1、第二部分第二部分 信号的线性系统处理信号的线性系统处理n时域法分析时域法分析n频域法分析频域法分析n复频域分析复频域分析n线性时不变因果系统线性时不变因果系统n线性时不变系统的单位线性时不变系统的单位冲激响应冲激响应n线性时不变系统的时域线性时不变系统的时域分析分析n频率响应频率响应n无失真传输无失真传输n理想低通滤波器理想低通滤波器n微分方程的复频域求微分方程的复频域求解解n传递函数传递函数n卷积积分n卷积和n卷积的性质n线性时不变系统时域分析的基本思想线性时不变系统时域分析的基本思想：任意连续时间信号可以分解为一系列任意连续时间信号可以分解为一系列冲激函数之和冲激函数之和，如果已知线性时不
2、变系，如果已知线性时不变系统的单位冲激响应统的单位冲激响应h(t)，利用线性时不，利用线性时不变系统的线性和时不变性，就能确定出变系统的线性和时不变性，就能确定出系统对任意信号的响应系统对任意信号的响应。n任意信号x(t)可近似用一系列等宽度的矩形脉冲之和表示()()()(1)Kx tx k tu tk tu tkt()(1)()ku tk tu tktx k ttt()x k t tktt1u tk tu tkt n当 的极限情况下n而n有0tdt k t 0()(1)lim()tu tk tu tkttt dtxtx)()()()()()()()x tx ttxtd n如果线性时不变连续系
3、统的单位冲激响应为h(t)，则)()(tht)()(tkthtkt)()()()(tkthttkxtktttkx系统的时不变性系统的时不变性系统的齐次性系统的齐次性系统的叠加性系统的叠加性kkttkthtkxttkttkx)()()()(t0，kt，td)(*)()()()()()()(thtxdthxtydtxtxn以单位冲激信号以单位冲激信号 作为激励时，系统作为激励时，系统产生的零状态响应，记作产生的零状态响应，记作 。n任意时域信号任意时域信号x(t)激励时系统的响应激励时系统的响应)(t)(th)(t)(th()()*()y tth t)(th()xt()()*()y tx th t
4、n任一离散时间信号x(n)，都可以表示为单位脉冲序列(n)的移位、加权和，即kknkxnx)()()(线性时不变离散系统的特性线性时不变离散系统的特性()()()()*()ky nx k h nkx nh nn以单位冲激信号以单位冲激信号(n)作为激励时，系统作为激励时，系统产生的零状态响应，记作产生的零状态响应，记作h(n)。n任意时域信号任意时域信号x(n)激励时系统的响应激励时系统的响应()n()h n()()*()y nnh n()h n()x n()()*()y nx nh nn交换律 n分配律n结合律n卷积的微分（差分）n卷积的积分（累加）n冲激函数与阶跃函数的卷积)(*)()(*
5、)(txththtx)(*)()(*)(nxnhnhnx表明在线性时不变系统表明在线性时不变系统中，对于输出而言，输中，对于输出而言，输入信号和系统的单位冲入信号和系统的单位冲激响应的作用可以互换激响应的作用可以互换)(*)()(*)()()(*)(2121thtxthtxththtx)(*)()(*)()()(*)(2121nhnxnhnxnhnhnx表明并联的线性时不变系表明并联的线性时不变系统对输入的响应等于组成统对输入的响应等于组成并联系统的各子系统对输并联系统的各子系统对输入的响应之和入的响应之和)(*)(*)()(*)(*)(2121ththtxththtx)(*)(*)()(*)
6、(*)(2121nhnhnxnhnhnx表明各个串联的子系统的连接次表明各个串联的子系统的连接次序可以调换；从信号处理的角度序可以调换；从信号处理的角度看，如果一个信号逐个地经过多看，如果一个信号逐个地经过多个线性时不变子系统处理，各个个线性时不变子系统处理，各个子系统对信号的处理次序不影响子系统对信号的处理次序不影响处理结果。处理结果。)(*)()(*)()(*)(thtxdtdthdtdtxthtxdtd()*()()*()()*()x nh nx nh nx nh n tttthdxdhtxdhx)(*)()(*)()(*)(nknknknhkxkhnxkhkx)(*)()(*)()(*
7、)()()(*)(txttx)()(*)(ttt)()(*)(nxnnx)()(*)(nnn)()(*)(00ttxtttx)()(*)(00ttttt)()(*)(00nnxnnnx)()(*)(00nnnnn)()(*)(2121tttxttttx)()(*)(2121ttttttt)()(*)(2121nnnxnnnnx)()(*)(2121nnnnnnn)()(*)(txttxtdxtutx)()(*)(n频率响应n无失真传输n理想低通滤波器n考察单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统对复指数信号 的响应 tjetx)()()()*()()()()()jtjj ty tx th thx
8、 tdhedhedetjeHty)()(dehHj)()(线性时不变系统对复指数信线性时不变系统对复指数信号的响应仍是一个同频率的号的响应仍是一个同频率的复指数信号，只是其幅值和复指数信号，只是其幅值和相位发生了改变，而其改变相位发生了改变，而其改变由频率响应函数由频率响应函数H()决定。决定。n对于任意信号 x(t)deXtxtj)(21)(利用系统的齐次性和叠加性利用系统的齐次性和叠加性deHXtytj)()(21)(FT反变换反变换)()()(HXY)(*)()(thtxty)()()(HXYFT时域时域卷积定理卷积定理)()()(XYH)(|)(|)(hjeHH系统的幅频特性 系统的相
9、频特性|)(|)(|)(|HXY)()()(hxy信号的改变从两方面进行使输入信号的某些频使输入信号的某些频率分量得到增强，某率分量得到增强，某些频率分量被削弱或些频率分量被削弱或保持不变，具有保持不变，具有滤波滤波的特性的特性 n线性时不变系统的时域、频域对应关系 n解：对方程两边取傅立叶变换，得)()(2)(txtyty)()(tuetxt)()(2)(XYYjn系统的频率特性函数 21)()()(jXYHn对x(t)取傅立叶变换 11)(jXn系统响应y(t)的傅立叶变换为 21112111)()()(jjjjHXYn对Y()取傅立叶反变换)()()()()(22tueetuetuety
10、ttttn信号无失真传输是实现信息可靠传送与交换的基本条件，它要求信号通过系统后，在时域上保持原来信号随时间变化的规律，即信号的波形不变信号的波形不变，而只能是幅度上对原信号按比例地放大或缩小幅度上对原信号按比例地放大或缩小，或者在时间上有一固定的延迟在时间上有一固定的延迟。n设原信号为设原信号为x(t)，其频谱为其频谱为X()，经无，经无失真传输后，输出信号失真传输后，输出信号y(t)应为应为)()(0ttKxty)()(0XKeYtjn无失真传输系统的频率特性函数为无失真传输系统的频率特性函数为0)()()(tjKeXYHn其幅频特性和相频特性分别为其幅频特性和相频特性分别为0)(|)(|
11、tKHh线性相位线性相位n信号幅度不失真n信号放大、时延，波形不失真n线性相位，波形不失真K()H()x t0()Kx tt0tt0()()y tKx tt0()()jtYKXe()X()h()h n系统的幅频特性是一个与频率无关的常数，即在全部频带内，系统都具有恒定的放大倍数 n系统的相频特性与频率成线性关系。且信号通过系统的延迟时间t0就是系统相频特性 斜率的负值，即)(hddth)(0仅是理想条件，但在实际中任何带有信息的物理信号都是带限信号，为实现无失真传输，只要在信号占据的频率范围内，系统的频率特性满足无失真传输条件即可)(t()H()()XH例如：要求产生升余弦脉冲例如：要求产生升
12、余弦脉冲:222(1 cos)()()20()Ettx tother 21()()()2212EHXSa实际用窄矩形脉冲n若要使H（）满足无失真传输条件，只有)(1)(21212111211CCRRRRjCRjCCCH)(121212111CCRRRRCR1221CCRR211)(CCCH212211)(|RRRCCCH0)(h01()0j tcceH()1Hcccc0()ht c称为滤波器的截止频率 称为滤波器的通带 称为滤波器的阻带 c0c()t()h t0()101()()12()jttcch tFHedSatt)(th0tc0n解：求输入信号的傅立叶变换nx(t)=Sa(t)cos(2
13、t)频域卷积定理频域卷积定理)2()2(2)(ggXn滤波器频率响应函数0()0j tkeHcc|n滤波器输出信号的频谱为)()()(HXY)(H-c c20-2321-1-3)(Xk0-cc)(H)(Yk/20-cc-11n根据以上图示，分三种情况讨论Y()20 -23 2 1 -1 -3)(Xn(1)3cn输出信号为输入信号的t0延时的k倍 0)2()2(2)(tjeggkY()()Yk X000()()()cos2()y tkx ttkSa ttttn输入信号频带完全落在低通滤波器的通带外输入信号频带完全落在低通滤波器的通带外,则有则有 1c0)(,0)(tyYn系统无输出系统无输出)(
14、H-c c2 0 -23 2 1 -1 -3)(Xn输入信号的频带部分落在低通滤波器通带内 31c -c c)(H2 0 -23 2 1 -1 -3)(Xn把不考虑放大及时延不考虑放大及时延的Y()看成是Y1()11111()()*()()222ccYg 1112()102ccg2 0 -c 1 -1)(X c)(H12c12c)(tSaccccgg01)(,)(1()g11()22ccSat1112()102ccg)()(00t0cos11()()22cc 1cos()2ct)()(21txtx)()(2121XX1()y t 11()22ccSat1cos()2ct n利用傅立叶变换的时移特性01()()j tcYkYe()y t 0(1)1()22cckSatt01cos()2ctt0()x tt0()j teXnP185n习题17n习题22
