1、第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型第一节 导言第二节 自动控制元件运动方程的建立第三节 小偏差线性化第四节 传递函数第五节 典型环节传递函数的基本因子第六节 结构图及其等效变换第七节 结构流图及梅森增益公式第八节 开环传递函数及闭环传递函数在自动控制理论中，数学模型有多种形式。时域数学模型:微分方程，差分方程和状态方程；复域数学模型:传递函数，结构图；频域数学模型:频率特性。第二节第二节 自动控制元件运动方程的建立自动控制元件运动方程的建立一一.例题：例题：例一例一 线性元件微分方程线性元件微分方程 下图是由电阻下图是由电阻R R，电感，电感L L，电容，电容C C组成
2、的串联电路，其输入量组成的串联电路，其输入量为电压为电压 ，输出量为电压，输出量为电压 ，试列写其运动方程。，试列写其运动方程。解：根据克希荷夫第二定律有解：根据克希荷夫第二定律有（1）1u2u12uudtdiLRi电容两端的电压为电容两端的电压为两端对两端对t取导数取导数两端对两端对t取导数取导数tidtCu021dtduCiiCdtdu221或222dtudCdtdi12uudtdiLRi得得或或式中式中122222uudtduRCdtudLC1222222121uudtdudtudnnLCn1CLR2 tFtFtFdttxdm2122 K()F t()x tfm图2.2.2 弹簧-质量-
3、阻尼器机械系统解解:设质量设质量mm相对于初始状态相对于初始状态的位移，质量，加速度分别为的位移，质量，加速度分别为 由牛顿运动定律有由牛顿运动定律有22/)(,/)(),(dttxddtxdtx K()F t()x tfm图2.2.2 弹簧-质量-阻尼器机械系统 例二例二 下图为弹簧质量阻下图为弹簧质量阻尼器机械系统位移。试列尼器机械系统位移。试列写质量写质量mm在外力在外力F(t)F(t)作用作用下，位移下，位移x(t)x(t)的运动方程。的运动方程。K()F t()x tfm图2.2.2 弹簧-质量-阻尼器机械系统 tFtKxdttdxfdttxdm22dttdxftF/)()(1)()
4、(2tKxtF tFtKxdttdxfdttxdm22dttdxftF/)()(1)()(2tKxtF)(1tF)(2tFKf式中 是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大小与运动速度成比例，是阻尼系数。是弹簧弹性力，其方向亦与运动方向相反，其大小与位移成比例，是弹性系数。将 与 代入式（1）中，经整理后即得该系统的微分方程:综上，列写元件微分方程的步骤可归纳如下综上，列写元件微分方程的步骤可归纳如下:根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定确定其输入量和输出量。其输入量和输出量。分析分析元件工作中所遵循的元件工作中所遵循的物理规律或化学规律
5、物理规律或化学规律，列写出相应的微分方程。列写出相应的微分方程。消去中间变量消去中间变量，得到输入量和输出量得到输入量和输出量之间的微分之间的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。方程两端变量的导数项均按降幂排列。二二.线性系统的特性线性系统的特性1.1.定义：定义：用线性微分方程描述的元件或系统。用线性微分方程描述的元件或系统。
6、2.特性：特性：可运用可运用叠加原理，叠加原理，即具有即具有可叠加性和均匀性可叠加性和均匀性（或（或齐次性齐次性）。）。3.3.线性系统的叠加原理线性系统的叠加原理:两个外作用同时加于系统所产生的总输出，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。相应增大同样的倍数。线性系统的叠加原理是对线性系统进行分线性系统的叠加原理是对线性系统进行分析和设计时有多个外作用的情况下的重要方法析和设计时有多个外作用的情况下的重要方法。第三
7、节第三节 小偏差线性化小偏差线性化1.1.定义定义:将非线性微分方程转化为线性微分方程的方法。将非线性微分方程转化为线性微分方程的方法。2.2.基本假设基本假设:系统中的变量在某一工作点附近作微小变化。系统中的变量在某一工作点附近作微小变化。非线性特性在该工作点可导。非线性特性在该工作点可导。在此条件下，非线性的特性曲线可用该工在此条件下，非线性的特性曲线可用该工作点的作点的切线切线所代替，变量的所代替，变量的增量增量之间称为线性函之间称为线性函数关系数关系3.3.线性化的方法线性化的方法:把非线性函数在工作点把非线性函数在工作点 附近展成泰附近展成泰勒级数，略去高次项，便可以得到一个以勒级数
8、，略去高次项，便可以得到一个以增量为变量的线性函数，即增量为变量的线性函数，即 0022000212!xxyf xdfd ff xxxxxdxdx0 x由于由于 很小，其二次方及二次方以很小，其二次方及二次方以上各项可略去，略去之后得上各项可略去，略去之后得000 xxdxdfxfyx)(0 xx xdxdfyxxdxdfxfyxx0000同理可得，多变量非线性函数同理可得，多变量非线性函数nxxxfy,21在工作点在工作点 附近的线性增量函数为附近的线性增量函数为nxxxnxxxxxxxxfxxfxxfynnn020100201002010,2,21,1),(02010nxxx 小偏差线性化
9、特别适合于具有连续变化的非线性小偏差线性化特别适合于具有连续变化的非线性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。性用一段直线来代替。第四节第四节 传递函数传递函数 导入导入:传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型。传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型。经典控制理论的主要研究方法经典控制理论的主要研究方法频率法和根轨迹法都是建频率法和根轨迹法都是建立在传递函数的基础之上的。立在传递函数的基础之上的。利用传递函数不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的利用传递函数不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的
10、动态过程系统在输入信号作用下的动态过程 利用传递函数还可以研究系统参数变化或结构变化对动态过利用传递函数还可以研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化程的影响，因而使分析系统的问题大为简化 另一方面，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函另一方面，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合设计的问题易于实现，由于传递函数的重要性，数的要求，使综合设计的问题易于实现，由于传递函数的重要性，我们将深入进行研究。我们将深入进行研究。传递函数的定义传递函数的定义 在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏
11、变换之比输入量的拉氏变换之比设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述阶线性常微分方程描述:式中，是系统输出量，是系统输入量，(i=1,2,n)和 (j=1,2,m)是与系统结构与参数有关的常系数。1011110111nnnnnnmmmmmmdddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt )(tc)(triajb)(tc)(tr 式中，是系统输出量，是系统输入量，(i=1,2,n)和 (j=1,2,m)是与系统结构与参数有关的常系数。)(tc)(tr 式中，是系统输出量，是系统输入量，(i=1,2,n)和 (j=
12、1,2,m)是与系统结构与参数有关的常系数。)(tc)(tr 式中，是系统输出量，是系统输入量，(i=1,2,n)和 (j=1,2,m)是与系统结构与参数有关的常系数。)(tc)(tr)(tc)(tr)(tc)(tr设设r(t)r(t)和和c(t)c(t)及其各阶导数在及其各阶导数在t=0t=0时的值均为零，时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令变换，并令 可得可得s s的代数方程为的代数方程为于是，由定义得系统传递函数于是，由定义得系统传递函数:（mnmn且所有系数均为实数）且所有系数均为实数）10111011nnnnmmmma
13、sa sasac sb sb sbsbR s 10111101mmmmnnnnC sM sb sb sbsbG sR sN sa sa sasa ,C sL c tR sL r t物理含义物理含义:传递函数是在零初始状态下定义的。传递函数是在零初始状态下定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义控制系统的零初始条件有两方面的含义:二、二、是指输入量加入系统之前，系统处于稳定是指输入量加入系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在的工作状态，即输出量及其各阶导数在t=0t=0时时的值也为零，现实的工程控制系统多属于此类情的值也为零，现实的工程控制系统多属于此类情况。况。一、一、是指
14、输入量是在是指输入量是在t0t0时才作用于系统，时才作用于系统，因此，在因此，在t=0t=0时，输入量及各阶导数均为零；时，输入量及各阶导数均为零；因此，传递函数可表征控制系统的动态性能，因此，传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应，即由拉氏变换的卷积定理，有应，即由拉氏变换的卷积定理，有 1100ttc tLC sLG s R srg tdr tgd 二二.性质性质(1)(1)传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数，具有复变函的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。数的所有性质。(2)(2)传
15、递函数只取决于系统的结构和参数，与输入量无关，传递函数只取决于系统的结构和参数，与输入量无关，也不反映系统内部的任何信息。也不反映系统内部的任何信息。(3)(3)传递函数与微分方程有相通性，即传递函数中的传递函数与微分方程有相通性，即传递函数中的s s与与微分方程中的微分方程中的 有相通性。有相通性。(4)(4)传递函数传递函数 的拉氏变换是脉冲响应的拉氏变换是脉冲响应 传递函传递函数只适用于线性定常系统。数只适用于线性定常系统。),(tgdtd/)(sG 三三.例题例题 例一例一.试求如图所示超前网络的传递函数，该电试求如图所示超前网络的传递函数，该电路的输入量是路的输入量是 ，输出量是，输
16、出量是 。解解:应用回路电流法对电路列写下面回路电压方程应用回路电流法对电路列写下面回路电压方程:对以上三式两端取拉氏变换，并令初始条件为零，得对以上三式两端取拉氏变换，并令初始条件为零，得 11 11 201 112212 2210ti dtR iR iCR iRRiuR iu 1u2u由以上三式联立，消去中间变量可得由以上三式联立，消去中间变量可得式中式中 11121 1122122210RIsR IsCsR IRRIsUsR IsUs 21111UsTsTUss 11221,/TRCRRR 例二例二 求取无源网络求取无源网络(通常是由电阻，电容和电通常是由电阻，电容和电感组成感组成)的传
17、递函数。的传递函数。解解:可以用两种方法求取可以用两种方法求取:一一.先列写网络的微分方程，然后在零初始条件先列写网络的微分方程，然后在零初始条件下进行拉氏变换，从而得到输出变量与输入变下进行拉氏变换，从而得到输出变量与输入变量之间的传递函数。量之间的传递函数。二二.引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。然后求其传递函数。用复数阻抗表示电阻用用复数阻抗表示电阻用R R，电容，电容C C的复数的复数阻抗为阻抗为1/Cs1/Cs，电感，电感L L的复数阻抗为的复数阻抗为LsLs。右图可直接写出电路的传递函数为右图可直接写出电路的传递函数为:221
18、211crUszUszzLCsRCs LRCi(t)Z1Z2UrUc10111011()()()()()mmmmnnnnb sb sbsbC sM sG sR sa sa sasaN s nm 012012mnbszszszG saspspsp()G s10111011()()()()()mmmmnnnnb sb sbsbC sM sG sR sa sa sasaN s 1nm00/ba6(31)()(1)(2)sG sss 512()tr tcc e 12()5ccR sss 1c2c126(31)()(1)(2)5ccsY sssss 51221212()37(123)(1510)ttty
19、 tcc ecc ecc e 512()tr tcc e 51221212()37(123)(1510)ttty tcc ecc ecc e ()r t()G s2c1c 512()tr tcc e 6(31)()(1)(2)sG sss 14212()()()sG sss 21 5212.()()()sG sss 2122()123()1 0.50.5tttty teey tee 1()t1()y t2()y t ()()sbG sbasa()1/()R ssc()atctabbcy teeacac ()cty tecabc()aty te()atctabbcy teeacac cte第五节
20、第五节 典型环节典型环节传递函数的基本因子传递函数的基本因子 一一.典型环节的传递函数典型环节的传递函数:1.1.比例环节比例环节 时间域里，输入、输出函数成比例，可表示为时间域里，输入、输出函数成比例，可表示为 KsXsXsGi0KsG)()()(0tKxtxi)()(0sKxsxi设初始条件为零，将上式两边进行拉氏变换设初始条件为零，将上式两边进行拉氏变换,得得 201iRututR 已已知知 20102211iiRUsUsRUsRRG sKUsRR 拉拉氏氏化化得得例例:如图所示的运算放大器如图所示的运算放大器,其中其中 ui(t)ui(t)输入电压输入电压 u0(t)u0(t)输出电压
21、输出电压 R1,R2 R1,R2 电阻电阻 10201122iiNszNszNszzG sKNszz拉拉氏氏后后得得例例:如图所示齿轮传动副其中如图所示齿轮传动副其中:ni(t)ni(t)输入轴转速输入轴转速;n0(t)n0(t)输出轴转速输出轴转速;z1,z2 z1,z2 齿轮齿数。齿轮齿数。已知已知 ni(t)z1=n0(t)z2ni(t)z1=n0(t)z22.一阶惯性环节一阶惯性环节 G(s)=1/(Ts+1)在时间域里，如果输入、输出函数可表达为如下在时间域里，如果输入、输出函数可表达为如下一阶微分方程一阶微分方程 txtxtxTi00 为常数其中则得式两边进行拉氏变换，设初始条件为
22、零，将上TTssXsXsGsXsXsTsXii11000 例例:如下图所示无源滤波电路，其中如下图所示无源滤波电路，其中 输入电压输入电压；输出电压；输出电压；R 电阻；电阻；C 电容。电容。TRCRCssUsUsGsURCssUsIsICssUsICsRsIsUdtt iCtudtt iCRt ituiiii其中则得消去拉氏变换后得已知111,1,11,10000)(tui)(0tu例例:如下图所示弹簧如下图所示弹簧阻尼系统，其中阻尼系统，其中 xi(t)xi(t)输入位移；输入位移；x0(t)x0(t)输出位移；输出位移；k k 弹簧刚度；弹簧刚度；f f 阻尼系数。阻尼系数。Tkfskf
23、sXsXsGsXsXskfsfsXsXsXkdttdxftxtxkiiii/111000000其中则即拉氏变换后得，已知 txktxkssGi01入变量的微分，即如果输出变量正比于输理想微分环节 kssXsXsGsksXsXii00则进行拉氏变换后得，ksssUsGskssUdttdktuii000则进行拉氏变换后得，已知例例:右图所示永磁式直右图所示永磁式直流发电机，其中流发电机，其中 输入转角；输入转角；输出电压。输出电压。)(ti)(0tu 实际上，相同量纲的理想微分环节是难以实现实际上，相同量纲的理想微分环节是难以实现的，常遇到的是下述的近似微分环节。的，常遇到的是下述的近似微分环节。
24、例例:如下图无源微分网络，其中如下图无源微分网络，其中 R 电阻；电阻；C 电容；电容；输入电压；输入电压；输出电压。输出电压。)(tui)(0tu TRCRCsRCssUsUsGsURCsRCssUsIsRIsUsRIsICssURtituRtidttiCtuiiii其中，则得消去进行拉氏变换后得已知11,1100004.4.积分环节积分环节 G(s)=K/s(G(s)=K/s(其中其中K K为常数为常数)sksXsXsGssXksXdttxktxiii000则进行拉氏变换后得入变量的积分，即如果输出变量正比于输例例:下图所示有源积分网络，其中下图所示有源积分网络，其中 输入电压；输入电压；
25、输出电压；输出电压；R R 电阻；电阻；C C 电容。电容。kRCsRCsUsUsGsCsUsURdttduCRtuiii111000其中则进行拉氏变换后得已知)(tui)(0tu5.5.二阶振荡环节二阶振荡环节 10,1222TssTKsG 1212:2220000220002TssTsXsXsGsXsXsTsXsXsTtxtxtxTtxTiii则经拉氏变换得程表达为如下二阶微分方如果输入，输出函数可 例例:如下图所示无源如下图所示无源 RCLRCL网络，其中网络，其中 输入电压；输入电压；输出电压；输出电压；L L 电感；电感；R R 电阻；电阻；C C 电容。电容。dttiCtudtti
26、CtRidttdiLtui)(1)()(1)()()(0已知)(tui)(0tu LCRCLCTsLCLCRCsLCRCsLCssUsUsGsURCsLCssUsIsICssUsICssRIsLsIsUiii2,1221111,112220020则传递函数为得消去拉氏变换后得例例:如下图所示质量如下图所示质量弹簧弹簧阻尼系统，其中阻尼系统，其中 输入外力；输入外力；输出外力；输出外力；M M 质量；质量；k k 弹簧刚度；弹簧刚度；f f 粘性阻尼系数。粘性阻尼系数。sYMssKYsfsYsFdttdyMtkydttdyftFii020022000经拉氏变换后得列方程质量弹簧阻尼系统)(tFi
27、)(0ty MkfkMTskMMkfskMkkfsMssFsYsGi2,122112220则传递函数为 应注意，同一物理系统可以有不同形式的数应注意，同一物理系统可以有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。的数学模型。我们称具有相同数学模型的不同物理系统我们称具有相同数学模型的不同物理系统为为相似系统相似系统。外力引起的系统运动与外电压引起的系统外力引起的系统运动与外电压引起的系统运动这一相似系统又可称为力运动这一相似系统又可称为力电压相似系统。电压相似系统。在相似系统系统中占据相似位置的物理量在相似系统系统中占据相似位置的物理
28、量称为相似量。称为相似量。数学模型对系统的研究提供了有效的数学模型对系统的研究提供了有效的数学工具。相似系统揭示了不同物理现象数学工具。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。利用相似关系的概念可之间的相似关系。利用相似关系的概念可以用一个易于实现的系统来研究与其相似以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统。根据相似系统的理论出出现的复杂系统。根据相似系统的理论出出现了仿真研究法。了仿真研究法。第六节第六节 结构图及其等效变换结构图及其等效变换 一一.结构图的基本概念结构图的基本概念1.1.信号线信号线:由带箭头的直线表示，箭头方向表示信号由带箭头的直线表示，箭头方向表示信号的传递方向
29、，在直线旁标记信号的时间函数或象函数的传递方向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。2.2.方框方框:表示对信号进行的数学变换。方框中写入表示对信号进行的数学变换。方框中写入元部件或系统的传递函数，如图所示。显然，方框元部件或系统的传递函数，如图所示。显然，方框的输出变量等于方框的输入变量与传递函数的乘积的输出变量等于方框的输入变量与传递函数的乘积。X(s),x(t)G(s)X1(s)X2(s)X2(s)=G(s)X1(s)3.3.比较点比较点(综合点综合点):):表示对两个以上的信号进行加表示对两个以上的信号进行加减运算，减运算，“+”+”号表示相加，号表示相加，“-”-”号表示相减，号表示
30、相减，“+”+”号可省略不写，如图所示，其信号关系为号可省略不写，如图所示，其信号关系为4.4.引出点引出点(分支点分支点):):表示信号引出或测量的位置。表示信号引出或测量的位置。从同一点引出的信号在数值和性质方面完全相同，从同一点引出的信号在数值和性质方面完全相同，符号如图所示。符号如图所示。X1(s)X3(s)X2(s)X3(s)=X1(s)X2(s)X(s)X(s)二二.结构图的绘制结构图的绘制例例:试画出所示试画出所示 型滤波器的结构图，其中型滤波器的结构图，其中u1u1为输入量，为输入量，u2u2为输出量。为输出量。解解:根据欧姆定律及克希荷夫定律，可根据欧姆定律及克希荷夫定律，可
31、得如下方程得如下方程:1 11222013 223330221311ttR iuuui dtCR iuuui dtCiii 对上述方程两端进行拉氏变换，并令初始条件为对上述方程两端进行拉氏变换，并令初始条件为零，得零，得 121 11211221232323323322131123145UsUsR IsUsUsIsRUsIsC sUsUsR IsUsUsIsRUsIsC sIsIsIs 或或或或根据根据(1)(5)(1)(5)式画出每个方程的结构图如下式画出每个方程的结构图如下:1211UsUsIsR 2211UsIsC s 2332UsUsIsR 根据根据(1)(5)(1)(5)式画出每个方
32、程的结构图如下式画出每个方程的结构图如下:3321UsIsC s 213IsIsIs按照信号传递顺序把上页图中各部分连接起按照信号传递顺序把上页图中各部分连接起来，得来，得 型滤波器的结构图如下型滤波器的结构图如下:结构图绘制说明结构图绘制说明:绘制系统结构图时，首先考虑负载效应绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写各元件的微分方程或传递函数，并分别列写各元件的微分方程或传递函数，并将它们用方框图表示；将它们用方框图表示；然后，根据各元件的信号流向，用信号线依然后，根据各元件的信号流向，用信号线依次将各方框连接便得到系统的结构图次将各方框连接便得到系统的结构图。因此，系统结构图实质上是因此
33、，系统结构图实质上是系统原理图系统原理图与数学方程与数学方程两者的结合，即补充了原理图两者的结合，即补充了原理图所缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽所缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算，从结构图上可以用方框图进行数象运算，从结构图上可以用方框图进行数学运算，也可以直观了解各元件的相互关学运算，也可以直观了解各元件的相互关系及其在系统中所起的作用，系及其在系统中所起的作用，更重要的是更重要的是从系统结构图可以方便地求得系统的传递从系统结构图可以方便地求得系统的传递函数函数。所以，系统结构图也是控制系统的。所以，系统结构图也是控制系统的一种数学模型。一种数学模型。三三.结构图等效变换结构图等
34、效变换1.1.串联结构图的等效变换串联结构图的等效变换:12()()()()nG sG s G sG s2.2.并联结构图的等效变换并联结构图的等效变换:3.3.加减点移动法则加减点移动法则:加减点后移情况加减点后移情况 加减点前移情况加减点前移情况 4.4.引出点移动法则引出点移动法则:引入点后移情况引入点后移情况 引入点前移情况引入点前移情况 5.5.消去反馈法则消去反馈法则:1B sH sY sY sG s Es sBsRsE1对于复反馈情况，有 11Y sG sR sB sG sR sH s Y sG s H sY sG sR sY sG sR sG s H s sHsGsGsssHs
35、GsGsRsY11有表示闭环传递函数，则如果以，有同理，对于正反馈情况式中式中“+”+”号对应负反馈情况，号对应负反馈情况，“-”-”号对应正反馈情况。号对应正反馈情况。强调：结构等效变换法重点在于等效，即变换前输入量强调：结构等效变换法重点在于等效，即变换前输入量与输出量之间的传递函数保持不变与输出量之间的传递函数保持不变。例例 试利用结构图等效变换法则求图中试利用结构图等效变换法则求图中u3u3对对u1u1的的传递函数。传递函数。解解 分别应用结构图等效变换法对图进行等效变分别应用结构图等效变换法对图进行等效变换，其过程如下换，其过程如下最后得最后得型滤波器的传递函数为型滤波器的传递函数为
36、 112122112212113sCRCRCRsCCRRsUsU第七节第七节 信号流图及梅森增益公式信号流图及梅森增益公式信号流图的基本概念信号流图的基本概念 导入导入:信号流图与结构图很相似，它是以图形的形式表示一信号流图与结构图很相似，它是以图形的形式表示一组代数方程所描述的系统变量之间的关系。若代数方组代数方程所描述的系统变量之间的关系。若代数方程组为程组为 表示结果。表示原因，式中ijnjjijixxxax11 由节点和支路组成的一种由节点和支路组成的一种信号传递网络信号传递网络;节点节点代表方程式中的变量，以代表方程式中的变量，以小圆圈小圆圈表示；表示；支路支路是连接两个节点的是连接
37、两个节点的定向线段定向线段，用，用支路增益支路增益表示方程中两个变量的因果关系，因此支路相当表示方程中两个变量的因果关系，因此支路相当于乘法器。于乘法器。例如代数方程组为例如代数方程组为其信号流图如图所示其信号流图如图所示11213324435245xxxxexxaxfxxbxxdxcxgxkGaL梅森梅森(S.J.Masn)(S.J.Masn)增益公式增益公式特征因式；道总数；由源点至汇点的前向通；从源节点到汇点的增益:11:3211mmnkkkLLLLnGGG 为从输入节点到输出节点的传递函数为从输入节点到输出节点的传递函数(或总增益或总增益)；为从输入节点到输出节点的前向通路总数；为从输
38、入节点到输出节点的前向通路总数；为从输入节点到输出节点的第前向通路总增益为从输入节点到输出节点的第前向通路总增益1nkkkGGGkGn 12311mmLLLL 称为流图特征式称为流图特征式值。路除去以后的条前向通路相接触的回与第即在信号流图中，把条前向通路的余因式，第条前向通路的增益；第益乘积；个不接触回路的回路增任何回路增益乘积；任何两个不接触回路的路的增益；信号流图中每一反馈回kk:k:m:21kkmGLLL例例:试求图中所示各信号流图中的源点到汇点的增益试求图中所示各信号流图中的源点到汇点的增益G G。解解:1):1)对于图对于图(a),(a),运用梅森公式，有运用梅森公式，有bdabc
39、GabcGbd111112)2)对下图，运用梅森增益公式，有对下图，运用梅森增益公式，有11111cgbcdfGabcdeabcdeGcgbcdf 3)3)对于图对于图(c)(c)，运用梅森增益公式，有，运用梅森增益公式，有1122334411111icdhGabcdefGagdefiGagjfiGabcjf 111abcdefagdefiagjfiabcjfGicdh 1111144332211abcjfGiagjfGiagdefGabcdefGcdhi4)4)对于图对于图(d)(d)，运用梅森增益公式，有，运用梅森增益公式，有 11111bidjfk bcdefgmbidj bifk dj
40、fkGabcdefghabcdefghGbidjfk bcdefgmbidj bifk djfkbidjfk 信号流图的绘制信号流图的绘制:信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统结信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统结构图按照对应关系得到。构图按照对应关系得到。(1)(1)由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 对于含有微分或积分的线性方程，一般应通过拉对于含有微分或积分的线性方程，一般应通过拉氏变换，将微分方程或积分方程变换为氏变换，将微分方程或积分方程变换为s s的代数方程后的代数方程后再画信号流图。再画信号流图。绘制信号流图时，首先对系统的每个变量指定一绘制信号流
41、图时，首先对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左到右顺个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左到右顺序排列；序排列；然后，用标明支路增益的支路，按照数学方程式然后，用标明支路增益的支路，按照数学方程式将各节点变量正确连接，便可得到系统的信号流图。将各节点变量正确连接，便可得到系统的信号流图。(2)(2)由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图 结构图中，由于传递的信号标记在信号线上，方结构图中，由于传递的信号标记在信号线上，方框则是对变量进行变换或运算的算子。框则是对变量进行变换或运算的算子。因此，从系统结构图绘制信号流图时，只需在结构因此，从系统结构图绘制信号
42、流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，便可得到节图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，便可得到节点；点；用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路，于是，结构图也就变换为相应的信号流图了。到支路，于是，结构图也就变换为相应的信号流图了。例例:试画出图示试画出图示T T型网络的信号流图，并用梅森公式求型网络的信号流图，并用梅森公式求输出电压输出电压u1u1对输入电压对输入电压u2u2的传递函数。的传递函数。解解:1):1)根据欧姆定律和克希荷夫第一定律列写象函数如根据欧姆定律和克希荷夫第一定律列写象函数如下下:13112321
43、33233221UUIRIIIIC sUUUIRIC s UU 21113212233213312211IsCUURURUIIsCUIIIRURUI式进行变换，得对2)2)根据根据(2)(2)式画出信号流图如图示。式画出信号流图如图示。3)3)求传递函数求传递函数:根据信号流图，应用梅森公式有根据信号流图，应用梅森公式有2211212221221221212212121212111111112111111112111R CsR CsR CsRC CsRC CsR CsR CsRC CsGRCsRCsRC CsGR CsR CsR CsR Cs 1122122112221221221222122
44、22121221212121GGGRC sRC sR C C sR C C sRC sRC sR C C sR C C sRC sR C C sR CCs 用梅逊增益公式求传递函数用梅逊增益公式求传递函数:用梅逊增益公式求传递函数用梅逊增益公式求传递函数:第八节第八节 开环传函与闭环传函开环传函与闭环传函 1.1.开环传递函数开环传递函数反馈控制系统的典型结构图反馈控制系统的典型结构图R(s)R(s)和和 N(s)N(s)都是施加于系统的外作用，都是施加于系统的外作用，R(s)R(s)是有用输入作用，简称输入信号，是有用输入作用，简称输入信号，N(s)N(s)为扰动作用；为扰动作用；c(s)c
45、(s)是系统的输出信号。是系统的输出信号。12()()()()()()B sG sG s G s H sR s开环传递函数的定义开环传递函数的定义:当主反馈当主反馈 断开时，在初始条件为零时，主断开时，在初始条件为零时，主反馈量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。反馈量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.2.闭环传递函数闭环传递函数 输入信号下的闭环传递函数输入信号下的闭环传递函数:令令 N(s)=0N(s)=0，可求出输入信号，可求出输入信号R(s)R(s)到输出信号到输出信号C(s)C(s)之间的传递函数为之间的传递函数为 12121C sGs GssR sGs Gs H s 扰动作用下的
46、闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数:令令R(s)=0R(s)=0，可求出输入信号，可求出输入信号N(s)N(s)到输出信号到输出信号C(s)C(s)之间的传递函数为之间的传递函数为 2121NC sGssN sG s Gs H s当输入信号和扰动信号同时作用时系统的输当输入信号和扰动信号同时作用时系统的输出响应为出响应为 sRsHsCsHsGsHsGsGsNsGsRsGsGsHsGsGsNssRssCN1111112122121的条件，则可简化为和在上式中，如果满足 由此表明，系统的输出只取决于反馈通路由此表明，系统的输出只取决于反馈通路传递函数传递函数H(s)H(s)及输入信号及输入信号R
47、(s)R(s)，既与前向通路，既与前向通路传递函数无关，也不受扰动作用的影响。特别传递函数无关，也不受扰动作用的影响。特别是当是当H(s)=1H(s)=1，即单位反馈时，即单位反馈时，C(s)R(s)C(s)R(s)，从，从而实现了对输入信号的完全复现，且对扰动具而实现了对输入信号的完全复现，且对扰动具有较强的抑制作用。有较强的抑制作用。闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数:闭环系统在输入信号和扰动信号同时作用闭环系统在输入信号和扰动信号同时作用时以误差信号时以误差信号E(s)E(s)作为输出量时的传递函作为输出量时的传递函数数 12212111eenE ssR sG s Gs H sE sGs H ssN sG s Gs H s 各种闭环传递函数的分母形式均相同，这是各种闭环传递函数的分母形式均相同，这是因为它们都是同一信号流图的因为它们都是同一信号流图的特征式特征式，即，即=1+G1(s)G2(s)H(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)，式中，式中G1(s)G2(s)H(s)G1(s)G2(s)H(s)是回路增益，它即是上图系统的是回路增益，它即是上图系统的开环传递函数。开环传递函数。sHsGsGsHsGsNsEssHsGsGsRsEsene21221111 2121NC sGssN sGs Gs Hs 12121C sGs GssR sGs Gs H s
