1、第7章混沌理论与混沌神经网络7.1混沌研究的起源与发展7.2混沌的基本特性7.3通往混沌的道路7.4混沌的识别7.5混沌应用7.6混沌神经网络7.1混沌研究的起源与发展在90年代，混沌的研究推动了其他学科的发展，而其他学科的发展又反过来促进了对混沌的深入研究。现在混沌科学与其它科学相互渗透。无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。7.2混沌的基本特性混沌运动具有如下的独特特征：1.有界性 2.遍历性 3.初值敏感性 4.内随机性 5.分维性 6.无标度性 7.普适性7.3通往混沌的道路 1
2、.倍周期分岔道路 2.阵发(间歇)道路 3.准周期道路 4.激变1.倍周期分岔道路倍周期分岔是指由于系统某一参数的变化，周期响应会分岔成为具有两倍周期的新周期响应。其基本途径是：不动点2周期点4周期点无限倍周期凝聚奇异吸引子。费根鲍姆于1978年发现了从倍周期分岔通往混沌道路上的两个普适常数，因此倍周期分岔道路也称为费根鲍姆道路。2.阵发(间歇)道路阵发性一词来源于湍流理论。在研究混沌中使用阵发性表示系统的时域响应随着参数变化而出现了规则与不规则运动随机交替，随着参数的继续变化，不规则运动所占时间段越来越长，最后系统完全进入不规则运动。3.准周期道路准周期道路又称为茹勒-塔肯斯道路。当系统发生
3、湍流时，其显著特点是系统同时存在着多种频率的振荡。因此由于某些参数的变化使得系统内有不同频率的振荡相互耦合时，系统就会产生一些列新的耦合频率的运动而导致混沌。4.激变激变是指混沌吸引子的数目或者尺寸在系统控制参数缓慢变化时发生跃变的现象。激变可分为边界激变、内部激变和合并激变三种情况。边界激变是指混沌吸引子突然出现或消失；内部激变是指混沌吸引子尺寸突变；合并激变是指多个混沌吸引子突然合并或一个混沌吸引子突然分裂。产生激变的前提是系统同时具有混沌吸引子和鞍型不动点。7.4混沌的识别7.4.1定性分析法7.4.2定量分析法7.4.1定性分析法1.直接观测法2.分频采样法3.庞加莱截面法4.相空间重
4、构法1.直接观测法利用动力学系统的数值运算结果绘制出相轨迹图，以及状态变量随时间变化的历程图。根据轨迹的形状对系统的性质进行定性分析和判断。2.分频采样法分频采样方法具有和快速傅氏变换一样的两个缺点：一是解释不唯一，二是不能分辨比采样频率更高的频率。从实用角度看，分频采样方法的限制仅仅是机器字长和计算时间。3.庞加莱截面法对于含多个状态变量的自治微分方程系统，可采用庞加莱截面法进行分析。其基本思想是：在多维相空间中适当选取一截面，再此截面上对某一对共轭变量取固定值，该界面称为庞加莱截面。4.相空间重构法 当系统的数学模型未知时，上述分析混沌行为的方法就不再适用了。此时可考虑采用相空间重构理论进
5、行动力系统分析。X(t)=x(t)，x(t+d)，x(t+2d)，x(t+3d)，x(t+(m-1)d)T 7.4.2定量分析法1.Lyapunov指数分析方法2.功率谱分析法3.Kolmogorv熵4.分形维数分析方法1.Lyapunov指数分析方法【定义7-1】设F是RnRn上的n维映射，决定一个n维离散动力系统 将系统的初始条件取为一个无穷小的n维的球，由于演变过程中的自然变形，球将变为椭球。将椭球的所有主轴按其长度顺序排列，那么第i个Lyapunov指数根据第i个主轴的长度Pi(t)的增加速率定义为)(1ttxFx)0()(ln1limiitiPtPti=1,2,n2.功率谱分析法功率
6、谱可从频域特性分析系统的运动状态。周期运动的功率谱是离散的，仅包括基频和其谐波或分频。随机白噪声和混沌的功率谱则是连续的，混沌序列的功率谱具有连续性和宽峰特性。但在实际中，对于受到噪声影响，或者周期很长但数据有限的序列，很难从谱特征上区分其运动模式。3.Kolmogorv熵Kolmogorov(K)熵是系统无序程度的量度，其数值可用来区分周期运动(K=0)、混沌运动(K0的有限值)、随机运动(K)。在混沌运动中，K熵越大，信息的损失率越大，系统的混沌程度越大，系统也就越复杂。从时间序列计算Kolmogorov熵的方法主要有两种，即Schouten等提出的最大似然估计法和Grassberger等
7、提出的关联积分算法。4.分形维数分析方法分形维数是定量刻画动力系统分形特征的参数，它可以提供判断是否存在奇异吸引子，是否具有内在随机性的依据。它的大小定量地提供了所研究的复杂现象的复杂度。分形维数可以有多种定义和计算方法，常用的有Hausdorff维数、盒子维数、关联维数、信息维数、广义维数等等。7.5混沌应用1.混沌理论在密码学中的应用2.混沌控制研究3.混沌的反控制4.混沌优化方法1.混沌理论在密码学中的应用信息论的创始人Shannon指出：若能以某种方式产生一随机序列，这一序列由密钥所确定，任何输入值一个微小变化对输出都具有相当大的影响，则利用这样的序列就可以进行加密。混沌系统由于具有初
8、值敏感性和内随机性等特点，恰恰符合这种要求。2.混沌控制研究混沌控制方法有两类，一是通过合适的策略、方法及途径,有效地抑制混沌行为，使Lyapunov指数下降进而消除混沌；二是选择某一具有期望行为的轨道作为控制目标。2.混沌控制研究反馈控制是一种十分成熟而且应用广泛的工程设计技术，它主要利用混沌系统的本质特征，如对于初始点的敏感依赖性来稳定已经存在于系统中的不稳定轨道。2.混沌控制研究和反馈控制方式相比，非反馈控制主要利用一个小的外部扰动，如一个小驱动信号、噪声信号、常量偏置或系统参数的弱调制来控制混沌，该控制方式的设计和使用都十分简单，但无法确保控制过程的稳定性。这两种方式都是通过混沌动力学
9、系统的稍微改变来求得系统的稳定解。2.混沌控制研究其基本思想是：先用相空间重构方法确定混沌吸引子中嵌入的各种不稳定周期运动，选择其中之一作为控制目标，等待混沌运动游荡到该周期运动附近时，对系统某一控制参数进行时变小摄动，将混沌运动稳定到指定的周期运动上。3.混沌的反控制混沌反控制的方法主要有以下几种：1)基于Lyapunov指数配置的混沌反控制。2)对受控系统施加线性或非线性状态反馈的混沌反控制。3)通过对已有混沌吸引子进行变异来实现混沌反控制。4)通过施加时滞状态反馈或对系统参数进行时滞参数摄动来实现混沌反控制。5)通过受控系统状态对已知混沌参考系统状态的精确跟踪来实现混沌反控制。4.混沌优
10、化方法利用混沌的遍历性和随机性等特点，可实现复杂问题的高效寻优。有关混沌在优化算法领域的应用研究请参见第8章的相关内容。7.6混沌神经网络7.6.1暂态混沌神经网络7.6.2其他类型的混沌神经网络*7.6.3G-S混沌神经网络应用实例7.6.1暂态混沌神经网络在此模型的基础上，出现了许多类似的模型。例如戴一昊等提出的具有暂态混沌和时变增益的神经网络模型(NNTCTG)如下：)(1)(exp(11)(ttytxiii)()()()()1(0,1ItxtzItxwtkytyiinijjijijii)()1()1(tztzii)()1()1(ttii(i=1,2,n)()()()()1(0Itxtz
11、Itxwtkytyiiinjjijii)()()()()1(01ItxtzsItxwtkytyiiinjjijii7.6.2其他类型的混沌神经网络*模型具体形式定义如下：NjjiinxfNnxfnx1)()()1()1(1,1),1()(xxaxxf （7-8）7.6.3G-S混沌神经网络应用实例1.G-S混沌神经元模型2.G-S混沌神经网络3.G-S混沌神经网络在目标识别中的应用1.G-S混沌神经元模型将Gauss函数和Sigmoid函数组合而成的非单调函数作为神经元的激励函数，称该神经元模型为G-S混沌神经元，数学模型可表述如下：)1()1(tyftx)()()1(tyftkyty1)()
12、()1()(2bscasheesf1.G-S混沌神经元模型以和为参变量时，神经元的Lyapunov指数图为参变量时神经元的分为参变量时神经元的分岔根据以上分析，利用上述神经元，构造一种通过同时调节参量和来控制网络动力学行为的G-S暂态混沌神经网络，其动力学方程可表述如下：)()()()()1(211stxtstxwtkytyiNjjijii)1(1)1()1(tytftxii1)()()1()(2bscasheesf)1(1(/ln)1()(tett)()1(tt2.G-S混沌神经网络3.G-S混沌神经网络在目标识别中的应用在以某一点为中心的窗函数中，使用窗内所有象素来计算其在不同方向上的变化
13、量，是该点在不同方向上显著性的一个好测度。方向变化量的计算公式如下：SyxyxfyxfI),(21)1,(),(SyxyxfyxfI),(22),1(),(SyxyxfyxfI),(23)1,1(),(SyxyxfyxfI),(24)1,1(),(3.G-S混沌神经网络在目标识别中的应用如果要对模板中的M个特征点与目标图像中的N个特征点进行匹配，假设：(1)M=N，(2)如果MN NkMiikMiNkMjNlMiNkikjlikikjlvCvBvvCAE1211111121)1()1(NkjkMiikMijjMiNkMjNlMiNkikjlikikjlvvCvBvvCAE11,11111121)1(3.G-S混沌神经网络在目标识别中的应用 2)(oklmijikjlddC(3)如果MN特征点检测与匹配结果
