1、第一章第一章 绪绪 论论通过本章的学习，理解时间序列的概念，特别是随机时间序列的概念，掌握时间序列的建立过程，掌握确定性时序分析方法，掌握随机过程的概念，深刻理解平稳性和白噪声。第一节第一节 时间序列分析的一般问题时间序列分析的一般问题 时间序列的含义 时间序列是指被观察到的以时间为序排列的数据序列。时间序列可以以表格的形式或图形的形式表现。例：上海180指数某时间段的变化日期收盘日期收盘日期收盘2003-1-21320.632003-1-291499.822003-3-61498.342003-1-31319.862003-2-101480.172003-3-71493.092003-1-6
2、1334.682003-2-111492.762003-3-101468.922003-1-71332.062003-2-121510.672003-3-111469.552003-1-81372.072003-2-131504.342003-3-121475.012003-1-91397.382003-2-141510.952003-3-131464.652003-1-101384.862003-2-171496.522003-3-141466.052003-1-131386.312003-2-181496.462003-3-171469.272003-1-141466.852003-2-1
3、91510.82003-3-181459.892003-1-151459.922003-2-201509.482003-3-191469.962003-1-161485.622003-2-211478.872003-3-201464.542003-1-171478.682003-2-241481.942003-3-211474.662003-1-201482.682003-2-251511.282003-3-241477.772003-1-211454.892003-2-261513.182003-3-251462.42003-1-221460.532003-2-271513.72003-3-
4、261456.272003-1-231450.622003-2-281511.932003-3-271499.352003-1-241479.072003-3-31525.482003-3-281491.942003-1-271496.162003-3-41524.32003-3-311510.582003-1-281500.642003-3-51517.18130013501400145015001550510152025303540455055国际航运乘客资料（单位：千人）1949:01:001121181321291211351949:07:00148148136119104118195
5、0:01:001151261411351251491950:07:001701701581331141401951:01:001451501781631721781951:07:001991991841621461661952:01:001711801931811832181952:07:002302422091911721941953:01:001961962362352292431953:07:002642722372111802011954:01:002041882352272342641954:07:003022932592292032291955:01:002422332672692
6、703151955:07:003643473122742372781956:01:002842773173133183741956:07:004134053553062713061957:01:003153013563483554221957:07:004654674043473053361958:01:003403183623483634351958:07:004915054043593103371959:01:003603424063964204721959:07:005485594634073624051960:01:004173914194614725351960:07:0062260
7、6508461390432010020030040050060070049505152535455565758596019461970美国各季生产者耐用品支出（单位：十亿美元）年度和季度 耐用品支出 年度和季度 耐用品支出 年度和季度 耐用品支出1946:01:007.51955:01:0020.91964:01:0037.91946:02:008.91955:02:00231964:02:00391946:03:0011.11955:03:0024.91964:03:00411946:04:0013.41955:04:0026.51964:04:0041.61947:01:0015.5195
8、6:01:0025.61965:01:0043.71947:02:0015.71956:02:0026.11965:02:0044.41947:03:0015.61956:03:00271965:03:0046.61947:04:0016.71956:04:0027.21965:04:0048.31948:01:00181957:01:0028.11966:01:0050.21948:02:0017.41957:02:00281966:02:0052.11948:03:0017.91957:03:0029.11966:03:00541948:04:0018.81957:04:0028.3196
9、6:04:00561949:01:0017.61958:01:0025.71967:01:0053.91949:02:00171958:02:0024.51967:02:0055.61949:03:0016.11958:03:0024.41967:03:0055.41949:04:0015.71958:04:0025.51967:04:0056.21950:01:0015.91959:01:00271968:01:0057.91950:02:0017.91959:02:0028.71968:02:0057.31950:03:0020.31959:03:0029.11968:03:0058.81
10、950:04:0020.41959:04:00291968:04:0060.41951:01:0020.21960:01:0029.61969:01:0063.11951:02:0020.51960:02:0031.21969:02:0083.51951:03:0020.91960:03:0030.61969:03:0064.81951:04:0020.91960:04:0029.81969:04:0065.71952:01:0021.11961:01:0027.61970:01:0064.81952:02:0021.41961:02:0027.71970:02:0065.61952:03:0
11、018.21961:03:00291970:03:0067.21952:04:0020.11961:04:0030.31970:04:0062.11953:01:0021.41962:01:00311953:02:0021.31962:02:0032.11953:03:0021.91962:03:0033.51953:04:0021.31962:04:0033.21954:01:0020.41963:01:0033.21954:02:0020.41963:02:0033.81954:03:0020.71963:03:0035.51954:04:0020.71963:04:0036.802040
12、6080464850525456586062646668701952年1994年我国社会消费品零售总额（单位：亿元）年消费品总额年消费品总额1952262.71974967.41953328.819751046.41954356.119761099195536419771174.3195642419781264.91957441.6197914761958481.2198017941959556.619812002.51960595.419822181.51961537.719832426.11962543.7198428991963544.819853801.41964572.7198643
13、741965590.1198751151966632.819886534.61967679.119897074.21968649.219907250.31969698.219918245.71970728.819929074.81971776.9199312462.11972853.5199416264.71973917.7050001000015000200005560657075808590时间序列分析的目的：(1)预测序列未来的发展方向。(2)分析序列的基本趋势、季节和随机项的构成。(3)分析待定的数据集合、模拟理论模型，尤其是建立数学模型，进而进行模型的结构分析和实证研究。4.按序列的
14、分布规律来分：高斯型时间序列和非高斯型时间序列。时间序列的主要分类：1.按所研究的对象的多少分：一元时间序列和多元时间序列。2.按时间的连续性分：离散时间序列和连续时间序列。3.按序列的统计特性分：平稳时间序列和非平稳时间序列。第二节第二节 时间序列的建立时间序列的建立 我们把获取时间序列以及对其进行检查、整理和预处理等工作，称为时间序列的建立。时间序列数据的采集 相应于时间的连续性，系统在不同的时刻上的响应常常是时间t的连续函数。为了数字计算处理上的方便，往往只按照一定的时间间隔对所研究系统的响应进行记录和观察，我们称之为采样。相应地把记录和观察时间间隔称为采样间隔。通常采样采用等间隔采样。
15、离群点（Outlier）离群点（Outlier）是指一个时间序列中，远离序列一般水平的极端大值和极端小值。对时间序列离群点分析的方法，有时也被称作稳健估计（Robust Estimation），该方法最早由Box和Anderson于1955年提出。1.离群点（Outlier）产生的原因：（1）采样误差；（2）系统各种偶然非正常因素影响。2.离群点的数理描述：(1)它们是既定分布中的极端点（exteme point），它们虽与数据主体来自同一分布，但本身应以极小的概率出现；(2)这种点与数据集的主体并非采自同一分布，而是在采集数据过程中受到其他分布的“污染”，致使现有数据集掺入不应有的“杂质”。
16、3.离群点（Outlier）的类型：（1）加性离群点（Additive Outlier），造成这种离群点的干扰，只影响该干扰发生的那一个时刻T上的序列值，而不影响该时刻以后的序列值。（2）更新离群点（Innovational Outlier），造成离群点的干扰不仅作用于XT，而且影响T时刻以后序列的所有观察值。（3）水平移位离群点（Level Shift Outlier）,造成这种离群点的干扰是在某一时刻T，系统的结构发生了变化，并持续影响T时刻以后的所有行为，在数列上往往表现出T时刻前后的序列均值发生水平位移。（4）暂时变更离群点(Temporary Change Outlier),造成这种
17、离群点的干扰是在T时刻干扰发生时具有一定初始效应，以后随时间根据衰减因子的大小呈指数衰减。（请大家观看四种离群点的演示试验）（1）直接进行剔除；（2）对数据模型进行修正处理分析。4.离群点（Outlier）的处理方法：缺损值（Missing value）的补足 依据系统运动轨迹或变化趋势，运用一定的方法对缺损值进行估计、推测，以补足缺损的数值。第三节第三节 确定性时序分析方法概述确定性时序分析方法概述 一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合：长期趋势变动（T）季节变动（S）循环变动（C）不规则变动（R）常见的确定性时间序列模型：()混合模型tttttyT SCR.tttttyT S C
18、 R.ttttyT SR.tttttyST C R()加法模型()乘法模型确定性时序分析方法：1.移动平均法 设观测序列为,正整数NT。一次移动平均值计算公式为：(1)1211(1)11(.)11(.)()1()tttt Ntt Ntt Nttt NMyyyNyyyyNNMyyN 二次移动平均值计算公式为：(2)1(1)1(2)(1)(1)11(.)1()ttt Nttt NMMMMMMMN 移动平均模型的特点：(1)等加权；(2)与Random Walk相比，对反转的反应滞后，平均滞后(N+1)/2期；(3)无现成统计理论用于预测区间的推导，要根据样本的数据计算标准差做经验估计。移动平均模型
19、在数据处理中常用作预处理，用于消除周期波动（取N为周期长度）和减弱随机干扰的影响。2.指数平滑法,为加权系数，01，设观测序列p次指数平滑公式为：1,.,Tyy一次指数平滑公式为：(1)(1)(1)(1)111(1)()ttttttSySSyS二次指数平滑公式为：(2)(1)(2)1(1)tttSSS()(1)()1(1)ppptttSSS一次指数平滑模型（Simple Exponential Smoothing,SES）的特点：非等加权，距离越近权数越大；平滑指数为连续变量，可以通过最小均方误（mean squared error）计算出最最佳的平滑系数；对反转平均滞后1/；预测区间比Ran
20、dom Walk窄；ARIMA模型的特例，ARIMA(0,1,1),MA的系数为1-。二次指数平滑模型（Linear(double)Exponential Smoothing,LES）常用于含线性趋势数据;三次指数平滑模型（Quadratic(triple)Smoothing Modle）常用于含曲线趋势的数据。3.时间回归法 (1)线性方程:(2)二次曲线：(3)指数曲线：(4)修正指数曲线：tyabt2tyabtctabttyettykab(5)Gompertz（龚帕兹）曲线：(6)Logistic（逻辑斯谛）曲线：(7)振动曲线：expexp()(,0,)tyt /1exp()(,0,)
21、tyt ()cos()tyf tAtf(t)为多项式（请同学们看一个实例）4.季节周期预测法(1)乘法型季节模型(2)加法型季节模型12sin()sincostyAtbtbt12()sincostyf tbtbt().tjyftF第四节 随机时间序列分析的几个基本概念 随机过程(Stochastic Process)随机过程是一簇随机变量Xt,tT，其中T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻t而言，Xt是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。当t=0,1,2,时，即时刻t只取整数时，随机过程Xt,tT可写成如下形式，Xt,t=0,1,2,。此类随机过程Xt是离散时间t的随机
22、函数，称它为随机序列或时间序列。对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即Xt,t=0,1,2,就是一个离散随机序列。时间序列的概率分布和数值特征 1.时间序列的概率分布 一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述 时间序列所有的一维分布是：，F-1()，F0()，F1(),所有二维分布是：Fij(，)，i，j=0,1,2,(ij)一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。2.时间序列的均值函数 一个时间序列的均值函数是指：其中：EXt表示在t固定时对随机变量Xt的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft()有关。()ttttEXX dF X3.时间序列的协方差函
23、数与自相关函数 协方差函数：,(,)()()(,)ttssttsst st sE XXXYdFX Y其中Ft,s(X,Y)为（Xt，Xs）的二维联合分布。自相关函数：(,)(,)/(,)(,)t st st ts s时间序列的自协方差函数有以下性质：对称性：非负定性：(,)(,)t ss t 11121m21222mm1m2mmk,kk,kk,kk,kk,kk,kk,kk,kk,km 为对称非负定矩阵。自相关函数同样也具有上述性质且有(t,t)=1。对任意正整数m和任意m个整数k1,k2,km，方阵平稳随机过程 严平稳：12,nt tt如果对于时间t的任意n个值和任意实数，随机过程tX的n维分
24、布满足关系式：121 21212,;,;,nnnnnnF x xx t ttF x xx ttt则称为严平稳过程。宽平稳：若随机过程的均值（一阶矩）和协方差存在，且满足 1tE XatT 2,t ktE XaXakt tkT则称为宽平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严平稳不等于宽平稳；宽平稳不等于严平稳；对于严平稳序列，如果其二阶距存在，其必为宽平稳，反之则一般不成立；对于高斯序列，严平稳与宽平稳是等价的。平稳时间序列自协方差函数和自相关函数 设平稳时间序列的均值为零，即0tE X。自协方差函数：0kt kt kttttt kE XEXXEXEXEX X当时自相关函数：0kk平稳序列的自协方
25、差函数有以下性质：对称性：非负定性：0k01m-110m-2m-1m-20m 为非负定矩阵。自相关函数同样也具有上述性质。m阶自协方差阵 有界性：kk平稳序列的样本统计量 样本均值：时间序列无法获得多重实现，常用时间均值代替总体均值。11nttXXn上式的估计是无偏的。样本自协方差函数11n kktt ktXXXXn11n kktt ktXXXXnk第一式是有偏估计，第二式是无偏估计，但有效性不如第一式。几类特殊的随机过程（序列）：纯随机过程：随机过程如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，则称其为纯随机过程。白噪声序列（White noise）：如果时间序列满足以下性质：（1）0tE X2
26、,tst sE X X（2）式中，当ts时，,0,1t st t简称白噪声。称此序列为白噪声序列，3.独立同分布序列：如果时间序列,tX tT中的随机变量Xt,t=0,1,2,为相互独立的随机变量，而且具有相同的分布，称这样的时间序列为独立同分布序列。4.二阶矩过程：若随机过程,tX tT对每个 ,ttT X二阶矩过程。的均值和方差存在，则称之为5.正态过程：若,tX tT正态分布，则称的有限维分布都是,tX tT为正态随机过程。第二章第二章 平稳时间序列模型平稳时间序列模型(单变量）单变量）选择单变量时间序列的原因一是对相关序列间的可能关系还缺乏可靠的先验信息。单变量时间序列建模是一个有用的
27、简化手段，并可以进行有效的短期预测；例如例如，金融市场里面的股票走势、利率变化等等。金融市场里面的股票走势、利率变化等等。随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势化特征来预测未来的变化趋势。二是如果有关经济结构的理论已相当成熟，则这个结构的某种表现将是对该结构中的每个内生变量都给出一个与单变量模型方程相同的方程形式。例如，例如，对于如下最简单的宏观经济模型：这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。Ct与与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资生变量的投资It的运动
28、及随机扰动项的运动及随机扰动项 t的变化决定的变化决定的。的。tttCYCa12110tttICY上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。如果如果It是一个白噪声是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。ttttICCa1111011211111tttttIIYYa11121101121111111第一节 自回归模型 一阶自回归模型AR(1)11tttXXa其中Xt 零均值平稳序列，t
29、 为随机扰动。AR(1)的特点：Xt对Xt-1有线性相关关系t为独立正态同分布序列()0,1,2,.ttjE a Xj AR（1）与普通一元线性回归一元线性回归 一阶自回归 两个变量，Y为随机变量，X为确定性变量；一个变量，为随机变量；为白噪声序列，还可假定 为正态分布。iiiYX11tttXXa()0iEcov()0ijij 2var()icov()0iiX20,iNtXta()0tE a20atstsE a ats()0,1,2,.ttjE a Xjta 随机游动模型1tttXXa模型的特性：系统具有极强的一期记忆性；在t-1时刻，系统的一步超前预测(1)11ttXX可表示成无限独立随机变
30、量和的形式：0ttjjXatX 一般自回归模型AR(n)1122.tttnt ntXXXXa其中：ta为白噪声，()0,1,2,.ttjE a Xj第二节第二节 移动平均模型移动平均模型 一阶移动平均模型MA（1）11tttXaa其中：为白噪声。taMA(1)模型的基本假设为：(1)Xt仅与其前一时刻进入系统的扰动t-1有一定的依存关系；(2)t为白噪声。一般移动平均模型MA(m)1112.ttttmt mXaaaa其中：（1）Xt仅与12,.,ttt ma有关，而与（j=m+1,m+2,）无关；tj(2)t为白噪声。AR模型和MA模型的比较：AR模型可以写成无穷阶MA模型的形式，体现出AR模型对随机干扰的长效记忆性。对于不同系数的AR(n)序列，受到随机干扰后变化方向是不同的，对于不同系数的MA(m)序列，随机冲击并不改变其变化方向，也就是说随机冲击对于MA模型来说并不是一个“严重问题”。第三节第三节 自回归移动平均自回归移动平均(ARMA)模型模型 1111.ttnt nttm t mXXX ARMA(n,m)模型模型其假设条件与其假设条件与AR模型相同模型相同补充练习学会EVIEWS软件的基本操作，结合本章所学的的模型，练习用软件模拟相关模型。时间序列分析主讲教师 李志强山东工商学院统计学专业
