1、第八章第八章刚体的平面运动刚体的平面运动 81 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 82 求图形内各点速度的基点法求图形内各点速度的基点法 83 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 84 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 85 运动学综合应用运动学综合应用 第八章第八章 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动 重点重点 刚体平面运动的分解；刚体平面运动的分解；熟练应用熟练应用各种方法各种方法求平面图形求平面图形上任一上任一 点的速度点的速度。求平面图形求平面图形上任一点的加速度上任一点的加速度。难点难
2、点 运动的分解与合成运动的分解与合成 求平面图形上各点的求平面图形上各点的速度和加速度的基点法速度和加速度的基点法；实例实例18-1 刚体平面运动的概述与分解刚体平面运动的概述与分解实例实例2实例实例3实例实例4在运动中，刚体上的任意在运动中，刚体上的任意一点到某一固定平面的一点到某一固定平面的距离距离始终保持始终保持不变不变。平面运动：平面运动：机械臂抓举、搬运零件机械臂抓举、搬运零件刚体始终在刚体始终在自身平面自身平面内运动；内运动；刚刚体上每一点都在与某一固定平面体上每一点都在与某一固定平面平行的平行的平面内运动平面内运动；刚体平面运动的特征刚体平面运动的特征刚体平面运动的特征刚体平面运
3、动的特征在自身平面内在自身平面内又移又转又移又转；123OOxftyftft基点O转角二、平面运动刚体的运动方程二、平面运动刚体的运动方程)(1otfx)(2otfy平面运动方程平面运动方程)(3tf转动定位转动定位移动定位移动定位平面运动刚体的运动方程平面运动刚体的运动方程一、分析车轮上一点的运动一、分析车轮上一点的运动9-1（二）刚体平面运动的分解（二）刚体平面运动的分解yxO牵连运动牵连运动车厢的车厢的平动平动相对运动：相对运动：绕平动坐标系绕平动坐标系原点原点O的转动的转动绝对运动绝对运动 车轮的平面运动车轮的平面运动分析车轮上一点的运动分析车轮上一点的运动MM绝对运动绝对运动=牵连运
4、动牵连运动+相对运动相对运动=随随O的平动的平动+绕绕O的转动。的转动。平面运动刚体上任一点平面运动刚体上任一点M的运动的运动=随随基点的平动基点的平动+绕绕基点的转基点的转动。动。yxO+绕绕动系的转动。动系的转动。=随随动系的平动动系的平动动系铰接在基点处动系铰接在基点处yxOyx基点基点在平面运动图形上任取的点在平面运动图形上任取的点O在基点处假想地安上一个在基点处假想地安上一个平移参考系平移参考系Oxy；平动坐标系平动坐标系二、基点二、基点 平动坐标系平动坐标系平面图形运动时，动坐标轴平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变方向始终保持不变。O三、平面运动的分解三、平面运动的分解1随随
5、基点的平动基点的平动绕绕基点转动基点转动+平面运动的分解平面运动的分解2随随基点的平动基点的平动绕绕基点转动基点转动+机械臂抓举、搬运零件机械臂抓举、搬运零件绕绕基点的转动基点的转动+随随基点的平基点的平动动 刚体的平面运动刚体的平面运动 (绝对运动绝对运动)随随同基点的平动同基点的平动 (牵连运动牵连运动)绕绕着基点的转动着基点的转动 (相对运动相对运动)结论结论四、不同的基点选择对运动分析的影响四、不同的基点选择对运动分析的影响 21BArr BA21rr 2、不同的基点选择只影响随基点平动部分、不同的基点选择只影响随基点平动部分3、刚体绕基点转动的角速度、刚体绕基点转动的角速度和角加速度
6、和角加速度是刚体自是刚体自身的运动量身的运动量1、平面运动、平面运动可取任一点可取任一点作为基点而分解为平动和转动。作为基点而分解为平动和转动。虽然基点可任意选取虽然基点可任意选取选取运动情况选取运动情况。不影响转动部分不影响转动部分与基点的选择无关与基点的选择无关。平移的速度、加速度与基点的选择有关平移的速度、加速度与基点的选择有关8-2求图形内各点速度的基点法求图形内各点速度的基点法reavvvBAABvvv 一基点法一基点法wvBvAvBAvAA平面图形内任一点的速度平面图形内任一点的速度=基点的速度基点的速度 与与该点随图形绕基点转动速度该点随图形绕基点转动速度 的矢量和的矢量和。B二
7、二 速度投影定理速度投影定理vBAAB=0ABwvBvAvBAvABABAABABABvvvBAABABvvBABAvvv例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀w 转动。求：当=45时,滑块B的速度及AB杆的角速度cosvvBA)(l 2 cos/vvABw不能求出ABw1、速度投影定理、速度投影定理BvvA2、基点法、基点法wwwl/lAB/vBAABBAABvvvvBAAvBvBAvvsinBvA例例2 椭圆规机构椭圆规机构,已知连杆已知连杆AB长长l=20 cm，滑块，滑块A的的速度速度vA=10 cm/s，求连杆与水平方向夹角为，求连杆与水平方向夹角为30时，时，滑块滑块
8、B和连杆中点和连杆中点M的速度。的速度。AB30MvAvAAB30M60cos30cosBAvv应用投影定理应用投影定理vB1rad sBAABvlwAvAvAvBvBABwAB30BABAvvvM20 cm/ssin30ABAvv30sin30vv0BAA基点法计算角速度基点法计算角速度基点法计算基点法计算M点的速度点的速度合成法合成法10cm sMvtan360AvAvAvMABwAB30MvMMAMAvvvxysin30vvvMAAxcos30vvMAy例例3 行星轮系机构如图。大齿轮行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为固定，半径为r1；行星；行星齿轮齿轮II沿轮沿轮I只滚而不滑动，半
9、径为只滚而不滑动，半径为r2。杆。杆OA角速度为角速度为w wO。求轮。求轮II的角速度的角速度w wII及其上及其上B，C两点的速度。两点的速度。wOODACBwIIIIIvAwOODACBvAvDAwIIIII分析两轮接触点分析两轮接触点D12()AOOvOArrwwvDAvAwO(r1+r2)12II2()ODArrvDArwwvD0DAADvvvDAAvv0vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A为基点，分析点B的速度。II12()BAOAvBArrvww221222()BABAAOvvvvrrw以A为基点，分析点C的速度。II12()CAOAvCArrvww12
10、2()CCAOvvvrrwBAABvvvCAACvvvBACDE600600w w例例5：已知：图示机构：已知：图示机构：AB=BD=DE=l=300mm,图示瞬时图示瞬时 BDAE，w w=5rad/s。求：求：w w DE及及vC(C为为BD中点中点)。BACDE600600w w30v30vDcoscosBvBvDvB=w w AB=1500mm/sw w DE=vD/l=5rad/s投影定理投影定理BACDE600600w wDBBDvvvvBvBvDvDBw w DB=vDB/lDBBDsinsinvv30v30基点法计算刚体转动角速度基点法计算刚体转动角速度CBBCvvvBACDE
11、600600w wvBvCy=vCB-vB sin300vBvCBvCB=BCBDvCx=vB cos300基点法计算基点法计算C点速度点速度例例4 传送带传送带AB以以VA=2m/s 运动，同时半径运动，同时半径 r=0.1m的圆柱的圆柱体又沿传送带作纯滚动体又沿传送带作纯滚动，在图示位置具有角速度，在图示位置具有角速度=15rad/s。求求M点速度点速度 vM 和和 v0。O w wABvAyxMO w wABvAyxMD基点：基点：D点点 vD=vA=2m/s vD vD vMD vM Sm12.2r2MDvMDww1、求、求vM MDDMvvvO w wABVAyxMDVD VD VM
12、D VM Sm12.2vMDsm5.345COSvvvMDDMXsm5.145sinv0vMDMysm8.3vvv2My2MxM4285.0vvtgMxMy2.23O w wABvAyxMDvD 2、求、求vOvO sm5.3rvvDOw思考：带思考：带AB不动时，点不动时，点O、M的速度如何的速度如何?sm12.2MDvsm5.1rvMOwwvOD vD 基点：基点：D点点练习练习1：图示中的连杆机构，曲柄：图示中的连杆机构，曲柄OA以以绕轴绕轴O匀速转动，图示时刻恰好匀速转动，图示时刻恰好OA位于水平，位于水平，BC位位于铅垂；已知：于铅垂；已知：OABCAC/2，求此时，求此时AC、BC
13、的角速度。的角速度。OABC练习练习2：曲柄：曲柄OAR，以匀角速度，以匀角速度绕轴绕轴O转转动，动，ABL，BC2R，图示时刻，图示时刻OA、BC位于铅垂，位于铅垂，AB与水平线成与水平线成30度角，求度角，求BC、AB的角速度。的角速度。BOAC练习练习3：OAABBCCDL，OA以匀角速度以匀角速度1绕轴绕轴O转动，转动，CD以匀角速度以匀角速度2绕轴绕轴D转动。图示转动。图示瞬时瞬时AB与与BC成成45度角，度角，OA铅垂，铅垂，CD水平，求水平，求B点的速度、点的速度、AB杆、杆、BC杆的角速度。杆的角速度。1OABCD练习练习4：图示中：图示中OAR，以匀角速度，以匀角速度绕轴绕轴
14、O转动，转动，ABL，BC2R，图示时刻，图示时刻OA位于铅垂，位于铅垂，AB水水平，平，BC与铅垂线成与铅垂线成30度角，求度角，求BC、AB的角速度。的角速度。OABC练习练习5：图示时刻：图示时刻OAOO1R，BC2R，OA与与ABC成成45度角，度角，AOO1共线，求此共线，求此时时C点的速度。点的速度。O1OABC练习练习6：飞轮以匀角速度：飞轮以匀角速度的速度绕圆心轴转动，半径的速度绕圆心轴转动，半径为为R，飞轮的边缘上铰接一杆，飞轮的边缘上铰接一杆AB，ABBCBDL，图示时刻，图示时刻A处的半径处的半径OA与水平线成与水平线成30度角，度角，AB杆水平，杆水平，BC、BD分别与
15、铅垂线成分别与铅垂线成30度角，求此时度角，求此时AB、BD、BC的角速度与滑块的角速度与滑块D的速度。的速度。ABCD练习练习7：图示时刻：图示时刻ABBCOBL，OB垂直于垂直于AB，滑块，滑块A的速度为的速度为v，水平向右。求图示瞬，水平向右。求图示瞬时时OB、AC杆的角速度与杆的角速度与C点的速度点的速度OCBAvBAABvvv 回顾回顾基点法基点法wvBvAvBAvA8-3求图形内各点速度的瞬心法求图形内各点速度的瞬心法如何选择基点？如何选择基点？ABABwvA=0BABvv 一、速度瞬心一、速度瞬心在某瞬时，平面图形内速度为零的点vB=vBA瞬时速度中心，简称为速度瞬心。一般情况下
16、一般情况下 0：某平面图形内某平面图形内是否存在是否存在速度瞬心？速度瞬心？如果存在速度瞬心，如果存在速度瞬心，如何寻找如何寻找速度瞬心？速度瞬心？找到了速度瞬心，找到了速度瞬心，如何利用如何利用速度瞬心来分析平面运动图形上任意速度瞬心来分析平面运动图形上任意一点的速度？一点的速度？ABwvB=vBA问题问题wS如果取AP vA/w，则NPvAvP AvAAw一般情况（0），在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。二、定理二、定理APvvAPw0APvvAPw速度瞬心的位置速度瞬心的位置过速度已知的点，在过速度已知的点，在已知速度矢量已知速度矢量的垂线上；的垂线上；图形转动的角速度
17、图形转动的角速度已知速度的大小已知速度的大小wAvAPSNPvAvP AvAAw到已知点的距离：到已知点的距离：1、平面图形沿一固定的表面作无滑动的滚动、平面图形沿一固定的表面作无滑动的滚动三、如何寻找速度瞬心三、如何寻找速度瞬心沿一固定的表面作无滑动的滚动沿一固定的表面作无滑动的滚动2、已知图形内任意两点的绝对速度、已知图形内任意两点的绝对速度3、图形内任意两点的速度、图形内任意两点的速度矢量同向，大小不等矢量同向，大小不等，并且，并且速度速度的方向垂直于两点的连线的方向垂直于两点的连线4、图形内任意两点的、图形内任意两点的速度矢量反向速度矢量反向，并且，并且速度的方向垂直速度的方向垂直于两
18、点的连线于两点的连线5、某一瞬时，图形上任意两点的绝对速度矢量相等、某一瞬时，图形上任意两点的绝对速度矢量相等瞬时平动瞬时平动0 0w瞬时平动瞬时平动速度瞬心位置的确定总结速度瞬心位置的确定总结ABCw wvBvCPABCw wvBvCP瞬时平动瞬时平动确定下列平面运动刚体在该时刻的速度瞬心确定下列平面运动刚体在该时刻的速度瞬心vBvCPABvAvBvBvAABP确定下列平面运动刚体在该时刻的速度瞬心确定下列平面运动刚体在该时刻的速度瞬心PAwBDvAvBvD四、利用速度瞬心分析速度四、利用速度瞬心分析速度平面图形绕速度瞬心的平面图形绕速度瞬心的瞬时转动瞬时转动速度的大小速度的大小R 速度的方
19、向速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的方向动的方向wAPvvAPAwDPvvDPDwBPvvBPBvAABDPvB平面图形各点速度分布平面图形各点速度分布平面图形绕速度瞬心的瞬时转动平面图形绕速度瞬心的瞬时转动vDvABC例题：车轮的半径为例题：车轮的半径为R，沿直线路面行驶的速度，沿直线路面行驶的速度为为v，求车轮上求车轮上A、B、C三点的速度。三点的速度。PvAwwR2PAvARvwww2RPBvBvBwwR2PCvCvC自行车轮在运动中各点的速度分布自行车轮在运动中各点的速度分布五、如何理解速度瞬心五、如何理解速度瞬心1、每一个平面运
20、动的刚体，当每一个平面运动的刚体，当0时，时，有各自的速度瞬心；有各自的速度瞬心；4、以速度瞬心为基点，任意一点的以速度瞬心为基点，任意一点的绝对速度绝对速度等于绕速度等于绕速度 瞬心的瞬心的瞬时转动速度瞬时转动速度；2、速度瞬心不是一个固定的点，不同时刻速度瞬心的位置速度瞬心不是一个固定的点，不同时刻速度瞬心的位置 不同；不同；3、速度瞬心只是该点的速度瞬心只是该点的速度等于零速度等于零，加速度不等于零加速度不等于零；六、如何理解绕速度瞬心的瞬时转动与定轴转动六、如何理解绕速度瞬心的瞬时转动与定轴转动1、定轴转动定轴转动时时转轴上各点：转轴上各点：瞬时转动瞬时转动时时：2、定轴转动定轴转动时
21、，转轴的位置不变，时，转轴的位置不变，速度分析完全相同速度分析完全相同3、加速度分布规律不同加速度分布规律不同；相同之处：相同之处：不同之处不同之处：而而速度瞬心速度瞬心的位置时刻在变化；的位置时刻在变化；0v 0a 0vP0aP七、如何理解瞬时平动与刚体平动的区别七、如何理解瞬时平动与刚体平动的区别各点的轨迹形状相同；各点的轨迹形状相同；瞬时平动：瞬时平动：刚体平动：刚体平动：刚体不转动，刚体不转动，=0=0BAvv BAaa BAvv BAaa=00各点的轨迹不同；各点的轨迹不同；思考题思考题1 1O1BAw1O2CO1A上各点的速度分布上各点的速度分布规律是否正确规律是否正确?ACAC上
22、各点的速度分布规律上各点的速度分布规律是否正确是否正确?PABC例例1 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄取柄OA以匀以匀w w 转动。转动。求：当求：当 =45时时,滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速度杆的角速度wwwl/lAP/vAAB)(l2BPvABBwwwlvAvAvBPABAvAB30M例例2 椭圆规机构如图。已知连杆椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度的长度l=20 cm，滑块滑块A的速度的速度vA=10 cm/s，求连杆与水平方向夹角，求连杆与水平方向夹角为为30时，滑块时，滑块B和连杆中点和连杆中点M的速度。的速度。1rad ssin30AAvvACl
23、wcos3010 3cm sBvBClww210cm sMlvMCwwAvAvBB30PvMwM例例3例例4 图示机构，已知曲柄图示机构，已知曲柄OA的角速度为的角速度为w w，OAABBO1O1Cr，角，角 =b b=60，求滑块，求滑块C的的速度。速度。wbOABO1CwwrOAvAwbOABO1CP1P2wBCwABvAvBvCww1AABAPvwwrBPvAB1B3BPv2BBCwwwwr33CPvBC2C例例5 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长长r以匀角速度以匀角速度w w转动，转动，AB=BC=BD=l，当曲柄与水平线成，当曲柄与水平线成30角时，角时
24、，连杆连杆AB处于水平位置，而肘杆处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成与铅垂线也成30角。角。试求图示位置时，杆试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头的角速度以及冲头C 的速的速度。度。AOBDC3030wAOBDC3030vAvBvCwP1wABP2wBCwwr3l32APv1AABwwr33BPvAB1Bwwr3l3BPv2BBCwwr33CPvBC2C例例6.图示瞬时滑块图示瞬时滑块A以速度以速度 vA 沿水平直槽向左运动沿水平直槽向左运动,并并通过连杆通过连杆AB 带动轮带动轮B 沿园弧轨道作无滑动的滚动沿园弧轨道作无滑动的滚动.已已知轮知轮B的半径为的半径为r,园弧轨道的半径为
25、园弧轨道的半径为R,滑块滑块A 离园弧离园弧轨道中心轨道中心O 的距离为的距离为l.求该瞬时连杆求该瞬时连杆AB的角速度及轮的角速度及轮B边缘上边缘上M1和和M2点的速度点的速度.rROBlAvAM1M2rROBlAvAM1M2杆AB作瞬时平动vA=vBrvrvABBwvM1vM1=2 vB=2 vAB22M)MP(vwPvBvM2wBBr w2Av2wAB=0OAw w600BC300例例8：已知：图示机构：已知：图示机构：OA=30cm,以以w w=5rad/s 绕绕O轴转动，轴转动，R=20cm，r=10cm。求：求：图示瞬时图示瞬时 w w 轮轮A及及vC。OAw w600vA=w w
26、（R+r）=150cm/svP=0s/15radrvAAwvB=vBP=w w轮轮A 2r=300cm/svBOAPvAOAw w600BC300A A分析分析A轮轮OAw w600BC300vBvB=w w轮轮A 2r=300cm/svCvB=vC cos3003200cos30vvBC分析分析BC杆杆例例9 曲柄滚轮机构 OA=15cm、n=60 rpm，滚子半径R=OA,求：当=60时(OAAB),滚轮的wrad/s 32153/30/1wAPvAABrad/s 260/n2w)(cm/s 3203215321wABBBPvAvvBP2rad/s25.715/320/2wBPvBBP1A
27、BABB Bcm/s 30OAvAw例例10.在图示机构中在图示机构中,平衡杆平衡杆O1A绕绕O1轴转动轴转动,并借与齿轮并借与齿轮固结的连固结的连杆杆AB带动曲柄带动曲柄OB,而曲柄而曲柄OB活动活动地装置在地装置在O 轴上轴上,在在O 轴上装有齿轴上装有齿轮轮齿轮齿轮的轴安装在连杆的轴安装在连杆AB的的B端端.已知已知r1=r2=52cm,O1A=75cm,AB=150cm,w wO1=6rad/s,=60 杆杆OB水平水平AB 铅垂铅垂.求杆求杆OB及齿及齿轮轮的角速度的角速度.OABO1 w wO1r1r2OABO1 w wO1r1r2vA=(O1A)wO1vB=(PB)wABwAB=
28、1.5 rad/swOB=3.75 rad/sDvD=(PD)wABwO=6 rad/sw wOBw wO=(PA)wABvBvAw wABvD=(OD)wO=(OB)wOB P例例11 直杆直杆AB与圆柱与圆柱O相切于相切于D点，杆的点，杆的A端端以以 匀速向右滑动，圆柱半径匀速向右滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，求求 时圆柱的角速度。时圆柱的角速度。scmvA60cmr1060AvABDOw1DPDv2AABPAvwsrad210360DPv1DwAvABDODv2PABwrAAB2Dv33PDvww1P几点注意几点注意3、当平面几
29、何简单时当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法；，分析速度可采用瞬心法；1、基点法基点法是速度分析的基本方法；是速度分析的基本方法；瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动的角速度；的角速度；4、确定速度瞬心的速度是、确定速度瞬心的速度是该点的该点的绝对运动速度绝对运动速度；5、具体分析时三种方法灵活运用；、具体分析时三种方法灵活运用；2、速度投影法速度投影法 应用起来简单，但必须知道应用起来简单，但必须知道待求速度待求速度 点的方位点的方位，致命的，致命的弱点弱点是是不能求图形的角速度不能求图形的角速度练习练习1：齿轮：齿轮AB由连杆由连杆AC连接
30、，可在固定的齿条连接，可在固定的齿条上滚动，当上滚动，当BC位于铅垂时，位于铅垂时，B轮轮心的速度为轮轮心的速度为v，方向如图。求方向如图。求A轮的角速度。已知二轮的半径为轮的角速度。已知二轮的半径为R，BC,AC=L.ABCv练习练习2：飞轮以匀角速度：飞轮以匀角速度绕圆心轴转动，半径为绕圆心轴转动，半径为R，飞轮的边缘上铰接一杆飞轮的边缘上铰接一杆AB，ABBCBDL米，米，图示时刻图示时刻A处的半径处的半径OA与水平线成与水平线成30度角，度角，AB杆杆水平，水平，BC、BD分别与铅垂线成分别与铅垂线成30度角，求此时度角，求此时AB、BD、BC的角速度与滑块的角速度与滑块D的速度。的速
31、度。ABCD练习练习3：滚压机构中，：滚压机构中，OAR，以匀角速度，以匀角速度转动。转动。滚子的半径为滚子的半径为r.图示瞬时图示瞬时OA垂直于垂直于AB，OA与水与水平线成平线成60度角，求滚子的角速度及滚子上一点度角，求滚子的角速度及滚子上一点M的速度。的速度。AOBM练习练习4：OAR，以匀角速度，以匀角速度绕轴绕轴O转动。转动。ADDB，O1E4R。图示瞬时。图示瞬时O1E垂直于垂直于ED且与铅且与铅垂线成垂线成30度角，求度角，求O1E杆的角速度。杆的角速度。OABO1ED练习练习5：OA10厘米，以匀角速度厘米，以匀角速度=6rad/s转动。直转动。直角三角板的边角三角板的边AC
32、15厘米，厘米，BC45厘米，厘米，BD40厘米。图示瞬时，厘米。图示瞬时，OA垂直于垂直于AC，OA垂直于垂直于BD，求，求BD杆的角速度，直角三角板的直角杆的角速度，直角三角板的直角C点的点的速度。速度。OACBD练习练习6：滚子的半径为：滚子的半径为R，在水平面上纯滚，在水平面上纯滚，ABL。套筒套筒A沿固定的杆运动，图示瞬时，滚子的中心沿固定的杆运动，图示瞬时，滚子的中心具有向右的速度具有向右的速度V，套筒，套筒A与地面间的距离为与地面间的距离为h。求套筒的速度。求套筒的速度。BA练习练习7：平面机构中，：平面机构中，A、B二轮在固定的圆弧曲二轮在固定的圆弧曲面上纯滚。面上纯滚。A轮的
33、半径轮的半径r=5厘米，厘米，B轮的半径轮的半径R=10厘米。固定曲面的半径厘米。固定曲面的半径40厘米，厘米，AB40厘米。厘米。A轮以匀角速度轮以匀角速度=3rad/s在曲面上纯在曲面上纯滚。求滚。求B轮的角速度。轮的角速度。ABO练习练习8：图示中：图示中OA杆以匀角速度杆以匀角速度绕轴绕轴O转动，转动，OAOCR，BABCBD，当曲柄，当曲柄OA水平时，水平时，OA与与AD成成45度角，度角，MN与水平线成与水平线成30度角，且度角，且CDOC，OAAM，求，求MN的角速度。的角速度。OCBDNM练习练习9：图示机构中，：图示机构中，OAO1BR，EBBDADL4R，OA垂直于垂直于A
34、D，AD垂直于垂直于DE，DE垂垂直于直于O1B，O1D水平，水平，OD连线位于铅垂；曲柄连线位于铅垂；曲柄OA以匀角速度以匀角速度 绕轴绕轴O转动，求点转动，求点F的速度。的速度。EAOO1BDFBAtBAaaer aaatBAABan2BAABwatnBABABA aaaaBABA aaaaAaBaAnBAaaBAw8-4基点法求平面图形内各点的加速度基点法求平面图形内各点的加速度Aeaa 绕基点绕基点A A的转动（相对运动的转动（相对运动)随基点随基点A A的平移（牵连运动）的平移（牵连运动）平面图形内任一点的加速度tnBABABA aaaatBAaBAaAaBaAnBAaaBAw=基点
35、的加速度基点法：+相对基点转动的切向加速度+法向加速度特别提示特别提示基点法中：基点法中：瞬心法中：瞬心法中：aPwwawwBAaBA相对于基点的相对于基点的=刚体运动绝对的刚体运动绝对的例例1.半径为半径为R的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动,如图如图所示所示.已知轮心已知轮心 A在图示瞬时的速度为在图示瞬时的速度为vA及加速度为及加速度为aA.求该瞬时车轮边缘上瞬心求该瞬时车轮边缘上瞬心 P的加速度的加速度aP.AvAaAAvAaARvAwRa)Rv(dtddtdAAwnAPAPAPaaaaaAAPanAPaRaAP2nAPRawRva2APw w RaRAAaP
36、RvA2结论结论1 1、平面运动杆件瞬心点的、平面运动杆件瞬心点的加速度一定不等于零加速度一定不等于零否则，平面运动将成为定轴转动否则，平面运动将成为定轴转动3 3、若纯滚动的园轮以、若纯滚动的园轮以匀角速度滚动匀角速度滚动2 2、沿直线路面纯滚动的园轮的轮心的加速度与角、沿直线路面纯滚动的园轮的轮心的加速度与角 加加 速度、轮子的半径之间的关系速度、轮子的半径之间的关系raO 则园轮边缘上各点的加速度则园轮边缘上各点的加速度Orvo 大小相等大小相等 rvO24沿直线路面纯滚动的圆轮不论是沿直线路面纯滚动的圆轮不论是加速度滚动还是减速滚动加速度滚动还是减速滚动还是匀速滚动瞬心点的加速度还是匀
37、速滚动瞬心点的加速度例例2 曲柄滚轮机构曲柄滚轮机构 曲柄曲柄OA=R,n=60 r/min，AB=L，滚轮半径为，滚轮半径为r。求：当。求：当 =60时时，OA AB时时滚轮的角加速度滚轮的角加速度。rad/s 32153/30/1wAPvAAB0n6/2wP1vBABw OAvAvAnBABAABaaaa2ABnBAABawnBABaa0030cos)(cm/s5.13134030cos/aa22nBAB22BBrad/s77.815/5.131BP/aaAaAaBAtaBAnaB aAvARvBaAvARaBaAnBAaBAaxy例例4.图示瞬时滑块图示瞬时滑块A以匀速度以匀速度vA=1
38、2 cm/s 沿水平直槽向左运沿水平直槽向左运动动,并通过连杆并通过连杆AB带动轮带动轮B沿园弧轨道作无滑动的滚动沿园弧轨道作无滑动的滚动.已知已知轮轮B的半径为的半径为r=2cm,园弧轨道的半径为园弧轨道的半径为R=5cm,滑块滑块A离离园弧轨道中心园弧轨道中心 O的距离为的距离为l=4cm.求该瞬时连杆求该瞬时连杆AB的角加的角加速度及轮速度及轮B的角加速度的角加速度.rROBlAvAwAB=0rROBlAvAvB杆杆AB为瞬时平动为瞬时平动.角速度分析角速度分析B点的运动轨迹如何？点的运动轨迹如何？ABvvrROBlABAnBBaaaaA=0nBAa=0BAa=(AB)AB)rR(v2B
39、BnaaBnaB AB=12 rad/s2 AB B=18 rad/s20cossinBnBaaBAacosaBn=BnBAaBAa例例3 平面四连杆机构中，曲柄平面四连杆机构中，曲柄OA长长r，连杆，连杆AB长长l4r。当曲柄和连杆成一直线时，此时曲柄的角速。当曲柄和连杆成一直线时，此时曲柄的角速度为度为w w，角加速度为，角加速度为，试求摇杆，试求摇杆O1B的角速度和的角速度和角加速度的大小及方向。角加速度的大小及方向。OO1ABw3030OO1ABw3030110BO BvO BwvAvB=0vBlrABvAABww1n210BOBaOBwOO1ABnBAanAanAatAatBanBa
40、tAatBAan2214BAABaABrwwn22AaOArwwtnncos60BABAaaa12t21532523BO BrarOBwwnBABAnAAnBBaaaaaaAaOA 练习练习1：OA杆以匀角速度杆以匀角速度绕轴绕轴O匀速转动，匀速转动，OAR，ABBCBD2R，ABC为等腰直角为等腰直角三角板。图示瞬时，三角板。图示瞬时，AC水平，水平，OA与与BD位于位于铅垂位置，求此时铅垂位置，求此时C点的速度与加速度。点的速度与加速度。OABCD练习练习2：齿轮：齿轮AB由连杆由连杆AC连接，可在固定的齿条上滚连接，可在固定的齿条上滚动，当动，当BC位于铅垂时，位于铅垂时，B轮轮心的速度
41、为轮轮心的速度为V，加速，加速度为度为，方向均向右。已知二轮的半径为，方向均向右。已知二轮的半径为R，BC，ACL。求。求A轮的角加速度与轮的角加速度与AC杆的角加速度。杆的角加速度。ABCv练习练习3：边长为：边长为L的正三角形在图示平面内运动，到的正三角形在图示平面内运动，到达图示位置时，达图示位置时，aAaBa，方向如图。求，方向如图。求C点的点的加速度。加速度。ABCaAaB练习练习4：OAR，ABL，OA杆以匀角速度杆以匀角速度转动，转动，当当OA与水平线成与水平线成45度角时，度角时，OA垂直于垂直于AB，求此，求此时时AB杆的角加速度与滑块杆的角加速度与滑块B的加速度。的加速度。
42、OAB练习练习5：四连杆机构中，：四连杆机构中，ABr，以，以匀速转动，匀速转动，CDR，BC=L。图示时刻：。图示时刻：CD垂直于垂直于AD，AB与水平成与水平成60度角，度角，BC与铅垂成与铅垂成60度角，求度角，求BC、CD杆的角加速度。杆的角加速度。ABDC练习练习6：长为：长为L的刚性连杆的刚性连杆AB连接两个滑块连接两个滑块A、B，滑道间的夹角为滑道间的夹角为45度，度，O为滑道的交点。已知：为滑道的交点。已知：A滑块以匀速滑块以匀速VA沿滑道下滑，求当沿滑道下滑，求当AB与与OA垂垂直时，滑块直时，滑块B的速度与加速度、连杆的速度与加速度、连杆AB的角加的角加速度。速度。OABv
43、A练习练习7：半径为：半径为R的均质圆轮在水平面上纯滚不滑，的均质圆轮在水平面上纯滚不滑，在轮心处铰接一杆在轮心处铰接一杆AB，杆，杆AB的的B端靠在墙面上，端靠在墙面上，当当AB与水平线成与水平线成45度角时，轮心的速度为度角时，轮心的速度为V，加，加速度为速度为a，方向均向左。求此时，方向均向左。求此时B端的速度和加速端的速度和加速度以及度以及AB杆的角加速度。杆的角加速度。ABva练习练习8：OAr厘米，厘米，ABL厘米，厘米，OA杆以匀角速杆以匀角速度度0=5rad/s转动。图示瞬时，转动。图示瞬时，OA与水平线成与水平线成60度角度角,OA垂直于垂直于AB杆。求此时滑块杆。求此时滑块
44、B的速度与的速度与加速度加速度。OAB练习练习9：四连杆机构中，：四连杆机构中，OA杆运动的角速度与角杆运动的角速度与角加速度之间的关系为加速度之间的关系为 =1.7322。OA长为长为r，AB长为长为2r，BC21.732r。求图示瞬时。求图示瞬时BC杆的角加速度。杆的角加速度。OABC练习练习10：AB杆长为杆长为L2米，图示时刻，滑块米，图示时刻，滑块B的速的速度为度为VB=4m/s，加速度为，加速度为aB=3m/s2。求滑块。求滑块A的的速度与加速度。速度与加速度。AB43aB练习练习11：OA长为长为2r、以匀角速度、以匀角速度转动。转动。AB长为长为L米。半径为米。半径为r的轮的轮
45、B绕轴绕轴C转动。图示瞬时转动。图示瞬时OA位位于铅垂，于铅垂，O、C、B共线，求共线，求B点的速度与加速度。点的速度与加速度。OABC练习练习12：OABCCOL，CB杆以匀角速度杆以匀角速度转动。图示瞬时：转动。图示瞬时：OA位于铅垂、位于铅垂、CB位于水平，位于水平，且且O、C、B共线。求此时共线。求此时OA杆的角加速度杆的角加速度.OABC图示直角刚性杆，图示直角刚性杆，AC=CB=0.5m。设在图。设在图示瞬时，两端滑块沿水平与铅垂轴的加速度如图示瞬时，两端滑块沿水平与铅垂轴的加速度如图，其大小分别为，其大小分别为 aA=1 m/s2，aB=3 m/s2。求这时。求这时直角杆的角速度
46、和角加速度。直角杆的角速度和角加速度。BaAanBAaBAa练习练习14：各杆的长相等，均为：各杆的长相等，均为a。OA以匀角速度以匀角速度1逆时针转动，逆时针转动，CD以匀角速度以匀角速度2逆时针转动。图逆时针转动。图示瞬时示瞬时tg=4/3,求求AB、BC杆的角速度与角加速杆的角速度与角加速度。度。OABCD1 12 2求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。例9-11图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为。l 245解：1、杆BE作平面运动，瞬心在O点。lvO
47、EvBEwvOBvBEBw,2,45,EOAOAvvBElOBEOAOEw已知：常数。求：，。取E为基点2?0?BtnEBEBEEaaaaBEw大小方向沿BE方向投影lvaalvaanBEBnBEB22245cos245cos,2,45,EOAOAvvBElOBEOAOEw已知：常数。求：，。绝对运动：直线运动(BD)相对运动：直线运动(OA)牵连运动：定轴转动(轴O)2、动点：滑块B 动系：OA杆?aervvvv大小方向 沿BD方向投影lvOBvvvvveOAraew0,2,45,EOAOAvvBElOBEOAOEw已知：常数。求：，。222?0tnaeerCOAaaaaavllw大小方向沿BD方向投影22222lvOBalvaateOAate,2,45,EOAOAvvBElOBEOAOEw已知：常数。求：，。
