1、信号与系统基础及应用 第1章 信号与系统基础知识 第2章 连续时间信号分析 第3章 连续时间系统分析 第4章 离散时间信号分析 第5章 离散时间系统分析 第6章 离散傅里叶变换及应用 第7章 数字滤波器设计第3章 连续时间系统分析3.1 系统的时域分析系统的时域分析3.2 系统系统的频域分析的频域分析3.3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3.4 系统系统的复频域分析的复频域分析3.1 系统系统的时域分析的时域分析3.1.2 单位冲激响应的意义单位冲激响应的意义3.1.1 微分方程微分方程的建立与求解的建立与求解3.1.3 卷积积分卷积积分3.1.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解连续时间线
2、性时不变（连续时间线性时不变（LTI）系统的数学模型是常系数微分方程。）系统的数学模型是常系数微分方程。)()(.)()(01111tyadttdyadttydadttydannnnnn11101()()().()mmmmmmd x tdx tdx tbbbb x tdtdtdt系统系统()y t()x t1.微分方程的建立微分方程的建立【例例3.1】如图所示互感耦合电路，如图所示互感耦合电路，x(t)为电压源激励信号，为电压源激励信号，列写求电流列写求电流i2(t)的微分方程式。的微分方程式。解解：对于初、次级回路分别应用对于初、次级回路分别应用KVL定律，定律，可以可以得到一对微分方程式得
3、到一对微分方程式121()()()()di tdi tLRi tMx tdtdt212()()()0di tdi tLRi tMdtdt(1)(2)22222222()()()()2()d itditdx tLMRLR itMdtdtdt将式（将式（4）、（）、（5）代入式（）代入式（3）并整理得：）并整理得：对式（对式（1）两边求导得：）两边求导得：2211222()()()()d i tdi td i tdx tLRMdtdtdtdt(3)由式（由式（2）得：）得：122()()()di tdi tLRi tdtMdtM (4)对式（对式（4）两边求导得）两边求导得：2212222()()
4、()d i td i tdi tLRMMdtdtdt (5)（1）微分方程）微分方程的完全解由两部分组成：齐次解和特解。的完全解由两部分组成：齐次解和特解。0)()(.)()(01111tyadttdyadttydadttydannnnnn特征方程为特征方程为1110.0nnnnaaaa2.微分方程的求解微分方程的求解（2）齐次解应满足齐次解应满足按特征根的形式不同，齐次解有不同的形式。按特征根的形式不同，齐次解有不同的形式。12(cossin)tektkt（c）若若 1、2为共轭复根，即为共轭复根，即 1,2=j，则，则在齐次解中相在齐次解中相应于应于 1、2 的部分为的部分为012121(
5、.)etrrrrktk tktk（b）特征根有重根，假设特征根有重根，假设 0是特征方程的是特征方程的r重根，则在齐重根，则在齐次解中相应于次解中相应于 0的部分将有的部分将有r项项（a）特征根为单根，微分方程的齐次解为特征根为单根，微分方程的齐次解为1212()ee.entttnnytkkk【例例3.2】求求下列微分方程的齐次解。下列微分方程的齐次解。3232()()()71612()()d y td y tdy ty tx tdtdtdt解：解：特征特征方程为方程为327161202(2)(3)0特征特征根为根为122（重根）（重根）33齐次解为齐次解为223123()eeetttny t
6、k tkk激励信号激励信号特解特解常数A常数B不是特征根是特征单根是k重特征根将激励信号代入微分方程的右端，观察激励信号的型式试将激励信号代入微分方程的右端，观察激励信号的型式试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。即可求出特解。（3）求）求特解：特解：解解:（1）列写微分方程式为）列写微分方程式为节点节点1：节点节点2：dttdvCRtvtvRtvtvdttdvCRtvtx)()()()()()()()(222212211111【例例3.3】如下图所示电路，已知激励信号如下图所示电路，已知激励信号x(t)=cos
7、2tu(t),两个电容上的初始电压均为零，求输出信号两个电容上的初始电压均为零，求输出信号v2(t)的表达式。的表达式。+-x(t)v1(t)+-C10.5FR11R21+-C2F31+-v2(t)12)(2cos6)(6)(7)(22222tuttvdttdvdttvd（2）求）求齐次解，写出特征齐次解，写出特征方程为方程为2760特征根特征根121,6 （3）查表，得特解为）查表，得特解为12sin 2cos 2BtBt代入原方程得代入原方程得503,502121BB齐次解齐次解612eettkk1212(214)sin 2(142)cos 26 cos 2BBtBBtt比较上述方程两边系
8、数，并求解得比较上述方程两边系数，并求解得（4）完全解为）完全解为6212213()eesin2cos25050ttv tkktt已知已知电容电容C2上的初始电压为零，因而有上的初始电压为零，因而有v2(0)=0,又因为电容又因为电容C1上的初始电压也为零，于是流过上的初始电压也为零，于是流过R2、C2中的初始电流也为零，中的初始电流也为零，即即 。2(0)0v1269,2550kk+-x(t)v1(t)+-C10.5FR11R21+-C2F31+-v2(t)6269213()eesin2cos2,025505050ttv ttt t由由 v2(0)=0 及及 代入上面式子求得：代入上面式子求
9、得：2(0)0v（5）由初始条件求解齐次解系数）由初始条件求解齐次解系数3.初始条件的确定（起始点的跳变初始条件的确定（起始点的跳变从从0-到到0+）(1)起始状态与初始状态起始状态与初始状态 起始状态：起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态在激励接入之前的瞬时系统的状态()(0)ky初始状态：初始状态：在激励接入之后的瞬时系统的状态在激励接入之后的瞬时系统的状态)0()(ky21()21(0)(0)(0)(0)=(0),.,nkndyd ydyyydtdtdt+2+1+()+21(0)(0)(0)(0)=(0),.,nkndyd ydyyydtdtdt(2)初始条件的确定初始条件的确定简单
10、的情形可以利用简单的情形可以利用系统元件内部系统元件内部储能的连续性来列写。储能的连续性来列写。)0()0(CCvv)0()0(LLii复杂情况可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡复杂情况可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。的方法作出判断。(冲激函数匹配法冲激函数匹配法)首先判断首先判断vC(0-)和和iL(0-)值，然后由储能的连续性写出值，然后由储能的连续性写出vC(0+)和和iL(0+)，再根据，再根据元件与网络拓扑的约束特性即元件与网络拓扑的约束特性即可可求得求得0+时刻其它电压、电流值。时刻其它电压、电流值。(3)冲激函数匹配法确定初始条件冲激函数匹配法确定初始条
11、件配平原理：配平原理：t=0时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的 (t)及其各及其各阶导数应该阶导数应该平衡（其他项也应该平衡，当讨论初始条件时，可以不考虑其平衡（其他项也应该平衡，当讨论初始条件时，可以不考虑其他项）。他项）。【例例3.4】对于对于()3()=3()y ty tt，已知y(0-),求y(0+)。()3()=3()y ty tt3()t()=3()y tt3()t9()t-9()t-9()u t()u t3表示0-到0+相对单位跳变函数即(0)(0)9yy(0)(0)9yy抵消抵消归纳成数学归纳成数学描述如下：描述如下：由原方程可知方程右端含由原方程可知方程右端含(t)
12、项，它由方程左端最高阶项而得。项，它由方程左端最高阶项而得。()3()=3()y ty tt设设则则代入原方程代入原方程得得因此因此即即()()()()y tatbtc u t()()()y tatb u t()()()+3()3()3()atbtc u tatb u tt 33030abacb3927abc(0)(0)9yyb(0)=(0)9yy【例例3.5】描述系统的微分方程为描述系统的微分方程为输入信号如图所示，已知输入信号如图所示，已知求求()7()10()()6()4()y ty ty tx tx tx t4(0),(0)0,(0)05yyy(0),(0),(0)yyy()7()10
13、()2()12()8()8y ty ty tttu t()22()x tu t()7()10()2()12()8()y ty ty tttu t 只考虑只考虑0时刻的跳变情况，时刻的跳变情况，有有解解:代入代入x(t),得得观察方程右端的冲激函数项最高阶次是观察方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t),因此，得因此，得()=()()()()()()()()y tatbtc u ty tatb u ty ta u t 00t 代入微分方程左端，得代入微分方程左端，得()()()+7()7()+10()=2()+12()+8()atbtc u tatb u ta u tttu t 求得求得222ab
14、c 即即(0)(0)2(0)(0)2(0)(0)2yyayybyyc 求得各个求得各个0+状态为状态为414(0)255(0)02=2(0)022yyy 当当系统用微分方程表示时，系统从系统用微分方程表示时，系统从0-到到0+状态有无跳变，状态有无跳变，取决于微分方程右端自由项是否包括取决于微分方程右端自由项是否包括 (t)及其各阶导数项。及其各阶导数项。一般一般情况情况下电路切换期间下电路切换期间电容两端电压和流过电感中的电容两端电压和流过电感中的电流不会发生突变。即电流不会发生突变。即(0)(0)(0)(0)CCLLvvii，但是但是当有冲激电流或阶跃电压强迫作用于电容，冲激电压当有冲激电
15、流或阶跃电压强迫作用于电容，冲激电压或者阶跃电流强迫作用于电感，或者阶跃电流强迫作用于电感，0-到到0+状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。解：（解：（1）由系统的微分方程式，将）由系统的微分方程式，将x(t)=u(t)代入，得代入，得22222222()()()()2()()d itditdu tLMRLR itMMtdtdtdt【例例3.6】如如图电路中，若激励为单位阶跃信号，图电路中，若激励为单位阶跃信号，x(t)=u(t)，系，系统起始无储能，试求统起始无储能，试求i2(t)。由题意知由题意知0)0(,0)0(22ii（2）求初始条件）求初始条件222222(0)(0)0(0)(0)i
16、iMiiLM 22222222()()()()2()()d itditdu tLMRLR itMMtdtdtdt22222)()(dttidML 包含)(tMdttdi)(2包含22()Mu tLM包含)(2ti22()Mt u tLM2222(0)0,(0)MiiLM （3）求齐次解，写出特征方程）求齐次解，写出特征方程2222()20LMRLR求得两特征根为：求得两特征根为：12,RRLMLM 由于在由于在 t 0以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。12212()eettnitkk（4）求特解）求特解yf(t)122212()()eett
17、nititkk（5）求全响应）求全响应i2(t)22222222()()()()2()()d itditdu tLMRLR itMMtdtdtdt121122220kkMkkLM 所以所以1221()(ee)()2ttitu tR 利用初始条件利用初始条件 求求系数系数k1、k22222(0)0,(0)MiiLM 1211,22kkRR 解得解得：122212()()eettnititkk4.零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应经典法求解系统的全响应可分为：经典法求解系统的全响应可分为：全响应全响应=自然响应自然响应+强迫响应强迫响应系统的全响应也可分为：系统的全响应也可分为：全响应全
18、响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应()()()nfy ty tyt()()()zizsy tytyt零输入响应零输入响应yzi(t)：当激励信号当激励信号 x(t)=0时，由起始状态时，由起始状态y(k)(0-)所产所产生的响应。生的响应。由于激励信号由于激励信号x(t)=0，所以系统的起始时刻不会产生跳变。，所以系统的起始时刻不会产生跳变。所以所以()()(0)(0)kkyy零输入响应为零输入响应为自然响应自然响应的形式：的形式：其中系数其中系数ci由起始由起始条件条件y(k)(0-)来确定。来确定。011()eein rnttn iziiiii n rytcct 零状态响应零
19、状态响应yzs(t):当起始状态当起始状态y(k)(0-)=0时，由激励信号时，由激励信号x(t)所所产生的响应。产生的响应。零状态响应的形式为：零状态响应的形式为：其中系数其中系数di由跳变量由跳变量 来确定。来确定。()()()(0)(0)(0)kkkzsyyy011()ee()in rnttn izsiifii n rytdd tyt 00t()()kyt()(0)ky()(0)ky()()()(0)(0)(0)kkkzsyyy()(0)ky：确定全响应的系数：确定全响应的系数()(0)ky：确定零输入响应的系数：确定零输入响应的系数()(0)kzsy：确定零状态响应的系数：确定零状态响
20、应的系数000111111()ee()eeee()iiin rnttn iiifii n rn rnn rnttttn in iiiiifii n rii n ry tkk tytcctdd tyt 自然响应自然响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应解：解：)0(y：初始条件，确定全响应的系数，：初始条件，确定全响应的系数，23)0(y(0)y：起始条件，确定零输入响应的系数，：起始条件，确定零输入响应的系数，23)0()0(yy)0(zsy：跳变量，确定零状态响应的系数：跳变量，确定零状态响应的系数,(0)0zsy【例例3.7】已知已知系统的微分方程为系统的微分方程为且
21、且 ，求自然响应、强迫响应、零输入响应、零，求自然响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和全响应。状态响应和全响应。()3()3()dy ty tu tdt3(0)2y（1）求全响应）求全响应y(t)特征根为特征根为 ，所以，所以，3 3()etny tk而而 ()1fyt 这样，全响应为这样，全响应为 3()e1ty tk31()e1(0)2ty tt31()e,()1(0)2tnfy tytt由初始条件由初始条件 可求出系数可求出系数 k=，所以所以23)0(y12（2）求零输入响应）求零输入响应yzi(t)3()etziytc33()e(0)2tziytt由起始条件由起始条件 可求出系数
22、可求出系数 c=，所以所以23)0(y32（3）求零状态响应）求零状态响应yzs(t)由跳变量由跳变量 可求出系数可求出系数d=-1，所以所以0)0(zsy3()e1(0)tzsytt 33333()ee123ee1(0)2tttty tt 3()e1tzsytd或：或：33313()()()e1ee1(0)22tttzsziyty tytt 零输入零状态自然强迫3.1.2 单位冲激响应的意义单位冲激响应的意义以单位冲激信号以单位冲激信号 (t)作为激励，系统产生的零状态响应称作为激励，系统产生的零状态响应称为为“单位冲激响应单位冲激响应”，以，以h(t)表示。表示。以单位阶跃信号以单位阶跃信
23、号u(t)作为激励，系统产生的零作为激励，系统产生的零状态响应称为状态响应称为“单位阶跃响应单位阶跃响应”，以，以g(t)表示。表示。系系 统统)()(ttx)()(thtyzs1.定义定义系系 统统()()xtut()()zsy tg t()()()()du ttdtdg th tdt2.h(t)的求解的求解11101()()()()nnnnnd y tdy tdy taaa y tdtdtdt将将 及及 代入上式，得代入上式，得)()(ttx)()(thty11101()()()()mmmmmmd x tdx tdx tbbbb x tdtdtdt11101()()()()nnnnnd h
24、 tdh tdh taaa h tdtdtdt11101()()()()mmmmmmdtdtdtbbbbtdtdtdt一般情况下有一般情况下有nm，冲激响应，冲激响应h(t)应与齐次解的形式相同，如果特应与齐次解的形式相同，如果特征根包括征根包括n个非重根，则个非重根，则1()e()intiih tku t如果如果n=m，冲激响应，冲激响应h(t)将包含一个将包含一个(t)项，即项，即11()e()()intinih tku tkt 如：如：dttdxEtydttdy)()()(即：即：()()()dh th tEtdt dttdh)()Et)(th)(tE121()e()()()intinn
25、ih tku tktkt如果如果n0的傅里叶变换？的傅里叶变换？将将x(t)乘以衰减因子乘以衰减因子e-tj()e()eetttx tx tdtF T(j)0ettedt()0estdtjs令若 不存在不存在!1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换推广到一般情况推广到一般情况令s=+jj()e()eetttx tx tdtF T(j)()etx tdt()e()stx tdtX s()()estX sx tdt定义：定义：对对 X(+j)求求傅里叶反变换可推出傅里叶反变换可推出jj1()()e2jstx tX sds 拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换拉普拉斯变换符号表示及物理含义
26、拉普拉斯变换符号表示及物理含义()(),X sx t L()()x tX s符号表示：符号表示：1()()x tX s L物理意义：物理意义：信号信号x(t)可分解成复指数可分解成复指数est的线性组合的线性组合X(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数，称为复频率，是复数，称为复频率，X(s)称复频谱。称复频谱。关于积分下限的说明：关于积分下限的说明：2.单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换及其存在的条件积分下限定义为零的左极限，目的在于分析积分下限定义为零的左极限，目的在于分析和计算时可以直接和计算时可以直接利用给定利用给
27、定的的0 0-起始状态。起始状态。0()()estX sx tdtjj1()()e2jstx tX sds单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换存在的条件单边拉普拉斯变换存在的条件|()|eCtx tdt对任意信号对任意信号x(t)，若满足上式，则，若满足上式，则 x(t)应满足应满足lim()e0ttx t充要条件为：充要条件为：C为有界常数0称称收敛条件收敛条件收敛区j 00称称绝对收敛坐标绝对收敛坐标s平面右半平面左半平面3.拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域使X(s)存在的s的区域右边信号右边信号左边信号左边信号双边信号双边信号【例例3.12】计算计算下列信号的拉普拉斯
28、变换与下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。傅里叶变换。3e()tu t3e()tu t)(2costut解解：3e()tu t3e()tu t)(2costut1j31,33s 不存在不存在1,33s2j(j)4(2)(2)2 21,04s时域时域信号信号 傅里叶变换傅里叶变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换分析与结论分析与结论：(1)当当收敛域包含虚轴时，收敛域包含虚轴时，拉普拉斯变换和傅里叶拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。变换均存在。j(j)()sXX s(2)当当收敛域不包含虚轴时，收敛域不包含虚轴时，拉普拉斯变换存在而拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在。傅里叶变换不存在。(3)当当收敛域的收
29、敛边界位于虚轴时，收敛域的收敛边界位于虚轴时，拉普拉斯变换拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。和傅里叶变换均存在。j(j)()()skkkXX sX k为极点频率，为极点频率，Xk为对应的系数，为对应的系数，k为分母多项式的阶次。为分母多项式的阶次。【例例3.13】由由X(s)求求X(j )2(1),4(4)ss 21(2),0(9)ss解：解：(1 1)收敛域收敛域-4-4包含包含j 轴轴j2j(j)()(j4)sXX s(2)(2)收敛收敛域的收敛边界位于域的收敛边界位于j 轴轴11111 1()18j318j39X ssss 21(j)(3)(3)()j(9)189X j(j)()()skk
30、kXX sX 4.常用常用信号的单边拉普拉斯变换信号的单边拉普拉斯变换1e(),Re()atu tsasa1e(),Re()atu tsasa 0j01e(),Re()0jtu tss 0j01e(),Re()0jtu tss ()(),Re(s)-nnts ()1,Re(s)-t 1(),Re()0su ts21(),Re(s)0stu t 1!(),Re(s)0nnnt u ts 21e(),Re(s)-()attu tasa0220cos(),Re()0st u tss 00220sin(),Re()0t u tss 0220ecos(),Re(s)-()atsat u tasa0022
31、0esin(),Re(s)-(s)attu taa22002220scos(),Re(s)0()ttu ts 0022202sin(),Re(s)0()sttu ts 3.3.2拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质的性质1.线性特性线性特性则则111()(),Re()x tX ss 222()(),Re()x tXss 1 1221122()()()(),a x ta x ta X sa Xs),max()Re(21s若若2.展缩特性展缩特性若若，则，则0()(),Re()x tX ss 1()(),0,sx atXaaa 0Re()sa 3.时移特性时移特性若若0()(),Re()x tX ss
32、0000()()e(),0,stx tt u ttX s t 0Re()s，则，则4.卷积特性卷积特性111()(),Re()x tX ss 222()(),Re()x tXss 1212()*()()(),x tx tX s Xs),max()Re(21s若若则则5.乘积特性乘积特性111()(),Re()x tX ss 222()(),Re()x tXss 12121()()()*(),2jx t x tX sXs 21)Re(s若若则则6.微分特性微分特性0()(),Re()x tX ss()()(0)dx tsX sxdt 若若，则，则222()()(0)(0)d x ts X ssx
33、xdt 121()()(0)(0).(0)nnnnnnd x ts X ssxsxxdt若若x(t)=0,t0,则有则有x r(0)=0，r=0,1,2,.()()nnnd x ts X sdt 0Re()s 7.积分特性积分特性0()(),Re()x tX ss 1()(0)()tX sxxdss 0Re()max(,0)s 若若x-1-1(0(0-)=0)=0，则有则有()()tX sxds 若若，则，则8.初值定理和终值定理初值定理和终值定理0()(),Re()x tX ss 0()(0)()limlimstx txsX s0()()()limlimtsx txsX s 若若，则，则3.
34、3.3拉普拉斯拉普拉斯反反变换变换计算拉普拉斯计算拉普拉斯反变换方法：反变换方法：1.利用拉普拉斯变换性质求解（查表）利用拉普拉斯变换性质求解（查表）2.采用部分分式展开法采用部分分式展开法jj1()()e,02jstx tX sdst 3.其他方法（略）其他方法（略）2.2.部分分式部分分式法原理法原理11101110()()()mmmmnnnnb sbsbsbB sX sA sa sasa sa(1)X(s)为有理真分式为有理真分式(m n)，极点为，极点为一阶极点一阶极点12()()()()()()()nB sB sX sA sspspsp1212()nnkkkX sspspsp()()
35、,1,2,iiispksp X sin1212()(eee)()np tp tp tnx tkkku t(2)X(s)为有理真分式为有理真分式(m n)，极点含有极点含有r阶重极点阶重极点11()()()()()()()rrnB sB sX sA sspspspnnrrrrpskpskpskpskpsk11121211)()(111()(),1,2,()!r irir ispdkspX sirrids()(),1,2,iiispksp X sirrn11111121()(eeeee)()nrp tp tp tp tptrrrnx tkk tk tkku t(3)X(s)为有理真分式为有理真分式
36、(m n)，极点含有共轭复根。，极点含有共轭复根。1121()()()()()()()()nB sB sX sA sspspspsp把两个复根因子的乘积作为一个把两个复根因子的乘积作为一个整体因式来考虑，可简化运算，整体因式来考虑，可简化运算，反变换中将出现反变换中将出现sin或者或者cos项。项。(4)X(s)为为有理假分式有理假分式(m n)101()()()()()m nm nN sB sX sBB sBsA sA s1()()N sA s为真分式，根据极点情况按为真分式，根据极点情况按(1)或或(2)展开。展开。00()BBt L11()B sBt L()()m nm nm nm nB
37、sBt L【例例3.14】采用采用部分分式展开法求下列的反变换部分分式展开法求下列的反变换32(1)()(1)sX ss s3224(2)()42ssX sss221 e(4)()(4)sX ss s221(3)()3(4)X sss解：解：32(1)()(1)sX ss s312423()(1)(1)(1)kkkkX sssss10032()2(1)sssksX ss 34112(1)()3sssksX ss3311(1)()2()2ssd sX sskdss232112(1)()2()2ssdsX sskdss23()(22e2 ee)()2tttx tttu t 解：解：3224(2)(
38、)42ssX sssX(s)为有理假分式为有理假分式,将将X(s)化为有理真分式化为有理真分式22012()442sX ssss1212012()()4()4220.60.6()4()4.450.45sx tttLssttLss4.450.45()()4()20.6e()0.6e()ttx tttu tu t解：解：令s2=q,221(3)()3(4)X sss1()3(4)X sq q)4(3121qkqk41)4(101qqqqk41)4(1)4(42qqqqk22111()()3 44(4)X sss11()(sin2)()122x ttt u t解：解：121()(4)X ss s22
39、2e()(4)sXss s221 e(4)()(4)sX ss s2311221()(4)4k skkXss sss04141321kkk11()(1 cos2)()4x tt u t21()1 cos2(2)(2)4x ttu t k1,k2,k3用待定用待定系数法求系数法求的反变换的反变换的反变换的反变换再用时移特性求再用时移特性求先用部分分式求先用部分分式求12()()()x tx tx t3.4 系统系统的复频域分析的复频域分析3.4.1 微分方程的微分方程的复复频域求解频域求解3.4.2 系统函数系统函数3.4.3 零极点图及系统特性分析零极点图及系统特性分析1.基于微分方程描述的基
40、于微分方程描述的系统系统s域域分析分析时域微分方程时域微分方程时域响应时域响应s域域响应响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换解微分方程解代数方程s域域代数方程代数方程3.4.1 微分方程的微分方程的复复频域求解频域求解()()y tx t()()Y sX sy(t)Y(s)原理：利用拉氏变换微分性质求解线性常系数微分方程。原理：利用拉氏变换微分性质求解线性常系数微分方程。()()(0)y tsY syL 2()()(0)(0)yts Y ssyyL 32()()(0)(0)(0)yts Y ss ysyyL ()()y tY sL(1)经拉氏变换将时域微分方程变换经拉氏变换将时域微分方程变
41、换为为s域域代数方程代数方程(2)求解求解s域域代数方程，求出代数方程，求出Yzi(s),Yzs(s)(3)拉氏反变换，求出响应的时域表示式拉氏反变换，求出响应的时域表示式步骤步骤：已知已知则有则有2.二阶系统响应二阶系统响应的的s域域求解求解2221021022()()d ydyd xdxaaa y tbbb x tdtdtdtdt已知已知 x(t)，y(0)，y (0)，求，求y(t)。22()(0)(0)a s Y ssyy2210()()()b s X sbsX sb X sa2y(t)a1y(t)a0y(t)210()()()b xtb x tb x t)0()(1yssYa0()a
42、 Y s221022122210210(0)(0)(0)()()b sbsba sya ya yY sX sa sa saa sa sa1()()ziziY sY sL()()()zizsy ty ty tYzi(s)Yzs(s)激励激励x(t)=e-tu(t)，初始状态初始状态y(0)=3，y(0 0-)=)=2，求全响应求全响应y(t)。【例例3.15】()5()6()2()8()y ty ty tx tx t 系统的微分方程系统的微分方程为为解：解：对微分方程取拉氏变换可得对微分方程取拉氏变换可得2()(0)(0)5()(0)6()2()8()s Y ssyysY syY ssX sX
43、s2228(5)(0)(0)()()56(56)ssyyY sX sssss22281(5)3 2561(56)sssssss 377123sss-123()()(3e7e7e)()ttty tY su tL求本例的零输入响应和零状态响应求本例的零输入响应和零状态响应2()(0)(0)5()(0)6()2()8()s Y ssyysY syY ssX sX s2228(5)(0)(0)()()56(56)ssyyY sX sssss()()zsziY sY s2317118()5623zisY sssss123()()(11e8e)()ttziziytYsu tL123()()(3e4ee)(
44、)tttzszsy tY su tL2281281()561(2)(3)1zsssY sssssss23()()()(3e7e7e)()tttzizsy ty ty tu t341123sss3.电路元件电路元件R、L、C的的s域模型域模型时域时域复频域复频域()()LLdittLdt()()RRVsRIs()()(0)LLLVssLIsLi11()()(0)CCCVsIsVsCsRIR(s)VR(s)sL)0(LLiIL(s)VL(s)s域域模型模型()()RRtRit1()()tCctidC【例例3.16】图示图示电路初始状态为电路初始状态为vc(0(0-)=-)=-E,求电容两端电压求电
45、容两端电压 vc(t t).).RCvC(t)i(t)Eu(t)RsE)(sIVC(s)1/sC E/s解：建立电路的解：建立电路的s域域模型如图。模型如图。由由s域模型写回路方程域模型写回路方程sEsEsIsCR)()1(求出回路求出回路电流如下电流如下)1(2)(sCRsEsIsEsCsIsVC)()()121(RCssE1()(1 2e),0tRCcv tEt电容电压为电容电压为3.4.2 系统函数系统函数(1)定义：定义：系统在系统在零状态条件零状态条件下，输出的拉氏变换式下，输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比，记为与输入的拉式变换式之比，记为H(s)。()()()()()zszs
46、ytYsH sx tX sLL1.系统系统函数函数H(s)(2)H(s)与与h(t)的关系：的关系：h(t)(t)()()()()zsytth th t1()()h tH s L()()()()()1zsyth tH sh ttLLLL(3)求零状态响应：求零状态响应：(4)求求H(s)的方法：的方法：由系统的冲激响应求解：由系统的冲激响应求解：H(s)=Lh(t)由系统的微分方程写出由系统的微分方程写出H(s)()()()zsytH sx tLLh(t)H(s)x(t)X(s)由定义由定义式式求取求取()()()zsytx th t()()()zsYsX sH s【例例3.17】已知系统微分
47、方程为已知系统微分方程为 ，激励激励 ,系统的全响应系统的全响应为为 。求求零状态响应零状态响应yzs(t)、零输入响应零输入响应yzi(t)。解：系统函数为：解：系统函数为：()5()6()()3()2()y ty ty tx tx tx t 234133()(4ee)()tty tu t 31)3)(2()2)(1(6523)(22sssssssssssH1121()1(1)sX ssss s 513321()()()(3)3zssYsH s X ss sss 故有故有315()e()33tzsytu t 23()()()4e3e()ttzizsyty tytu t()()e()tx tu
48、 tu t2.系统的系统的s域框图域框图 基本单元基本单元时域时域s域域积分器积分器加法器加法器数乘器数乘器(1)系统模拟框图（系统模拟框图（直接形式）20112011201201221)(sasasbsbbasasbsbsbsH122101210()()()()1bbsb sY sH s X sX sa sa s设系统函数为：1210()()1X sW sa sa s)()()(20112sWsbsbbsY1210()()()()W sX sa s W sa s W s二阶节二阶节(2)系统模拟框图系统模拟框图(级联形式和并联形式)级联形式级联形式)(1sH)(2sH)(sHn()X s)(
49、sY11010100()1bb sbsbH sa ssa并联形式并联形式)(1sH)(2sH)(sHn()X s)(sY一阶节一阶节(3)由系统模拟图求系统函数由系统模拟图求系统函数 设中间设中间变量变量为为W(s)122122()1+3232()=()1+221Y sssssH sX sssss【例例3.18】2)2)(3(32)(sssssH解：系统函数可变为解：系统函数可变为321432342121671321216732)2)(3(32)(sssssssssssssssH【例例3.19】已知已知 ，试画出级联形式，试画出级联形式模拟框图模拟框图。2)2)(3(32)(sssssH解：系
50、统函数可变为解：系统函数可变为 31232211)2)(3(32)(2ssssssssssH【例例3.20】已知已知 ，试画出并联形式试画出并联形式模拟框图模拟框图。2)2)(3(32)(sssssH解：系统解：系统函数可变为函数可变为51144222231()(3)(2)32(2)sH ss ssssss 零极点分布图零极点分布图01110111)(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm1212()()()()()()rmkszszszbspspsp1.系统函数的零极点分布系统函数的零极点分布3.4.3 零极点图及系统特性分析零极点图及系统特性分析222(3)(3)()(1)(45
