1、量。总之，多采样率的应用是数字信号处理中的重要内7.6采样率转换滤波器采样率转换滤波器多采样率信号处理多采样率信号处理在前面的讨论中都认为采样频率fs是不变的，但在实际应用中，会遇到要求数字系统的采样率转换的问题。例如在数字电话系统中传输的既有语音信号也有传真信号；即使对同一信号，也可以针对不同数据段，采用不同的采样率，使得待处理信号既符合采样定理又可减少数据容。其它0,2,01MMnnxnx Minnxnpnxi 7.6.1、采样率降低信号的抽取(减采样)降低采样率的最简单的方法是将x(n)中的每M点中抽取一点，形成新的减采样序列x1(n)。即(7.6.-1)如图7.6.-1所示是降低序列x
2、(n)采样率的示意图 0 0 0 x1(n)x(n)p(n)nnn若x(n)的采样周期为T，则经M倍抽取后x1(n)的采样周期为T1。二者的关系为(7.6.-2)x1(n)的采样频率fs1为(7.6.-3)T1=MT fs1=1/T1=1/MT=fs/M TkjTjXTeXkj21则x1(n)的傅里叶变换为MTrjMTjXMTTrjTjXTeXrrj21211111x(n)的傅里叶变换为(7.6.-4)式中 r=i+kM(7.6.-5)由上式可认为X1(ej)是X(j)按=T作尺度变换，并按2/T1整数倍移位组成的。x(n)的数字角频率为，则x1(n)的数字角频率为 111jnnjenpnxe
3、X 1/2101jnMnkjMkneeMnxMkjMkeXM/21011=/M，其频响函数还可表示为(7.6.-6)MinnpiMnkjMkeM/2101是周期为M个采其中样的周期脉冲序列的傅氏级数表示。从序列的尺度变换的角度看，x1(n)是x(n)的压缩(M倍)，则X1(ej)应是X(ej)的扩展(M倍)，当然从减采样的应用角度，还要更详细的讨论两者频域之间的关系。x(n)频谱的数字(归一化)角频率为=T=/fs，且X(ej)=X(ejT)是以s=2 fs为周期的周期函数，对应的数字周期频率为2，而X1(ej)是以2/M的整数倍周期延拓。/M 为零，采样率降低M倍不会引起混叠；若X(ej)若
4、x(n)频谱X(ej)的非零值区为/M，X(ej)在不满足这一条件，降低采样率就会产生混叠。X(ej)的非零值区为/2，x1(n)的M=2、M=3时的情况如图7.6.-2所示。X(j)0mm1X(j)0mm10X(ej)m=m T m 22=T1/T0X1(ej)=X1(ejT)1/MT2/T14/T1=2/T2/T1=TM=20jeX10jeX10X1(ej)=X1(ejT)1/MT24/T1=2/T2 1=T1M=2M=3M=3 1=T1 1=T12222低通对x(n)的频谱X(ej)先进行抗混叠滤波，提取出带宽为了利用采样率降低后无混叠的频谱部分，可以用理想程如图7.6.-3所示。为/M
5、的所需信号，再通过只保留滤波器输出第M个采样点(降低采样率)，形成抽取序列y(n)。上述实现过抽取器y(m)v(n)h(n)x(n)图7.6.-3 减采样实现M图中中M 表示抽样率降低M倍的抽取，也称减采样。其中理想低通h(n)的频率特性为其他0/1MeHj（7.6.-7）实现采样率降低M=4倍的x(n)、h(n)、v(n)、y(n)的频谱如图7.6.-4所示。0 x2X(ej)0000图4X(ej)H(ej)V(ej)Y(ej)x2 x2 x2 y842 x/M/M其中x(n)、h(n)、v(n)频谱的数字频率取为x，y(n)频这种方法是由高频分量的损失，避免减采样的频谱混叠，在Y(ej)保
6、留了X(ej)中的低频部分，可由Y(ej)恢复X(ej)的低频部分。谱的数字频率取为y，y是减采样(M=4)后的数字频率。mnxmhnvm Minnvi mMnxmhm图7.6-3滤波器输出的v(n)为（7.6.-8）对应的z变换为（7.6.-9）抽取器的输出y(n)为（7.6.-10a）V(z)=H(z)X(z)y(n)=v(Mn)=由y(n)的z变换，可以得到y(n)与x(n)频谱之间的关系，即 nnnnzMnvznyzY MninzMinnv/MinjMiieMnvMinnv/2101（7.6.-11）将代入上式 MnMinjMinzeMnvzY/2101 MnMinjMinzeMnvz
7、Y/2101 MnMinjnMizenvM/2101MMijMizeVM/1/2101（7.6.-12）MiMMizWVMzY/1101 MiMMiMMizWHzWXM/1/1101（7.6.-13）令WM=ej2/M，以及V(z)=H(z)X(z)，则令相对X(ej)的数字频率取为x，相对Y(ej)的数字频MijMijMijyyyeHeXMeY/2/2101 MjMjMjMjjyyyyyeHeXeHeXMeY/2/2/1率取为y，且(7.6.-14)得到Y(ej)与X(ej)的频域关系为这是M个频段信号相加(混叠)的结果，即(7.6.-15)(7.6.-16)y=Ty=2 f/f y=2 f
8、/(fx/M)=2 M f/f x=Mx xyyjMjjeXMeXMeY11/上式表明若实际的h(n)H(e j)是非理想的低通，其阻带的衰减不是无限大，总会有一定的混叠失真。若其余均为零。即当H(ej)非常逼近理想低通，X(ej)的=/M的范围近似为零，那么上式中除了i=0项，频谱限制在x/M之内，上式可表示为(7.6.-17)0y 或0 x /Mh(n)H(e j)作为抗混叠滤波，能够使X(ej)的频谱在L-1个零值点，即 其他0,2,0/LLnLnxnw7.6.2、采样率提高信号的整数倍内插提高序列采样率也称增采样，要使序列x(n)采样率提高整数L倍，最简单的方法是对x(n)每相邻两点之
9、间内插若L=2得到如图7.6-5b所示w(n)，y(n)。(7.6.-18)0 0 若x(n)的采样周期为T=1/fs，则采样率提高L倍后w(n)的周期为T2，二者的关系为T2=T/L新的采样频率x(n)w(n)nnfs2=L fs(7.6.-20)(7.6.-19)jnnjenweWjnneLnx/jLnnenxx(n)、w(n)（L=2）的频谱分别如图7.6-6a、b所示。w(n)实际是x(n)的尺度变换，所以w(n)的频谱(7.6.-21)=X(ejL)0axwjLjeWeWb0X(ej)x=T 2=TL 2A2/L/L4/L/L4/L与减采样相似，由序列的尺度看，w(n)是x(n)的扩
10、展(L倍)，则W(ej)是X(ej)的压缩(L倍)，从增采样应用的角度，则需要更详细讨论两者频域之间的关系。以2/L,4/L,为中心的谐波，这些是原采样频x(n)频谱归一化频率记为x，周期为2，则w的周期为2/L。所以插值后，W(ej)是以2/L周期重复，即在x的一个周期内不仅有基带(/L/L)频率，还有谱的镜像，有L-1个。yjeY为了滤除多余的L-1个镜像频谱，只提取基带信息，要让插值序列w(n)再经如图6b的虚框所示的理想低通滤波，得到如图7.6-6c所示的频谱(其中w=y=L x)，对应的序列y(n)如图7.6-5c所示。xwjLjeXeWbyjeYc0 0/L/L/L/L2/L 4/
11、L4/LA w=LT y=w=LT 0 0 0 x(n)w(n)y(n)nnn采样率提高的实现过程如图所示，L表示采样率提高L倍。增采样实现插值器为从 yjeW中提取，图中的h(n)对应的低通应逼近理想滤波器特性 其他0/LAeHyjyyjeYy(n)w(n)h(n)x(n)LyxyyjLjjjeAXeXeHeY yjLLLyjdeXAdeYyyy/21210 021xLAdeXLAxjx则(7.6-23)而因此，为了使y(0)=x(0)，图7低通的增益 A=L。L/M。以上讨论不论抽取还是插值，采样率的改变均为整数比。若将二者结合起来，可以使采样率的改变为非整数因子 根据上面讨论的方法，对给
12、定的序列x(n)作采样率为 L/M的变换，可以用级联的方法，如图a所示先作M 倍抽取再作L倍的插值:抽取插值图8a抽取与插值的级联实现7.6.3、抽取与插值结合采样率按L/M变化y(n)w(n)x(n)v(n)h1(n)h2(n)LMfsfs/M Lfs/M 或如图b所示先作L倍的插值再作M倍抽取。以将两个低通合二为一。图8b所示的方法更合适，而实际实现时，如图8c所示可通常抽取减少x(n)的数据点，会产生信息的损失，所以抽取插值图8b 插值与抽取的级联实现y(n)w(n)x(n)v(n)h1(n)h2(n)LMfsLfsLfs/M 图7.6-8c 插值与抽取的级联实现序列的有效采样周期为T1
13、=TL/M。合理选择L与M，如图7.6-8c所示可以将两个低通合二为一。此时输出可以接近所要求的采样周期比。若M L，采样周期增加，若M L，/M是主截止频率，采样率减小。若x(n)的fs是奈奎斯特频率，y(n)是原带限信号经低通滤波后的信号。反之若 M L)，所以其截止频率为/3、增益为2；此滤波=T 图9c0 W(ej)2/L4/L/L4/L/LL=21/TM=3H(ej)2=T L2/M图9d图7.6-9e是滤波器的输出v(n)频谱；0图9cW(ej)1/T=T 2/L4/L=2/LL=24/L/L0H(ej)2LM=3=T 2/Mc=/M0图9eV(ej)2L/T=T L=2/L/M=
14、/3如果滤波器的截止频率不是/3而是/2，图中的阴影区正是频谱混叠部分。图7.6-9f是经抽取(M=3)后的输出y(n)的频谱，但用的数字频率是y=2f M/Lfs=xM/L。0图9eV(ej)2L/TL=2/L/M=/30图9f=TM/L Y(ej)L/TM22M=3效频带的最高频率为fm，若采样频率fs 2 fm，应不失7.6.4、采样率转换技术的应用、采样率转换技术的应用采样率转换技术也称过采样技术既可以用于不同速率的信号处理，也可以应用于A/D、D/A转换器。目的是将模拟滤波器的部分指标由数字滤波器承担，使A/D前的抗混叠滤波器及D/A后的平滑滤波器容易实现。待处理信号通常为模拟信号，
15、若语音、图像等，设其有真的恢复有效频带的信息。从理论上说一般信号频谱的频带很宽，远不止fm，按fs过渡带的，如图7.6-10所示，1，除此之外为零。而实际滤波器的衰减特性是有一定的频率采样后的频谱一定会产生混叠。为了提取有效频带内的信号，通常在A/D转换前加抗混叠滤波器。抗混叠滤波器的理想指标是在小于fm的频率范围内的增益为0过渡带在fm与fs/2之间。图7.6-10抗混叠滤波器的振幅特性fs/2fmfH(f)由图可见fm越靠近fs/2过渡带越窄，对实际滤波器的要求越高。所以通常采样频率 fs 要大于fm。且fs越高，滤波器的实现越容易。不过fs越高，单位时间内采样数据越多，对A/D的性能要求
16、越高，对后续数字系统的运算速度也要求越高。为了既降低实际滤波器的要求，又克服频谱混叠效应，可以利用采样率转换技术。图7.6-11过采样A/D转换器模拟抗混叠滤波A/D转换器抽取器数字低通图7.6-11为利用过采样技术的A/D转换器原理框图。在这个系统中，fs远远大于fm，因此降低了对抗混叠x(t)x(n)滤波器的要求。然后利用M倍的抽取器将采样频率降下来，合理设计数字低通滤波器，可以使 fs 略大于2 fm。fsfsMD/A转换器在将采样信号恢复为模拟信号时，经零阶保持器输出的信号具有阶梯形状，这是因为频谱含有镜像频率分量。所以在D/A转换器后面的平滑滤波器，实质是一个抗镜像频率的滤波器。其性
17、能指标与图7.6-10抗混叠滤波器的振幅特性相似，是以fs/2为阻带截止频率，fm是信号的最高频率。当fm与fs/2接近时，实现这样的滤波器成本很高。当采用如图7.6-12所示的处理系统，可以达到既满足性能指标，又经济实惠的目的。在这一系统中，通过内插器提高了采样频率，加宽了fm与fs/2之间的过渡带，使平滑滤波器的实现容易。图7.6-12过采样D/A转换器平滑滤波D/A转换器内插器数字低通x(t)x(n)Lfsfs1、IIR DF可以用较少阶数获得很高的选择性，所用存储单元少，运算次数少，经济且效率高。但其高效是由相位的非线性为代价的，选择性越好（如椭圆7.7 IIR DF与与FIR DF比
18、较比较一、性能一、性能滤波器）相位特性越差。2、FIR DF可以得到严格的线性相位，但要获得一定的选择性，就要用较多的存储器和较长的运算，成本较高，信号延时也较大。不过这些缺点是相对非线性相的要求，IIR DF必须加全通网络进行相位校正，同样位的IIR DF而言，如果具有相同的选择性和线性相位要大大增加IIR DF的阶数和复杂性。所以若相位要求严格一点，FIR DF不仅在性能且在经济上都优于IIRDF。1、IIR DF采用的是递归型，极点必须在单位圆内，否则系统不稳定。在运算过程中的四舍五入处理有时会引起振荡，存在不稳定问题。2、FIR DF采用的是非递归型，无论从理论上和实际的有限精度运算中
19、都不存在稳定性问题。FIR DF还有FFT等快速算法，在相同阶数条件下，运算速度快的多。二、结构二、结构1、IIR DF可以借助AF的成果，一般由有效的封闭函数的设计公式、曲线、图表等可供计算、查找。设计工作量较小，但主要用于具有片段常数特性的滤波器。2、FIR DF一般没有封闭函数的设计公式，只有计算程序可用，对计算工具要求较高，要用CAD设计。但设计灵活，尤其频率取样结构更容易适应各种幅度特性、相差特性的要求。可以做出理想的正交变换，理想微分、线性调频等各种DF。三、设计三、设计实际应用要从工程实现、经济成本、硬件的复杂程度、计算的速度等多方面考虑。例如在对相位要求不高的话音处理时，可以选用IIR 滤波器，对图像数据信号等对相位敏感的则就要选用FIR 滤波器。从以上的分析比较，两类滤波器各有所长，各有所用，没有哪一类滤波器在任何情况下都是最佳的。小论文 采样率转换滤波器转换滤波器选择L、M、滤波器（IIR、FIR均可）。y(n)w(n)x(n)v(n)h(n)LM
