1、1.1.1勾股定理的应用案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!【案例】如图1-1所示圆锥体,圆锥底面直径d=100mm,母线长l=130mm,试求圆锥的高h.项目1.1解直角三角形图1-1【分析】圆锥的轴截面是一个等腰三角形,其中圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形.本案例中母线和底面直径已知,相当于斜边和一条直角边已知,可以利用勾股定理求另外一条直角边.【解】设底面半径为r因为d=100mm,则r=50mm.由勾股定理,得h=120mm上述案例中,构造直角三角形并运用勾股定理进行计算是解决问题的关键.因此,在问题面前,耐心寻找所需的数学工具是迈向成功的第一步.勾股定理是初等数学中的一个著名的
2、定理,又叫商高定理或陈方定理,见周髀算经.“陈子为荣方述商高之旨曰:若求邪至日者,图1-2直角三角形中夹直角的两条短边叫,分别叫勾和股;与直角相对应的长边叫,也叫弦.如图1-2所示,直角三角形中两直角边的平方之和等于斜边的平方,即a2+b2=c2,称为勾股定理.想一想若三边满足a2+b2=c2,该三角形一定是直角三角形吗?例1图1-3所示直角三角形ABC中,已知直角边a=8cm,斜边c=10cm,求直角边b的长.【解】因为a2+b2=c2,a=8cm,c=10cm,所以b=图1-3图1-4例2图1-4所示直角三角形ABC中,已知两直角边相等,即a=b,斜边c=10cm,求直角边a的长.【解】因
3、为a2+b2=c2,a=b,c=10cm,则a2+b2=2a2=(10cm)2=100cm,即a2=50cm,所以a=52cm.2.直角三角形ABC中,已知两直角边相等,即a=b,斜边c=20cm,求b的长.1.直角三角形ABC中,已知直角边a=5cm,b=12cm,求斜边c的长.图1-53.如图1-5所示,有一块边长为120mm的正方形钢板,根据工程设计的要求,需要在正方形钢板四个角上各钻一个小孔,四孔均匀分布在直径为120mm的圆周上,求相邻两小孔孔心之间的距离?图1-64.现有一件如图1-6所示的工件,若以左下角螺栓孔的孔心为坐标原点,求其他螺栓孔孔心的坐标?习题1.已知三角形ABC中,
4、边a=7cm,b=8cm,c=1cm,问该三角形是直角三角形吗?为什么?2.现有一件如图1-7所示的工件,以边框的左下角为坐标原点求:(1)五个螺栓孔孔心的坐标.(2)圆弧所在圆的圆心坐标.图1-73.利用现成的材料焊接一个直角三角形,使三角形的周长尽可能大,接头不计,只允许切割一次.已知三根直铁条的长度分别为55cm、70cm和80cm.请设计一个制作方案.1.1.2直角三角形中的边角关系案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!【案例】如图1-8所示的直角三角形工件,由于管理不善,其中的一角被损毁.经测量B=40,图1-8C=90,BC=60mm.请根据直角三角形中的边角关系和测量数据,测算被损
5、毁的A的大小以及边AB和AC的实际长度.【分析】勾股定理的应用中必须要有两边已知才能求第三边,是三边之间的关系.但本案例工件只有BC一条直角边可以测量,所以必须借助直角三角形的边角关系.由B=40、C=90、BC=60mm,边AB、AC可以借助三角函数求得.【解】已知B=40,C=90,BC=60mm,因为cosB=BC/AB,tanB=AC/BC,则AB=78.32mm,AC=BCtanB=60mmtan40=50.35mm.图1-91.直角三角形中的三角函数定义A的正弦sinA=,A的余弦cosA=,A的正切tanA=.2.已知三角函数值求角(图1-9)arcsin=,arccos=,ar
6、ctan=.3.常用特殊角的三角函数值sin30=,sin45=,sin60=;cos30=,cos45=,cos60=.图1-10例1图1-10所示直角三角形ABC中,已知A=30,斜边c=20cm,求直角边a和b的长.【解】因为sinA=,A=30,c=20cm,所以a=csinA=20cm.sin30=10,b=ccosA=20cm.cos30=10cm.例2图1-11所示直角三角形ABC中,已知直角边a=36cm,b=28cm,求A和B的大小.图1-11【解】因为a=36,b=28,则tanA=所以A=arctan=52.1.图1-12例3图1-12所示蝶形砂轮,试求的大小.tan=1
7、.100,则=arctan1.100=474335.【解】由题意和等腰梯形的性质得.例4如图1-13所示V形的导轨,试求槽底宽度x.图1-13【解】由题意和等腰梯形的性质得tan40=则x=36-32tan40=36-320.8391=9.15.1.直角三角形ABC中,已知A=54,斜边c=18cm,求直角边a和b的长.2.直角三角形ABC中,已知斜边a=28cm,直角边b=15cm,求B、C的大小以及直角边c的长.3.ABC中,已知AB=AC,AB=60mm,B=4330,求BAC和BC边上的高.4.如图1-14所示正四棱台,其上底是边长为400mm的正方形,下底是边长为750mm的正方形,
8、试求正四棱台的高.图1-14图1-155.图1-15所示的工件设计图中,若以中心孔的圆心为原点建立坐标系,请确定其他孔圆心的坐标.习题1.直角三角形ABC中,已知直角边b=60mm,A=4210,求边a、c和B.2.将半径r=10cm,弧长c=10cm的扇形卷成一个圆锥,试求圆锥的高和体积.图1-163.数控铣实训课上,有位同学要在数控铣床上加工一个如图1-16所示的工件.加工其中一段圆弧时,需先求得圆弧两端的切点坐标,请你帮忙求点E、F的坐标.1.1.3垂径定理的应用案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!【案例】如图1-17所示的布氏硬度实验,硬质合金球直径D=10mm,在力F作用下压痕直径d
9、=4.30mm,试求压入的深度h.图1-17图1-18【分析】由于实验的对象是球,因此压痕是一个球缺,轴截面是弓形.球的半径、弦以及球心到弦(压痕直径)的垂线构成直角三角形(图1-18),直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.【解】已知D=10mm,d=4.30mm,由勾股定理(5mm-h)2=r2-=(5mm)2-(2.15mm)2,解方程得h=0.49mm.即所求压入的深度为0.49mm.上述案例中,运用垂径定理构造直角三角形,并运用勾股定理进行计算是解决问题的关键.因此,在问题面前,耐心寻找所需的数学工具是迈向成功的第一步.在圆中,垂直于的直径平分,并且平分所对.图1-191.垂径
10、定理2.垂径定理的推论平分弦(不是直径)的垂直于弦,并且平分弦所对两条弧.3.弦心距到的距离称为弦心距.图1-19所示直角三角形AOD中,OA2=OD2+DA2.解决问题的关键,也是数控编程中的一个重要手段.图1-20实际应用中,运用垂径定理知识构造直角三角形是列方程、例1如图1-20所示,已知圆O的半径为10,求内接等边三角形ABC的边长.【解】过点O作ODAB于D,连结OA,因为OAD=30,OA=10,则OD=OA=5.由勾股定理得AD=5,所以AB=10.的宽度s.图1-21例2如图1-21所示方头螺杆,螺杆的直径d=50mm,求扳手口【解】因为螺杆的直径等于正方形的对角线长,根据勾股
11、定理2s2=d2,即s2=d2,所以s=d=25mm.即所求扳手口的宽度为25mm.例3如图1-22所示,AB是圆O的直径,弦CDAB,垂足为点P,若AB=2mm,AC=mm,求弦CD的长和A的度数.图1-22【解】连结OC,并设CP=x,由图可知OC=AB=1mm,根据勾股定理OP=,而AP=AO+OP,AC=mm,则有x2+(1+)2=()2,解得x=mm,所以CD=2CP=mm,因为sinA=,所以A=arcsin=30.1.已知圆O的半径为5,弦AB长为8,求AB弦心距的长.图1-232.已知圆O的直径为10cm,求内接正方形ABCD的面积.3.已知圆O的面积是16cm2,AB是圆O的
12、弦,并且AB=OA,求弦AB的弦心距和AOB.4.如图1-23所示,轴的横截面直径为120mm,现需要在轴上铣一个平面,若铣削的背吃刀量h=10mm,求此铣削平面的宽度d.习题1.M是圆O内的一点,已知经过点M的所有弦中,最长的是8cm,最短的是2cm,试求圆心到点M的距离.2.已知轴的横截面直径为100mm,现需要在轴上铣一个平面,若铣削的背吃刀量h=20mm,求此铣削平面的宽度d.3.在布氏硬度实验中,硬质合金球在力F作用下压痕直径d=6.60mm,压入的深度h=1.20mm,试求硬质合金球的直径.项目1.2解任意三角形1.2.1余弦定理案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!【案例】小张在放
13、学途中路过一个圆形的枯井,他想知道枯井底部的直径,但又不能下去测量.他看看书包里仅有的测量工具:一把直尺和一个量角器,又想了想,从旁边找来两根足够长的直竹竿.请根据所学知识以及小张现有的工具,设计一种测量方案,并说明工作原理.图1-24【分析】根据案例提供的材料,可以用竹竿制作成如图1-24所示的模型:AB、AC是可测长度的竹竿,BAC的角度可以测量,B、C端在井底.测量时可以适当调节竹竿的位置,使BC的长和井底的直径一致.因为三角形中“两边及其夹角确定,第三边长度也就确定”,所以枯井的底径可以求得.在ABC中,已知AB、AC和BAC,BC到底是怎样确定的呢?这要借助“余弦定理”的知识,我们一
14、起努力吧!1.余弦定理三角形(图1-25)任何一边的等于其他两边的减去这两边的长与它们的夹角的乘积的2倍.即图1-25a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.2.余弦定理的变形公式cosA=,cosB=,cosC=.三角形的内角和等于.锐角的余弦零,直角的余弦零,钝角的余弦零.注意在三角形中,已知三边或已知两边及其夹角,解三角形:1)利用余弦定理,已知两边及其夹角可求出第三边;2)利用余弦定理变形公式,已知三边可求出任何一个内角的余弦,进一步可求出这个内角.图1-26例1如图1-26所示,已知ABC中,边a=3cm,b=5cm,C=
15、60,求c的长.【解】因为c2=a2+b2-2abcosC,a=3cm,b=5cm,C=60.所以c=cm,=cm.例2如图1-27所示,已知ABC中,边a=6cm,c=10cm,C=60,求b的长.【解】因为c2=a2+b2-2abcosC,a=6cm,c=10cm,C=60,即102=62+b2-26bcos60,整理,得b2-6b-64=0.图1-27由一元二次方程的求根公式,得b=cm=(3+)cm.已知两边及其中一边的对角,求第三边的问题,仍然可以利用余弦定理,当作已知两边及其夹角求出第三边的问题解决.例3已知ABC中,a=5cm,b=8cm,c=4cm,判断ABC是锐角三角形、直角
16、三角形还是钝角三角形.【解】根据ABC中大边对大角的性质,得知B是ABC中最大的角.因为b2=a2+c2-2accosB,则cosB=-c,所以AC,可得C=arcsin40.5.例3如图1-31所示,ABC中,已知a=6cm,b=8cm,A=45,求B.图1-31【解】因为=,a=6cm,b=8cm,A=45,则=,可得sinB=.又B=arcsin,ba,所以B70.5或109.5.一个解,有时有两个解,你能说出在什么情况下有一个解,什么情况下有两个解吗?1.ABC中,已知b=6cm,A=30,B=45,求a的长.2.ABC中,已知b=12cm,A=50,B=60,求c的长.3.ABC中,
17、已知b=7cm,A=120,C=45,求a的长.4.ABC中,已知a=500mm,b=300mm,A=70,求C、B想一想已知两边和其中一边所对的角解三角形时,有时有和c.5.如图1-32所示,A、B两点间有小山和小河,为求AB的长,需选择一点C,使AC可直接丈量,且B和C两点可通视,再在AC上取一点D,使B和D两点可通视,测得AC=180m,CD=60m,ACB=45,ADB=60,求AB的长.图1-32习题1.ABC中,已知a=6cm,A=45,B=70,求b,c.2.ABC中,已知C=45,b=2,c=2,求B.3.ABC中,已知b=5,c=3,B=60,求C和a.4.货船在海上A处时,
18、测得灯塔B在北偏西45方向上.之后该船沿南偏西75方向以18nmile/h的速度航行20min,到达C处,此时观察灯塔B在北偏东30方向.(1)按题意画出示意图;(2)求C处到灯塔B的距离(精确到0.01nmile).项目1.3解三角形的应用人们在土地测量中认识了三角形,在长期的生产实践中对三角形进行了深入的研究,三角形的边角关系以及稳定性等性质在测量学、建筑学和工业设计等方面有着广泛应用.1.3.1测量中的应用温州有很多美丽的风景,给你留下深刻印象的有哪些?你还记得江心屿的双塔吗?右图是西塔,你想知道它有多高吗?你在游玩时想过怎样去测量它吗?例1为测量顶部不能到达的塔的高度AB,可以在地面上
19、引一条基线CD,这条基线和塔底在同一水平面上,使BCD=BDC=60(图1-33),测得CD=50m,仰角ACB=30,求AB(精确到1m).图1-33【分析】要求直角三角形中的边长,必须知道另外两条边或者另外一边和一个锐角.由题意知BCD是等边三角形,CD=50m,所以BC=50m.在ABC中已知角ACB=30,所以可根据直角三角形的边角关系求出塔高AB.【解】因为DBC=BDC=60,CD=50m,所以BC=CD=50m.在ABC中,因为ACB=30,所以AB=BCtan30=50m=m28.9m即所求塔高AB为28.9m.想一想你还有别的解法吗?图1-34例2如图1-34所示,要测量顶部
20、不能到达的烟囱的高度AB,从与烟囱底部在同一直线上的C、D两处测得烟囱的仰角分别为30和60,并测得CD=16m,求烟囱的高.【解】因为BCA=30,BDA=60,则DBC=BCA=30.可得CD=BD=16m.在直角三角形ABD中,AB=BDsinBDA,所以AB=16msin60=8m.例3赵州桥是1300多年前我国隋朝时建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.如图1-35所示,它的主桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m,试求图1-35主桥拱圆弧所在圆的半径.【解】设主桥拱圆弧所在圆的半径为r,因为弦长37.4m,弧的中点到弦的距离7.
21、2m,则有+(r-7.2m)2=r2,解得r=27.9m.即主桥拱圆弧所在圆的半径为27.9m.1.如图1-36所示,某位同学欲了解学校操场上旗杆的高度,图1-36他测得旗杆的阴影长度为15.65m,并测得此时太阳光线与水平面的角是4530,请帮助计算出旗杆的实际高度.2.如图1-37所示,A、B两点间有座小山,不能直接丈量距离,在D点测得BDA=100,由D向DA方向前进100m到C点,又测得BCA=120,AC=300m,试计算A、B间的距离(精确到0.1m).图1-373.一只船下午一时在A处时,望见西南有一座灯塔B,船和灯塔相距36nmile.船以26nmile/h的速度向南偏西30的
22、方向航行到C处时,望见灯塔在船的正北方,此时应是下午几点钟?船与灯塔相距多远?习题1.在高为300m的山顶A上,测得山下一塔顶D与塔底C的俯视角分别为40和60,请问塔高是多少?2.步枪在瞄准正前方200m处的目标时,如果准星偏离准确位置0.5,那么子弹要偏离目标多少米?3.埃及著名的考古专家穆罕默德决定重新测量胡夫金字塔(图1-38)的高度.在一个烈日高照的上午,他和儿子小穆罕默德来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁的小穆罕默德:给他一条2m的木杆,一把皮尺,一面平面镜,让他测出塔高.你能利用所学知识来测出塔高吗?说一说你的方案.图1-381.3.2车削特形面时的应用例1如图1-39所示,
23、已知圆球手柄球体部分直径D=40mm,柄部直径d=20mm,求圆球部分的长度L.图1-39【分析】车削时,先将圆球按直径D和柄部直径d车好外圆,并留适当的精车余量,接着车圆球部分长度L,再将手柄车成球面.根据垂径定理可得L=+=(D+),因此长度L的计算公式为L=(D+)图1-40【解】如图1-40所示,D=40mm,d=20mm,根据垂径定理L=(D+)=(40+)mm=(20+10)mm37.32mm.例2车削如图1-41所示的凹圆弧面工件时,已知圆弧半径R=30mm,圆弧中心高h=8mm,求圆弧面长度L和深度t.图1-41【分析】这里要用到的数学工具是垂径定理,就是已知半径和弦心距求弦长
24、和弓形的高的问题.【解】已知R=30mm,h=8mm,则t=R-h=30mm-8mm=22mm,根据垂径定理L=2=2mm=57.83mm.1.已知一个六角头螺母所需扳手口宽度s为32mm,试求该六角头螺母所在圆的直径.2.现有一个长方体工件,长215mm,宽400mm,高160mm,试求底面对角线L1和空间对角线L2.习题1.已知圆球手柄球体部分直径D=30mm,柄部直径d=18mm,求圆球部分的长度L.2.现有一工件待加工,如图1-42所示,请根据图样编排车削工艺.图1-42小结与复习一、直角三角形有关概念和性质1.直角三角形的概念直角三角形(图1-43)中夹直角的两条短边叫直角边,两直角
25、边分别叫勾和股;与直角相对的长边叫斜边,斜边也叫弦.直角三角形中两直角边的平方之和等于斜边的平方,即a2+b2=c2,称为勾股定理.三角形中,若三边满足a2+b2=c2,则该三角形一定是直角三角形;相反,直角三角形三边也一定满足a2+b2=c2,其中a、b为直角边,c为斜边.2.直角三角形中三角函数的定义图1-43A的正弦sinA=,A的余弦cosA=,A的正切tanA=.3.已知三角函数值求角arcsin=A,arccos=A,arctan=A.4.垂径定理在圆中(图1-44),垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧。图1-44垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所
26、对的两条弧.弦心距就是圆心到弦的距离.直角三角形AOD中OA2=OD2+DA2.二、任意三角形的有关概念和性质1.余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,变形cosA=;b2=c2+a2-2cacosB,变形cosB=;c2=a2+b2-2abcosC,变形cosC=.在三角形中,已知三边或已知两边及其夹角解三角形时应注意:1)利用余弦定理,已知两边及其夹角可求出第三边.2)利用余弦定理变形,已知三边可求出任何一个内角的余弦,进一步可求出这个内角.2.正弦定理=2R,其中R为三角形外接圆的半径.已知两角一边或已知两边和一对角解三角形,可运用正弦定理求另一边或另一边的对角.其中,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解和一解两种情况.
