1、几何概型及蒲丰几何概型及蒲丰投针试验投针试验主讲：詹晓琳主讲：詹晓琳主要内容v几何概型v几何概型的应用v蒲丰投针试验v蒙特卡罗方法几何概型Geometric Probabilityv古典概型的本质特征：1、样本空间的有限性2、样本点的等可能性 一般地说，当试验结果为无限时，会出现一些本质的困难，使问题不像有限时那么容易解决，这里讨论其中具有某种“等可能性”的一类问题。几何概型Geometric Probabilityv问题 1：假设车站每隔 10 分钟发一班车，乘客随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？v问题 2：已确定失事飞机的黑匣子可能落在面积 1 000平方公里的海域，调查人员
2、每次出海搜索的区域面积为 50 平方公里，假设在这片海域随机地选择一点进行搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？几何概型Geometric Probabilityv“等可能”的确切意义：设在区域中有任意一个小区域的A,如果它的面积为S(A),则点落入A中的可能性大小与S(A)成正比，而与A的位置及形状无关。A几何概型Geometric Probabilityv几何概型：将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。注：几何度量是指长度、面积、体积。()AP A几何概型的应用 例1：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面
3、接触处的刻度位于区间 2,3 上的概率。01234几何概型的应用例2：甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。30301010yx几何概型的应用v思考题：一个圆的所有内接三角形中，其中是锐角三角形的概率是多少？rr2 r2 r几何概型总结v几何概型的特征：1、试验E的样本空间有一个可度量的几何图形；2、试验E可以看成在中等可能地投掷一点；3、事件A就是所投掷的点落在中的可度量几何图形A中。蒲丰Comte de Buffon 17071788，法国数学家
4、，自然科学家，几何概率的 开创者，以 蒲丰投针问题 闻名于世。蒲丰投针问题Buffons needle problem 在平面上画有等距离为 的一些平行线，向平面上随机投一长 的针。1768年，蒲丰利用投针试验估计值。2L2(0)a a()La蒲丰投针问题的求解解：设针投到平面上的位置可以用一组参数 来描述，为针的中心距离最近一条平行线的距离，为针与平行线正方向的夹角。则该试验的样本空间为 设平行线与针相交为事件 ，因为针 与平行线相交的充要条件是 ，即x(,)xsinxLsin,0AxL0,0,a A蒲丰投针问题的求解因为由几何概型知 0sin2S Aldl 2()S AlP ASa蒲丰投针
5、问题的求解针与平行线相交的概率与有关，现将m根长为 的针投向平面，记针与平行线相交的频率为 ，其中n为相交的次数。由大数定律知：故有：即可以通过投针试验求的近似值。2L2lman试验演示试验演示()/f mn m()()f mP A蒲丰投针试验的结果一些人进行了试验，将结果列于下表：蒙特卡罗的基本思想v由蒲丰投针试验可以看出：1、当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望；2、通过某种试验的方法，可以得出该事件发生的频率，或者该随机变量的样本均值；3、利用大数定理得到的关于频率和样本均值的收敛性，可以得到有关的解。蒙特卡罗方法Monte Carlo MethodvMonte
6、Carlo方法：亦称统计模拟方法，statistical simulation method即利用随机数进行数值模拟的方法。为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，因此又称为计算机模拟。Monte Carlo名字的由来vMonte Carl是由是由Metropolis在二次世界大战在二次世界大战期间提出的：期间提出的：Manhattan计划，研究与原子计划，研究与原子弹有关的中子输运过程。弹有关的中子输运过程。N
7、icholas Metropolis(1915-1999)vMonte Carlo是摩纳哥（是摩纳哥（Monaco)的首都，的首都，该城以赌博闻名。该城以赌博闻名。Monte-Carlo,Monaco蒙特卡罗方法的应用用传统方法难以解决的问题中，特别针对随机模型由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难。有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用。在这种情况下，可以考虑采用Monte Carlo方法。例如：排队系统。课后作业v几何概型：P17：15，P31:14，思考题v蒙特卡罗方法：对蒲丰投针试验进行蒙特卡罗模拟，取a=2,l=3,得到的值。
