1、第三章第三章 六方各向异性介质波动方程六方各向异性介质波动方程3.1.13.1.1矩阵和分量形式的波动方程矩阵和分量形式的波动方程经过彼此代入后得矩阵形式的波动方程-以位移为变量的三位三分量波动方程：-（1）3.1 3.1 六方各向异性介质波动方程六方各向异性介质波动方程6 16 6 6 16 16 33 13 13 66 1DeeLuuL各向异性介质本构、柯西、奈维尔三个方程分别是：当上述的物性矩阵取六方物质时，可以得到：其中 为物性矩阵；-（2）3 13 33 13 33 66 66 3uQuQLDL6 6D或：3 13 66 66 33 1uLDLu矩阵Q对称，其中：-（3）-（4）将（
2、3）代入（2）得 分量满足波动方程。分量波动方程是：3 33 66 66 3AGFQLDLGBEFEC222222116655662244222554433442313551266,xyzxyzxyzy zz xx yAd ld ld lBd ld ld lCd ld ld lEddl lFddl l Gddl lxyzUUU、X22211665512661355xxyzxx yyx zzud ld ld luddl l uddl l uY分量波动方程：Z分量波动方程：以上的波动方程也称为分量形式的三维波动方程。其次，由于物性矩阵中独立的参数是5个，且物性参数d具体表达形式不同，上述方程同均匀
3、弹性各向同性介质的波动方程不一样。另外，该方程不能简单的按照矢量合成的方式组合在一起。2221266662244yx yxxyzyuddl l ud ld ld lu3244y zzddl l u31553244zx zxy zyuddl l uddl l u222554433xyzzd ld ld lu3.1.23.1.2、2.5D2.5D矢量波动方程矢量波动方程第一种情况：面上.D矢量波动方程令Ly=0有：写称矩阵形式：其中：22115531552266442231555533xxzxx zzyxzyzx zxxzzud ld luddl l uud ld luuddl l ud ld l
4、u3 13 33 1uQu3 33 66 66 30000AFQLDLBFC2222115566442255333155,0,xzxzxzz xAd ld lBd ld lCd ld lEGFddl l第二种情况：XOY面上2.5D矢量波动方程令Lz=0则有：矩阵形式：其中：22116612662212666622225544xxyxx yyyx yxxyyzxyzud ld luddl l uuddl l ud ld luud ld lu3 13 33 1uQu3 33 66 66 30000AGQLDLGBC2222116666222255441266,0,xyxyxyx yAd ld l
5、Bd ld lCd ld lEFGddl l3.1.3 3.1.3 射线上的矢量波动方程射线上的矢量波动方程 射线上的矢量波动方程也就是射线上的三分量波动方程，也称一维三分量波动方程。3.1.3.13.1.3.1、物性矩阵坐标系下的一维三分、物性矩阵坐标系下的一维三分量波动方程量波动方程1、波沿垂直轴Z方向传播取Z轴向下的直角坐标系，取Z轴为射线方向。在这种情况下建立方程：225555224444223333/xzxxzxyzyyzyzzzzzzud l uudl uud l uudl uud l uudl u、矩阵形式：分析XOY方向波传播可知，对于TI介质，由于Vqsv=Vsh=Vs垂直，
6、可知VI介质为横向各向异性介质的意义。对于TI介质：5524433/000/000/xxyzyzzuduudluudu22334455/,/PSVdVddv2、波沿水平轴Y方向传播对于Lx=Lz=0有：矩阵形式：226666222222224444/xyxxyxyyyyyyzyzzyzud l uudl uud l uudl uud l uudl u66222244/000/000/xxyyzzuduuduyuduTI介质中：速度关系满足：综上所述，在两个特殊方向上讨论了波传播方向、质点偏振方向和传播速度大小之间的关系。222/PVd26644/,/SSVdVdvpSSVVV3.1.3.23.
7、1.3.2、任意方位射线上的矢量波动方程、任意方位射线上的矢量波动方程任意方位射线上的矢量波动方程：（1 1）、第一种情况：）、第一种情况：取Z轴向下为正的直角三维坐标系，介质初始状态Z为对称轴求如下方位射线上矢量波动方程。经过多步的计算和变换可得波动方程的如下形式：其中元素如下：3 13 66 66 33 1uLDLu3 3cos0sin010sin0cosa555323 1443 153330000zddudl udd62222233333313131113333333131122iiiidm dm m da da da a d2222113331sincos2sincosddd62222
8、24443344316644661cossiniiiidm da da ddd6255551531312iiiidm dm m d221131111333331131 13331322221133132sincos2sincosa ada ada a a a dddd653535331311iiiiiiidm m d dm m d22113111133333331333313122113331sincossincoscossincos sina a da a a da a a dddd（2 2）、第二种情况：）、第二种情况：取Z轴向下为正向，对称轴为X轴，波沿着Z轴传播。其物性矩阵如下：经处理
9、和整理后，可得沿Z向传播的一维三分量波动方程：5524433/000/000/xxyzyzzuduudluudu2212213 3000000DvDDOv、11222D其中：对这种情况下的波动方程退化处理，去除垂直分量后，可得一维双水平分量波动方程：上述退化方程中，第一个方程是描述横波，其质点沿平行主对称轴方向偏振；第二向是描述沿Y向偏振的横波。55244/00/xxzyyuudluud233244255/PSSdVdVdVv3.2 3.2 矢量波场的位函数分解矢量波场的位函数分解 矢量波场的位函数分解实质是各向异性介质矢量弹性波场胀缩纵波场和旋转横波场的分解问题。3.2.13.2.1、六方各
10、向异性介质矢量波场分解的特殊性、六方各向异性介质矢量波场分解的特殊性六方各向异性解释其弹性波场同样满足无旋无散场的条件。即：考虑位移矢量和位移位与y变量无关，仅与x和z分量有关，此时弹性波动方程为：位移矢量的分解和位移位的关系为：PSuuu 22115531552231555533xxzxx zzzx zxxzzud ld luddl l uuddl l ud ld luxxyzzyulll若令 则可得：yyzxxzzxyyxulllulll0yyulyxxzyzzxyullull六方各向异性介质矢量波场分解的特殊性。六方各向异性介质矢量波场分解的特殊性。介质是六方各向异性时，不能常采用处理各
11、向同性介质的方式解决问题。因为这时物性矩阵与其它5个弹性参数有关，分量形式的波动方程不能用矢量分析知识来解决。此时，可以把分量合在一起的方式解决这个问题。3.2.23.2.2、均匀弹性六方各向异性介质满足准、均匀弹性六方各向异性介质满足准纵波的位函数纵波的位函数取位函数为：qPqPyff 其中：将 代入到3.2.1中波动方程有：上式整理后得：xzqPn xn ztV u 2221155315522231555533txzyxzxzyx zzxytxxyx zxzyxzzxyllld ld lllddl llllllddl llld ld lll将 代入上两式得：2221131555522211
12、31552225533315522231553322xztqPxxztqPzxztqPzxztqPxdddld llld lddllld ldddlllddld lllxzqPn xn ztV 222113155552221131552225533315522231553322zxztxxztxxztzxztldddld llfld lddllfld ldddllflddld llf简化后可得：和 由上述两式便可以求解出六方各向异性介质中qP波的相速度。3.2.3 3.2.3 均匀弹性六方各向异性介质满足准均匀弹性六方各向异性介质满足准横波的位函数横波的位函数同理，对于满足准横波的位函数取：其
13、中：22211315522211315555sin2costansincosqPqPdddVaddddV 222315533222553331552sincoscotsincosqPqPdddVaddddV qSVqSVyfbf sincosqSVxztV 把 代入到3.2.1中的波动方程再把 代入后整理有：和上式简化后有：u sincosqSVxztV 222113155552221131552zxztxxztldddld llfld lddllbf222553331552223155332xxztzxztld ldddllflddld llbf和上述两式可以求出六方各向异性介质qSV波的相
14、速度。3.2.4 3.2.4 波的传播方向和质点偏振方向之间的关系波的传播方向和质点偏振方向之间的关系体积元的偏振方位，其另一种提法就是质点的偏振方向。下面以Z轴是对成轴的均匀弹性六方各向异性介质为例来讨论。3.4.13.4.1、准纵波的、准纵波的qPqP的偏振情况的偏振情况在XOY面内位移与位移位存在如下关系：22211315555222113155sincoscotsin2cosqSVqSVddddVbdddV 22255333155222315533sincostan2sincosqSVqSVddddVbdddVxxzyzzxyullull、再注意到：把 代入 中，得：由于Z轴与质点偏振
15、方位之间的夹角可以表示为：其中：此外，,yfaf y和sincoscossinxqPqPzqPqPfuaVVfuaVV tantan1cot1tantan1tanxqPzqPuuaaxxzyzzxyullull和sincosqPxztV 和上式表示波的传播方向与体积元(质点)之间位移偏振方向不一致，存在一个偏差角，该角度的大小与介质的各向异性强度及波的传播方向有关。3.2.4.23.2.4.2、准横波、准横波qSVqSV的偏振情况的偏振情况采用与qP波类似的方法，把位函数：代入得到：sincosqSVqSVyqSVxzbfftV 、xxzyzzxyullull、sincoscossinxqSV
16、qSVzqSVqSVfubVVfubVVZ轴和质点的偏振方位之间的夹角可以表示为：tancotxqSVzuu 其中：上述表达了准横波质点偏振方向与qSV波传播方向的夹角的关系。除了某些特殊的方向外，准横波体积元位移偏振方向不垂直于波的传播方向，同样存在一个偏差角。通过上述讨论可知通过上述讨论可知:(1)(1)准纵波体积元位移的偏振方向与波传播方向不一致，准横波体积元偏振方向不垂直于波的传播方向，均相差一个偏差角，这是各向异性介质中波的传播有别于各向同性介质的特殊现象之一；(2)(2)偏差角的大小取决于介质的性质，即介质物性矩阵中的弹性参数，还有波的传播方向；(3)(3)需要注意，准纵波和准横波
17、体积元位移偏振方向彼此仍然是正交的，此点与各向同性介质一样。1tan1cotbb本章总结本章总结 本章首先从本构、位移与应力和位移与应变三个方程出发，建立了各向异性介质矩阵形式的波动方程。在此基础上，讨论了分量形式的波动方程和射线上的矢量波动方程。通过讨论波平行对称轴和垂直对称轴传播的 1 维 3 分量波动方程，可以知道质点偏振平行于各向同性面的波和垂直于各向同性面的波，这两个波质点偏振的方向彼此正交，波传播的速度前者较之后者要大，即前者传播较之后者要快。这个结论对准纵波和准横波均成立。另外，使用坐标旋转的方法，能够得到任意方位射线上的矢量波动方程。另外，各向异性介质矢量弹性波场的胀缩纵波场与
18、旋转横波场的分解问题。由于介质是各向异性的，物性矩阵与 5 个弹性参数有关，不能像均匀弹性各向同性介质那样，得到紧缩成矢量形式的波动方程；单独的一个标量位函数或一个矢量位函数都不可能表达成独立的波动方程。但是，可以采用把标量位函数和矢量位函数结合在一起的方式解决这个问题。各向异性介质矢量弹性波场位函数分解后呈现出的重要结论是，在各向异性介质中除了某些特殊方向外，无论是准纵波还是准横波，波的质点偏振方向与波的传播方向既不平行也不垂直，而是存在一个偏差角。偏差角的大小与介质各向异性强度和波的传播方向有关；这是各向异性介质中，波的传播有别于其它介质模型的特殊性之一。准纵波和准横波体积元位移偏振的方向彼此仍然是正交的，此点与各向同性介质一样。
