaR为定义在)(),(xx上,ba)()(d),()(xxyyxfx且，上可微在,ba中的可微函数,则)()(d),()(xxxyyxfx)()(,(xxxf)()(,(xxxf证证:,)(看作复合函数把x令),()(xHx,d),(yyxf)(),(
8、xx,dc其值域含于机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用复合函数求导法则及变限积分求导,得),()(xHx,d),(yyxf)(),(xx)()()(xHxHxHx)()(d),(xxxyyxf)()(,(xxxf)()(,(xxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.).(,dsin)(2xyyxyxxx求设解解:)(xyyxxxdcos2xxx2sin231sin2xxxxxyx2sinxx3sin2xx2sinxxx23sin2sin3机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.,0)(的某邻域内连续在设xxf充验证当 x分小时,函数xnttftxnx01d)()(!)1(1)(的 n 阶导数存在,且.)()()(xfxn证证:令,)()(),(1tftxtxFn),(),(,txFtxFx及显然在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5 可得xnttftxnnx02d)()(1(!)1(1)()()(!)1(11xfxxnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 xnttftxnx02d)()(!)2(1)(即同理,d)()(!)3(1)(03 xnttftxnxxnttfx0)1(d)()()()()(xfxn于是作业作业(*习题9-5)P123 1(2),(3);2(2),(4);3;4(1);5(1)习题课 目录 上页 下页 返回 结束
