1、19-4 幂级数幂级数2一一.正项级数的审敛法正项级数的审敛法(1)正正项项级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件(2)比较审敛法比较审敛法(不等式形式不等式形式)复复 习习(3)比较审敛法（极限形式）比较审敛法（极限形式）(4)比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔达朗贝尔 判别法判别法)(5)根值审敛法根值审敛法(柯西判别法柯西判别法)(0)nnukv nNk ，,limlvunnn 1limnnnuu limnnnu 3二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法1.定义定义:正、负项相间正、负项相间的级数称为的级数称为交错级数交错级数.2.交错级数审敛法交错级数审敛法(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)
2、1 1(1)nnnu 如如果果满满交交错错级级数数足足条条件件：1(1,2,3);(1,nnuun lim2)0(,nnu 则原级数则原级数收敛收敛三、三、任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法定义定义:正项正项和和负项负项任意出现任意出现的级数称为的级数称为任意项级数任意项级数.1,nnu 若若数数收收敛敛级级1nnu 则则级级数数收收敛敛.4第四节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛域二、幂级数及其收敛域 三、幂级数的运算性质三、幂级数的运算性质 幂级数 第九章 5一、一、函数项级数的概念函数项级数的概念1.定义定义：为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级
3、数函数项级数.称式子称式子.)(1 nnxu0nnx 1sin.nnx 定义在定义在 的级数的级数(,)123(),(),(),(),nu x u x u xu xI设设是是定定义义在在区区间间 上上的的函函数数列列,12()()()nu xuxux21xx nxxxsin2sinsin )()()()(211xuxuxuxunnn6对对,I0 x若常数项级数若常数项级数10)(nnxu敛点敛点,所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数若常数项级数10)(nnxu收敛收敛,发散发散,所有所有为其为其收收 为其为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散点的全体称为其发
4、散域发散域.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域说明：说明：函数项函数项级数在级数在某点某点x的的收敛问题收敛问题,实质上是实质上是常数项常数项级数的收敛问题级数的收敛问题.0 x称称0 x称称,xI )()()()(211xuxuxuxunnn201nnxxx ).,1 1,(1xx 7(),S x为为级数的和函数级数的和函数,并写成并写成1()()nnS xux 在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 称它称它3.和函数和函数:1()1s xx )11(x如如:xxs 11)(20(1)1nnnxxx )11(x12()()()()nS xu xu xu x
5、LL 121nxxx,xI )()()()(211xuxuxuxunnn(定义域是定义域是?)?)若用若用()nSx1()()nnkkSxux 余项余项()()()nnrxS xSx则在收敛域上有则在收敛域上有lim()(),nnSxS x lim()0nnrx 表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和,即即8二、幂级数及其收敛域二、幂级数及其收敛域 形如形如00()nnnaxx 201020()()aa xxa xx 的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数,其中数列其中数列 (0,1,)nan 下面着重讨论下面着重讨论00 x 0nnna x 例如例如,幂级数幂级数0nnx
6、为幂级数的为幂级数的系数系数.即是此种情形即是此种情形.的情形的情形,即即称称 1.定义定义：0txx 如如果果令令,00()nnnaxx 0,nnna t .即即为为幂幂级级数数的的简简单单形形式式x称称为为 的的幂幂级级数数,0()nnaxx 2012nnaa xa xa x92.幂级数收敛域的结构：幂级数收敛域的结构：1 x1 x(1,1),22100 xaxaaxannn 22100 xaxaaxannn,120 xxxnn).,11,(幂级数幂级数的收敛域是以原点为中心的对称区间的收敛域是以原点为中心的对称区间.10 0nnnxa)0(00 xxx 0nnnxa0 xx 0 xx 0
7、 xx 0000(1),nnnnnna xxxxa x 若若在在 收收敛敛 当当时时绝绝对对收收敛敛.简记简记:0 x0 x o收敛收敛0000(2),.nnnnnna xxxxa x 若若在在 发发散散 当当时时发发散散0 x0 x o发散发散发散发散11证证:设设00nnnxa,0lim0nnnxa收敛收敛,则必有则必有),2,1(0nMxann于是存在于是存在常数常数 M 0,使使当当 时时,0 xx 00nnxxM收敛收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛.也收敛也收敛,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0 0nnnxa)0(00 xxx0 xx 1
8、2下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点1x01xx0 x满足不等式满足不等式0 xx 所以若当所以若当0 xx 满足满足且使级数收敛且使级数收敛,面的证明可知面的证明可知,级数在点级数在点故假设不真故假设不真.的的 x,原幂级数也原幂级数也发散发散.时幂级数发散时幂级数发散,则对一切则对一切则由前则由前也应收敛也应收敛,与所设矛盾与所设矛盾,证毕证毕 0nnnxa0 xx 0 xx 0 x0 x o收敛收敛0 x0 x o发散发散发散发散13xo R R说明说明:000,nnna xxx 如如果果幂幂级级数数在在处处收收敛敛 则则对对于于开开区区间间000(-,),nnnxx
9、xa x 内内任任何何 都都使使幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛00,nnna xxx 如如果果幂幂级级数数在在处处发发散散00(-,)xx则则在在开开区区间间0nnnxa x 以以外外的的任任何何 都都使使幂幂级级数数发发散散.在在原原点点与与收收敛敛点点.之之间间不不可可能能有有发发散散点点因此因此,阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征14 0nnnxaRx Rx xo R R15xo R RRx Rx 0nnna x 的收敛半径为的收敛半径为R0nnna x 0nnna x ),RR,(RR,RR),(RR),(RR,0 R,R).,(16 0nnnxa，
10、0 na3.幂级数收敛半径的求法：幂级数收敛半径的求法：定理定理2.是它的相邻两项的系数且满足：是它的相邻两项的系数且满足：1,nnaa 1lim,nnnaa limnnna （或或）则则 1;R ;R 0.R 1)当当 0 时时,2)当当 0 时时,3)当当 时时,0nnna x 的收敛半径为的收敛半径为说明说明:据此定理据此定理1limnnnaRa 1R 17xaaxaxannnnnnnn111limlim证证:1)若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当,1x原级数收敛原级数收敛;当当,1x原级数发散原级数发散.x即即1x时时,即即时时,1x2)若若,0则根据比值审敛法可
11、知则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛绝对收敛,3)若若,则对除则对除 x=0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散,.0R对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径1.R 0nnnxa0nnna x 18说明说明:1.注意定理的条件：注意定理的条件：0nnnxa，0 na是它的相邻两项的系数是它的相邻两项的系数1,nnaa 1lim,nnnaa limnnna （或或）不缺项不缺项 存在或为存在或为 且且2.定理的证明中找收敛半径的方法叫比值法（或根定理的证明中找收敛半径的方法叫比值法（或根值法），该法适用于任何函数项级数值法），该法适用于任何函
12、数项级数.3.用定理找收敛半径的方法叫公式法，该法适用于用定理找收敛半径的方法叫公式法，该法适用于标准的幂级数（即不缺项的）标准的幂级数（即不缺项的）0nnnxa0.na 0(),nu x 19对端点对端点 x=1,1limnnnaaR的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点对端点 x=1,级数为交错级数级数为交错级数,1)1(11nnn收敛收敛;级数为级数为,11nn发散发散.1,1(故收敛域为故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数 limn nxxxxnn 132)1(3220例例2.求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn
13、解解:(1)!1n)1(limnn所以收敛域为所以收敛域为.),(2)!n!)1(n11limnn0所以级数仅在所以级数仅在 x=0 处收敛处收敛.规定规定:0!=1!)1(1n limlim1nnnnaaR limlim1nnnnaaR21nnnnnxx22lim12112 ,212x 2 R).2,2(1122nnnx,2112 nnnx,1212 x2 x,1212 x2 x 3523222xxx)()(lim1xuxunnn 22,211 n).2,2().2,2(,211 n2 x2 x 1122nnnx23例例4.nnxnn202)!(!)2(求幂级数的收敛半径的收敛半径.解解:级
14、数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径.lim)()(lim1nnnnxuxu2!)1(!)1(2nn2!2nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为.21R21x即142x当21x即)1(2nxnx2故直接由故直接由24例例4.nnxnn202)!(!)2(求幂级数的收敛半径的收敛半径.另解另解:级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,可通过换元化为标准型再求可通过换元化为标准型再求.2,tx 令令级数变为级
15、数变为21(2)!(!)nnntn 22(1)!(1)!nn 22!nn2(1)lim(21)(22)nnnn 14 故收敛半径为故收敛半径为 1.2R 14t 214x 即即12x时原级数收敛时原级数收敛.1 limlim nnnnaRa 25例例5.12)1(nnnnx求幂级数的收敛域的收敛域.解解:令令,1 xt级数变为级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12当当 t=2 时时,级数为级数为,11nn此级数发散此级数发散;当当 t=2 时时,级数为级数为,)1(1nnn此级数收敛此级数收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛
16、域为,22t故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为,212x即即.31x26)(0 nnnxaR11 (limlim)nnnnnnaRaa 或或R.012nnnxa，00)(nnnxxa.0 xxt 271)对标准型幂级数对标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径,再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用求收敛半径时直接用比值法比值法或或根值法根值法,)0(0nnnnaxa通过通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求.28 0nnnxa)0(00 xxx0 xx 0nnnxa0 xx 0 xx )()()(2
17、1xuxuxun 22100 xaxaaxannn29思考与练习思考与练习 1.已知已知nnnxa02x 在在处收敛处收敛,问该级数收敛问该级数收敛半径是多少半径是多少?答答:根据根据Abel 定理可知定理可知,级数在级数在2x 收敛收敛,故收敛半径为故收敛半径为2.R 1 0nnnxa，0 na定理定理2.1lim,nnnaa limnnna （或或）30作业：作业：P391,1(2),(5),(7)P391,1(2),(5),(7)预习：从预习：从387387到到390390页页31阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群,
