1、补充：补充：5.2节中详细计算：仅供参考节中详细计算：仅供参考 Sommerfeld展开式展开式设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)0，并且满足条件 ，其中为大于0的常数。在kBT 几个 kBT时，函数的值迅速趋于0，具有 类似于函数的性质。因此，积分的贡献主要来自E EF附近的区域，由于EF kBT，所以，我们可以将积分的下限由0改为-，而并不会影响积分值。dddfIQ EEE 由于(-df/dE)的值集中在E=EF附近，因此，可将Q(E)在E=EF附近展开成Taylor级数。212!FFFFFQ EQ EQEEEQEEEddddddFFFffIQ EEQEEEEEE2d1d2dF
2、FfQEEEEE0dddFFfIQ EEQ EE其中1dddFFfIQEEEEEd011FBxxx xQEk TeeFBEExk T令22d1d2dFFfIQEEEEE22d1211FBxxxxQEk Tee2220d1xBFxx exk TQEe23112112!3!nnnnnnn 利用Taylor展开式：2223201234xxxxBFIk TQEx eeeedx22221112!1234BFk TQE226BFk TQE2222111123412 220d6FBFf E Q EEQ Ek TQESommerfeld展开式的应用展开式的应用1.EF的确定 0Nf E N E dE 2206
3、FBFEN E dEk TNE 0120220162FFFBFEEEN E dEN E dEk TCE 12N ECE Q EN E02200012FFFFBFN ENNN EEEk TE2222000111212BFFFFFk TTEEEET 对于金属，由于对于金属，由于TF T，所以，所以EF EF0。我们可以定性地分析为什么EF会略低于EF0。当T 0时，由于TF T，所以电子的分布函数只在费米能附近几个kBT的范围内有变化，而离费米能较远处电子的分布与T=0时相同。在有限温度下，EF0以下能态的占有几率减小，而EF0以上能态的占有几率增大，可以认为，EF0上下电子占有几率的增大和减小关
4、于EF0是对称的。但是，由于电子的能态密度N(E)随E的增加而增大，即EF0以上的N(E)大于以下的N(E)，因此，若 EF0 上、下电子能态占有率的增加、减少相同，则 EF0以上要多填一些电子。因此，若保持 EF=EF0，那么系统的电子数就要增加，但实际上系统的电子数是一定的，因此，EF必须略低于EF0。0dUEf E N EE2.T 0 K时自由电子系统的总能量的计算：220dd6dFFBEEEN EEk TEN EE 01202203dd62FFFBFEEEEN EEEN EEk TCE22000004FFFFBFUE N EEEk TN E Q EEN E2222000124FBBFU
5、UN Ek Tk TN E22006BFUk TN E22004BFk TUNE0032FFNN EE这里 000dFEUEN EE为T=0时自由电子系统的总能量第二项为T 0时，由于热激发自由电子系统从外界所获得的能量。3200()()dd1expFBEUEN E f EECEEEk T00000120020d()1+exp(y-y)()(1)exp()(1)()1(1)6jjjjjyyF yF yjyyj jF yjy 0()2y01y 附录：T0 时，系统能量的计算，方法二：（共2页）35222025d158-1+expFBFFBEEk TEEE Ek TFBEk T5220205202
6、02()551152482()51512FBBFFFBFEk Tk TEEEk TE532022220222002515124FBFBFEmk TUEnk TUE0/FBTEk补充：费米面处态密度费米面处态密度的推导：3312200022222322222221212()222113232FFFFFFFFmmkN EC EEmmmnnkkkkm003()2FFnN EE1233Fkn这也是一个十分有用的、应当记忆的参数。一一.自由电子的热容自由电子的热容 二二.自由电子的顺磁磁化率自由电子的顺磁磁化率参考：黄昆 书p282-286,p395-399 Kittel 8版6.4节；11.6节 5.
7、1 节中提到：室温下几乎观测不到经典理论预言的自由电子对热容的贡献，因此索末菲自由电子理论能否正确地解释金属热容和顺磁磁化率随温度的变化关系，克服经典电子论的这个困难是它是否成功的考验。其实从5.2节的描述中已经定性地看到了结果，自由电子服从费米-狄拉克分布，只有位于费米面附近的少数电子才能受到 kBT 的热激发，对热容有贡献，其它大部分电子是不能被激发参与热容贡献的，这就改正了经典理论全部电子都参与贡献的错误判断。5.3 金属的热容和顺磁磁化率金属的热容和顺磁磁化率一一.电子热容量：电子热容量：5.2 中我们曾讨论了T0K时电子的分布，此时的能量为：35220002()()d()d()d5U
8、Ef E N EECE f EECEf EE仍利用分部积分和函数 f(E)的特点求解，可得：22005112BFk TUUE由于正常情况下所以能量随温度的增加很小。0FBEk T平均到每个电子的能量为：222020005351112512BBFFFk Tk TuuEEE自由电子系统的克分子热容为：22022BeAABABVFFuk TTCNN kN kTET即便是在较高温度下，TTF，所以：CeCV。但在极低温度下，晶格热容下降很快，电子热容反而会显著起来。343125VABDTCN kbTTeCT所以极低温度下，应有：3eVCCCTbT 实验完全证实了这个关系，测出的 和 b 值都成了标识材
9、料性质的量。（见3.3节）1%热容温度关系图热容温度关系图3BNkDTcT金属极低温下热容的变化曲线：存在一个临界温度，此温度以下，电子热容反而变得比晶格热容更大些。当Ce=CV时，有：3241252ABABDFTTN kN kTT可确定出此时的温度：32524DcFTTT见：Blakemore 书p179对于简单金属，TD 102 K，TF 104 K，估算出TC 1 K的数量级。所以，在很低温度下，电子热容量与晶格热容量同数量级，这时，电子热容量就不可忽略。22eABFTCZN kT注意注意：1.上面的运算过程中，都假定每个原子提供一个自由 电子，如果每个原子提供 Z 个电子，32524D
10、cFZTTT2.热容的讨论中，有的文献习惯用克分子热容，有的 则习惯使用单位体积热容，公式形式上是相同的，只是使用 n 或 NA 的差别。实验结果：K 的热容实验曲线。见Kittel 8版p1052CbTT实验点准确的落在直线上充分说明了理论公式的可靠性。由此确定出：自由电子模型的计算值能带论在考虑了晶格势场对自由电子的影响后，可以解释能带论在考虑了晶格势场对自由电子的影响后，可以解释这个差异的来源。这个差异的来源。2.08,1.668黄昆书黄昆书p285摘自 Kittel 8版p105 从上表中可以看到几个过渡族元素 Mn,Fe,Co,Ni 具有较高的电子热容量，从能带论的观点是可以解释的。
11、通过一定变换，可以得到：电子热容的实验测量结果也是对费米面附近态密度大小电子热容的实验测量结果也是对费米面附近态密度大小的反映。所以极低温电子热容的测量成为金属费米面实验研的反映。所以极低温电子热容的测量成为金属费米面实验研究的手段之一。究的手段之一。220()3eBFCk T N ETENkETkNTTkNCFABFBAFBAe0220222222二二.自由电子的顺磁磁化率：自由电子的顺磁磁化率：问题的提出：问题的提出：电子具有一个自旋磁矩：，无外磁场时，自由电子磁矩取向是混乱的，金属没有宏观磁矩，但施加外磁场后，电子磁矩就有趋于外场的趋势，以至金属在外磁场方向显示出宏观磁矩，这就是金属的顺
12、磁性顺磁性。和电子热容情形相似，金属中观察不到经典模型所预示的关于顺磁磁化率的居里定律 。然而按照量子自由电子理论，这是不难解释的。B/c T这里只考虑 T 0 的极端情况。B=0EF0 B-BN(E)/2N(E)/2 E0当 B=0时，由于电子自旋方向相反的两种取向的几率相等，所以，整个系统不显示磁性，即 M=0。当 B 0时，自旋磁矩在磁场中的取向能：B平行于B：BB；B反平行于B：BB导致两种自旋电子的能级图发生移动，相应的费米能相差2 BB。因此，电子的填充情况要重新调整，即有一部分电子从自旋磁矩反平行于B转到平行于B的方向，最后使两边的费米能相等。N(E)/2 N(E)/2 BBBB
13、BBEB N(E)/2 N(E)/2 BBBBBBEBEF0由于由于 BB TD 范围成立，范围成立，而在中间温度和低温范围，实验上测得许多金属的而在中间温度和低温范围，实验上测得许多金属的 L 数值数值与温度有关，这是因为电导和热导中电子的弛豫过程往往与温度有关，这是因为电导和热导中电子的弛豫过程往往是不同的：是不同的：在电场作用下，在电场作用下，k空间中的电子整体发生移动，同时电子被空间中的电子整体发生移动，同时电子被散射，两者达到平衡而产生一定电流。散射，两者达到平衡而产生一定电流。热导过程则不同，它可以没有电流，电子仍保持对称分布，热导过程则不同，它可以没有电流，电子仍保持对称分布，只是相同数目的只是相同数目的“热热”和和“冷冷”电子向相反方向输运，产电子向相反方向输运，产生热流。生热流。所以上述两种情形，电子应有不同的弛豫时间。所以上述两种情形，电子应有不同的弛豫时间。习题：习题：5.4 黄昆书 6.2 在低温下金属钾的摩尔电子热容的实验结果为，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度 T F和费米面上的能态密度 N(E F)。5.5 铜的密度为 室温下的电阻为 计算 (1)导电电子浓度；(2)弛豫时间；(3)费米能量E F，费米速度 v F；(4)费米面上电子的平均自由程 l F。TCe08.211mJ molK 38.95 g cmm-61.55 10 cm
