1、1 线性代数是以矩阵为主要工具研究数量间的线性线性代数是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程。由于计算机应用技术的发展，关系的基础理论课程。由于计算机应用技术的发展，使得很多实际问题得以离散化和定量的解决，作为离使得很多实际问题得以离散化和定量的解决，作为离散化和数值计算理论基础的线性代数，成为了解决实散化和数值计算理论基础的线性代数，成为了解决实际问题的强有力工具。际问题的强有力工具。通过线性代数课程的学习，使学生熟悉线性代数通过线性代数课程的学习，使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法。的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法。受到抽象思维能力、逻
2、辑思维能力、分析问题和解决受到抽象思维能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题能力的训练，为学习后继课程及进一步扩大知识问题能力的训练，为学习后继课程及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。面奠定必要的数学基础。线性代数课程概述线性代数课程概述一、课程的性质与任务一、课程的性质与任务二、线性代数的发展简史二、线性代数的发展简史三、线性代数课程学习方法三、线性代数课程学习方法四、线性代数课程资源四、线性代数课程资源一、课程的性质与任务一、课程的性质与任务线性代数课程概述线性代数课程概述 线性代数是经济管理类各专业的一门必修的重要基础课和工具课，是研究生入学考试的必考课程。线性代数是数学三大基础之一，
3、是关于离散量数学的课程，具有无可替代的重要地位。线性代数是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，具有广泛的应用。线性代数的理论与方法已经渗透到现代科学、技术、经济、管理的各个领域，它提供了描述、处理线性问题的思想和方法。二、线性代数的发展史二、线性代数的发展史 线性代数是代数学的一个分支，它以矩阵为工具，以研究向量空间与线性映射为对象。线性代数在古代就有其萌芽，如二、三元线性方程组的解法早在两千年前就已出现（见于我国古代数学名著九章算术）。现代线性代数的历史基本上可以上溯到十七世纪，起源于对二维和三维直角坐标系的研究，主要是费马和笛卡儿的工作。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限
4、于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡。矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。后经众多数学家们的不断研究和完善，形成了现代的线性代数结构体系。三、线性代数课程学习方法三、线性代数课程学习方法 线性代数课程的特点是概念多、符号多、运算规律多、定理多，内容纵横交错，知识联系紧密。学生只有充分理解概念，熟悉各种运算规律、计算方法，掌握定理的条件、结论和应用，善于总结经验，了解各章节间的内部联系，才能使所学知识融会贯通，真正学好线性代数
5、。既然线性代数有自己独特的特点，我们就要用适当的学习方法面对。这里给出几点建议：1.把握线性代数课程的特点，根据内容特点进行把握线性代数课程的特点，根据内容特点进行学习学习 线性代数常常涉及大型数组，复杂的形式，抽象的理论，因此在学习中要先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题；先将低阶的问题搞明白，再解决高阶的问题；先将基本的和单一的知识点掌握好，再将它们与其他概念相联系。也即根据内容特征采取由易到难、由低到高、由浅到深，化复杂为简单、化抽象为具体、化一般为特殊的学习方式进行学习。2.注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算基本方法及
6、基本运算 线性代数的概念多，要把握概念的内涵。线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关。线性代数的定理多，要掌握定理的条件和结论。要注意对象之间，定义运算之间的比较和关联。3.注重知识点的衔接与转换，把握解题方法的要注重知识点的衔接与转换，把握解题方法的要点，努力提高综合分析能力点，努力提高综合分析能力 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，解题方法灵活多变，学习时要不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路就开阔了。4.把握知识之间的逻辑关系，构建知识结构体系，把握知识之间的逻辑关系，构建知识结构体系
7、，使知识形成网络使知识形成网络 学习线性代数要把握知识之间的逻辑关系，抓住问题和方法主线，要学会构建知识体系，形成知识网络。5.注重逻辑性与叙述表述注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。6.听讲、看书、思考、记忆、练习和总结是学好线性代数的基本保证 一定要重视上课听讲，不能使线性代数的学习退化为自学。听课时要与老师的思路同步，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习
8、方法。课下要做到多看、多思、多练、多记，及时理解、消化和巩固课程内容。要重视对三基的掌握和理解，只有理解教学内容才能记得牢。在学习中一定要认真仔细地预习和复习，做到每单元完成后必须及时对所学内容进行梳理和总结，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。四、线性代数课程资源四、线性代数课程资源主教材：主教材：线性代数线性代数张学奇主编张学奇主编.中国人民大学出版社中国人民大学出版社辅导教材：辅导教材：1.线性代数辅导教程线性代数辅导教程张学奇主编张学奇主编.2.线性代数习题全解线性代数习题全解张学奇主编张学奇主编.中国人民大学出版社中国人民大学出版社16 矩阵是线性代数的一个最重要的基本概矩
9、阵是线性代数的一个最重要的基本概念，线性代数的许多内容都可以借助矩阵进念，线性代数的许多内容都可以借助矩阵进行讨论。矩阵作为一种重要的数学工具，它行讨论。矩阵作为一种重要的数学工具，它在自然科学的各个领域以及经济分析、经济在自然科学的各个领域以及经济分析、经济管理中都有着广泛的应用。本章主要介绍矩管理中都有着广泛的应用。本章主要介绍矩阵的概念、矩阵的运算、方阵的行列式、分阵的概念、矩阵的运算、方阵的行列式、分块矩阵、方阵的逆矩阵、矩阵的初等变换和块矩阵、方阵的逆矩阵、矩阵的初等变换和矩阵的秩。矩阵的秩。第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念一、矩阵的概念一、矩阵的概念二、几种特殊的矩阵二、几种特殊
10、的矩阵1 矩阵的概念一、矩阵的概念 例 某工厂生产三种产品，它们的成本包括三类：原料费、工资、管理费和其它。成 本产 品ABC原料费131.5工资342.5管理费121.55.1215.2435.131生产单位产品的成本表 成本数据简表 产品季 度夏季秋季冬季春季A4000450045004000B2000260024002200C5800620060006000每季度生产每种产品的数量产品数量简表 600060006200580022002400260020004000450045004000 10i ja从i市到j市有单向航线从i市到j市无单向航线ija 例2 某航空公司在四个城市之间单向
11、航线如图，城市间的连线和箭头表示城市之间航线的线路和方向，如果将此图对应一个行列的矩形表格,记为 其中A中第i行第j列交叉点的数 定义为()i jaA1,4i j0110101101010010A定义 由m n个数 i ja(1,2,;1,2,)imjnLL 排成的一个m行n列的矩形数表 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaLLMMML 称为一个m行n列的矩阵，简称m n矩阵 横的每排称为矩阵的行，纵的每排称为矩阵的列,ija为该矩阵的第i行第j列的元素记为()i jm naA或()i jaA n 阶方阵 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLMMMLA行
12、矩阵 11121()naaaLA11211maaaAM列矩阵 几个特殊形式矩阵 解 由BA,有 11 c，21 a，02 b 解得2,2,1cba.例 3 设矩阵 2211baA，2021cB，且BA，试求cba,定义 2 如果两个nm矩阵 A,B的对应元素相等，即满足(1,2,1,2,)i ji jabimjnLL 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作AB 二、几种特殊的矩阵1.对角矩阵 1122000000nnaaaALLMMML1122(,)nndiag aaaL2.数量矩阵 000000aaaALLMMML单位矩阵 100010001ELLMMML上三角矩阵 下三角矩阵 1112122
13、2000nnnnaaaaaaALLMMML11212212000nnnnaaaaaaALLMMML对称矩阵反对称矩阵111211222212nnnnnnaaaaaaaaaALLMMML12112212000nnnnaaaaaaALLMMMLjijiaa jijiaa 条件：(,1,2,)i jnL “矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的。他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。英国数学家凯莱，被公认为是矩阵论的创立者。他首先把矩阵作为一个独立的数学概念，首先发表了关于这个题目的一系列文章，同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算一
14、、矩阵的加法一、矩阵的加法二、数与矩阵乘法二、数与矩阵乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、矩阵的转置四、矩阵的转置2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义 1 设两个nm矩阵 (),()i ji jabAB，将矩阵A与B对应位置元素相加得到的nm矩阵 ()i ji jab，称为矩阵A与B的和，记作AB，即 111112121121212222221122+()nnnnijijmmmmmnmnababababababababababABLLMMML 注：只有当行数形同,列数也相同时才能相加 设矩阵OCBA,均为nm矩阵，则矩阵的加法满足下列运算规律：(1)交换律：ABBA(2)结合律：)()(CBACB
15、A(3)AOOAA(4)设()i jaA，称矩阵()i ja为矩阵A的负矩阵，记为A，则有()AAO 矩阵的减法：()ABAB，即()ijijabAB 例 设矩阵 230321A，035234B，求BABA,26511502)3(350233241BA解 由矩阵加法和减法定义可得20555302)3(350233241BA二、数与矩阵乘法定义 2 设nm矩阵()i jaA，k为任意数，以数k乘矩阵A中的每一个元素所得到的矩阵叫作数k与矩阵A的乘法，记为Ak，即 111212122212nnmmmnkakakakakakakkakakaALLMMML 注：数k乘矩阵A要乘矩阵A的每一个元素 数与
16、矩阵的乘法具有下列运算规律：(1)BABAkkk)(;(2)()khkhAAA(3)()(AAhkkh;(4)OAAA0,1(5)若OA ,0k，则OA k 例 设矩阵 864297510213A，612379154257B，已知BXA 2，求X 解 由等式 ABX2，得)(21ABX 75243120232215197157922112321624681 217 21X 三、矩阵的乘法 引例 某企业有两个工厂、，生产甲、乙、丙三种类型的产品，生产每种类型产品的数量如表1，生产每种产品的单位价格和单位利润如表2所示试求各工厂的总收入和总利润甲乙丙a11a12a13a21a22a23单位价格单位
17、利润b11b12b21b22b31b32表1表2甲乙丙a11a12a13a21a22a23单位价格单位利润b11b12b21b22b31b32 解 依题意，两个工厂的总收入和总利润为 总收入总利润a11 b11+a12 b21+a13b31a11 b12+a12 b22+a13b32a21 b11+a22 b21+a23 b31a21 b12+a22 b22+a23 b32将上述3个表中的数据分别用矩阵表示，有232221131211aaaaaaA323122211211bbbbbbB322322221221312321221121321322121211311321121111bababab
18、ababababababababaC11122122cccc矩阵C由矩阵BA,确定，即矩阵C中第i行第j列的元素为jic 是由A中第i行按列序排列的每个元素与B中第j列按行序排列每个元素对应相乘后再相加得到的 jijijiijbababac332211)2,1,(ji定义 3 设ms矩阵()ijm saA，sn矩阵()ijs nbB，则由元素 1 11sijijissjikkjkca ba ba bL(1,2,imL 1,2,)jnL 构成的m n矩阵()ijm ncC称为A与B的乘积，记为CAB 12*iiism saaaLMMMLMMML12*jjsjs nbbbLLLLMMMLL1*si
19、kkjkm na bLLMMMLLMMMLL矩阵乘积有以下要点：(1)左矩阵A的列数必须等于右矩阵B的行数，矩阵A与B才可以相乘，即AB才有意义；否则AB没有意义(2)矩阵A与B的乘积C的第 i 行、第 j 列的元素jic 等于左矩阵A的第i行按列序排列的每个元素与右矩阵B中第j列按行序排列每个元素对应乘积之和 12*iiism saaaLMMMLMMML12*jjsjs nbbbLLLLMMMLL1*sikkjkm na bLLMMMLLMMMLL(3)矩阵smA与nsB相乘所得的矩阵C的行数等于左矩阵A的行数m，列数等于右矩阵B的列数n，即nmnssm CBA 2 33 42 412naa
20、aAL12nbbbBMABBA例 设 ,求 和解 由矩阵乘积定义，得12121 122()nnnnbbaaaaba ba bbABLLM1 112112122221212nnnnnnnnbabababb ab ab abaaabb ab ab aBALLLMMMML例 设矩阵 2142A，6342B，4088C，求AB、BA、AC 解 由矩阵乘积定义，得168321663422142AB000021426342BA168321640882142AC由此例可以看到矩阵乘法的两个重要特点：(1)矩阵乘法不满足交换律即一般情况下BAAB (2)矩阵乘法不满足消去律即从OA 和ACAB 不能推得CB
21、特别地，当OBA 时，不能断定OA 或者OB 矩阵的乘积运算规律：(1)乘法结合律：)()(BCACAB(2)分配律：BCACCBA)(CBCABAC)(3)数乘结合律：)()()(BABAABkkk（k常数）如果矩阵A,B满足BAAB，那么称A,B是可可交换交换的 例 设矩阵 ，求所有与矩阵A可交换的矩阵1201A解 由矩阵乘积定义知，与A可交换的矩阵必须为二阶方阵，设其为 22211211xxxxX22122111121122211211221201xxxxxxxxxxAX22222112121122211211221201xxxxxxxxxxXA由XAAX 可得221112,0 xxx且
22、2111,xx可取任意值，即 1121110 xxxX定义 4 设A是n阶方阵，k是正整数，k个A连乘称为A的k次幂，记为kA即 kAA AAL（k个A乘积）方阵的幂有下列性质 lklkAAA，lklkAA)(，其中,k l是自然数 当同阶方阵A,B可交换时，即BAAB，则kkkBAAB)(例 设 ，求241030123AEAAA432)(2PEAA432410301232410301232)(P100010001424103012333650905482160130130131429解四、矩阵的转置定义 5 将nm矩阵()ijaA的行与列互换，所得到的mn矩阵称为矩阵A的转置矩阵，简称为A的
23、转置，记为TA，即 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaALLMMML，112111222212mmTnnmnaaaaaaaaaALLMMML 转置矩阵有如下性质：(1)AATT)(2)TTTBABA)(3)TTkkAA)(4)TTTABAB)(5)1212()TTTTnnAAAAAALL(6)1221()TTTTnnA AAAA ALL 例 设1342A，2142B,计算T)(AB，TTAB和TTBA.212307()4241014TTTABB A2321168414242TTA B此例说明，一般情况下()TTTABA B 对称矩阵与反对称矩阵的两个性质：(1)n阶方阵A是
24、对称矩阵的充分必要条件是AA T;(2)n阶方阵A是反对称矩阵的充分必要条件是AAT.例 设 计算TAA和AAT.231102A解 14005213012231102TAA560693035231102213012AAT因为TTTAAAA)(，AAAATTT)(，所以上例所求的两个矩阵都是对称矩阵.例 已知n阶方阵A是对称矩阵，n阶方阵B是反对称矩阵，证明：BAAB是反对称矩阵 证 显然BAAB是n阶方阵，由A是对称矩阵，B是反对称矩阵，有 AAT，BBT 于是()()()TTTTTTTABBAABBAB AA B()()()BAABBAABABBA 所以，BAAB是反对称矩阵 第三节第三节
25、方阵的行列式方阵的行列式一、二、三阶行列式一、二、三阶行列式二、排列与逆序二、排列与逆序三、三、n阶行列式的定义阶行列式的定义四、行列式的性质四、行列式的性质五、行列式按行（列）展开五、行列式按行（列）展开六、行列式的计算六、行列式的计算七、方阵的行列式七、方阵的行列式3 方阵的行列式一、二阶和三阶行列式设有二元线性方程组11 1122121 12222a xa xba xa xb用加减消元法可得112212211122212112212212211121()()a aa axbab aa aa axb aba当021122211aaaa时，此方程组有唯一解，即.,21122211112211
26、2211222112122211aaaababaxaaaabaabx 上式给出了二元线性方程组的公式解但公式解的表达式比较复杂，不便于记忆，引进新的符号来表示这个结果.,211222111122112211222112122211aaaababaxaaaabaabx我们称由4个数组成的记号1112112212212122aaa aa aaa为二阶行列式它含有两行、两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫作行列式的元素当0D 时，二元线性方程组求解公式表示为 2221121122212111aaaaababDDx2221121122111122aaaababaDDx利用二阶行列式记号，取111211
27、2212212122aaDa aa aaa2122212221211baabababD2112112211112abbababaD 二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线（主对角线）上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线（副对角线）上两个元素的乘积，取负号 11122122aaaa 需要注意的是二阶方阵和二阶行列式是两个不同的概念，二阶方阵是按确定方式排成的一个数表，而二阶行列式是按照一定运算法则确定的一个数 二阶行列式的对角线法则：例 解二元线性方程组 1212232121xxxx解 由于2412123,1411212,07122321DDD因此，二
28、元线性方程组的解为3,22211DDxDDx 为了进一步讨论线性方程组的需要，下面给出三阶行列式的概念定义 由个数)3,2,1,(jiaij组成的记号 111213212223313233aaaaaaaaa 称为三阶行列式，它表示代数和 1122331223311321 32a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa 即 112233122331132132a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa 三阶行列式对角线法则：实线上三元素的乘积取正号，虚线上三元
29、素的乘积取负号.111213212223313233aaaaaaaaa例计算三阶行列式 243122421D解按对角线法则有4)2()4()3(12)2(21D14)3(2)4()2()2(2411111213212223313233aaaaaaaaa实线上三元素的乘积取正号，虚线上三元素的乘积取负号.例解方程 094321112xx解 方程左端的三阶行列式 6512291843222xxxxxxD由0652 xx解得2x或3x.二、排列与逆序 定义 由正整数1,2,nL组成一个有序数组称为一个n级排列记为12nj jjL 例如，312是一个3级排列，3214是一个4级排列，而25134是一个
30、5级排列一个n级排列其实就是正整数1,2,nL的一个全排列，因此n级排列共有!n个.例如，由 1,2,3 组成的所有 3 级排列为：123，132,213,231,312,321.共有 3!=6 个 数字由小到大的n级排列123nL称为自然序排列 定义 在一个n级排列12nj jjL中，如果有较大的数sj排在较小的数tj的前面(tsjj)，则称sj与tj构成一个逆序，记为tsjj一个n级排列12nj jjL中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作12()nj jjL 例如:在 4 级排列 3214 中 31,32,21 各构成一个逆序数，排列 3214 的逆序数为3)3214(同样可计算排列
31、52341 的逆序数为7)52341(自然序排列的逆序数为 0 定义 如果排列12nj jjL的逆序数12()nj jjL是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列 例如，排列 3412 的4)3412(，故排列 3412是偶排列；排列 52341 的7)52341(，故排列52341 是奇排列；自然排列123nL是偶排列 三、n阶行列式的定义三阶行列式的特征分析112233122331132132a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa 三阶行列式具有如下规律：(1)三阶行列式是
32、3！项的代数和；(2)三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们是取自不同的行和不同的列；(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号，为奇排列，则取负号三阶行列式可表示为1 2 31231 2 3111213()212223123313233(1)j j jjjjj j jaaaaaaa aaaaa112233122331132132a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa 按此结构规律可将三阶行列式概念的推广到n阶行列式定义由排成n行n列的2n个
33、元素ija(,1,)i jn L 组成的记号 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLMMML 称为n阶行列式它是!n项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，每一项中各元素的行标排成自然序排列1212njjnja aaL，该项符号当12nj jjL为偶排列时，则取正号，为奇排列，则取负号即 121212,1112121222(,)12,12(1)nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaa aaaaaLLLLLMMML其中12,njjjL表示对所有的n级排列12nj jjL求和 需要注意的是n阶方阵和n阶行列式是两个不同的概念，n阶方阵是按确定方式排成
34、的一个数表，而n阶行列式是按照一定运算法则确定的一个数例 计算上三角形行列式11121222000nnnnaaaaaDaLLMMML其中0iia(1,2,)inL 解 由n阶 行 列 式 的 定 义，展 开 式 中 只1122nna aaL一项不等于零而这项的列标所组成的排列的逆序数是(123)0nL，故取正号因此，由行列式的定义有 111212221122000nnnnnnaaaaaa aaaLLLMMML上三角形行列式 112122112212000nnnnnnaaaa aaaaaLLLMMML11221122000000nnnnaaa aaaLLLMMML下三角形行列式 对角形行列式 结
35、论：上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积例 计算n阶行列式 12 11000000000nnnaaDaLLMMMML解 121212,(,)12,(1)nnnjjjjjnjjjjDa aaLLL(1)1)1211(1)n nnnna aa LL(1)(1)(2)21)(1)(2)2 12n nn nnnn LL所以(1)21211(1)n nnnnDa aa L四、行列式的性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为TD即 111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMML112111222212nnTnnnnaaaaaaD
36、aaaLLMMML性质 1 行列式转置后，其值不变，即DDT 表明:行列式中的行列的地位是对称的，因此对于行成立的性质，对列也同样成立，反之亦然 性质 交换行列式的某两行(列)，行列式改变符号即 1112111121121212121212 nniiinknknkkkniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa LLMMMMMMLLMMMMMMLLMMMMMMLL 推论 如果行列式某两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零 性质 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面即111211112112121212 nniiiniiinnnnnnn
37、nnaaaaaakakakak aaaaaaaaaLLMMMMMMLLMMMMMMLL推论 如果行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行列式的值等于零 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 性质 如果行列式的某一行(列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即 11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaaLLLMMMMMMMMMLLLMMMMMMMMMLLL性质 5 把行列式的某一行(列)的所有元素乘以数m
38、加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变即 111211112112112212121212nniiinikikinknkkknkkknnnnnnnnnaaaaaaaaaamaamaamaaaaaaaaaaaaaLLMMMMMMLLMMMMMMLLMMMMMMLLikrmr符号说明：用ir表示行列式的第i行，ic表示行列式的第i列 交换ji,两行记作ijrr，交换ji,两列记作ijcc；第i行乘以k记作irk，第i列乘以k记作ick；以数k乘以第j行加到第i行上记作ijrkr，以数k乘以第j列加到第i列上记作ijckc 例 计算行列式 1111111210110123D解 利用行列式的性质
39、将行列式化为上三角形行列式1111111210110123D121101321021111111rr213141(3)(2)(1)1101011301130012rrrrrr 32(1)1101011300200012rr 431211010113400200002rr 例 试证明：01111cbadbadcdacbdcbaD 证 把行列式的第、列同时加到第列上去，则得011111111)(1111addccbbadcbadcbaaddcbadcdcbacbdcbabaD例 计算行列式 3111131111311113D解 行列式的特点是各列个数的和都是，把第,各行同时加到第行，提出公因子，然
40、后把第行乘1加到第,行上就成为三角形行列式 3111131111311113D1213146666131111311113rrrrrr111113116113111132131411111020064800200002rrrrrr五、行列式按行（列）展开对于三阶行列式，有 112233122331132132a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a2223212321221112133
41、23331333132aaaaaaaaaaaaaaa2223212321221 11 21 3111213323331333132(1)(1)(1)aaaaaaaaaaaaaaa 三阶行列式可以展开成二阶行列式的形式.111213212223313233aaaaaaaaa2223212321221 11 21 3111213323331333132(1)(1)(1)aaaaaaaaaaaaaaa 为了表述这种展开形式下面引入余子式和代数余子式的概念.定义 6 在n阶行列式中划去元素ija所在的第i行与第j列，留下来的1n阶行列式称为元素ija的余子式，记为ijM，记ijjiijMA)1(，则i
42、jA称为元素ija的代数余子式.由代数余子式，三阶行列式可表述为 111213212223111112121313313233aaaaaaa Aa Aa Aaaa 这种表述不但对行列式的第一行成立，对于行列式的任意行（列）而言均有类似结论.余子式为 12a2123123133aaMaa代数余子式为 12a21231 2123133(1)aaAaa 111213212223313233aaaaaaaaa定理 1（行列式展开定理）n阶行列式D的值等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即 1122iiiiininDa Aa Aa AL(1,2,)inL1122jjjjnjnjD
43、a Aa Aa AL(1,2,)jnL 结论：任何行列式均可展开成某行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即有为了证明行列式展开定理，我们先证明一个引理.定理 1 表明，n阶行列式可以用1n阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理 引理 一个n阶行列式D，如果其中第i行所有元素除了元素0ija外其它元素全为零，则这个行 列 式等 于ija与 其 代数 余子 式的 乘积，即ijijAaD 证 先证D的第n行元素除0nna外，其余元素全为零的情形.即 111211121222121112111000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaLLMMMMLL由于行列式D第n
44、行元素 除0nna外，其余元素全 为零,由行列式的定义知 12112112,1(,)121,(1)nnnnnnjjjjjjnjnjjjjjDa aaaLLL12112112,1(,)121,(1)nnnjjjnjjnjnnjjjna aaaLLL12112112,1(,)121,(1)nnnjjjnnjjnjjjjaa aaLLLnnnnnnnnAaMa111211121222121112111000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaLLMMMMLL对于一般情况 1111100jnijnnjnnaaaaDaaaLLMMMLLMMMLL为了利用前面结果，把D的行列作如下交换：先
45、将D中第i行依次与1i行，2i行，,nL行交换，交换次数为in 次；然后再将第j列依次与1j列，2j列，,nL列交换，交换次数为jn 次，即对D进行了)(2jin次行、列互换，由行列式性质 2 及前述结果可得 ijijijijjiijijjinAaMaMaD)1()1()(2定理 1（行列式展开定理）n阶行列式D的值等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即 1122iiiiininDa Aa Aa AL(1,2,)inL1122jjjjnjnjDa Aa Aa AL(1,2,)jnL证 设 111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMML由行列式性质4
46、及引理，可得1112112120000000niiinnnnnaaaDaaaaaaLMMMLLLLMMML1112111200ninnnnaaaaaaaLMMMLMMML1112121200ninnnnaaaaaaaLMMMLMMML111211200ninnnnnaaaaaaaLMMMLLMMML1122iiiiinina Aa Aa AL(1,2,)inL同理可证 1122jjjjnjnjDa Aa Aa AL(1,2,)jnL推论 n阶行列式D中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即 11220isisinsna Aa Aa AL)(si 11220j
47、tjtn jnta Aa Aa AL)(tj 11121121212niiinsssnnnnnaaaaaaDaaaaaaLMMMLMMMLMMMML证 只证行的情形，将D的第s行元素换成第i行元素，有1D 111211211212niiiniiinnnnnaaaaaaDaaaaaaLMMMLMMMLMMML11121121212niiinsssnnnnnaaaaaaDaaaaaaLMMMLMMMLMMMML111211211212niiiniiinnnnnaaaaaaDaaaaaaLMMMLMMMLMMML显然，01D且1D的第s行元素的代数余子式与D的第s行对应各元素代数余子式相同，因此将1
48、D按第s行展开，即得 11220isisinsna Aa Aa AL)(si 列的情形同理可以证明.定理及其推论可以合并表述为：定理 对于n阶行列式D有 11220isisinsnDisa Aa Aa AisL 11220jtjtn jntDjta Aa Aa AjtL 1122iiiiininDa Aa Aa AL(1,2,)inL定理推论1122jjjjnjnjDa Aa Aa AL(1,2,)jnL11220isisinsna Aa Aa AL)(si 11220jtjtn jnta Aa Aa AL)(tj 拉普拉斯（Laplace,17491827）法国著名数学家和天文学家，拉普拉斯
49、是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。拉普拉斯在数学的许多领域都有突出的贡献，行列式展开定理就是拉普拉斯提出的。利用展开定理计算行列式的步骤：（1）选择某一元素简单的行（列），利用行列式性质，将选择的行（列）化简为仅有一个非零元素元素的行（列）；（2）再由定理1按该行（列）展开，将行列式变为低一阶行列式；（3）如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶行列式，以此简化行列式的计算例 计算行列式 解 选择第列保留一个非零元素其余元素化为零5021011321014321D5021011321014321D1343227014101231101025rrrr3 2714(1)(1)112725 1
50、2322602112901rrrr2 2621(1)6 182491 例 证明 22211211222112112221222112111211222112110000bbbbaaaabbccbbccaaaa证 将等式左端的行列式按第1行展开，得2221211211112112222122121112221122212221121112112221121100000000bbcbbcaabbcbbcaabbccbbccaaaa111211121122122121222122bbbba aa abbbb11121112111211221221212221222122()bbaabba aa ab
