1、经济数学Economic mathematics目 录 1234589目 录76第1章 函数 学习目标1.1 函数的概念1.1.1 函数的概念引例1 自由落体运动设物体下落的时间为 t，下落距离为 s，假定开始下落的时刻 t0，那么 s 与 t 之间的依赖关系由给出，其中g为重力加速度在这个关系中，距离s随着时间t的变化而变化其特点是，当下落的时间 t 取定一个值时，对应的距离 s 的值也就确定了引例2 医师用药医师给儿童用药和成年人不一样，用药量可由儿童的体重来确定要计算112岁的儿童的体重可用经验公式 y2x7，其中 x 代表年龄（岁），y 代表体重（公斤），年龄确定了，相应的体重也就确定
2、了函数的定义1.1 函数的概念定义定义1 1 设设x x，y y是同一变化过程中的两个变量，若当是同一变化过程中的两个变量，若当x x取其变化范围内任取其变化范围内任一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量y y的一个值与之对应，则的一个值与之对应，则称称y y是是x x的函数，记作的函数，记作yf（x）x x 叫做自变量，叫做自变量，y y 叫做因变量叫做因变量X X 的取值范围叫做的取值范围叫做函数的定义域函数的定义域，与，与x x的值对应的的值对应的y y的值的集合叫做的值的集合叫做函数的值域函数的值域当自变量当自变量 x x 取数值取数值 x
3、 x0 0 时，因变量时，因变量 y y 按照对应法则按照对应法则 f f 所对应的数值，称所对应的数值，称为函数为函数 y yf f（x x）在点）在点 x x0 0 处的函数值，记作处的函数值，记作y yf f（x x0 0）。）。1.1 函数的概念例1.1 设 f(x)2x2-3，求 f(-1），f（x0）。例1.2 求函数的定义域。解解要使分式有意义，必须分母x2+2x-30，即x-3且x1，所以这个函数的定义域是(，3)(3，1)(1，)。求函数定义域时应遵守以下原则：（1）代数式中分母不能为零；（2）偶次根式内表达式非负；（3）基本初等函数要满足各自的定义要求；（4）对于表示实际问
4、题的解析式，还应保证符合实际意义1.1 函数的概念1.1.2 函数的表示常用的函数表示方法有表格法、图像法、解析法(1)(1)将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示函数的方法叫将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示函数的方法叫表格法表格法，如三角函数表、对数表及许多的财务报表等如三角函数表、对数表及许多的财务报表等(2)(2)用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法叫用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法叫图像法图像法，它的特点，它的特点是较直观是较直观(3)(3)用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系的方法叫用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系的方法叫解析法解析法，如，如y ys
5、inXsinX，y y2x+12x+1等，它的特点是便于推理与演算等，它的特点是便于推理与演算分段函数引例3 乘座火车时，铁路部门规定：随身携带物品不超过20千克免费，超过20千克部分，每千克收费0.2元，超过50千克部分，再加收50，应如何计算携带物品所交的费用1.1 函数的概念设物品的重量为x，应交费用为y，则有解对于分段函数，要注意以下几点：（1）分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数。（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。（3）在处理问题时，对属于某一段的自变量就应用该段的表达式。1.1 函数的概念1.1.3 反函数定义 如果已知y是x的函数，yf（x），则由它所确
6、定的以y为自变量，x为因变量的函数x（y）就是yf（x）的反函数，而yf（x）称为直接函数函数yf（x）的定义域和值域分别是其反函数yf1（x）的值域和定义域函数yf（x）和它的反函数yf1（x）的图像关于直线yx对称单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同例1.3 求函数yx2，x 0，）的反函数解 因为函数y x2 在区间0，）上单调递增，所以存在反函数由y x2 解得x y，y0，于是yx2 的反函数为y x，x0，）求反函数的步骤是从yf（x）中解出x，得到xf1（y），再将x和y互换即可1.1 函数的概念例1.4 求yx的反函数解 由yx得互换字母x，y得所求反函数为1.1.4
7、 函数的性质1.函数的奇偶性定义 设函数yf(x)的定义域D关于原点对称，即xD-xD若f(-x)f(x)，xD，则称f（x）为偶函数；若f(-x)-f(x)，xD，则称f（x）为奇函数例如：yx，xR，是偶函数，其图像如图1.1所示；yx，xR，是奇函数，其图像如图1-2所示1.1 函数的概念图1-1图1-2偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称两个偶函数之和、差、积、商仍是偶函数，两个偶函数之和、差、积、商仍是偶函数，两个奇函数之和、差仍是两个奇函数之和、差仍是奇函数，奇函数，两个奇函数之积、商是偶函数，奇函数与偶函数之积、商是奇两个奇函数之积、商是偶函数，奇函数与偶函数之积、
8、商是奇函数函数1.1 函数的概念)(88)()()(2424xfxxxxxf例1.5 判断下列函数的奇偶性解（）因为所以所以，所以即)()(xfxf即是偶函数。2.函数的周期性1.1 函数的概念定义3 给定函数yf（x），xD，若存在常数T使得xDxTD且f（xT）f（x），xD，则称f（x）为周期函数，常数T称为周期满足条件的最小正数T称为f（x）的最小正周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期例sinx，cosx是周期为的函数，tanx，cotx是周期为的函数以T为周期的函数图像沿x轴方向左右平移T的整数倍，图像将重合3.函数的单调性定义4 若对于区间I内任意两点x，x，当xx 时
9、，有f（x）f（x），则称f（x）在I上单调增加（如图1-3），区间I称为单调递增区间；若f（x）f（x），则称f（x）在I上单调减少（如图1-4），区间 I 称为单调递减区间单调增加与单调减少分别称为递增与递减单调增加与单调减少分别称为递增与递减 单调递增区间或单调递减单调递增区间或单调递减区间统称为区间统称为单调区间单调区间。1.1 函数的概念图1-3图1-4.函数的有界性1.1 函数的概念定义 若存在正数M，使得在区间I上|f（x）|M，则称f（x）在I上有界否则称为无界例如函数ycosX在区间（，）内有|cosX|，所以函数ycos X在（，）内是有界的1.2 初等函数1.2.1 基本
10、初等函数常函数：yc（c为常数）。幂函数：yx（为常数）。指数函数：yax（a，且a，a为常数）。对数函数：ylogax（a，且a，a为常数）。三角函数：ysinx，ycosx，ytanx，ycotx。以上函数的定义域、值域、图像和性质列表，见P5表1.11.2.2 复合函数定义 设y是u的函数yf（u），u是x的函数u（x），如果u（x）的值域或其部分包含于yf（u）定义域中，则y通过中间变量u构成x的函数，称为x的复合函数，记为yf（x），其中x是自变量，u是中间变量例例1.61.6 设设y y2 2u u，u usin xsin x，则由这两个函数组成的复合函数为，则由这两个函数组成的复
11、合函数为y y2 2sin xsin x复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成，例如，由函数ysin u，ue，tan x复合后可得复合函数ysin etan x例1.7 函数 是由哪些基本初等函数复合而成的？解设 ，则 是由函数 复合而成的复合函数。1.2.3 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如，等都是初等函数而不满足有限次运算，1.2 初等函数不是一个解析式子表示，因此都不是初等函数。例1.8 设，试分析它的结构。解 函数可分解为1.2 初等函数1.3 利息、贴现及常用经济函数1.3.1 单利、复利与贴现1.
12、单利计算公式设初始本金为P元，银行年利率为r第一年末的利息为Pr，本利和为第二年利息不计入本金，即本金为P，第二年末的利息仍为Pr，本利和为依此方法，第n年末的本利和Sn为(1.1)2.复利计算公式设初始本金为P元，银行年利率为r第一年末的本利和为第二年利息计入本金，第二年末的利息为，本利和为依此方法，第n年末的本利和Sn为（1.2）例1.9 设有初始本金2000元，银行年储蓄利率为试求：（）按单利计算，年末的本利和是多少？（）按复利计算，年末的本利和是多少？解（）本金P2000元，年利率r0.04，存期年，由单利计算公式（1.1）知（）由复利计算公式（1.2）知1.3 利息、贴现及常用经济函
13、数1.3 利息、贴现及常用经济函数3.贴现债券或其他票据的持有人，为了在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到所余金额的现金，这就是贴现假设未来n年复利年利率r不变，n年后到期价值R的票据现值为P，则由复利计算公式（1.2）可得例如，复利年利率为，年后到期价值是1000元的票据的现值为1.3.2 需求函数与供给函数1.需求函数一种商品的市场需求量与消费群体的人数、收入、习惯及该商品的一种商品的市场需求量与消费群体的人数、收入、习惯及该商品的价格等诸多因素有关，为简化问题的分析，我们只考虑商品价格对需价格等诸多因素有关，为简化问题的分析，我们只考虑商品价格对需求量的影响，
14、求量的影响，而其他因素暂时保持某种状态不变，需求量犙可以看成而其他因素暂时保持某种状态不变，需求量犙可以看成价格犘的一元函数，称为价格犘的一元函数，称为需求函数需求函数，记作，记作1.3 利息、贴现及常用经济函数一般地，价格犘越高，需求量犙要下降；价格犘越低，需求量犙要上一般地，价格犘越高，需求量犙要下降；价格犘越低，需求量犙要上升，所以需求函数为价格犘的单调减少函数升，所以需求函数为价格犘的单调减少函数常见需求函数有以下几种类型：（）线性需求函数均为常数；（）二次需求函数均为常数；（）指数需求函数.供给函数在市场经济规律作用下，某种商品的市场供给量将依赖于该商品的价在市场经济规律作用下，某种
15、商品的市场供给量将依赖于该商品的价格高低，格高低，价格上涨将刺激该商品的供给量增多，供给量价格上涨将刺激该商品的供给量增多，供给量S S可以看成是价可以看成是价格格P P的函数，的函数，称为供给函数，记作称为供给函数，记作1.3 利息、贴现及常用经济函数.市场均衡由于需求函数由于需求函数QQ是单调减少函数，供给函数是单调减少函数，供给函数S S是单调增加函数，若是单调增加函数，若把需求与供给曲线画在同一坐标系（如把需求与供给曲线画在同一坐标系（如图图1-51-5），它们将相交于一点），它们将相交于一点（P P，QQ），），这里的这里的P P 就是供、需平衡的价格，叫做就是供、需平衡的价格，叫做
16、均衡价格均衡价格，QQ 就是就是均衡数量均衡数量，此时我们称之为，此时我们称之为市场均衡市场均衡例1.10 某种商品的供给函数和需求函数分别是求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量解 按市场均衡条件QS，即25P102005P，则P，此时Q 200165，即市场均衡价格为7，市场均衡数量为1651.3 利息、贴现及常用经济函数1.3.3 成本、收入和利润函数在生产和产品经营活动中，成本、收入和利润这些经济变量都与在生产和产品经营活动中，成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量产品的产量或销售量q q密切相关，它们都可以看成密切相关，它们都可以看成q q的函数，分别称的函数，分别称为为总
17、成本函数总成本函数，记作，记作C CC C（q q）；收入函数，记作）；收入函数，记作R RR R（q q）；利）；利润函数，记作润函数，记作L LL L（q q）1.总成本函数总成本总成本C C由固定成本由固定成本C C 和可变成本和可变成本C C 两部分组成固定成本两部分组成固定成本C C0 0 如厂房、设备、企业管理费等与产量如厂房、设备、企业管理费等与产量q q无关可变成本无关可变成本C C 如原如原材料费、劳动者工资等随产量狇的变化而变化，即材料费、劳动者工资等随产量狇的变化而变化，即C C C C（q q），），这样总成本这样总成本C CC C C C（q q）平均成本，记作 ，其
18、中C（q）是总成本.1.3 利息、贴现及常用经济函数2.收入函数收入是指销售某种商品所获得的收入，又可分为总收入和平均收入设P为商品价格，q为商品的销售量，则有总收入函数：平均收入函数：.利润函数生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润，记作其中q为产品数量它的平均利润，记作1.3 利息、贴现及常用经济函数例1.13 已知生产某种商品狇件时的总成本（单位：万元）为 该商品每件售价是万元，试求：（）该商品的利润函数；（）生产10件该商品时的总利润和平均利润；（）生产40件该商品时的总利润例1.14 已知某种商品的成本函数为 ，销售单价定为11元件，试求该商品的盈亏平衡点，并说明随产量
19、q变化时的盈亏情况本章小结 一、本章主要内容及学习要点1.函数的概念2.函数的基本性质3.反函数和复合函数4.基本初等函数与初等函数5.经济函数二、重点与难点1.重点2.难点经济数学Economic mathematics第2章 极限与连续学习目标了解极限的描述性定义，左右极限的定义了解极限的描述性定义，左右极限的定义握极限四则运算法则，熟练使用两个重要极限握极限四则运算法则，熟练使用两个重要极限了解无穷小的定义及性质，了解无穷小与无穷大的关系，会利了解无穷小的定义及性质，了解无穷小与无穷大的关系，会利用其求极限用其求极限理解并会利用无穷小的比较求极限方法理解并会利用无穷小的比较求极限方法了解
20、函数连续的定义，会判断函数在一点的连续性了解函数连续的定义，会判断函数在一点的连续性了解闭区间上连续函数的性质，会求函数的间断点了解闭区间上连续函数的性质，会求函数的间断点2.1 极限2.1.1 数列的极限1.极限的概念图2.12.1 极限图2.2图2.3定义 设有数列an，当n无限增大时，an无限接近于某个确定的常数 ，那么 就称为数列 an的极限，记作此时，也称数列 an收敛于 ，否则称数列没有极限，或称数列发散2.1 极限2.数列极限的性质性质 若数列收敛，则其极限值必唯一性质 若数列收敛，则它必有界性质 单调有界数列必有极限2.1.2 函数的极限1.x 的情形定义 如果当x无限增大时，
21、函数（x）无限地接近于某一个确定的常数 ，则称 为函数（x）当x 时的极限，记作例2.1 判断当x 时，的极限情况解 如图2.4为的图像，可以看出，当和x 时，图像无限接近于零，所以即x 2.1 极限图2.4定理当x 时，函数（x）的极限存在的充分必要条件是当x 时和x 时函数（x）的极限都存在而且相等，即2.xx0 的情形定义设函数(x)在x0 的左右两侧有定义，如果当x无限接近x0 时，函数值(x)无限接近于某一确定的常数 ，则称 是函数(x)当xx0 时的极限，记作2.1 极限定义 当x从x0左侧（或右侧）无限接近于x0 时，函数(x)无限地趋于某一确定的常数 ，则称 时，函数(x)的左
22、(右)极限为 ，记作例2.2 求当x时，函数（x）x的极限解 如图2.5所示，当x从的左右两侧接近于时，对应的函数值从数值两侧无限接近于，因此图2.5图2.62.1 极限例2.3当x1时，函数(x)的极限情况解 如图2.6所示，x无限接近于时，(x)的函数值从数值4的两侧无限接近于4，即例2.4 设函数解 如图2.7所示，当x从的右侧接近于时，函数值（x）接近于数值，即 当x从的左侧接近于时，函数值(x)接近于数值-1，关于函数(x)在一点处极限存在有如下定理:定理2.1 极限图2.7图2.82.1 极限例2.5设函数问当x时，(x)的极限是否存在？若存在是多少？解如图2.8所示，当x从的左侧
23、接近于时，有；当x从的右侧接近于时，有存在的定理知，函数(x)在x时极限存在，根据极限在一点处2.1.3 函数极限的性质性质（唯一性）如果函数(x)的极限存在，则极限值唯一性质（夹逼定理）设函数(x)，g(x)，h(x)在x0的左右两侧满足条件：则2.1 极限2.1.4 函数极限的四则运算法则定理 如果则例2.6 求解例2.7 求解2.1 极限例2.8 求解习题2.1 见课本P21。2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.1 两个重要极限1.重要极限注意，第 重要极限形式为形式，为了强调其形式，可形象记为其中方框 代表同一变量。例2.9解2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大例2.10解例2
24、.11解例2.12解2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大例2.13解2 重要极限重要极限 的形式是类型，为了强调其形式，我们也可将它表示为其中方框 表示同一变量2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大例2.14解例2.15解例2.16解2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.2 无穷小量（简称无穷小）1 无穷小的定义定义 以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母，来表示无穷小关于无穷小一定要注意以下几点：（）谈无穷小一定离不开自变量的变化趋势（）不能把无穷小混同于一个非常小的数，但零是唯一可以作为无（）不能把无穷小混同于一个非常小的数，但零是唯一可以作为无穷小的常数，因为穷小的常
25、数，因为lim0lim0例2.19 自变量狓在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小（）因为解，所以x 时是无穷小2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大（）因为（）因为（）因为 无穷小的性质性质 有限个无穷小的代数和是无穷小性质 有界函数与无穷小的乘积是无穷小例2.20解因为是有界函数，所以2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大推论 常数与无穷小的乘积是无穷小性质 有限个无穷小的积是无穷小2.2.3 无穷大量（简称无穷大）定义 在自变量狓的某个变化过程中，若相应函数值的绝对值|（x）|无限增大，则称（x）为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作（x）例如，是x时的无穷大，可记为无穷大要注意以下
26、几点（）谈无穷大不能离开自变量的变化趋势（）谈无穷大不能离开自变量的变化趋势（）不能将无穷大与非常大的常数混为一谈（）不能将无穷大与非常大的常数混为一谈（）借用（）借用（x x），并不表示，并不表示（x x）的极限存在，事实）的极限存在，事实上上（x x）的极限不存在）的极限不存在2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.4 无穷小与无穷大的关系定理 在自变量的同一个变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，除常数零外的无穷小的倒数是无穷大例如，当x时，x是无穷小，则当x时，为无穷大又例如，当x 时，x 是无穷大，则当x 时，是无穷小2.2.5 无穷小的比较定义 设 和 是同一变化过程中的无穷小，即
27、lim=0，lim=02.2 两个重要极限与无穷小、无穷大定理 设、是同一变化过程中的无穷小，且有，若（或无穷大），则例2.21 求下列极限：2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大解2.3 函数的连续性2.3.1 函数连续的定义定义 设xxx 是自变量的增量，y（x）（x）是函数的增量，函数y(x）在x 的左右两侧（含x 点）有定义，当自变量的改变量x趋于零时，相应的函数改变量y也趋于零，即则称y(x）在点x 处连续函数（x）在点x 处连续必须满足以下个条件：例2.22 若（x）x，证明y（x）在x处连续证明2.3 函数的连续性而，所以函数在x处连续例2.23 设某城市出租车白天的收费（单位：元
28、）x与路程（单位：）狓之间的关系为讨论函数(x)在x处是否连续解2.3 函数的连续性故函数(x)在x处连续2.3.2 连续函数的运算 连续函数的四则运算设函数(x),g(x)在点x 处连续，则有以下性质性质(x)g(x)在x 处连续性质(x)g(x)在x 处连续性质 若处连续2.3 函数的连续性 复合函数的连续性定理 设函数ug（x）在xx 处连续，y(u)在u g(x0)处连续，则复合函数y g（x）在x 点处连续例2.24解例2.25解2.3 函数的连续性例2.26解例2.27解在求连续的复合函数极限时，极限符号与函数符号可交换次序，即2.3 函数的连续性2.3.3 闭区间上连续函数的性质
29、性质性质（有界定理）（有界定理）若若(x)(x)在在a a，b b上连续，则上连续，则(x)(x)在在a a，b b上有界上有界性质性质（最值定理）（最值定理）若若(x)(x)在在a a，b b上连续，则上连续，则(x)(x)在在a a，b b上必能取得最大值和最小值上必能取得最大值和最小值性质性质（介值定理）（介值定理）若若(x)(x)在在a a，b b上连续，且最大值和最小值上连续，且最大值和最小值分别为分别为MM和和mm，则对于介于，则对于介于mm和和MM之间的任意实数之间的任意实数C C（mmC C MM），必定存在点），必定存在点 （a a，b b），使得），使得（）C C2.3.4
30、 函数的间断点定义 如果函数(x)在x0处不连续，则称点x0为(x)的一个间断点根据连续的定义，有下列三种情况之一的点x 即为函数(x)的间断点：（）在点x0处，(x)无定义；（）在点x0处，(x)的极限不存在；（）在点x0处有定义，且有极限，但2.3 函数的连续性例2.28解 因为左、右极限存在但不相等所以 x为(x)的跳跃间断点例2.29的间断点解 (x)在x处无定义，所以x是(x)的间断点而所以 x是(x)的可去间断点2.3 函数的连续性例 讨论处间断点的类别解 因为例解进一步可知，当x时，在和之间振荡，所以x是的振荡间断点本章小结一、本章主要内容及学习要点 极限的概念 无穷小与无穷大的
31、概念 连续的概念 函数的间断点及其类型的判定 极限的计算方法 求函数连续区间的方法二、重点与难点 重点 难点经济数学Economic mathematics第8章 随机变量及其数字特征学习目标学习目标了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数的概念了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数的概念和性质和性质掌握利用概率分布列、概率密度及分布函数计算有关事件概率的方掌握利用概率分布列、概率密度及分布函数计算有关事件概率的方法预测离散或连续变化的经济现象变化的状况及其发生的可能性法预测离散或连续变化的经济现象变化的状况及其发生的可能性熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布
32、表熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表理解数学期望、方差与标准差的概念，了解期望、方差的性质，掌握理解数学期望、方差与标准差的概念，了解期望、方差的性质，掌握求随机变量期望、方差的方法会利用随机变量的期望和方差解答经求随机变量期望、方差的方法会利用随机变量的期望和方差解答经济生活中的相关案例济生活中的相关案例掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等概率分布及它们的期望与方差布等概率分布及它们的期望与方差掌握求随机变量函数数学期望的方法掌握求随机变量函数数学期望的方法8.1 随机变量例例8.18.1 在在1
33、010件同类型产品中，有件次品，现任取两件，用一个变量件同类型产品中，有件次品，现任取两件，用一个变量X X表示表示“两两件中的次品数件中的次品数”，X X的取值是随机的，可能的取值为，的取值是随机的，可能的取值为，显然显然“X X”表示次品数为零，它与事件表示次品数为零，它与事件“取出两件中没有次品取出两件中没有次品”是等价的由此可知，是等价的由此可知，“X X”等价于等价于“恰好有件次品恰好有件次品”，“X X”等价于等价于“恰好有两件次品恰好有两件次品”于于是由古典概型可求得是由古典概型可求得此结果可以统一写成此结果可以统一写成8.1 随机变量例例 某选手射击的命中率为某选手射击的命中率
34、为P P，现射击次，命中次数用，现射击次，命中次数用Y Y表示，表示，它的取值是随机的，可能的取值有，显然它的取值是随机的，可能的取值有，显然“Y Yi”i”等等价于价于“次射击中，次射击中，恰有恰有i i次命中次命中”（i i，），由于各次试验都，），由于各次试验都是独立进行的，由伯努利概型公式得是独立进行的，由伯努利概型公式得上面两个例子中的上面两个例子中的X X，Y Y具有下列特征：具有下列特征：（）取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值（）取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值（）所取的每一个值，都相应于某一随机现象（）所取的每一个值，都相应于某一随机现象（）所取的每个值的概率大小是确
35、定的（）所取的每个值的概率大小是确定的8.1 随机变量8.1.1 8.1.1 随机变量的定义随机变量的定义一般地，如果一个变量，它的取值随着试验结果的不同而变化着，一般地，如果一个变量，它的取值随着试验结果的不同而变化着，当试验结果确定后，它所取的值也就相应的确定，这种变量称为随机当试验结果确定后，它所取的值也就相应的确定，这种变量称为随机变量随机变量可用大写英文字母变量随机变量可用大写英文字母X X、Y Y、Z Z、（或希腊字母（或希腊字母，）表示）表示 随机变量与一般变量的区别：随机变量与一般变量的区别：8.1.2 8.1.2 随机变量的分类随机变量的分类 离散型随机变量离散型随机变量定义
36、定义 若随机变量若随机变量X X的所有可能取值是可以一一列举出来的（即取值是的所有可能取值是可以一一列举出来的（即取值是有限个或可列个），则称有限个或可列个），则称X X为离散型随机变量为离散型随机变量该离散型随机变量该离散型随机变量X X的所有取值为的所有取值为x x，x x，xnxn，并且，并且X X取各个可能值的概率分别为取各个可能值的概率分别为8.1 随机变量称上式为离散型随机变量称上式为离散型随机变量X X的概率分布，简称的概率分布，简称分布列分布列或或分布分布为清为清楚起见，楚起见，X X 及其分布列也可以用表格的形式表示及其分布列也可以用表格的形式表示分布列具有以下两个性质分布列
37、具有以下两个性质性质性质 P Pk k k k，n n性质性质 连续型随机变量连续型随机变量定义定义 设随机变量设随机变量 X X，如果存在非负函数，如果存在非负函数f f（x x）（）（x x ），），使得对任意实数使得对任意实数abab，有，有8.1 随机变量（即取值可包括某实数区间的全部值）则称（即取值可包括某实数区间的全部值）则称 X X 为为连续型随机变量连续型随机变量，称，称f f（x x）为为 X X 的概率密度函数，简称的概率密度函数，简称概率密度概率密度或或分布密度分布密度概率密度有下列性质概率密度有下列性质性质性质 f f（x x）（因为概率不能小于零）；（因为概率不能小于
38、零）；性质性质例例8.38.3 若若为随机变量为随机变量X X的密度函的密度函数，试求系数数，试求系数k k解解根据概率密度函数的性质，可得根据概率密度函数的性质，可得所以所以 k k/8.2 分布函数8.2.1 8.2.1 分布函数的定义分布函数的定义设设X X是一个随机变量，称函数是一个随机变量，称函数F F（x x）P P（XxXx）为随机变量）为随机变量X X的分的分布函数，记作布函数，记作X XF F（x x）对于离散型随机变量对于离散型随机变量X X，若它的概率分布是，若它的概率分布是PkPkP P（X Xx xk k），（），（k k，），则），则X X的分布函数为的分布函数为对
39、于连续型随机变量对于连续型随机变量X X，其概率密度为，其概率密度为f f（x x），则它的分布函数为），则它的分布函数为即分布函数是概率密度的变上限的定积分即分布函数是概率密度的变上限的定积分由微分知识可得：由微分知识可得：FF（x x）f f（x x）8.2 分布函数分布函数具有如下性质分布函数具有如下性质性质性质 F F（x x）（因为（因为F F（x x）就是某种概率）就是某种概率）性质性质 F F（x x）单调不减函数，且）单调不减函数，且性质性质或或8.2 分布函数8.2.2 8.2.2 分布函数的计算分布函数的计算例例8.48.4 设随机变量设随机变量X X的分布列为的分布列为求
40、求X X的分布函数的分布函数解解 当当x x时，因为事件时，因为事件XxXx，所以，所以F F（x x）当当x x时，有时，有当当x x时，有时，有8.2 分布函数当当xx时，有时，有故故X X的分布函数为的分布函数为例例8.5 8.5 设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求X X的分布函数的分布函数F F（x x）.8.2 分布函数解解 由分布函数定义由分布函数定义可得：可得：当当x xa a时，时，f f（x x），故），故F F（x x）当当axaxb b时，时，故故当当bxbx时，时，f f（x x），故），故故故X X的分布函数为的分布函数为8.2 分布函数求求 P
41、P（XX）P P（X X）密度函数密度函数（x x）解解 由分布函数定义：由分布函数定义：P(0.2P(0.2X X0.80.8）F(0.8F(0.8）F(0.5F(0.5）0.4080.408F F（x x）是连续函数，根据分布函数与概率密度的关系得）是连续函数，根据分布函数与概率密度的关系得8.3 几种常见随机变量的分布8.3.1 8.3.1 几种常见离散型随机变量的分布几种常见离散型随机变量的分布 两点分布（分布）两点分布（分布）若随机变量若随机变量X X只取，两个值，且只取，两个值，且则称则称X X服从两点分布或者称分布服从两点分布或者称分布 二项分布二项分布随机变量随机变量X X的概
42、率分布为的概率分布为其中其中p p，则称随机变量，则称随机变量X X服从参数服从参数n n，P P的二项分布，的二项分布，记作记作X XB B（n n，P P）8.3 几种常见随机变量的分布 泊松分布泊松分布设随机变量设随机变量X X取值为，取值为，其相应的概率分布为：，其相应的概率分布为：其中其中 为参数（为参数（），则称），则称X X服从泊松分布，记作服从泊松分布，记作P P（）例例8.78.7 假设人进入一家服装店，每个人购买的概率均为假设人进入一家服装店，每个人购买的概率均为0.30.3，而且彼此相互独立，求：而且彼此相互独立，求：（）人中两个人购买的概率是多少？（）人中两个人购买的概
43、率是多少？（）人中至少两个人购买的概率是多少？（）人中至少两个人购买的概率是多少？（）人中至多两个人购买的概率是多少？（）人中至多两个人购买的概率是多少？解解 设设X X为人中购买服装的人数，则为人中购买服装的人数，则X X服从服从n n，P P0.30.3的二的二项分布项分布8.3 几种常见随机变量的分布（）人中人购买的概率，即（）人中人购买的概率，即X X的概率，由二项分布的概率的概率，由二项分布的概率公式得公式得（）人中至少有人购买的概率是包括（）人中至少有人购买的概率是包括X X和和X X的概率，即的概率，即（）人中至多有二人购买的概率包括（）人中至多有二人购买的概率包括X X，X X
44、，X X的概的概率，即率，即8.3 几种常见随机变量的分布例例8.88.8 电话交换台每分钟接到的呼唤次数电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X为随机变量，设为随机变量，设X XP(4)P(4)，求一分钟内，求一分钟内呼叫次数（）恰好为次的概率；（）不超过一次的概率呼叫次数（）恰好为次的概率；（）不超过一次的概率解解 这里的这里的 ，故，故当当n n很大，很大，p p很小时，二项分布可以用泊松分布近似，有很小时，二项分布可以用泊松分布近似，有其中其中 npnp，也就是说，泊松分布可以看做是一个概率很小的事件在大，也就是说，泊松分布可以看做是一个概率很小的事件在大量试验中出现次数的概率分布实际计算
45、中，当量试验中出现次数的概率分布实际计算中，当n n1010，P P0.0.时，就时，就可以用上述的近似公式可以用上述的近似公式8.3 几种常见随机变量的分布8.3.2 8.3.2 几种常见连续型随机变量的分布几种常见连续型随机变量的分布 均匀分布均匀分布如果随机变量如果随机变量X X的概率密度为的概率密度为则称则称X X服从服从a a，b b上的均匀分布，记作上的均匀分布，记作U U（a a，b b）例例8.9 8.9 设随机变量设随机变量X X服从服从a a，b b上的均匀分布，上的均匀分布，求求P P（cXdcXd），其中），其中acacdbdb解解8.3 几种常见随机变量的分布例例.1
46、0.10 某城市某一个交通路口红灯的时间长度为某城市某一个交通路口红灯的时间长度为5050，某汽车在路口等候，某汽车在路口等候的时间长度为一个随机变量设其服从均匀分布，求该车等候时间在的时间长度为一个随机变量设其服从均匀分布，求该车等候时间在10103030的概率是多少？的概率是多少？解解 设设X X为该车在路口等待的时间长度，由题意为该车在路口等待的时间长度，由题意X X服从区间服从区间0,500,50上的均匀分布：上的均匀分布：正态分布正态分布若随机变量若随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为其中其中，（）都是常数，则称）都是常数，则称X X服从参数服从参数，正态分布，记作正态分布
47、，记作8.3 几种常见随机变量的分布特别地，当特别地，当，时，时，X X的概率密度函数为的概率密度函数为（x x），这时，称随机变量），这时，称随机变量X X服从标准正态分布，记做服从标准正态分布，记做X X N N（，）（，）标准正态分布的密度函数是偶函数：标准正态分布的密度函数是偶函数：其其函数图形关于函数图形关于y y轴对称，如轴对称，如图图8.18.1所示所示图图.8.3 几种常见随机变量的分布利用微积分的知识可知道正态分布的概率函数的性质利用微积分的知识可知道正态分布的概率函数的性质（）（）f f（x x）以）以x x 为对称轴，并在为对称轴，并在x x 处达到最大，最大值为处达到最
48、大，最大值为（）当（）当xx 时，时，f f（x x），即，即f f（x x）以）以x x轴为渐近线轴为渐近线（）用求导的方法可以证明，（）用求导的方法可以证明，x x 为为f f（x x）的两个拐点的横坐标，且）的两个拐点的横坐标，且 为为拐点到对称轴的距离拐点到对称轴的距离（）若固定（）若固定 而改变而改变 的值，则正态分布曲线沿着的值，则正态分布曲线沿着 x x 轴平行移动而不改变形轴平行移动而不改变形状，可见曲线的位置完全由参数状，可见曲线的位置完全由参数 决定；若固定决定；若固定 而改变而改变 的值，则当的值，则当 越小越小图形变得越陡峭；反之，则越平缓，因此图形变得越陡峭；反之，则
49、越平缓，因此 的值刻画了随机变量取值的分散程度，的值刻画了随机变量取值的分散程度，即即 越小，取值分散程度越小；越小，取值分散程度越小；越大，取值的分散程度越大，如越大，取值的分散程度越大，如图图8.28.2所示所示8.3 几种常见随机变量的分布图图8.28.28.3 几种常见随机变量的分布 正态分布的概率计算正态分布的概率计算（）标准正态分布的概率计算（）标准正态分布的概率计算设设X X N N（，），（，），由标准正态分布的密度函数由标准正态分布的密度函数（x x），可计算随机变），可计算随机变量量X X 在任一区间上取值的概率为了计算的方便，书中附表（标准正态分在任一区间上取值的概率为了
50、计算的方便，书中附表（标准正态分布数值表）已给出了随机变量布数值表）已给出了随机变量X X在区间（在区间（，x x（XX）上取值的概）上取值的概率，并记作率，并记作（x x），即），即上式的几何意义就是上式的几何意义就是图图8.38.3中阴影部分的面积中阴影部分的面积即即 P P（a aXbXb）（b b）（a a）8.3 几种常见随机变量的分布图图8.38.38.3 几种常见随机变量的分布用标准正态分布函数值表时，有一下几种情况用标准正态分布函数值表时，有一下几种情况（）因表中（）因表中x x的取值范围为的取值范围为0.30.3，3.093.09，因此，当，因此，当x x 0.30.3，3.
