1、1.理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。一、向量代数一、向量代数第四部分、向量代数与空间解析几何第四部分、向量代数与空间解析几何 .a或或表示法表示法:向量向量的的模模:向量向量的的大小大小,21MM记作向量向量:(又称又称矢量矢量).既有大小既有大小,又有方向的量又有方向的量称为称为向量向量有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,a或.a或或1M2Ma.a或或表示法表示法:向量向量的的模模:向量向量的的大小大小,21MM记作向量向量:(又称又称矢量矢量).1M2M既有大小既有大小,又有方向的量又有方向的量称为称为向量向量自由自由向量向量:与起点
2、无关的向量与起点无关的向量.单位单位向量向量:模为模为 1 的向量的向量,零零向量向量:模为模为 0 的向量的向量,有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,a或.a或或简称简称向量向量.0.记作，或 0e.记作或ea规定规定:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行;若若向量向量 a 与与 b大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab;若若向量向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行,ab;记作记作ab(经过平移后能完全重合经过平移后能完全重合)ab规定规定:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行;若若向量向
3、量 a 与与 b大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab;若若向量向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行,ab;记作记作ab(经过平移后能完全重合经过平移后能完全重合)a与与 a 的的模相同模相同,但方向相反但方向相反的向量称为的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作a;a b向量向量的线性运算的线性运算1.向量向量的的加法加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律:交换律交换律babbaaaba ba baab b1.向量向量的的加法加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则
4、平行四边形法则:运算规律运算规律:交换律交换律结合律结合律babbacba)()(cbacbaaaba ba baab baba bccba)()(cba acb bc2.向量向量的的减法减法ab)(ab有时特别当,ab aa)(aaabababa01.向量向量的的加法加法(指向被减向量指向被减向量)abab2.向量向量的的减法减法三角不等式三角不等式ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabab0baba1.向量向量的的加法加法(指向被减向量指向被减向量)aba baa3.向量向量与数的乘法与数的乘法 是一个数是一个数,.a规定规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;a
5、a 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作，反向与aa总之总之:aa2a2 aa 是一个数是一个数,.a规定规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作，反向与aa总之总之:,0a若因此因此0a 则有单位向量则有单位向量1aa.0aaa aa2a2 是一个数是一个数,.a规定规定:时，0，同向与aa,0时;aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作，反向与aa运算律运算律:结合律结合律)(a)(aa分配律分配律a)(aa)(baba;1aa;1aaaa2a2,0a若因此因此0a 则有
6、单位向量则有单位向量1aa.0aaa 例例1.试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边边,且其长度等于第三边长度的一半且其长度等于第三边长度的一半.ABCDExyz由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozzox面面空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴
7、按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.过空间一定点过空间一定点 o,o面xoy面yozzox面面空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 定点定点ox横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴xyzo向量向量在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标:有序数组有序数组),(zyx 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0);rrM坐标轴坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00
8、yx坐标面坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M,),(zyxM则则OMrxiy jzk),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为的坐标为r给定向量给定向量 r=OM.向量的两种坐标表示向量的两种坐标表示OiOPx i P在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M,),(zyxM则则OMrxiy jzk),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为的坐标为r给定向量给定向量 r=OM.向量的两种坐标表示向量的两种坐
9、标表示OiOPx i P例例2120 1 211 0M,M.（，）（，）（，）（，）已知两点已知两点试用坐标表示式表示向量试用坐标表示式表示向量 及及M1 M2-2M1 M2 向量的坐标表示向量的坐标表示)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zRxyzo),(zyxM,O在空间向量的坐标表：取定一点示法xoyzMijkr.,轴上的单位向量轴上的单位向量分别表示分别表示以以zyxkji设点设点 M,),(zyxM的坐标为的坐标为给定向量给定向量 r=OM.则则OMrxiy jzk),(zyx222OMxyz 利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算设设),(zyxaaaa,),(zy
10、xbbbb 则则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaa，为实数例例3.2ab.求求2 1 21 12a,b.（，）（，）解解：2ab2(2,1,2)(1,1,2)(4,2,4)(1,1,2)(3,3,2)向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得,rOM作OMr OROQOPr例例4 求平行于向量求平行于向量6 76a （，）（，）的单位向量的单位向量.1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222
11、zyx),(zyxr 设则有则有OMr xoyzMNQRP),(111zyxAA得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx设两点设两点与与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBArxoyzB),(111zyxAAB得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx与与,),(222zyxBBABAOAOBBAxoyz设两点设两点例例5.求与两点求与两点)7,1,4(A等距等距及及)2,5,3(B离的点的轨迹离的点的轨迹.例例6.已知两点
12、已知两点)5,0,4(A和,)3,1,7(B解解:141)2,1,3(142,141,143求0AB.BABA0AB oyzx方向角与方向余弦方向角与方向余弦,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,rr称为其为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.cosry222zyxycosrz222zyxzoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质方向余弦的性质:的单位向量向量r)cos,cos,(cos(,)xyzrrrrrr 0例例7.已知两点已知两
13、点)2,2,2(1M和和,)0,3,1(2M的模的模、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角.计算向量计算向量21MM例例7.已知两点已知两点)2,2,2(1M和和,)0,3,1(2M的模的模、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算向量计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MMl空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影 定义定义 设已知空间一点设已知空间一点A以以及一轴及一轴 l，通过点，通过点A作轴作轴 l 的的垂直平面垂直平面，那么平面，那么平面与轴与轴 l 的交点的交点A叫做叫做点点A在轴在
14、轴 l上上的投影的投影.A A空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影ABlA B PrjlAB 定义定义 已知向量已知向量AB的起的起点点A和终点和终点B在轴在轴 l 上的投上的投影分别为影分别为A和和B,那么轴那么轴 l上的有向线段上的有向线段AB的值的值AB叫做向量叫做向量AB在轴在轴 l 上上的投影的投影.=AB,即即PrjlABABjlPr cos|AB lABA B B l性质性质(投影定理投影定理)向量的投影具有下列性质：向量的投影具有下列性质：向量向量AB在轴在轴 l 上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦轴与向量的夹角的余弦:22222222
15、2222cos,cos,coscoscoscos1xyxyzxyzzxyzrr非零向量 与三条坐标轴的夹角、称为向量 的方向角：方向角.Prjcos,xaax向量在坐标轴上的投影：,ax y zxyz向量在 轴，轴，轴上的投影:Prjcos,yaayPrjcos,zaaz2 2、掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的、掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。计算方法。12（）加法：交换律，向量结合律（）数乘：结合的线性运算：律，分配律),(111zyxA则则),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx设两点设两点与与,),(222zyxBBABAAB
16、,0a若因此因此0a 则有单位向量则有单位向量1aa.0aaa 数量积数量积(点积点积).的与为ba 记作记作bacosba设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称ba,aa)1(2a为两个非零向量为两个非零向量,则有则有(5),a b0baba 两向量的数量积两向量的数量积(点积点积,内积内积)性质性质:2a bb a；3()()()m a bmabambm，为数；(4)()abca ba c；数量积的坐标表示数量积的坐标表示:设则zzyyxxbababa当当为非零向量时为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosba,kajaiaazy
17、x,kbjbibbzyxbaba baba,两向量的夹角公式两向量的夹角公式:,得得设则zzyyxxbababa当当为非零向量时为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxbaba baba,得得例例8.已知三点已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAM AMB.求求)(MB,)(MA BM例例8.已知三点已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAM AMB.A解解:,1,1 0,1,0 1则则AMBcos10022213AMB求求MBMAMA MB故
18、故设则zzyyxxbababa当当为非零向量时为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxbaba baba,得得例例9.设设 问问 与与 有怎样的有怎样的关系关系,能使得能使得 与与 z 轴垂直轴垂直?,4,1,2,2,5,3 ba ba 设则zzyyxxbababa当当为非零向量时为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxbaba baba,得得例例10.设设a ,2,1,2 ,
19、1,1z b问问 z 为何值时为何值时 最小最小?并求出此最小值并求出此最小值.),(ba数量积数量积(点积点积).的与为ba 记作记作bacosba设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称ba,aa)1(2a为两个非零向量为两个非零向量,则有则有(5),a b0baba 性质性质:2a bb a；3()()()m a bmabambm，为数；(4)()abca ba c；cosPrjPrjbaaba bbaab(叉积叉积)向量积向量积:且符合右手规则且符合右手规则模模:两向量的向量积两向量的向量积(叉积叉积,外积外积)basinabba，的夹角为设ba,ba 方向方向:ba abba ,ba 0
20、,0ab(0)00a ba b 当 或 为零向量时,或者当或时，(叉积叉积)向量积向量积:且符合右手规则且符合右手规则模模:两向量的向量积两向量的向量积(叉积叉积,外积外积)basinabba，的夹角为设ba,ba 方向方向:ba abba ,ba 性质性质:aa)1(0为非零向量为非零向量,则则ba,)2(0baba0,0ab(0)(叉积叉积)向量积向量积:且符合右手规则且符合右手规则模模:两向量的向量积两向量的向量积(叉积叉积,外积外积)basinabba，的夹角为设ba,ba 方向方向:ba abba ,ba 0,0ab(0)运算律运算律:(2)分配律分配律(3)结合律结合律abcba)
21、(cbcaba)()(ba)(baba)1(向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式:设设则则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(ba kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaa3121230aaababbbb当时，向量 与 平行例例11.设设 且满足且满足 ,则则a,3,4 b,5 c0 cba ba cb ac _ 运算律运算律:(2)分配律分配律(3)结合律结合律abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(且符合右手规则且符合右手规则模模:sinabba 方向方向:b
22、a abba 例例12.设设a,4,3 b,6),(ba求以求以 和和 为边的平行四边形的面积为边的平行四边形的面积.ba2 ba3 运算律运算律:(2)分配律分配律(3)结合律结合律abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(且符合右手规则且符合右手规则模模:sinabba 方向方向:ba abba 3.3.掌握二向量平行、垂直的条件。掌握二向量平行、垂直的条件。0abab0abab向量与 平行312123aaaabbbb非零向量 与 平行14.4,-3,42,2,1ab例求向量，在向量=上的投影？3.322122323aijkbijka babababab 例1设，求及及与 夹
23、角的余弦1.平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA过点过点),(0000zyxM且垂直于非零向量且垂直于非零向量的平面的平面 的点法式方程：的点法式方程：,),(CBAn zyxo0MnM二、平面与直线二、平面与直线1.1.会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。两平面的垂直、平行。例例1 求过点求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点且与连接坐标原点及点 M0 的线段的线段 OM0 垂直的平面方程垂直的平面方程(点法式点法式).过点过点1.平面的点法式方程平面的点法式方程),(0000zyxM且
24、垂直于非零向量且垂直于非零向量0)()()(000zzCyyBxxA的平面的平面 的点法式方程的点法式方程:,),(CBAn zyxo0MnM2.平面的一般方程平面的一般方程0DzCyBxA)0(222CBA),(CBAn 的平面的平面.法向量为法向量为 过点过点1.平面的点法式方程平面的点法式方程),(0000zyxM且垂直于非零向量且垂直于非零向量0)()()(000zzCyyBxxA的平面的平面 的点法式方程的点法式方程:,),(CBAn),0,0(,)0,0(,)0,0,(cRbQaP1czbyax)0,(cbaPozyxRQ3.平面的截距式方程平面的截距式方程例例2.求过点求过点 M
25、0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点且与连接坐标原点及点 M0 的线段的线段 OM0 垂直的平面方程垂直的平面方程(表示成一般式和截距式表示成一般式和截距式).2.平面的一般方程平面的一般方程0DzCyBxA)0(222CBA),(CBAn 的平面的平面.法向量为法向量为 平面的基本方程平面的基本方程:一般式一般式:点法式点法式:截距式截距式:1czbyax0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc例例3.指出下列各平面的特殊位置指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面并画出各平面.1 650;20;3 2360;4 310;xyzyzxyy0 DCzByAx)0(222 CBA练练:
26、指出下列各平面的特殊位置指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面并画出各平面.1 650;20;3 2360;4 310;xyzyzxyy 当当 D=0 时时,A x+B y+C z=0 表示表示 通过原点的平面通过原点的平面;当当 A=0 时时,B y+C z+D=0 的法向量的法向量0 DCzByAx)0(222 CBA平面的一般方程平面的一般方程:平面平行于平面平行于 x 轴轴;(0,),nB Ci 练练:指出下列各平面的特殊位置指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面并画出各平面.1 650;20;3 2360;4 310;xyzyzxyy 当当 C=0 时时,A x+B y+D=0 的法
27、的法向量向量0 DCzByAx)0(222 CBA平面平行于平面平行于 z 轴轴;(,0),nA Bk 当当 B=0 时时,A x+C z+D=0 的法的法向量向量平面平行于平面平行于 y 轴轴;(,0,),nACj 当当 A=0 时时,B y+C z+D=0 的的法向量法向量平面平行于平面平行于 x 轴轴;(0,),nB Ci 练练:指出下列各平面的特殊位置指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面并画出各平面.1 650;20;3 2360;4 310;xyzyzxyy 当当 A=C=0 时时,B y+D=0 表示表示0 DCzByAx)0(222 CBA 当当 B=C=0 时时,A x+D=
28、0 表示表示 当当 A=B=0 时时,C z+D=0 表示表示平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面的平面;平行于平行于 xoz 面面 的平面的平面.当当 D=0 时时,A x+B y+C z=0 表示表示 通过原点的平面通过原点的平面;0 DCzByAx)0(222 CBA 当当 C=0 时时,A x+B y+D=0 的法向量的法向量平面平行于平面平行于 z 轴轴;(,0),nA Bk 当当 B=0 时时,A x+C z+D=0 的法向量的法向量平面平行于平面平行于 y 轴轴;(,0,),nACj 当当 A=0 时时,B y+C z+D=0 的法向量的法
29、向量平面平行于平面平行于 x 轴轴;(0,),nB Ci 当当 A=C=0 时时,B y+D=0 表示表示 当当 B=C=0 时时,A x+D=0 表示表示 当当 A=B=0 时时,C z+D=0 表示表示平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面的平面;平行于平行于 xoz 面面 的平面的平面.0000000(,)()()()0MxyznAiB jCkA xxB yyC zz经过点且法向量的平面方程为：点法式：0()AxByCzDABC、不一式：同时为零般,nA B C平面的法向量4.2,3,0=1,2,3.n例求过点且以为法线向量的平面方程1235.2,1
30、,41,3,20,2,3.MMM例求过点、和的平面方程0000000(,)()()()0MxyznAiB jCkA xxB yyC zz经过点且法向量的平面方程为：点法式：0()AxByCzDABC、不一式：同时为零般,nA B C平面的法向量6.4,3,1.x例求通过 轴和点的平面方程4.两平面的夹角两平面的夹角设平面设平面1的法向量为的法向量为 平面平面2的法向量为的法向量为两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角常为锐角)称为两平面的夹角称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn),(2222CBAn 122n1n4.两平面的夹角两平面的夹角设平面设平面1的法向量为的法向
31、量为 平面平面2的法向量为的法向量为两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角常为锐角)称为两平面的夹角称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn),(2222CBAn 121212222222111222A AB BC CABCABC 2121cosnnnn 4.两平面的夹角两平面的夹角121212222222111222A AB BC CABCABC 两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角常为锐角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 122n1n例例7.求平面求平面 与各坐标面的夹角的余弦与各坐标面的
32、夹角的余弦.2250 xyz121212222222111222A AB BC CABCABC),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn PozyxRQ当当 z=0 时时,:2250PQlxy当当 y=0 时时,:250QRlxz当当 x=0 时时,:250PRlyz例例7.求平面求平面 与各坐标面的夹角的余弦与各坐标面的夹角的余弦.2250 xyz4.两平面的夹角两平面的夹角121212222222111222A AB BC CABCABC 两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角常为锐角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.),(1111CBAn),(2222
33、CBAn 2121cosnnnn 122n1n4.两平面的夹角两平面的夹角121212222222111222AABBCCABCABC ),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 122n1n0212121CCBBAA21)1(21nn 212n1n4.两平面的夹角两平面的夹角121212222222111222AABBCCABCABC ),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 122n1n122n1n21/)2(212121CCBBAA21/nn4.两平面的夹角两平面的夹角121212222222111222A AB BC CABCABC
34、 ),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 122n1n21/)2(212121CCBBAA21/nn0212121CCBBAA21)1(21nn 4.两平面的夹角两平面的夹角121212222222111222A AB BC CABCABC ),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 21/)2(212121CCBBAA21/nn0212121CCBBAA21)1(21nn 例例8.一平面过点一平面过点(1,0,-1)且平行于向量且平行于向量 和和 ,试求这平面方程试求这平面方程.2,1,1a 1,1,0b 0()AxByCzDABC、不
35、一式：同时为零般111112222212121212222222121112220,0cosA xB yC zDA xB yC zDnnA AB BC Cn nABCABC 两平面的位置：关系：设,nA B C平面的法向量两平面的夹角的余弦值.9.260250.xyzxyz例求平面和的夹角111112222212121212222222121112220,0cosA xB yC zDA xB yC zDnnA AB BC Cn nABCABC 两平：面的位置关系：121212120A AB BC C11112222ABCABC平行于两平面的夹角的余弦值.1210.1,1,10,1,10.MMx
36、yz例一平面通过两点和且垂直于平面，求该平面方程点到平面的距离公式点到平面的距离公式222000CBADzCyBxAd外一点外一点,则则),(0000zyxP0DzCyBxA是平面是平面到平面的距离为到平面的距离为:0P2222 1 1 111-1d （）333例例11.求点求点(2,1,1)到平面到平面 的距离的距离.10 xyz 2.2.会求点到平面的距离。会求点到平面的距离。xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其因此其一般式方程一般式方程1.一般方程一般方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，3.3.了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、
37、了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。参数式方程。会判定两直线平行、垂直。例例.方程组方程组247035210 xyzxyz 表示一条直线表示一条直线.),(0000zyxM2.标准式标准式(对称式对称式,点向式点向式)方程方程故有故有mxx0设直线上的动点为设直线上的动点为 则则),(zyxMnyy00zzp 此式称为此式称为直线的标准式直线的标准式(对称式对称式,点向式方程点向式方程)s 已知直线上一点已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量和它的方向向量,),(pnms sMM/0问问:若直线的方向向量是若直线的方向向量是
38、,)1,0,0(s经过点经过点(2,3,4),求直线的方程求直线的方程?问问:若直线的方向向量是若直线的方向向量是,)1,0,0(s经过点经过点(2,3,4),32yx求直线的方程求直线的方程?直线方程为直线方程为:xyzo234),(0000zyxM2.标准式标准式(对称式对称式,点向式点向式)方程方程故有故有mxx0设直线上的动点为设直线上的动点为 则则),(zyxMnyy00zzp 此式称为此式称为直线的标准式直线的标准式(对称式对称式,点向式方程点向式方程)s 已知直线上一点已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量和它的方向向量,),(pnms sMM/0注意注
39、意:某些分母为零时某些分母为零时,其分子也理解为零其分子也理解为零.00yyxx直线方程为直线方程为例如例如,当当,0,0时pnm),(0000zyxM2.标准式标准式(对称式对称式,点向式点向式)方程方程故有故有mxx0设直线上的动点为设直线上的动点为 则则),(zyxMnyy00zzp 此式称为此式称为直线的标准式直线的标准式(对称式对称式,点向式方程点向式方程)s 已知直线上一点已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量和它的方向向量,),(pnms sMM/0例例12.求过点求过点 且平行于直线且平行于直线31215xyz的直线方程的直线方程.4,1,3),(00
40、00zyxM2.标准式标准式(对称式对称式,点向式点向式)方程方程故有故有mxx0设直线上的动点为设直线上的动点为 则则),(zyxMnyy00zzp 此式称为此式称为直线的标准式直线的标准式(对称式对称式,点向式方程点向式方程)s 已知直线上一点已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量和它的方向向量,),(pnms sMM/013.432513,2,5.xzxyz例求与两平面和的交线平行，且过点的直线方程3.参数式方程参数式方程设设得参数式方程得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0例例14.用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参
41、数方程表示直线124xyzxyz 例例15.求过点求过点(1,2,4)且与平面且与平面解解:取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为0432zyx垂直的直线方程垂直的直线方程.为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量.132)1,3,2(nn),(0000zyxM2.标准式标准式(对称式对称式,点向式点向式)方程方程mxx0直线方程直线方程:),(zyxMnyy00zzp s 经过点经过点),(0000zyxM,方向向量方向向量,),(pnms 23416.26112xyzxyz例求直线与平面的交点.000 xxmtyynttzzpt（参数式：为
42、参数）111122220(1)0A xB yC zDA xB yC zD一般式：11112222()(1)0A xB yC zDA xB yC zD经过直线的平面束方程：xyzo1 2 L2L1L两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角则两直线夹角 满足满足21,LL设直线设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角通常取锐角)的方向向量分别为的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s则两直线夹角则两直线夹角 满足满足21,LL设直线设直线 两直
43、线的夹角指其方向向量间的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角通常取锐角)的方向向量分别为的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 例例17.求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角13411:1zyxL0202:2zxyxL两直线的夹角两直线的夹角 例例17.求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解:直线直线直线直线二直线夹角二直线夹角 的余弦为的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而从而4的方向向量为的方向向量为1L的方向向量为的方向向量为2L)1,2,
44、2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s2010112kjis 121212222222111222cosm mn np pmnpmnp则两直线夹角的11112222mnpllmnp平行于11122212111222,xxyyzzxxyyzzllmnpmnp两直线的位置关系：设：121212120llm mn np p当当直线与平面直线与平面垂直垂直时时,规定其夹角规定其夹角线所夹线所夹锐角锐角 称为称为直线与平面间的夹角直线与平面间的夹角;L 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时,设直线设直线 L 的的方向向量方向
45、向量为为 平面平面 的的法向量法向量为为.2 直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn sn4.4.会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）在平面上）.当当直线与平面直线与平面垂直垂直时时,规定其夹角规定其夹角线所夹线所夹锐角锐角 称为称为直线与平面间的夹角直线与平面间的夹角;L 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时,设直线设直线 L 的的方向向量方向向量为为 平面平面 的的法向量法向量为为.2 直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBA
46、n snL sn则直线与平面夹角则直线与平面夹角 满足满足),cos(sinnsnsns 当当直线与平面垂直直线与平面垂直时时,规定其夹角规定其夹角线所夹锐角线所夹锐角 称为称为直线与平面间的夹角直线与平面间的夹角;L 当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时,设直线设直线 L 的的方向向量方向向量为为 平面平面 的的法向量法向量为为则直线与平面夹角则直线与平面夹角 满足满足.2 222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns snL snL 线所夹锐角线所夹锐角 称为称为直线与平面间的夹角直线与平
47、面间的夹角;当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时,222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn例例18.求直线求直线300 xyzxyz 与平面与平面10 xyz的夹角的夹角.L 222222CBApnmpCnBmA),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn例例19:试确定下列各组中直线与平面间的关系试确定下列各组中直线与平面间的关系.3414223;27323278.327xyzxyzxyzxyz 和和和和222222000si0n,xxyyzzlAxByAmBn
48、CpABCzDmCmpnpn：则直线与平面的夹角4.4.会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）线在平面上）.mnplABC0lAmBnCp平行于 或在平面上L 222222CBApnmpCnBmA),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn例例20.求过点求过点(1,2,1)而与两直线而与两直线和和21010 xyzxyz 200 xyzxyz 平行的平面方程平行的平面方程.222222000si0n,xxyyzzlAxByAmBnCpABCzDmCmpnpn：则直线与平面的夹角0lAmBnCp平行于 或在平面上mnpl
49、ABC24021.41329.xyzxyzxyz例求直线在平面上的投影直线的方程24021.41329.xyzxyzxyz例求直线在平面上的投影直线的方程ABA B(,)0(,)0,CF x y zCF x y zC若曲面 上任何点的坐标都满足方程且不在曲面 上的定义：任何点的坐标都不满足方程则称该方程为曲面 的方程。三、简单的二次曲面三、简单的二次曲面1.1.了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。圆锥面和椭球面的方程及其图形。球面方程球面方程:2222000()()().xxyyzzR以原点以原点 O(0,0
50、,0)为球心为球心,R 为半径的为半径的球面方程球面方程为为2222.xyzR例例:方程方程 表示怎样的曲面表示怎样的曲面?222xyR在在xOy面上表示圆心在原点面上表示圆心在原点O,半径为半径为R的圆的圆.222xyR 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,此此方程不含方程不含z,仅含仅含x,y,222xyR 母线母线平行于平行于z轴的轴的圆柱面圆柱面,解解:它的它的准线准线是是xOy平面上的圆平面上的圆:222xyR 表示表示故故 平行于定直线平行于定直线,并沿曲线并沿曲线C 移动的直线移动的直线L 形成的轨迹称为形成的轨迹称为柱面柱面,定曲线定曲线C 称为称为柱面柱面的的准线准线,动直
