1、ThemeGallery PowerTemplate国家国家“十二五十二五”规划教材规划教材信号与系统信号与系统 重点重点难点难点传递函数的定义与求解频率响应函数的求解6-6-1概念概念线性时不变离散系统针对任意输入序列线性时不变离散系统针对任意输入序列()x n所产生的输出（响应）序列所产生的输出（响应）序列()y n可以通过计算可以通过计算()x n和系统的单位样值（冲激）响应和系统的单位样值（冲激）响应()h n的卷积和：的卷积和：()()()y nx nh n来获得。现对上式取来获得。现对上式取z变换，应用变换，应用卷积性质卷积性质，就有：，就有：()()()Y zX z H z(7-
2、6-1)从应用角度考虑，如果已知从应用角度考虑，如果已知()h n和和()x n，则由上式直接可以求出系统输出序列，则由上式直接可以求出系统输出序列()y n的的z变换变换()Y z，再经过逆，再经过逆z变换得到系统的输出变换得到系统的输出()y n。另外，如果已知系统。另外，如果已知系统的输入序列的输入序列()x n，并经观察或测试得到系统的输出序列，并经观察或测试得到系统的输出序列()y n，则由上式可得到：，则由上式可得到：()()()Y zH zX z(7-6-2)通过求通过求()H z的逆的逆z变换即可获得系统的单位样值响应变换即可获得系统的单位样值响应()h n系统单位样值响应系统
3、单位样值响应()h n的的z变换由定义已知为：变换由定义已知为：()()nnH zh n z(7-6-3)()H z在这里就被称之为在这里就被称之为系统函数系统函数，单位样值响应单位样值响应()h n是系统函数的是系统函数的逆逆z变换变换。系统函数系统函数()H z也叫也叫传递函数传递函数或者传输函数。一般可以认为是系统输出的或者传输函数。一般可以认为是系统输出的z变换变换()Y z与系统输入的与系统输入的z变换变换()X z的比值，但需要附加一个约束条件，即限定系统的比值，但需要附加一个约束条件，即限定系统的的初始条件为零初始条件为零。6-6-1概念概念例例7-6-1 设已知一系统的输入信号
4、序列是：设已知一系统的输入信号序列是：()1 3()nx nu n 系统的输出序列是：系统的输出序列是：()31()1 3()nny nu nu n试求出描述系统行为特征的数学模型。试求出描述系统行为特征的数学模型。解：根据系统的输入、输出数据建立系统数学模型的问题称为系统辨识。解：根据系统的输入、输出数据建立系统数学模型的问题称为系统辨识。首先求出输入和输出序列的首先求出输入和输出序列的z变换变换111()(),:1(1 3)3X zZ x nROCzz 111131()()1(1)1(1 3)4,:1(1)(1(1 3)Y zZ y nzzROCzzz 6-6-1概念概念根据式根据式(7-
5、6-2)，可得到系统函数为：，可得到系统函数为：11111()4(1(1 3)22(),:1()(1)(1(1 3)11(1 3)Y zzH zROCzX zzzzz对上式求逆变换，即可获得系统的单位样值响应对上式求逆变换，即可获得系统的单位样值响应 ：()h n1()()21()2 1 3()nnh nZH zu nu n6-6-1概念概念6-6-2系统函数与差分方程系统函数与差分方程当线性时不变系统由以下当线性时不变系统由以下N阶差分方程描述时，若限定系统初始条件为零，阶差分方程描述时，若限定系统初始条件为零，则用式则用式(7-6-2)求其系统函数求其系统函数()H z就显得特别有意义：就
6、显得特别有意义：)()()(01knyamnxbnyMmNkkm(7-6-4)对式对式(7-6-4)等式两端同取等式两端同取z变换，运用时移性质可得到：变换，运用时移性质可得到：01()()()MNmkmkmkY zb X z za Y z z整理后可得：整理后可得：01()()()1MmmmNkkkb zY zH zX za z(7-6-5)式式(7-6-5)是用差分方程描述是用差分方程描述LTI系统时，其系统函数系统时，其系统函数()H z的一般表现形式。的一般表现形式。由系统函数由系统函数()H z的一般形式，我们可以获得系统两种重要的特殊形式。的一般形式，我们可以获得系统两种重要的特殊
7、形式。第一种第一种特殊形式：当特殊形式：当 1kN时，如果时，如果 0ka，式，式(7-6-5)将简化为：将简化为：00()1()()MMmMmmmMmmY zH zb zb zX zz(7-6-6)()H z包含了包含了M个零点以及在原点个零点以及在原点 0z 处的一个处的一个M阶极点；其中零点的值将由系统阶极点；其中零点的值将由系统的参数集的参数集 kb确定。由于方程中仅含位于原点确定。由于方程中仅含位于原点 0z 处的极点以及处的极点以及M个非零值的零点，个非零值的零点，故式故式(7-6-6)称之为称之为全零点系统全零点系统。显然，全零点系统具有有限长度的单位样值响应。显然，全零点系统具
8、有有限长度的单位样值响应（FIR，Finite Impulse Response）,因而又被称之为因而又被称之为FIR系统系统或或滑动平均（滑动平均（MA）系统）系统。6-6-2系统函数与差分方程系统函数与差分方程第二种第二种特殊形式：当特殊形式：当 0mM时，如果时，如果 0mb，式，式(7-6-5)将简化为：将简化为：0010()()()1NNNkN kkkkkbb zY zH zX za za z(7-6-7)式中式中 。01a()H z包含了包含了N个极点以及在原点个极点以及在原点 0z 处的一个处的一个N阶零点；其中极点阶零点；其中极点 的值将由系统的参数集的值将由系统的参数集 ka
9、确定。确定。由于一般不考虑在原点由于一般不考虑在原点 0z 处的零点，式处的零点，式(7-6-7)也就仅包含非零值的极点，故称之为也就仅包含非零值的极点，故称之为全极点系统全极点系统。由于这些极点的存在，导致全极点。由于这些极点的存在，导致全极点系统具有无限长的单位样值响应，因此它是系统具有无限长的单位样值响应，因此它是IIR（IIR，Infinite Impulse Response）系统系统。6-6-2系统函数与差分方程系统函数与差分方程例例7-6-2 设因果设因果LTI系统由以下差分方程描述：系统由以下差分方程描述：()1 4(1)3 8(2)()2(1)y ny ny nx nx n
10、试求该系统的系统函数试求该系统的系统函数()H z和单位样值响应和单位样值响应()h n解：如前所述，根据式解：如前所述，根据式(7-6-5)可以直接写出系统函数为：可以直接写出系统函数为：1102121111221()1(1 4)(3 8)1(1 2)1(3 4)1kkklllb zzH zzzzza z 因为系统是因果的（对应右边序列），故单位样值响应因为系统是因果的（对应右边序列），故单位样值响应()h n可以通过求可以通过求()H z的逆变换得到，即：的逆变换得到，即：1()()2(1 2)()(3 4)()nnh nZH zu nu n 6-6-2系统函数与差分方程系统函数与差分方程
11、例例7-6-3 设系统函数如下式所示：设系统函数如下式所示：252()32zH zzz试求出对应的系统差分方程。试求出对应的系统差分方程。解：首先将解：首先将()H z写成关于写成关于 1z的多项式之比的形式，即对其分子、分母的多项式之比的形式，即对其分子、分母多项式同乘多项式同乘 2z后得：后得：121252()1 32zzH zzz将上式与式将上式与式(7-6-5)比较，可知比较，可知 012122,2,0,5,2,3,2MNbbbaa因此系统的差分方程为：因此系统的差分方程为：()3(1)2(2)5(1)2(2)y ny ny nx nx n6-6-2系统函数与差分方程系统函数与差分方程
12、6-6-3系统描述的不同形式系统描述的不同形式应用中有三种重要的线性时不变系统的描述形式：应用中有三种重要的线性时不变系统的描述形式：差分方程差分方程：可以通过对系统函数：可以通过对系统函数 01()()()1MmmmNkkkb zY zH zX za z运用交叉相乘和逆运用交叉相乘和逆z变换来得到（系统的差分方程）。变换来得到（系统的差分方程）。系统函数系统函数：可以通过对系统的单位样值响应序列：可以通过对系统的单位样值响应序列()h n进行进行z变换来得到。变换来得到。冲激响应序列冲激响应序列：可以通过对系统函数：可以通过对系统函数 ()()()Y zH zX z的逆的逆z变换来得到。变换
13、来得到。例例7-6-4 令令()0.8(1)2()y ny nx n，试用不同的系统描述形式表示之。，试用不同的系统描述形式表示之。解：对原差分方程进行解：对原差分方程进行z变换，得到变换，得到1()0.8()2()Y zz Y zX z经整理后得：经整理后得：系统函数：系统函数：1()22()()10.80.8Y zzH zX zzz冲激响应：冲激响应：()2(0.8)()nh nu n6-6-3系统描述的不同形式系统描述的不同形式例例7-6-5 令令()()0.4(0.5)()nh nnu n，试用不同的系统描述形式表示之。，试用不同的系统描述形式表示之。解：对原差分方程进行解：对原差分方
14、程进行z变换，经整理后得系统函数为变换，经整理后得系统函数为()0.40.60.5()1()0.50.5Y zzzH zX zzz 或或11()0.60.5()()10.5Y zzH zX zz运用交叉相乘，得到运用交叉相乘，得到(0.5)()(0.60.5)()zY zzX z或或11(10.5)()(0.60.5)()zY zzX z运用前向差分或后向差分可以得到系统的差分方程为运用前向差分或后向差分可以得到系统的差分方程为(1)0.5()0.6(1)0.5()y ny nx nx n（前向差分形式）（前向差分形式）或或()0.5(1)0.6()0.5(1)y ny nx nx n（后向差
15、分形式）（后向差分形式）6-6-3系统描述的不同形式系统描述的不同形式6-6-4有理系统函数的系统响应有理系统函数的系统响应考虑由式考虑由式(7-6-5)给出的给出的LTI系统的系统函数系统的系统函数 ：()H z01120121212()()()1()1()MmmmNkkkMMNNb zY zH zX za zbb zb zb zB za za za zA z(7-6-8)式中式中()B z是是()H z的分子多项式，的分子多项式，()A z是是()H z的分母多项式。的分母多项式。设输入序列设输入序列()x n的有理的有理z变换为：变换为：()()()N zX zQ z则则 的部分分式展开
16、为：的部分分式展开为：如果系统具有零初始状态，则系统输出序列如果系统具有零初始状态，则系统输出序列()y n的的z变换就具有如下的有理形式：变换就具有如下的有理形式：()()()()()()()B z N zY zH z X zA z Q z(7-6-9)现假设系统函数现假设系统函数()H z具有具有N个单极点个单极点,1,2,kp kN，()X z具有具有L个单极点个单极点,1,2,iq iL，且对所有的，且对所有的K和和i满足满足 kipq。另外，还假设上式的分子。另外，还假设上式的分子多项式和分母多项式不存在零、极点的对消，也就是说它们没有相同的零极点。多项式和分母多项式不存在零、极点的
17、对消，也就是说它们没有相同的零极点。()Y z1111()11NLkikikiAQY zp zq z(7-6-10)6-6-4有理系统函数的系统响应有理系统函数的系统响应对上式求其逆对上式求其逆z变换，可获得系统的输出响应变换，可获得系统的输出响应()y n如下：如下：11()()()()()NLnnkkiikiy nApu nQ qu n(7-6-11)其中等式右端第一项是系统极点其中等式右端第一项是系统极点 kp（称为系统的自然频率）的函数，（称为系统的自然频率）的函数，因与外加激励无关，故称之为系统的因与外加激励无关，故称之为系统的自然响应自然响应；而输入序列对该部分的影响；而输入序列对
18、该部分的影响 则由系数或尺度因子则由系数或尺度因子 kA所施加。等式右端第二项是输入序列的极点所施加。等式右端第二项是输入序列的极点 iq的函数，的函数，因是外加激励项，故称之为系统的因是外加激励项，故称之为系统的强迫响应强迫响应，至于系统本身对第二部分的影响，至于系统本身对第二部分的影响则由系数或尺度因子则由系数或尺度因子 iQ所施加。所施加。6-6-4有理系统函数的系统响应有理系统函数的系统响应6-6-5系统的暂态响应和稳态响应系统的暂态响应和稳态响应系统的零状态响应通过式系统的零状态响应通过式(7-6-11)分成了自然响应和强迫响应两项。分成了自然响应和强迫响应两项。其中因果信号的自然响
19、应应具有如下形式：其中因果信号的自然响应应具有如下形式：1()()()NnnrkkkynApu n(7-6-12)其中其中,1,2,kp kN是系统的极点，而是系统的极点，而,1,2,kA kN是由初始条件和输入序列是由初始条件和输入序列特性所决定的系数或尺度因子。特性所决定的系数或尺度因子。如果对于所有的如果对于所有的k，有，有 1,1,2,kpkN，则可看出，则可看出随着随着n的增长，自然响应的增长，自然响应()nryn将呈指数衰减项。在这种情况下，将呈指数衰减项。在这种情况下，系统的自然响应又系统的自然响应又可称之为可称之为暂态响应暂态响应。由式由式(7-6-11)知，系统的强迫响应应具
20、有如下形式：知，系统的强迫响应应具有如下形式：1()()()LnfriiiynQ qu n(7-6-13)其中其中,1,2,iq iL是强迫函数的极点，而是强迫函数的极点，而,1,2,iQ iL是由输入序列和系统特性是由输入序列和系统特性所决定的系数或尺度因子。对于因果正弦输入序列，它的极点位于单位圆上，而且所决定的系数或尺度因子。对于因果正弦输入序列，它的极点位于单位圆上，而且强迫响应也是正弦信号，对所有强迫响应也是正弦信号，对所有 0n 其值均不为零，此时，系统的强迫响应又被其值均不为零，此时，系统的强迫响应又被称之为称之为稳态响应稳态响应。6-6-5系统的暂态响应和稳态响应系统的暂态响应
21、和稳态响应 例例7-6-6 当输入序列当输入序列()10cos(4)()x nnu n时，求出由差分方程时，求出由差分方程()0.5(1)()y ny nx n描述的系统的响应。设系统的初始状态为零。描述的系统的响应。设系统的初始状态为零。解：系统函数为解：系统函数为11()10.5H zz因此系统在因此系统在 0.5z 处有一个极点。输入序列的处有一个极点。输入序列的z变换是（查表）：变换是（查表）：11210(1(12)()12zX zzz因此，因此，128.728.7141411414110(1(12)6.36.786.78()()()(1 0.5)(1)(1)1 0.511jjjjjj
22、zeeY zH z X zzezezzezez自然（或暂态）响应为：自然（或暂态）响应为：()6.3(0.5)()nnrynu n强迫（或稳态）响应为：强迫（或稳态）响应为：28.7428.74()(6.786.78)()13.56cos28.7()4jjnjjnfryneeeeu nnu n6-6-5系统的暂态响应和稳态响应系统的暂态响应和稳态响应6-6-6因果性和稳定性因果性和稳定性一个因果线性时不变系统是一个单位样值响应一个因果线性时不变系统是一个单位样值响应()h n满足满足()0,0h nn因此，因果线性时不变系统的单位样值响应因此，因果线性时不变系统的单位样值响应 的系统。的系统。
23、()h n可以通过对系统函数可以通过对系统函数()H z求右边序列的逆求右边序列的逆z变换得到。变换得到。当且仅当系统函数当且仅当系统函数()H z的的收敛域收敛域是以是以r为半径的圆的为半径的圆的圆外部分圆外部分（包括（包括 z 点）时，点）时，系统就是系统就是因果的因果的。时域中线性时不变系统的有界输入、有界输出（时域中线性时不变系统的有界输入、有界输出（BIBO）的稳定性定义要求）的稳定性定义要求系统的冲激响应序列系统的冲激响应序列()h n是是绝对可求和绝对可求和的。的。如果连续时间因果系统的系统函数为有理函数，且满足以下如果连续时间因果系统的系统函数为有理函数，且满足以下两个条件两个
24、条件：1）分子多项式的阶次小于或等于分母多项式的阶次；）分子多项式的阶次小于或等于分母多项式的阶次；2）所有极点位于）所有极点位于s的左半开平面，则系统具有的左半开平面，则系统具有BIBO稳定性。稳定性。针对一个因果系统，系统函数针对一个因果系统，系统函数()H z的极点位于的极点位于z平面的单位圆内，平面的单位圆内，系统就满足系统就满足BIBO稳定性。稳定性。1）输入信号即使有界，分布于单位圆外的极点）输入信号即使有界，分布于单位圆外的极点 1z 也将导致系统的输出也将导致系统的输出以指数形式递增。以指数形式递增。例如系统函数为例如系统函数为()(3)zH zz的系统输出有递增指数的系统输出
25、有递增指数(3)()nu n6-6-6因果性和稳定性因果性和稳定性2）分布于单位圆上的多重极点也将导致系统的输出以指数形式递增。）分布于单位圆上的多重极点也将导致系统的输出以指数形式递增。例如系统函数为例如系统函数为21()(3)H zz z的系统将在的系统将在()h n中产生一个斜坡函数。中产生一个斜坡函数。3）分布于单位圆上的单极点（即无重根）也将导致系统的无界输出。）分布于单位圆上的单极点（即无重根）也将导致系统的无界输出。例如单位圆例如单位圆 1z 上的单极点一般由形如上的单极点一般由形如()(1)zH zz的系统函数给出。的系统函数给出。如果系统输入如果系统输入()X z在在 1z
26、上也有极点，则系统输出响应上也有极点，则系统输出响应()Y z将含有将含有 2(1)zz，这就意味着系统输出有递增项存在。，这就意味着系统输出有递增项存在。上述形式中的时域项均不满足绝对可求和条件，因此这些项的存在就直接上述形式中的时域项均不满足绝对可求和条件，因此这些项的存在就直接导致了系统的不稳定。导致了系统的不稳定。有界函数，则系统的全部极点必须位于有界函数，则系统的全部极点必须位于z平面的单位圆内。满足这个条件，平面的单位圆内。满足这个条件，对于任意有界输入序列及任意的初始条件，如果希望系统的输出序列也是对于任意有界输入序列及任意的初始条件，如果希望系统的输出序列也是 就称系统具有渐进
27、稳定性。就称系统具有渐进稳定性。6-6-6因果性和稳定性因果性和稳定性例例7-6-7 试讨论系统函数为试讨论系统函数为()zH zza的递归滤波器的稳定性。的递归滤波器的稳定性。解：如果系统的收敛域为解：如果系统的收敛域为 za，则系统冲激响应，则系统冲激响应 ，()()nh na u n因此系统是因果的。因此系统是因果的。系统如果稳定，则要求系统如果稳定，则要求 。1a 如果系统的收敛域为如果系统的收敛域为 za，则系统冲激响应，则系统冲激响应 ，()(1)nh na un 因此系统是非因果的。系统如果稳定，则要求因此系统是非因果的。系统如果稳定，则要求 。1a 6-6-6因果性和稳定性因果
28、性和稳定性例例7-6-8 已知一个系统的系统函数为已知一个系统的系统函数为 14141322()121 0.91 0.9jjH zzezez求系统的单位样值响应。假设系统是：求系统的单位样值响应。假设系统是：a)稳定的；稳定的；b)因果的。因果的。解：系统的解：系统的3个极点是个极点是 41,20.9jpe和和 32p 。如果系统是稳定的，那么。如果系统是稳定的，那么收敛域应包括单位圆。显然，位于单位圆内的共轭复数极点对收敛域应包括单位圆。显然，位于单位圆内的共轭复数极点对 41,20.9jpe构成系统单位样值响应中的右边序列项。而位于一外的极点构成系统单位样值响应中的右边序列项。而位于一外的
29、极点32p 则构成系统单位样值响应中的左边序列项。则构成系统单位样值响应中的左边序列项。因此，对于情况因此，对于情况a)，系统是稳定的有：，系统是稳定的有：6-6-6因果性和稳定性因果性和稳定性44()2 0.9()2 0.9()3(2)(1)4(0.9)cos()3(2)(1)4nnjjnnnh neu neu nunn u nun 对于情况对于情况b），因为系统是因果的，系统所有的极点构成了单位样值响应中的），因为系统是因果的，系统所有的极点构成了单位样值响应中的右边序列项，故有：右边序列项，故有：44()2 0.9()2 0.9()3(2)()4(0.9)cos()3(2)()4nnjj
30、nnnh neu neu nu nn u nu n另外，由于极点另外，由于极点 位于单位圆外，因此该系统不是稳定的的因果系统。位于单位圆外，因此该系统不是稳定的的因果系统。32p 6-6-6因果性和稳定性因果性和稳定性6-6-7逆系统逆系统定义：定义：如果系统的输入可由系统的输出唯一地恢复，就称为可逆系统。如果系统的输入可由系统的输出唯一地恢复，就称为可逆系统。可逆系统的概念可用下图说明。可逆系统的概念可用下图说明。级联系统的单位样值响应等于级联系统的单位样值响应等于 与逆系统与逆系统 的卷积和，的卷积和，()h n1()hn同时要求该级联系统的输出等于输入，即同时要求该级联系统的输出等于输入
31、，即1()()()()x nh nhnx n(7-6-14)显然满足上式的条件是：显然满足上式的条件是：1()()()h nhnn(7-6-15)对上式两边取对上式两边取z变换，可得到逆系统的系统函数满足：变换，可得到逆系统的系统函数满足：1()()1H z Hz(7-6-16)或或11()()HzH z(7-6-17)因此，线性非时变离散逆系统的系统函数，就是原系统系统函数的逆。因此，线性非时变离散逆系统的系统函数，就是原系统系统函数的逆。如果如果()H z由式由式(7-6-8)描述，则其逆系统的系统函数为描述，则其逆系统的系统函数为1101212120121()()()1()()NlllM
32、kkkNNMMa zX zHzY zb za za za zA zbb zb zb zB z(7-6-18)()H z的零点是的零点是 1()Hz的极点，而的极点，而()H z的极点是的极点是 1()Hz的零点。的零点。6-6-7逆系统逆系统当且仅当线性非时变离散系统当且仅当线性非时变离散系统()H z的的所有零点所有零点都位于都位于单位圆内单位圆内时，才存在时，才存在()H z的稳定的的稳定的因果逆系统因果逆系统。若若()H z有任何一个零点位于单位圆外，就不存在，稳定的因果逆系统。有任何一个零点位于单位圆外，就不存在，稳定的因果逆系统。如果一个系统的所有零点和极点均分布于单位圆内，则称其为
33、如果一个系统的所有零点和极点均分布于单位圆内，则称其为最小相位系统最小相位系统。6-6-7逆系统逆系统例例7-6-9 已知一个系统的差分方程为已知一个系统的差分方程为 111()(1)(2)()(1)(2)448y ny ny nx nx nx n求出逆系统的系统函数，并且判断该系统是否存在稳定的的因果逆系统。求出逆系统的系统函数，并且判断该系统是否存在稳定的的因果逆系统。解：系统的系统函数为：解：系统的系统函数为：111221211(1 4)1(1 2)1(1 4)(1 8)()1(1 4)1(1 2)zzzzH zzzz系统函数的零点是系统函数的零点是 114z 和和 212z ，二阶极点
34、为，二阶极点为 。1,212p求出的逆系统的系统函数为：求出的逆系统的系统函数为：211111(1 2)()1(1 4)1(1 2)zHzzz7-6-7逆系统逆系统6-6-7逆系统逆系统显然，逆系统的系统函数的零点是二阶零点显然，逆系统的系统函数的零点是二阶零点 1,212z，极点为，极点为 114p 和和 212p 。由于极点都在单位圆内，故逆系统是稳定的因果系统；。由于极点都在单位圆内，故逆系统是稳定的因果系统；又由于逆系统的二阶零点也在单位圆内，故该系统又是最小相位系统。又由于逆系统的二阶零点也在单位圆内，故该系统又是最小相位系统。例例7-6-10 已知一个二径信道的差分方程为已知一个二
35、径信道的差分方程为()()(1)y nx nax n求出逆系统的系统函数及差分方程描述形式，要使逆系统是求出逆系统的系统函数及差分方程描述形式，要使逆系统是 稳定的因果系统，参数稳定的因果系统，参数a应满足什么条件。应满足什么条件。解：二径信道的系统函数为：解：二径信道的系统函数为：1()1H zaz 二径信道逆系统的系统函数为：二径信道逆系统的系统函数为：1111()()1HzH zaz它满足如下的差分方程：它满足如下的差分方程：()(1)()y nay nx n1a 当当 时，逆系统是稳定的因果系统。时，逆系统是稳定的因果系统。6-6-7逆系统逆系统6-6-8频率响应函数频率响应函数如果系
36、统函数如果系统函数()H z的收敛域包括单位圆的收敛域包括单位圆(jze)，则可以在这个单位圆上计算，则可以在这个单位圆上计算()H z，得到频率响应函数或传递函数，得到频率响应函数或传递函数()jH e。它正好是系统的冲激响应序列。它正好是系统的冲激响应序列()h n的的DTFT。现将式现将式(7-6-5)的分子、分母写成的分子、分母写成z的降幂形式并进行因式分解，即的降幂形式并进行因式分解，即010()0101()()()()()1()()()MkkkNlllMMMMkN MkNNNNllb zY zB zH zX zA za zbb zzzzbb zzzazp(7-6-19)则频率响应为
37、则频率响应为()101()()()()jMjkjj N MkNz ejllezH zH eb eep(7-6-20)式中分子中的因子式中分子中的因子()jkez可视为可视为z平面中由零点平面中由零点 kz指向单位圆上指向单位圆上 jze处的向量，处的向量，分母中因子分母中因子()jwlep可视为可视为z平面中由极点平面中由极点 lp指向单位圆上指向单位圆上 jze处的向量，如图所示。处的向量，如图所示。6-6-8频率响应函数频率响应函数6-6-8频率响应函数频率响应函数11()0()()()MNjjjklklH eorNMezep 线性项常数项非线性项幅度响应函数为幅度响应函数为101|.|(
38、)|.|jjjMjjNezezH ebepep(7-6-21)相位响应函数是相位响应函数是(7-6-22)上式可看成是常数项、线性相位项与非线性相位项三个部分的线性和形式。上式可看成是常数项、线性相位项与非线性相位项三个部分的线性和形式。如果已知离散系统的单位样值响应如果已知离散系统的单位样值响应()h n，则还可以根据定义直接求出系统的，则还可以根据定义直接求出系统的频率响应，即：频率响应，即：()()()jjjnz enH zH eh n e(7-6-23)6-6-8频率响应函数频率响应函数例例7-6-11 求出以下系统的频率响应。求出以下系统的频率响应。1)单位样值响应描述的非递归滤波器
39、：单位样值响应描述的非递归滤波器：2)差分方程描述的带通滤波器：差分方程描述的带通滤波器：()2()3(1)4(2)h nnnn()0.25(4)()(2)y ny nx nx n解：解：1)系统的频率响应为：系统的频率响应为：2()()()2()3(1)4(2)234jjjnz enjnnjjH zH eh n ennneee2)系统的系统函数为：系统的系统函数为：6-6-8频率响应函数频率响应函数224(1)()0.25zzH zz系统的极点是系统的极点是 40.250z 或或 40.25z 的根，利用的根，利用De Moiver定理，有定理，有(2)0.250.25,0,1,2,3jke
40、k，故可得出：，故可得出：4(2)0.25,0,1,2,3jkzek等式两边开等式两边开4次根得：次根得：1 441 4(2)4(0.25),0,1,2,3jkzek它的它的4个根，也就是系统的极点为：个根，也就是系统的极点为：434547412340.707,0.707,0.707,0.707jjjjzezezeze因为极点的模均小于因为极点的模均小于1，故因果系统是稳定的。频率响应可令，故因果系统是稳定的。频率响应可令 jze代入，有：代入，有：224(1)()()0.25jjjjjz eeeH zH ee6-6-8频率响应函数频率响应函数频率响应有两个重要的性质：频率响应有两个重要的性质：周期性：周期性：频率响应频率响应 是以是以 /rad为周期的周期函数。为周期的周期函数。()jH e2对称性：对称性：频率响应频率响应 的幅度响应的幅度响应 是偶函数，是偶函数，()jH e()jH e()jH e6-6-8频率响应函数频率响应函数它的相位它的相位 响应是奇函数。响应是奇函数。
