1、第5章模糊理论及应用5.1模糊理论的产生与发展5.2模糊理论的数学基础5.3模糊逻辑5.4模糊控制系统及模糊控制器5.5模糊聚类分析与模糊模式识别5.1模糊理论的产生与发展模糊数学产生后，客观事物的确定性和不确定性在量的方面的表现，可作如下划分：确定性经典数学量随机性统计数学不确定性模糊性模糊数学5.2模糊理论的数学基础5.2.1经典集合论的基本概念5.2.2模糊集合的基本概念5.2.3模糊关系与复合运算5.2.1经典集合论的基本概念1.集合的定义2.集合的基本术语3.经典集合的运算4.经典集合运算的性质1.集合的定义集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个及其独特的地位，其基本概念已经渗
2、透到数学的所有领域。对于集合的概念，集合论的创立者德国数学家康托（George Contor）是这样定义的：把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，这个整体就叫做集合集合；其中的每个事物称为该集合中的元素元素。2.集合的基本术语1.论域。2.元素。3.空集。4.有限集和无限集。5.子集。3.经典集合的运算经典集合最基本的运算有并、交、差、补四种。(1)并集(2)交集|CABx xAxB或|C A Bx x Ax B且(3)差集(4)补集|CABx xAxB且|CBAUAx xAx U且3.经典集合的运算4.经典集合运算的性质(1)交换律AB=BA,AB=BA(
3、2)结合律(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)(3)分配律A(BC)=(AB)(AC),(AB)C=(AC)(BC)(4)同一律AU=U,AU=A(5)对偶律(德摩根律)(AB)C=ACBC，(AB)C=ACBC(6)双重否定律(AC)C=A(7)互补律,CCAAU AA5.2.2模糊集合的基本概念1.模糊集合的定义2.模糊集合的表示方法3.常用的隶属度函数4.模糊集合的运算经典集合具有两条最基本的性质。其一是元素之间界限分明、概念清晰；其二是元素与集合之间的关系也很清晰，要么是“属于”，要么是“不属于”，非此即彼。1.模糊集合的定义如果将隶属度的值域推广到闭区间0，1，在此区间中，
4、越大表明x隶属于集合A的程度越高；反之，x隶属于集合A的程度越低。这样，我们就有了模糊集合的定义。【定义5-1】已知论域U，U到 闭区间的任一映射 A2.模糊集合的表示方法当U为离散有限域 时，常用zadeh表示法、序偶表示法以及向量表示法来表示模糊集合。(1)zadeh表示法(2)序偶表示法(3)向量表示法12121()()()()nAnAiAAniixxxxAxxxx 1122,(),(),()AAnAnAxxxxxx12,AAAnAxxx【例【例5-1】zadeh法序偶表示法向量表示法 A=（0.5 0.8 0.6 0.9 0.3 0.2）0.50.80.60.90.30.2=A语文数学
5、体育音乐美术英语 =0.50.80.60.90.30.2A,语文,数学,体育,音乐,美术,英语,(4)解析表示法 当U为连续域时，通常采用隶属函数的解析式表示法来表示。【例【例5-2】设论域 ，模糊集合B=“数值在50左右”，可以用解析表达式来表示论域上任何一个元素x对于集合B的隶属度为：0100U,B41()-50110 x=xUxB(10)0.0039B(50)1B(55.5)0.9163.常用的隶属度函数(1)三角型(2)钟型(3)高斯型(4)梯型(5)Sigmoid型(1)三角型(2)钟型(3)高斯型222xcfx,ce(4)梯型010 xaxaaxbbaf x,a,b,c,dbxcd
6、xcxddcxd(5)Sigmoid型11a x cfx,a,ce4.模糊集合的运算设A、B为论域U上的两个模糊集合，则模糊集合的基本运算定义如下：(1)包含若对于U中的每一个元素u，都有A(u)B(u)，则称A包含B，记作AB。(2)相等如果AB且BA，则称A与B相等，记作A=B，即对于论域U中的每一个元素u都有A(u)=B(u)。4.模糊集合的运算(3)并运算(AB)对于论域U中的每一个元素u，都有AB(u)=A(u)B(u)，式中“”表示取大运算。(4)交运算(AB)对于论域U中的每一个元素u，都有AB(u)=A(u)B(u)，式中“”表示取小运算。(5)补运算(AC)(u)=1-A(u
7、)。【例5-3】设A与B是论域Y上的两个模糊集合，已知 则通过模糊集合的运算可以得到：0.4,0.6,0.8,0.5,0.3A0.7,0.2,0.6,0.9,0.1B 0.4 0.7,0.6 0.2,0.8 0.6,0.5 0.9,0.3 0.10.7,0.6,0.8,0.9,0.3AB 0.4 0.7,0.6 0.2,0.8 0.6,0.5 0.9,0.3 0.10.4,0.2,0.6,0.5,0.1A B0.6,0.4,0.2,0.5,0.7cA 5.2.3模糊关系与复合运算1.模糊矩阵与模糊关系2.模糊矩阵的运算3.模糊关系的合成运算1.模糊矩阵与模糊关系【定义5-2】设A、B为论域U上
8、的任意两个集合，若从A、B中各取一个元素，按照先A后B的顺序搭配成元素对（x,y），称为序偶或序对。所有以序偶构成的集合，称为集合A到集合B的直积（或笛卡尔积），记为：直积不满足交换率，即一般情况下，ABx,y|xA,yBABBA1.模糊矩阵与模糊关系【例【例5-4】设集合 、，求 ，。1 2 3 4A,Bx,yA BBA 11223344AB,x,y,x,y,x,y,x,y 12341234BAx,x,x,x,y,y,y,y,1.模糊矩阵与模糊关系【定义【定义5-3】两个非空集合 与 之间的直积中的一个模糊子集 被称为是 到 的模糊关系模糊关系。模糊关系 可以由下面的隶属函数来表示：模糊关系
9、 可以用矩阵的形式来表示，这样的矩阵称为模糊矩阵模糊矩阵。U Vu,v|uU,vVRUV0 1RUV：，R1.模糊矩阵与模糊关系【例【例5-5】设 表示 个工厂的集合，表示 n 种化学原料的集合，对于每个 ，用 来表示工厂 对原料 的依赖关系，则模糊矩阵12,mUa aa12,nVb bb1,2,iaU im1,2,jbV jn,0,1Rija biajb111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)RRRnRRRnRmRmRmna ba ba ba ba ba bRababab2.模糊矩阵的运算模糊矩阵是一个模糊关系R 的表示，其并、交、补有相应的运算方法。设
10、 R、Q 为两个模糊矩阵，。(1)并运算RQ=(rijqij)mn，即两个相应的元素都做取大运算。(2)交运算RQ=(rijqij)mn，即两个相应的元素都做取小运算。(3)补运算RC=(1-rij)mn。ijmnRrijm nQq2.模糊矩阵的运算【例【例5-6】已知P、S两个模糊矩阵关系分别为求 、以及 。由模糊矩阵的运算方法可知0.810.10.700.8000.910.70.8P0.400.90.60.90.40.50.70.300.80.5SPSPSCP0.80.4100.10.90.70.60.810.90.700.90.80.400.500.70.90.80.50.70.90.3
11、100.70.80.80.50.910.80.8PS0.80.4100.10.90.70.60.400.10.600.90.80.400.500.700.4000.90.3100.70.80.80.50.300.70.5PS10.81 110.1 10.70.200.90.31010.8101010.21110.91 110.710.80.100.30.2CP3.模糊关系的合成运算5.3模糊逻辑5.3.1模糊条件语句5.3.2模糊推理5.3.1模糊条件语句设A 和B分别代表两个简单的模糊命题，如果它们之间有一种模糊依存关系，例如可表述为“如果A则B”，则称该复合命题为模糊条件命题，也称模糊条件
12、语句。1 基本模糊条件语句常用的模糊条件语句根据句型可分为以下几种：(1)“如果A那么B”(if A then B)(2)“如果A那么B否则C”（if A then B else C）(3)“如果A且B那么C”(if A and B then C)(1)“如果A那么B”(if A then B)(1)“如果A那么B”(if A then B)(1)“如果A那么B”(if A then B)(2)“如果A那么B否则C”（if A then B else C）(2)“如果A那么B否则C”（if A then B else C）(2)“如果A那么B否则C”（if A then B else C）23
13、450 30 50 71.Bbbbb=成熟试确定“如果西红柿红了则成熟了，否则不成熟”的模糊关系R。解：首先求取模糊子集“不成熟”，显然1234500 70 50 30.Cbbbbb不成熟成熟=1010 10 900 30 50 7110 70 50 300 60 4100000010 70 50 3000 10 10 10 10 90 70 50 3000 30 50 60 60 40 40 40 3000 30 50 7100000C123451.RABAC.bbbbba.a.10 70 50 300 90 70 50 30 10 40 40 50 60 600 30 50 71234.a
14、.a.(3)“如果A且B那么C”(if A and B then C)(3)“如果A且B那么C”(if A and B then C)111212122212mmnnnmrrrrrrrrr当二维矩阵与有p个元素的向量进行运算时，则首先将此二维矩阵，按行展开成列向量，然后再与有p个元素的向量进行运算。(3)“如果A且B那么C”(if A and B then C)(3)“如果A且B那么C”(if A and B then C)将 按行展开成列向量，则由此得到三元模糊关系1RT1R0.3 0.3 0.3 0.3 0.5 0.810.30.10.30.30.10.30.10.30.30.10.30.
15、10.30.30.1R=A B C=RC=0.10.70.80.10.30.10.30.30.10.50.10.50.50.10.80.10.70.80.15.3.2模糊推理1.模糊推理的描述2.模糊推理1.模糊推理的描述以我们在经典的逻辑推理中常用的假言推理为例，其假言推理的结构如下：而模糊推理结构为：2.模糊推理关于模糊推理的方法，比较常见的有zadeh法、Mandani法、Yager法和Larsen法等，下面主要介绍zadeh法和Mandani法。来实现的，而不同的推理方法主要来自于针对模糊关系 的不同处理方法。x is A y is BR if A then BBAR=AABAB(1)
16、Zadeh推理法设有论域X，Y，模糊集合 ，并存在 上的二元模糊关系 ，根据5.3.1中Zadeh算法，的隶属函数为则根据似然推理合成法则有AX,B YR AB R AB 1RAABx,yxxy 1BAAABx Xyxxxy(2)Mandani推理法根据5.3.1中Mandani算法，的隶属函数为则根据似然推理合成法则有 RAB RABx,yxy BAABxXyxxy 5.4模糊控制系统及模糊控制器 5.4.1模糊控制系统的基本结构 5.4.2模糊控制器 5.4.3模糊控制器的设计 5.4.4模糊PID控制器的设计5.4.1模糊控制系统的基本结构模糊控制系统是一种计算机控制系统，因此具有一般计
17、算机控制系统的基本结构.输出量y(t)（被控量）A/D模糊控制器执行元件被控对象传感器D/A输入量r(t)（给定值）e(t)5.4.2模糊控制器1.模糊控制器的组成2.模糊控制器的结构1.模糊控制器的组成模糊控制器的组成1.模糊控制器的组成（1）模糊化模块。（2）知识库模块。（3）模糊推理模块。（4）去模糊化。2.模糊控制器的结构2.模糊控制器的结构（1）一维模糊控制器（2）二维模糊控制器（3）三维模糊控制器5.4.3模糊控制器的设计1.精确量的模糊化处理2.模糊规则及模糊规则表3.模糊推理4.解模糊化5.模糊查询表的建立1.精确量的模糊化处理(1)语言变量值的选取(2)模糊集合论域的选择(3
18、)语言变量值的隶属函数确定(4)语言变量赋值表的建立(5)量化因子和比例因子(1)语言变量值的选取。(2)模糊集合论域的选择(3)语言变量值的隶属函数确定1)隶属函数(x)的形状。2)要充分考虑语言变量的全部模糊集合对论域-n,+n的覆盖程度，应使论域中任何一点对这些模糊集合的隶属函数的最大值都不能太小，否则这样的点上会出现“空档”，从而引起失控。3)要考虑各模糊集合间的相互影响。(4)语言变量赋值表的建立语言变量E的隶属函数定义语言变量E的赋值表语言变量EC的赋值表语言变量U的赋值表(5)量化因子和比例因子量化因子和比例因子，都是为了对清晰值进行比例变换而设置的，其作用是使变量按一定比例进行
19、放大和缩小。模糊控制器的每一个输入与输出信号都有其基本论域，为了进行模糊推理，我们会给每个变量相应的模糊论域，其中基本论域与模糊论域的匹配问题就由量化因子来完成。(5)量化因子和比例因子 下面说明一个清晰量的模糊化过程。设系统误差 的实际变化范围为，在某时刻得到的 的精确值为，则其模糊化过程为：a 将 区间的精确量x转化为-n，n区间的变量，其变换式为：b 对 四舍五入取整得到，在表6-1中 所在的列中寻找最大隶属度值，则该最大隶属度所对应的语言值就是精确输入量x的模糊化结果。2.模糊规则及模糊规则表模糊规则是根据专家知识以及操作人员的长期经验积累而来的，通常是由一系列的模糊条件语句组成，即由
20、许多模糊蕴含关系“如果那么”（ifthen）构成。当将系统的误差以及误差的变化率作为输入变量时，经过大量的实际经验的总结，得到下述26条模糊条件语句：2.模糊规则及模糊规则表(1)if E=NB and EC=NB or NM or NS or Othen U=PB(2)if E=NB and EC=PS or PM or PB then U=O(3)if E=NM and EC=NB or NM then U=PB(4)if E=NM and EC=NS or O then U=PM(5)if E=NM and EC=PS then U=PS(6)if E=NM and EC=PM or P
21、B then U=O(7)if E=NS and EC=NB then U=PB(8)if E=NS and EC=NM then U=PM(9)if E=NS and EC=NS or O then U=PS(10)if E=NS and EC=PS or PM or PB then U=O(11)if E=NO and EC=NB then U=PM(12)if E=NO and EC=NM then U=PS(13)if E=NO and EC=NS or O or PS or PM or PB then U=O(26)if E=PB and EC=NS or NM or NB or O
22、 then U=NB模糊控制表根据(1)(13)条规则，我们不难写出后面(14)(26)条规则。将此26条语句列成模糊控制表如表所示。3.模糊推理表5-4中提供了56条形如“if A and B then C”的模糊规则，由5.3.1节可知，该规则确定了一个三元模糊关系 。其中根据表5-1、5-2、5-3，RA B C 108 04 016543E.NB 10804016543EC.NB01040813456U.PB 同理，根据56条规则，我们得到56个模糊关系，将此56个模糊关系做并运算，构成总的模糊关系5612561iiRRRRR 4.解模糊通过以上模糊推理我们可以得到模糊的输出量，但是模
23、糊系统最终送给执行机构的是一个清晰量，因此，需要将模糊量转化为清晰量，这就是解模糊所要完成的任务，常用的方法主要有以下几种。(1)最大隶属度(2)重心法(3)最大隶属度法亦称直接法(1)最大隶属度法。【例【例5-13】已知输出量所对应的模糊向量为利用最大隶属度法分别求得：120 20 50 80 40 1321010 20 60 60 60 112345*.U.U121123433UU(2)重心法11ncii*inciiyyyy【例【例5-14】利用重心法将例5-13的输出量解模糊得：10.230.520.810.400.112.31.150.20.50.80.40.12U 20.2 10.6
24、20.6 30.640.1 56.12.90.20.60.60.60.12.1U 5.模糊查询表的建立模糊查询表5.4.4模糊PID控制器的设计1.模糊PI控制器2.自整定模糊PID控制器1.模糊PI控制器模糊PI控制器结构图1.模糊PI控制器1.模糊PI控制器eePIe 比例控制控制开关模糊控制控制2.自整定模糊PID控制器常规的PID控制器具有简单易用、稳定性好、可靠性高等特点，是当前应用最为广泛的一类控制器，它对于各种线性定常系统的控制，都能够获得满意的控制效果。离散系统PID控制的基本规律为：101k-pIDi=U k=K e k+Ke i+Ke k-e k-2.自整定模糊PID控制器
25、自整定模糊PID控制系统结构图2.自整定模糊PID控制器1)当|e|较大时2)当|e|为中等大小时3)当|e|较小时控制规则表控制规则表控制规则表 聚类分析、模式识别与预报的关系图5.5模糊聚类分析与模糊模式识别5.5.1模糊聚类分析5.5.2模糊模式识别5.5.1模糊聚类分析【定义5-5】自反性：设R是X中的模糊关系，若对于 ，都有R(x,x)=1，则称R具有自反性，为X上的自反关系。具有自反性的模糊关系矩阵的对角线元素均为1。【定义5-6】对称性：设R是X中的模糊关系，若对于 ，有R(u,v)=R(v,u)。则称R具有对称性，为X上的对称关系。当R具有对称性时，RT=R。XxXvu ,5.
26、5.1模糊聚类分析【定义5-7】传递性：设R是X中的模糊关系，若有 ，则称R具有传递性，为X上的传递关系。传递性表示R与R的合成仍有关系R。【定义5-8】传递闭包：R的传递闭包 定义为：RRRRmmmRRRRR 12【定理5-1】任何模糊关系（不论它是否具有传递性）的传递闭包均有传递性。【定理5-2】若R为有限论域X=x1,x2,xn中的模糊关系，则R的传递闭包为有限项的并。【定理5-3】若R为有限论域X=x1,x2,xn中的相似模糊关系，则对任意kn均有 。由上述定理可得到一种计算相似矩阵传递闭包的简捷方法：，即 5.5.1模糊聚类分析kRR RRRRRk242kkn221knk2log1【
27、定义5-9】等价模糊关系：设R是X中的模糊关系，若R同时满足自反性、对称性和传递性，则称R为模糊等价关系。若R为模糊矩阵，则称R为模糊等价矩阵。【定理5-4】R为等价矩阵当且仅当对任意 ，R都是等价布尔矩阵，即普通的等价关系矩阵。普通等价关系矩阵决定一个分类，彼此等价的元素同属于一类。【定义5-10】分类：所谓U的一个分类是指可将U分成若干个子集 ，使得5.5.1模糊聚类分析 1,0|TtAttsAA ts Tts,UAtTt5.5.1模糊聚类分析【定理5-5】若00。设E,R,I分别表示等腰，直角，等边三角形。任一三角形x对这三种三角形的从属度为：2,min11)(CBBABxE2|90|9011)(AxR2)(18011)(CAxI设给定的一个三角形的内角A=80,B=70，C=30，试判断它属于哪一类？解：计算给定三角形对各种三角形的从属度。735.040,10min7011)(2xE790.0|9080|9011)(2xR522.05018011)(2xI因此该三角形属于直角三角形。
