1、第第6章章 无限冲激响应（无限冲激响应（IIR）数字滤波器的设计）数字滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念理后经过D/A恢复为模拟信号。滤波器的任务是通过一定运算关系，改变输入信号的频谱。数字滤波器是利用计算机程序、专用芯片等软、硬件改变数字信号频谱。如果待处理的是模拟信号可以通过A/D在信号形式上进行转换，再利用数字滤波器处经典滤波器。数字滤波器有不同的分类方法，主要有两大类，一类是经典滤波器，即选频滤波器，其特点是输入信号中有用信号的频率与干扰信号的频带不同，利用选频滤波器的特性提取有用的信号频率分量。另一类是现代滤波器，因为当信号与干扰的频谱相互重叠时，利用选频滤
2、波器无法提取有用的信号。现代滤波器是利用各类随机信号的统计特性，从干扰中提取有用信号。本书重点讨论频带不同的情况。例如图6.1-1所示的理想数字低通、6.1.1、选频数字滤波器、选频数字滤波器利用选频滤波器的特性可以提取有用的信号频率分量，这类滤波器适用输入信号中有用信号频带与干扰信号高通、带通、带阻滤波器属于这一类滤波器。10高通|Hd(ej)|2-l-l10低通|Hd(ej)|2-h-h图6.1-1 各类理想数字选频滤波器|Hd(ej)|Hd(ej)|-1-10-22-1-10-22选频数字滤波器设计过程一般可以归纳为以下三个2)用一个因果稳定的系统函数IIR、FIR去逼近这个要求3)用一
3、个有限精度的运算去实现这个传递函数（软、硬件）。1)按照实际需要确定滤波器性能要求及技术指标。步骤：Hd(ej)Hd(z)H(z)H(ej)指标时，考虑实现的可能性，与理想滤波器相比允许有6.1.2、数字滤波器的技术要求、数字滤波器的技术要求与模拟滤波器相似，通常情况下数字滤波器的技术指标是由频域的模频特性给出的，它要求在频率轴上一定的范围内具有所要求的相应幅度值。在规定滤波器技术一定的偏差。容许偏差的极限称为容限。滤波器性能指标、技术要求可以用容限图表示。1过渡带过渡带通带通带阻带阻带例如图6.1-2为一般低通滤波器的容限图。在通带内|H(ej)|1，误差为1，|Hd(ej)|ps即|p时，
4、即s时，|H(ej)|2 1-1|H(e j)|1+1；2阻带内，|H(ej)|0，误差为2，1-11+1根据所给定的容限图，设计目标是求出符合要求的系统函数。在通带内|H(ej)|1，误差为1，即|c(/c)2N 1|H(j)|0且N 越逼近理想特性，通带内|H(j)|1阻带内|H(j)|02/1点想特性。但无论 N为多少，幅频特性都通过随着N的增加，通带边缘变化加快，幅频特性越逼近理数N。性都是平直的，即为“最平响应”滤波器的由来。3、模频变化是单调的，相位特性较好。要设计一个符合性能指标要求的巴特沃思滤波器，可知2、=0时，|H(j)|=1，并且在=0附近幅频特首先要确定的参数有两个：-
5、3dB截止频率c及系统阶2pajH211Ncp2/11222sajHNcs2/112 确定N、c1-12|H(j)|ps两个方程，两个未知数，N、c可以解出。(6.2-16a)(6.2-16b)01由(6.2-7)式，巴特沃思滤波器的衰减指标可表示为一般由p、s、p、s先确定系统的阶数N。22lg101lg10pppjHjH22lg101lg10sssjHjH(6.2-17b)(6.2-17a)ppjH1.0210ssjH1.0210(6.2-18a)(6.2-18b)由6.2-17式，得到|H(jp)|、|H(js)|与p、s的关系将(6.2-18)式代入(6.2-16)式，并整理得pNcp
6、1.0210/1sNcs1.0210/1 110/1.02pNcp 110/1.02sNcs (6.2-19a)(6.2-19b)6.2-19a式与6.2-19b式相比，得到110/110/1.01.02spNsp最后得到spspspN/lg1/111/1lg/lg110110lg2211.01.0(6.2-20)Npcp211.0110 (6.2-21a)因为N是系统的阶数，要取大于N的最小正整数，代入方程(6.2-19a)得到Nscs211.0110代入方程6.2-19b得到(6.2-21b)通常取在二者之间。数H(s)。N、c确定了，就可以求出巴特沃思滤波器系统函若用6.2-21a式确定
7、c，阻带指标得到改善；若用6.2-21b式确定c ，通带指标得到改善，sjjjsHsHNc2/11 NcNs2/111 NCNNcNcjsjjs2222/11(6.2-22)由(6.2-5)式H(s)H(-s)与|H(j)|2的关系，将j=s 或3、确定H(s)2=j(-j)|j=s=-s2代入(6.2-14)式，得到(6.2-22)式的的极点为022NCNjs211/2221jkNNkccpje kNjckNjckeep22(6.2-23a)极点为：(6.2-23b)k=0,1,2N-1 k=0,1,2N-1 当N为奇数时，由 1-(s/c)2N=0 ，解出2N个极点为：当N为偶数时，由 1
8、+(s/c)2N=0 ，解出2N个极点为：NkjNjcNkjckeeep2212的极点分布规律：(6.2-23c)(6.2-23a)、(6.2-23b)、(6.2-23c)式给出了H(s)H(-s)圆也称巴特沃思圆。k=0,1,2N-1 极点是以/N为间隔，分布在半径为c的圆上，这个图6.2-7 给出了N=14时H(s)H(-s)的极点分布情况。当N为偶数时，实轴上没有极点，极点从c e-j/2N开所有极点对称虚轴，且虚轴上无极点。当N为奇数时，实轴上有极点，极点从c开始以/N为间隔分布；始以/N为间隔分布。kjjckjckeees24812N=1N=2-cc-ccjj/2jkkcse kjj
9、ckjckeees488120N=3ccN=40-c-cjj/3/4/8/3jkkcse NkkpsksHsH210 NkkpsksH10(6.2-24)(6.2-25)由巴特沃思圆上的2N个极点，得到H(s)H(-s)的表示根据因果稳定系统的要求，取左半平面的N个极点作为H(s)的极点，H(-s)由右半平面N个极点组成。这样得到H(s)的一般表示 1010NkkpkssH (6.2-26)NCNkkpk10，代入(6.2-25)式由(6.2-26)式解出 NkkNCNkkNkkpspspsH111k0可以由H(0)求出。因为s=j=0时，巴特沃思滤波器的幅频特性H(0)=1，即 NkkNCN
10、kkNkkpspspsH111NCNCNCNCNNCssss1221(6.2-27)1/12211CNCNNCNNCNsssssH (6.2-28a)各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，可以作归一化处理。如果采用对-3dB截止频率c归一化，归一化后的H(s)表示为或 NkckcpssH11 NkkpssH11 01111asasasNNN(6.2-28b)(6.2-29)令 s=s/c，pk=pk/c 则(6.2-28)式变为Nkjkep21221(6.2-30)归一化后的巴特沃思滤波器一般也称归一化巴特沃思原型低通滤波器。将(6.2-29)式的分母多项式制成多项式。相应的表格如表6.1所示
11、，这样的多项式称巴特沃思k=0,1,N-1 式中pk为归一化极点，表示为1 s 122ss 12223sss 16131.24142.36131.2234ssss1 12 23 34 4表6.1 12361.32361.52361.52631.32345sssss 234564641.71416.94641.78637.3sssss 1494.40978.102ss 456786884.258462.211371.131258.5sssss567818637.3s 345675918.145918.140978.10494.4sssss 11258.51371.138642.2123sss4、
12、低通巴特沃思滤波器设计步骤如下4）、去归一化，得到实际滤波器的系统函数(1)由p、s、p、s及(6.2-20)式确定系统的阶数N。(2)、由N查表6.2-1或由(6.2-30)式确定归一化极点pk，代入(6.2-29)式得归一化系统函数。(3)、用6.2-21式确定c。H(s)=H(s)/Css0.10.10.131011010.2589lglglg101101999lg 3/120.602lg/pspsN解例例6.2-2：已知某滤波器的技术指标为：通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=1dB，阻带截止频率fs=12KHz，阻带最小衰减s=30dB，设计满足条件的巴特沃思低通滤波器。3.
13、58645.9570.602 34561416.94641.78637.3sssssH 1218637.34641.7ss211030001101211.0211.0Npcp4101096.221192.13000N取正整数，所以N=6。查表得滤波器归一化系统函数为改善阻带指标c取去归一化，得到去归一化计算较繁，可以借助MATLAB完成去归一化的工作。H(s)=H(s)/Css1221121NCNNNNNNCNCCCsasasas(6.2-27)11221211/1NNNNNNCNCNCCH ssasasa s (6.2-28a)P209P211第6行 6652433425654321CCCCCCCH ssasasasasas 去归一化后，P211第11行 256459413318222258.815 108.1509 103.321 108.583 101.478 101.614 108.81 5 10H sssssss
