1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法第一节第一节 前前 言言第二节第二节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念第三节第三节 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则第四节第四节 根轨迹草图绘制举例根轨迹草图绘制举例第五节第五节 参量根轨迹参量根轨迹 第六节第六节 增加极点或零点对根轨迹的影响增加极点或零点对根轨迹的影响 第七节第七节 设计实例设计实例 闭环系统的特征根与其运动特性是紧密闭环系统的特征根与其运动特性是紧密相关的，如果我们能够确定闭环系统的特相关的，如果我们能够确定闭环系统的特征根，那么就可以掌握瞬态响应的基本特征根，那么就可以掌握瞬态响应的基本特征。征。然而，在没有计算机之前，求解高次代然
2、而，在没有计算机之前，求解高次代数方程是很困难的数方程是很困难的.为了解决这个问题，为了解决这个问题，19481948年伊文斯年伊文斯（W.R.EvansW.R.Evans）提出了根轨迹。）提出了根轨迹。所谓根轨迹是指当系统中某一参数的所谓根轨迹是指当系统中某一参数的数值从零至无穷大变化时，闭环系统特征数值从零至无穷大变化时，闭环系统特征方程的根在根平面上所描绘的曲线。方程的根在根平面上所描绘的曲线。应用这些曲线可以分析不同参数情况应用这些曲线可以分析不同参数情况下的系统过渡过程特征，以及进一步指出下的系统过渡过程特征，以及进一步指出改善系统过渡过程品质的方向。改善系统过渡过程品质的方向。应用
3、根轨迹曲线研究系统运动特性的应用根轨迹曲线研究系统运动特性的方法，称为根轨迹法。方法，称为根轨迹法。在根轨迹法中，最常用的变化参数是系统在根轨迹法中，最常用的变化参数是系统开环增益开环增益K K或与之成比例的所谓根轨迹增益或与之成比例的所谓根轨迹增益K K*。有时也取其他参数为变化参数，但用的不多，有时也取其他参数为变化参数，但用的不多，所以以后不特别指明，变化参数均为所以以后不特别指明，变化参数均为K K或或K K*。用根轨迹法不但可以进行系统分析，而且用根轨迹法不但可以进行系统分析，而且可以进行系统设计，它是经典控制理论的基本可以进行系统设计，它是经典控制理论的基本方法之一。方法之一。本章
4、主要介绍根轨迹的本章主要介绍根轨迹的基本概念基本概念、作图方作图方法法，并通过例题给出用根轨迹分析系统的方法。，并通过例题给出用根轨迹分析系统的方法。根轨迹定义根轨迹定义：当系统中某一参数的数值从零至：当系统中某一参数的数值从零至无穷大变化时，闭环系统特征方程的根在平面无穷大变化时，闭环系统特征方程的根在平面上所描绘的曲线。上所描绘的曲线。根轨迹法定义根轨迹法定义：应用根轨迹曲线研究系统运动：应用根轨迹曲线研究系统运动特性的方法，称为根轨迹法。特性的方法，称为根轨迹法。本章重点本章重点：本章主要介绍根轨迹的基本概念、：本章主要介绍根轨迹的基本概念、作图方法、并通过例题给出用根轨迹分析系统作图方
5、法、并通过例题给出用根轨迹分析系统的方法。的方法。41 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念一、一、二阶系统的根轨迹二阶系统的根轨迹 我们先举一个例子来说明根轨迹我们先举一个例子来说明根轨迹例例4 41 1 若二阶系统的结构图如图若二阶系统的结构图如图4 41 1所示，试所示，试绘绘 制其根轨迹曲线。制其根轨迹曲线。解：根据图解：根据图4 41 1得系统闭环传递函数为得系统闭环传递函数为 KssKKssKKssKs222215.02022Kss14Ks112,124，KK2式中式中闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为解方程解方程(4-1)(4-1)得得对对(4-2)(4-2)式取不同的式取不同的
6、值，值，得对应得对应 的数值列表的数值列表4-14-1。K2,1s根据表41绘出系统的根轨迹曲线示于图42。分析：由根轨迹曲线可以看出：当K1时，闭环系统的特征根为具有负实部的共轭复数。K1s2s0025.0293.0707.11115.107.71j07.71j211j11j3414.11j414.11j4732.11j732.11j521j21j1031j31jj1j1表 4-1 例 4-1 中 与 的对应值K2,1s 二、辐角条件和幅值条件二、辐角条件和幅值条件 高阶系统特征方程的求解遇到困难时，高阶系统特征方程的求解遇到困难时，其根轨迹的画法就不能和上述二阶系统一其根轨迹的画法就不能和
7、上述二阶系统一样先求出闭环系统的特征根；如果易于求样先求出闭环系统的特征根；如果易于求解，根轨迹就失去了意义。解，根轨迹就失去了意义。事实上，高阶系统的根轨迹是用图解事实上，高阶系统的根轨迹是用图解法绘制的。法绘制的。下面将重点介绍绘制根轨迹的基础下面将重点介绍绘制根轨迹的基础辐角条件辐角条件和和幅值条件。幅值条件。1G ssG s H s 10G s H s 1G s H s 闭环传递函数为闭环传递函数为为系统开环传递函数，而闭环系统的特征方程为为系统开环传递函数，而闭环系统的特征方程为 G s H s ,2,1,0112argkeesHsGkjsHsGj 1sHsG ,2,1,012arg
8、kKsHsG rnjjrmiipsszsKsHsG11比较式两端的模和幅角，可得比较式两端的模和幅角，可得一般开环传递函数可写成一般开环传递函数可写成 1G s H s 11n rjjmiiPKKZ 称为根轨迹增益，它与系统开环增益称为根轨迹增益，它与系统开环增益 存在下述存在下述关系：关系：式中式中 为开环系统零点，为开环系统零点，为开环系统极点，为开环系统极点，izjpKK 11miin rrjjKszG s H sssp 11111()11()1mmiiiiin rn rrrjjjjjKzsKszzG s H ssspspsp 11mjjniispKsz 由 1G s H s 111rn
9、jjrmiipsszsK有miirnjjrzspssK11则如果将积分环节视为如果将积分环节视为 的特殊情况，则上式可的特殊情况，则上式可写成写成0jp,2,1,012argarg11kkpszsnjjmii,2,1,01211kknjjmiiarg,argiijjszsp令 11miin rrjjKszG s H sssp arg210,1,2,G s H sKk 因为因为 23KszG s H ss spsp 系统开环传递函数为系统开环传递函数为p1p2p31230s1zj112131s spspKsz12321k11argarg2 1mnijijs zs pk11210,1,2,mnij
10、ijkk 11mjjniispKsz,2,1,012321kk321,zspspssK131211取取s s平面上任一点平面上任一点s1s1为实验点，画出由零点和极点至为实验点，画出由零点和极点至s1s1的矢量，并计算各矢量的模和辐角，如果下式成立，的矢量，并计算各矢量的模和辐角，如果下式成立，则则s1s1是根轨迹上的一个点是根轨迹上的一个点式中式中分别为开环系统零、极点至分别为开环系统零、极点至s1所画的各所画的各s1s1的根轨迹增益由下式确定：的根轨迹增益由下式确定：矢量的辐角。矢量的辐角。通过上例归纳出根据开环系统传递函数的零极通过上例归纳出根据开环系统传递函数的零极点绘制根轨迹曲线的步
11、骤如下：点绘制根轨迹曲线的步骤如下：1 1）在）在s s平面上找出所有满足辐角条件的点，平面上找出所有满足辐角条件的点，然后把这些点连接成光滑曲线，这些曲线就然后把这些点连接成光滑曲线，这些曲线就是是K K*由零变至无穷大时的根轨迹。由零变至无穷大时的根轨迹。2 2）应用辐值条件，对根轨迹上若干所关心）应用辐值条件，对根轨迹上若干所关心 的点计算的点计算K K*，并标在该点旁边，如果有必要，并标在该点旁边，如果有必要还可求出相应的还可求出相应的K K值。值。分析：分析：由上面的步骤不难看出，按照这样的试探法绘由上面的步骤不难看出，按照这样的试探法绘制根轨迹曲线是很复杂的。所以，在一般情况下，先
12、制根轨迹曲线是很复杂的。所以，在一般情况下，先根据根轨迹的性质绘制草图，然后再对感兴趣的点计根据根轨迹的性质绘制草图，然后再对感兴趣的点计算出精确值。算出精确值。42 根轨迹的性质及草图绘制法则根轨迹的性质及草图绘制法则一、根轨迹的起点、终点和分支数一、根轨迹的起点、终点和分支数 原则：原则：根轨迹的起点是指当根轨迹增益根轨迹的起点是指当根轨迹增益 时的根时的根 轨迹点，而终点是指轨迹点，而终点是指 时的根轨迹点。时的根轨迹点。根轨迹起于开环传递函数的极点，终于开环根轨迹起于开环传递函数的极点，终于开环传递函数的零点，根轨迹的分支数等于开环系传递函数的零点，根轨迹的分支数等于开环系统的极点数统
13、的极点数n n与零点数与零点数mm之大者。之大者。0KKmiinjjzspsK11分析：分析：由根轨迹的幅值条件由根轨迹的幅值条件可知，时，当jpsK0 故有故有n条根轨迹起始于条根轨迹起始于开环传递函数的极点；开环传递函数的极点；，时，当izsK故有故有m条根轨迹终止于条根轨迹终止于开环传递函数的零点。开环传递函数的零点。11limlimnjn mjmssiispKsnmsz ，在物理系统中，在物理系统中，mmn n。当。当mnmn时，有时，有n-mn-m条根条根轨迹终止于无穷远处。的确，当轨迹终止于无穷远处。的确，当ss时，时，如果把有限值零点称为有限零点，把无穷远处的零点如果把有限值零点
14、称为有限零点，把无穷远处的零点称为无穷零点，则可以说所有的根轨迹均终止于零点。称为无穷零点，则可以说所有的根轨迹均终止于零点。当变化参数为当变化参数为K K时，时，nmnm；当变化参数不是；当变化参数不是K K时，可时，可能能nmnm。因此，根轨迹的分支数等于。因此，根轨迹的分支数等于mm和和n n之大者。之大者。二、根轨迹的对称性二、根轨迹的对称性 由于闭环系统特征方程的根只有实由于闭环系统特征方程的根只有实数和共轭复数两种，所以根轨迹必然对数和共轭复数两种，所以根轨迹必然对称于实轴。称于实轴。三、实轴上的根轨迹三、实轴上的根轨迹原则：原则：对于实轴上某一区域，如果在其对于实轴上某一区域，如
15、果在其右方的开环实数极点个数与开环实数零右方的开环实数极点个数与开环实数零点之和等于奇数，则该区域是根轨迹。点之和等于奇数，则该区域是根轨迹。请看下一页的图45。由前页图可得出以下结论：由前页图可得出以下结论：1 1）开环共轭复数极点）开环共轭复数极点 和和 至至 的矢量辐角之和的矢量辐角之和为为 所以开环系统共轭复数极点对实所以开环系统共轭复数极点对实轴上的根轨迹辐角条件式没有影响。同理，开环共轴上的根轨迹辐角条件式没有影响。同理，开环共轭复数零点轭复数零点 和和 对实轴上的根轨迹辐角条件也没对实轴上的根轨迹辐角条件也没有影响。有影响。2 2）试验点）试验点 之左的开环实数极点之左的开环实数
16、极点 和实数零点和实数零点 至至 的矢量辐角均等于零，对实轴上根轨迹辐角的矢量辐角均等于零，对实轴上根轨迹辐角条件没有影响。条件没有影响。3p4p1s,2433z4z1s1s2z2p3 3）试验点）试验点 之右的开环实数极点之右的开环实数极点 和实数零点和实数零点 至至 的矢量辐角均等于的矢量辐角均等于 。由上面三点可知，在计算各矢量辐角时，只需计算由上面三点可知，在计算各矢量辐角时，只需计算在试验点之右的开环实数极点和实数零点至该试验点的在试验点之右的开环实数极点和实数零点至该试验点的矢量辐角即可。矢量辐角即可。1s1p1z1s 11221,0,1,2,mniijBAABAkk ,12 kB
17、A,2,1,0k若在实验点之右有若在实验点之右有A A个实数极点和个实数极点和B B个实数零点，个实数零点，在不计算开环复数零、极点和实验点之左零极点在不计算开环复数零、极点和实验点之左零极点至实验点的矢量辐角时，则可写成至实验点的矢量辐角时，则可写成对于图对于图4-54-5的的 点，点，A=1A=1，B=2B=2，A+B=2A+B=2，所以，所以 区间的实轴不是根轨迹。区间的实轴不是根轨迹。1s),(12zp四、根轨迹的渐近线四、根轨迹的渐近线*1212()()()()(),()()()()mnKszszszG s H snmspspsps*()()()n maKG s H ss当当 很大时
18、，可近似为：很大时，可近似为：1()()n mn mn maassnms1121112()()()()()()()nmn mn mnijijmspspspspz sszszsz 210,1,2,1akknmnmmnzpnjmiija11四、根轨迹的渐近线四、根轨迹的渐近线若若 在在 时，有时，有 条根轨迹伸向无条根轨迹伸向无穷远处，并在无穷远处根轨迹趋近于渐近线，则渐近穷远处，并在无穷远处根轨迹趋近于渐近线，则渐近线与正实轴的交角为线与正实轴的交角为渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为,mn Kmn式中式中 为开环传递函数极点，为开环传递函数极点，为开环传递函数零点。为开环传递函数零点。j
19、piz 21sssKsHsG例例 4-2 4-2 若开环系统传递函数为若开环系统传递函数为试画其实轴上的根轨迹和试画其实轴上的根轨迹和s s时的渐近线。时的渐近线。，210321ppp1101213nmjijiapznm 解解1)1)在图在图4-64-6上标出开环传递函数极点：上标出开环传递函数极点：2)2)在实轴上在实轴上(-1,0)(-1,0)和和(-,-2)(-,-2)区间之右的实数区间之右的实数零极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是零极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是根轨迹。根轨迹。3)3)本题本题n=3n=3，m=0m=0，故有三条根轨迹在，故有三条根轨迹在K K时伸向无穷远处
20、，其渐近线与实轴的交点为时伸向无穷远处，其渐近线与实轴的交点为31212kmnka渐近线与正实轴的交角为渐近线与正实轴的交角为；3/a当当k=0k=0时，时，；a当当k=1k=1时，时，。3/a当当k=-1k=-1时，时，p1p2p3j18060-60图 4-6五、根轨迹的分离点五、根轨迹的分离点 当当K K*由零至无穷大变化过程中，几条根轨由零至无穷大变化过程中，几条根轨迹在迹在s s平面某一点相遇后立即分开，这一平面某一点相遇后立即分开，这一点称为分离点。点称为分离点。最常见的分离点出现在实轴上，实轴上最常见的分离点出现在实轴上，实轴上的分离点由两种情况：的分离点由两种情况：i)i)实轴上
21、的根轨迹相向运动，在某一点相遇实轴上的根轨迹相向运动，在某一点相遇后进入复数平面；后进入复数平面；五、根轨迹的分离点五、根轨迹的分离点ii)ii)复数平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴复数平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴上相遇，然后趋向实轴上的零点。上相遇，然后趋向实轴上的零点。不难看出，如果根轨迹在两相邻极不难看出，如果根轨迹在两相邻极点或两相邻零点之间至少有一个分离点。点或两相邻零点之间至少有一个分离点。下面介绍分离点的求法。下面介绍分离点的求法。sQsPKsHsG 001sQsPKsQsPK1.1.方法一方法一 分离点对应闭环特征方程的重分离点对应闭环特征方程的重根，可以此作为计算分离点的
22、依据。若系统开根，可以此作为计算分离点的依据。若系统开环传递函数为环传递函数为式中式中P(s)P(s)和和Q(s)Q(s)为为s s的多项式函数，则其闭环特的多项式函数，则其闭环特征方程为征方程为 00222sssQsPKdsdsQsPK 1,2,1,00ilsQsPKdsdlssii若若s2s2是方程的二重根，则是方程的二重根，则s2s2满足下面二式：满足下面二式：而而 次重根次重根 应满足应满足llS在此应指出，若按上式求出的所谓分离点处的在此应指出，若按上式求出的所谓分离点处的K K00，则此点不在根轨迹上，不是分离点。，则此点不在根轨迹上，不是分离点。24sssKsHsG例例 4-3
23、4-3 若开环传递函数为若开环传递函数为试求根轨迹的分离点，并绘制根轨迹草图。试求根轨迹的分离点，并绘制根轨迹草图。024024101sssKsssKsHsG024024sssKdsdsssK解解 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为分离点应满足分离点应满足12sK得得0882 ss整理得整理得828.6172.12221ss解方程得解方程得656.111828.62344.01172.1221KK得分离点的得分离点的K K值值j 方法二：方法二：设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 由系统闭环特征方程，得由系统闭环特征方程，得 求极值求极值即可确定分离点（或会合点）的参数。即可确定分离点
24、（或会合点）的参数。*1212()()()()()()()()mnKszszszG s H sspspsp*1212()()()()()()nmspspspKszszsz *0dKds若开环传递函数为若开环传递函数为 由由 得得 解之得解之得 相应的增益为相应的增益为 42KsG s H ss s2*(2)244s sssKss *0dKds2880ss121.172,6.828ss 10.344K211.656K 方法三：方法三：分离点（或会合点）的坐标可由方程分离点（或会合点）的坐标可由方程 解出，其中解出，其中 为开环极点，为开环极点，为开环零点。为开环零点。1111nmjijidpdz
25、jpiz分离角分离角 分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。向与离开分离点的切线方向之间的夹角。分离角为分离角为210,1,2,1kkll显然，当显然，当2l 时，分离角必为直角时，分离角必为直角。六、根轨迹的起始角和终止角六、根轨迹的起始角和终止角 为使所绘制的根轨迹草图有一定精度，还需要求为使所绘制的根轨迹草图有一定精度，还需要求出根轨迹在开环复数极点和零点附近的移动方向。出根轨迹在开环复数极点和零点附近的移动方向。起始角：根轨迹在开环复数极点处的切线与正实轴的起始角：根轨迹在开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角
26、夹角称为起始角 六、根轨迹的起始角和终止角六、根轨迹的起始角和终止角 终止角终止角 ：根轨迹在开环复数零点处的切线与正实根轨迹在开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角轴的夹角称为终止角 。试验点试验点s1s1在十分靠近某开环复数极点或零点的地在十分靠近某开环复数极点或零点的地方移动时，由其他开环极点或零点指向方移动时，由其他开环极点或零点指向s1s1的矢量幅角的矢量幅角之和可认为保持不变。之和可认为保持不变。njjmiipljlk1112njjmiizlilk1112因此，根轨迹在开环复数极点的起始角和在开环零点因此，根轨迹在开环复数极点的起始角和在开环零点处的终止角可由辐角条件解出。起
27、始角为处的终止角可由辐角条件解出。起始角为终止角为终止角为式中式中 和和 分别为待求的起始角和终止角，分别为待求的起始角和终止角，和和 为由其余开环零点和极点指向根轨迹终止的开环为由其余开环零点和极点指向根轨迹终止的开环零点或起始的开环极点的矢量辐角。零点或起始的开环极点的矢量辐角。ilplzj起始角可表示为：起始角可表示为：式中式中 分别表示矢量分别表示矢量 与正实轴之间的夹角。与正实轴之间的夹角。011180liljlmnpz pp pijj l,iljlz pp p,iljlz pp p终止角为终止角为 式中式中 和和 分别为待求的起始角角，分别为待求的起始角角，和和 为由其余开环零点和
28、极点指向根轨迹终为由其余开环零点和极点指向根轨迹终止的开环零点或起始的开环极点的矢量辐止的开环零点或起始的开环极点的矢量辐角角。1121li lmnzijijk 011180liljlmnzz zp zijillplzij 5.15.05.15.05.212125.1jsjsssjsjssKsHsG例例 4-4 4-4 若开环系统的传递函数若开环系统的传递函数为为试求根轨迹的起始角、终止角及根轨迹草图试求根轨迹的起始角、终止角及根轨迹草图。，12125.15.15.05.15.05.204321jzjzzjpjppp 903arg5.15.05.15.0argarg9.365.12arg5.2
29、5.15.0argarg4.1085.15.0arg05.15.0argarg595.25.1arg125.15.0argarg4.185.05.1arg125.15.0argarg3.565.11arg5.15.15.0argarg433232131333232131jjjppjjppjjppjjjzpjjjzpjjzp解：1)1)在图上标出开环传递函数的极点和零点，在图上标出开环传递函数的极点和零点，并画出由并画出由p3p3以外各零极点指向以外各零极点指向p3p3的矢量。的矢量。2)2)确定确定p3p3的起始角的起始角j124p3213 4.78909.364.108594.183.561
30、80123 kp4.784p把上述指向把上述指向p3p3的矢量辐角代入的矢量辐角代入(4-45)(4-45)式，得式，得3)3)确定确定p4p4的起始角的起始角 由于根轨迹的对称性，所以由于根轨迹的对称性，所以p4p4的起始角为的起始角为 1215.25.1arg5.15.012argarg4.1985.05.1arg5.15.012argarg4.6315.0arg5.212argarg4.15312arg012argarg902arg1212argarg6.11615.0arg5.112argarg424323222121323121jjjpzjjjpzjjpzjjpzjjjzzjjzz4
31、)4)确定确定z2z2的终止角的终止角 图图4-124-12示出除示出除z2z2之外各开之外各开环零极点至环零极点至z2z2的矢量辐角，根据图的矢量辐角，根据图4-124-12可得可得j123412z3 6.1491214.1984.634.153906.116180122kz6.1493z把上述各角度代入把上述各角度代入(4-46)(4-46)式，得式，得5)5)确定确定z3z3的终止角的终止角 同样，由于根轨迹的对称同样，由于根轨迹的对称性，得性，得z3z3的终止角为的终止角为6)6)应用根轨迹性质及绘制法则画出的根轨迹草应用根轨迹性质及绘制法则画出的根轨迹草图示于图图示于图4-134-1
32、3请看下一页的图4-13。78.4-78.4149.6-149.6j 根轨迹曲线从左半根轨迹曲线从左半s s平面通过虚轴进入右半平面通过虚轴进入右半s s平面以后，平面以后，系统就变的不稳定了。系统就变的不稳定了。因此精确的确定根轨迹与虚轴的交点是非常之必要的，因此精确的确定根轨迹与虚轴的交点是非常之必要的，确定该交点最方便的方法是应用劳思稳定性判据来确定。确定该交点最方便的方法是应用劳思稳定性判据来确定。七、根轨迹与虚轴的交点七、根轨迹与虚轴的交点 方法一：应用劳思稳定性判据方法一：应用劳思稳定性判据 当两条根轨迹对称原点交于虚轴时，闭环系统将有一当两条根轨迹对称原点交于虚轴时，闭环系统将有
33、一对纯虚根出现，此时劳思行列表的对纯虚根出现，此时劳思行列表的 行左端第一个数等于行左端第一个数等于零，而行列表左端第一列其它数均大于零。因此，可以利零，而行列表左端第一列其它数均大于零。因此，可以利用这一关系确定根轨迹与虚轴的交点。用这一关系确定根轨迹与虚轴的交点。ls七、根轨迹与虚轴的交点七、根轨迹与虚轴的交点 方法二：方法二：将将 代入特征方程中得：代入特征方程中得：或或 令令 则可解出则可解出 值及对应的临界开环增益值及对应的临界开环增益 及及 来。来。sj1()()0G jH jRe1()()Im1()()0G jH jG jH jRe1()()0Im1()()0G jH jG jH
34、 j*KK 21sssKsHsG例例 4-5 4-5 若开环系统传递函数为若开环系统传递函数为试求系统根轨迹与虚轴的交点，并绘制全部根试求系统根轨迹与虚轴的交点，并绘制全部根轨迹草图轨迹草图 21sssKsHsG021Ksss02323Ksss解解 该系统的开环传递函数该系统的开环传递函数其闭环特征方程为其闭环特征方程为即即1)1)列写劳思行列表列写劳思行列表0123ssssKKK0323212)2)求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点03/2K0K 6K 0632s，22,1js-1-2j njjmiipszsKsHsG11njjnjjsp11八、根之和八、根之和与根之积与根之积系统开环
35、传递函数为系统开环传递函数为1)1)若满足若满足nm+2nm+2，则，则 njjmiipszsKsHsG11njjmiiszK11八、根之和与八、根之和与根之根之积积系统开环传递函数为系统开环传递函数为2)2)若开环传递函数在原点有极点，则若开环传递函数在原点有极点，则式中式中 为系统开环传递函数零点为系统开环传递函数零点 为开环传递函数的极点为开环传递函数的极点 为该系统闭环传递函数的极点为该系统闭环传递函数的极点。izjpjs 110mnijijKszsp 10nijss 111mnnijiijjKszspss 证明证明 或写成或写成因上面两个方程实为一个方程，所以有下面等式：因上面两个方
36、程实为一个方程，所以有下面等式：11miinjjKszGsHssp 其闭环特征方程为其闭环特征方程为 111111mmnnmmnniijjiijjKszszspsp 111nnnnjjjjssss 11nnjjjjps 若满足若满足nm+2nm+2，则，则 和和 项的系数项的系数与与 和和 无关，所以存在无关，所以存在ns1nsK1Z 111mnnijiijjKszspss 111111mmnnmmnniijjiijjKszszspsp 111nnnnjjjjssss 2)2)若开环传递函数在原点有极点，则左端第二部若开环传递函数在原点有极点，则左端第二部分常数项为零，所以有分常数项为零，所以
37、有 11mnijijKzs 11miiz 110mnijijKszsp 10nijss 111mnnijiijjKszspss 或写成或写成 11miinjjKszGsHssp 其闭环特征方程为其闭环特征方程为 111111mmnnmmnniijjiijjKszszspsp 111nnnnjjjjssss 若开环传递函数在原点有极点，则左端第二部分常若开环传递函数在原点有极点，则左端第二部分常数项为零，所以有数项为零，所以有 11mnijijKzs 11miiz 分析：分析：根之和表明，当根之和表明，当 变化时，闭环特征方程变化时，闭环特征方程根的重心根的重心 保持不变。保持不变。也就是说，当
38、系统满足也就是说，当系统满足nm+2nm+2时，闭环传递函数时，闭环传递函数的极点之和与根轨迹增益无关，而且等于该系统开环的极点之和与根轨迹增益无关，而且等于该系统开环传递函数极点之和；传递函数极点之和；即随即随 的增大，若闭环特征方程的某些根在的增大，若闭环特征方程的某些根在s s平面上平面上向左移动，其它根必向右移动，使其和保持不变。向左移动，其它根必向右移动，使其和保持不变。这一特性可以估计根轨迹曲线的变化趋势，并可用这一特性可以估计根轨迹曲线的变化趋势，并可用这一关系式确定其中的某个未知闭环极点。这一关系式确定其中的某个未知闭环极点。K1/njjpn K11nnjjjjps 表明：当开
39、环系统含有积分环节时，闭环表明：当开环系统含有积分环节时，闭环传递函数极点之积与开环传递函数极点无关，仅传递函数极点之积与开环传递函数极点无关，仅与与开环零点及根轨迹增益开环零点及根轨迹增益 有关有关 。这一关系式也可以用来确定其中的未知量。这一关系式也可以用来确定其中的未知量。K 11mnijijKzs 21sssKsHsG例例 若开环系统传递函数为若开环系统传递函数为试确定根轨迹与虚轴相交时所对应的闭环实数根试确定根轨迹与虚轴相交时所对应的闭环实数根321321sssppp213213ssppps；，22621jsjsK210321ppp，3222103jjs解解1)1)方法一方法一 由于
40、该系统满足由于该系统满足nm+2nm+2，有，有由例由例 4-5 4-5 可知，当根轨迹与虚轴相交时，可知，当根轨迹与虚轴相交时，由题设知由题设知所以有所以有即即返 回 1233126322KsssKsssjj 2)2)方法二方法二 由于该系统含有积分环节，有由于该系统含有积分环节，有 11mnijijKzs 4-3 4-3 根轨迹草图绘制举例根轨迹草图绘制举例为了熟悉根轨迹的性质及草图绘制法则，本为了熟悉根轨迹的性质及草图绘制法则，本节再举一些例题。节再举一些例题。31111KG s H ss ssjsj 例例 4-7 4-7 若开环系统传递函数为若开环系统传递函数为试绘制其根轨迹草图试绘制
41、其根轨迹草图1234031111pppjpj ，11nmjijiapznm 0311111.254jj 解解1)1)在图在图(4-15)(4-15)上标出开环传递函数的极点上标出开环传递函数的极点2)2)确定根轨迹的分支数及渐近线确定根轨迹的分支数及渐近线 由于由于m=0m=0，n=4n=4，故有四条根轨迹，而且这，故有四条根轨迹，而且这四条根轨迹当四条根轨迹当 时趋向无穷远处。时趋向无穷远处。渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为K,2,1,041212kkmnka渐近线与实轴的交角为渐近线与实轴的交角为；41a当当k=0k=0时，时，；432a当当k=1k=1时，时，。434a当当k=2
42、k=2时，时，；43a当当k=3k=3时，时，3)3)确定实轴上的根轨迹确定实轴上的根轨迹 由于在由于在(-3,0)(-3,0)区间之右的开环实数零、极点数之和区间之右的开环实数零、极点数之和等于等于1 1，故实轴上，故实轴上(-3,0)(-3,0)区间是根轨迹。区间是根轨迹。221110311dddd 4)4)确定分离点确定分离点 ，1111304321jpjpppd d可采用试探法求解，具体方法是假定一个可采用试探法求解，具体方法是假定一个d d值，并把值，并把它代入式中，直到左端计算的数值与零之差小于它代入式中，直到左端计算的数值与零之差小于给定的值为止。给定的值为止。221.51110
43、.81.51.531.511 222.31110.0272.32.332.311 02.01128.2128.22328.2128.212第一次试探第一次试探 令令d=-1.5d=-1.5，把，把d d的数值代入得的数值代入得第二次试探第二次试探 令令d=-2.3d=-2.3，把，把d d的数值代入得的数值代入得第三次试探第三次试探 令令d=-2.28d=-2.28，把，把d d的数值代入得的数值代入得由上面计算出等式的符号相异可以判断，由上面计算出等式的符号相异可以判断，d d的准确值在的准确值在-2.3-2.3与与-2.28-2.28之间，最大误差小于之间，最大误差小于0.020.02，今
44、取今取d=-2.28d=-2.28。131232434argarg11135argarg131arg 2126.6argarg1111arg290ppjppjjppjjj 321 18013526.69071.6pk 5)5)求复数极点的起始角求复数极点的起始角i)i)求求 p3p3以外各极点指向以外各极点指向p3p3的矢量图示于图的矢量图示于图3p可得可得s11=1352=26.64=90p3=-71.6371.6p 311110s ssjsjK 4325860ssssK 43210sssss185634525634KKKK ii)ii)由于根轨迹的对称性可得由于根轨迹的对称性可得6)6)确
45、定根轨迹与虚轴的交点确定根轨迹与虚轴的交点 闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为其劳思行列表为其劳思行列表为016.85342s。09.14,3js令令 和和 得得 把此把此 值代入值代入 行，并以此行的数值为系数列写方程行，并以此行的数值为系数列写方程 256034K，0K。16.8KK2s解此方程得解此方程得根据上面六步绘制的根轨迹草图示于图根据上面六步绘制的根轨迹草图示于图(4-15)(4-15)。45-4571.6-71.6 42424KG s H ss ssjsj 例例 4-9 4-9 若开环传递函数为若开环传递函数为试画其根轨迹。试画其根轨迹。，4242404321jpjppp20
46、442424011jjmnzpmiinjja解解1)1)在图在图(4-19)(4-19)上标出开环系统极点上标出开环系统极点2)2)确定实轴上的根轨迹在确定实轴上的根轨迹在(-4,0)(-4,0)区间之右仅有区间之右仅有一个实数极点，故此区间实轴是根轨迹。一个实数极点，故此区间实轴是根轨迹。3)3)确定根轨迹分支数及渐近线确定根轨迹分支数及渐近线 由于由于n=4n=4，m=0m=0，故有，故有4 4条根轨迹，且均在条根轨迹，且均在 时伸时伸向无穷远处。其渐近线与实轴的交点为向无穷远处。其渐近线与实轴的交点为K,2,1,041212kkmnka；4/1a；4/32a；4/3a；4/34a 432
47、3242424836804247280f ss ssjsjKssssKdf ssssds 根轨迹与实轴的交角为当k=0时，当k=1时，当k=-1时，当k=-2时，4)确定分离点 该闭环系统的特征多项式为0807224408036823234sssKssss02018623sss根据根据(4-26)(4-26)及及(4-27)(4-27)式，分离点应满足式，分离点应满足和和由于由于G(s)H(s)G(s)H(s)的极点分布对称于的极点分布对称于(-2,j0)(-2,j0)点，根点，根据据(4-48)(4-48)式的根轨迹上的点重心不变原则，可式的根轨迹上的点重心不变原则，可判断判断s2=-2s2
48、=-2为一个分离点，即为一个分离点，即s=-2s=-2是方程的一是方程的一个根。个根。1010422sss45.2245.222322jsjs080368234Kssss因此因此(4-58)式左端除以式左端除以(s+2)可得另外的因子，可得另外的因子，于是于是(4-58)式可分解为式可分解为由上式解出另外两个分离点为由上式解出另外两个分离点为5)求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点 系统闭环特征方程系统闭环特征方程为为0260262s012334ssssssKKKK2626026101808361令令 和和 得得 把此值代入把此值代入 行，并用此行个数构成方程行，并用此行个数构成方程026
49、/260K，0K，260K2s解上面方程得根轨迹与虚轴的交点为解上面方程得根轨迹与虚轴的交点为 。16.32,1js4-4 4-4 参量根轨迹参量根轨迹在用根轨迹分析自动控制系统时，最常用的参变量在用根轨迹分析自动控制系统时，最常用的参变量是是K K*，但有时也取其它参数为变化参量，这时所绘，但有时也取其它参数为变化参量，这时所绘制的根轨迹称为制的根轨迹称为参量根轨迹。参量根轨迹。绘制参量根轨迹的方法绘制参量根轨迹的方法:首先写出系统的闭环特征方程首先写出系统的闭环特征方程然后对此方程进行变换，将其化成下面形式：然后对此方程进行变换，将其化成下面形式：1()()0G s H s 11()0G
50、s 式中式中 为根轨迹所使用的变化参量为根轨迹所使用的变化参量 为以为以s s为自变量的函数，称为为自变量的函数，称为等效开环传递等效开环传递函数。函数。11()0G s 1()G s 这时，可以继续使用以这时，可以继续使用以K K*为变化参量的根轨迹绘制为变化参量的根轨迹绘制法则。法则。例例 若反馈控制系统的结构图如图所示，试若反馈控制系统的结构图如图所示，试画以速度负反馈系数画以速度负反馈系数 为参变量的根轨迹，为参变量的根轨迹，并讨论速度负反馈对系统过渡过程的影响。并讨论速度负反馈对系统过渡过程的影响。05115.911sssssHsG05115.951sssssss05.95.9560
