1、【 精品教育资源文库 】 第 4 讲 万有引力与航天 板块一 主干梳理 夯实基础 【知识点 1】 开普勒行星运动定律 1定律内容 开普勒 第 一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆 ，太阳处在椭圆的一个 焦点 上。 开普勒 第 二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的 面积 。 开普勒 第 三定律：所有行星的轨道的 半长轴 的三次方跟它的 公转周期 的二次方的比值都相等，即 a3T2 k。 2使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。 【知识点 2】 万有引力定律及应用 1内 容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与
2、 两物体的质量的乘积 成正比，与 两物体间距离的二次方 成反比。 2公式： F Gm1m2r2 ，其中 G 为万有引力常量， G 6.6710 11 Nm 2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。公式中的 r 是两个物体之间的 距离 。 3使用条件：适用于两个 质点 或均匀球体； r 为两质点或均匀球体球心间的距离。 【知识点 3】 环绕速度 1 第 一宇宙速度又叫 环绕 速度，其数值为 7.9 km/s。 2 第 一宇宙速度是人造卫星在 地球表面 附近环绕地球做匀速圆周 运动时具有的速度。 3 第 一宇宙速度是人造卫星的最小 发射 速度，也是人造卫星的最大 环绕 速度。 4 第 一宇宙速
3、度的计算方法。 (1)由 GMmR2 mv2R，解得： vGMR ； (2)由 mg mv2R解得： v gR。 【知识点 4】 第 二宇宙速度和 第 三宇宙速度 1 第 二宇宙速度 (脱离速度 ) 使物体挣脱 地球 引力束缚的最小发射速度，其数值为 11.2 km/s。 2 第 三宇宙速度 (逃逸速度 ) 使物体挣脱 太阳 引力束 缚的最小发射速度，其数值为 16.7 km/s。 【知识点 5】 经典时空观和相对论时空观 1经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量不随 运动速度 改变； (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同 的。 2相对论时
4、空观 (1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而 增加 ，用公式表示为 m m01 v2c2； (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 不同 的。 板块二 考点细研 悟法 培优 【 精品教育资源文库 】 考点 1 开普勒 第 三定律 深化理解 1微元法解读开普勒 第 二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为 a、 b，取足够短的时间 t，则行星在 t时间内可看作匀速直线运动，由 Sa Sb知 12va t a 12vb t b，可得 va vbba 。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，
5、反之越大。 2开普勒 第 三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结，但实践表明该定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动 ，卫星 (或人造卫星 )绕行星的运动。 3天体虽做椭圆运动，但它们的轨道十分接近圆。为简化运算，一般把天体的运动当成匀速圆周运动来研究，椭圆的半长轴即为圆的半径。则天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律，如 v r ， F ma mv2r mr 2等。 例 1 如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为 a，近日点离太阳的距离为 b，过远日点时行星的速率为 va，则过近日点时的速率为 ( ) A vb bava B vb abva C vb abva D
6、vb bava 该题涉及开普勒哪条定律？其内容是什么？ 提示： 开普勒 第 二定律。对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 尝试解答 选 C。 若行星从轨道的 A 点经足够短的时间 t 运动到 A 点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积 SAa vat2 ；若行星从轨道的 B 点也经时间 t 运动到 B 点，则与太阳的连线扫过的面积 SBb vbt2 ；根据开普勒第 二定律得 a vat2 b vbt2 ，即 vb abva， C 正确。 总结升华 绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。 【
7、 精品教育资源文库 】 跟踪训练 木星的公转周期约为 12 年，若把地球到太阳的距离作为 1 天文单位，则木星到太阳的距离约为( ) A 2 天文单位 B 4 天文单位 C 5.2 天文单位 D 12 天文单位 答案 C 解析 木星、地球都环绕太阳按椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此 它们到太阳的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，根据开普勒 第 三定律 r3木T2木 r3地T2地 得 r 木 3 T2木T2地 r 地 5.2 天文单位。 考点 2 天体质量和密度的估算 拓展延伸 1自力更生法：利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。 (1)由 GMmR2 mg 得天体质量 M
8、 gR2G 。 (2)天体密度 MV M43 R3 3g4 GR。 2借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。 (1)由 GMmr2 m42rT2 得天体的质量 M4 2r3GT2 。 (2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 MV M43 R3 3 r3GT2R3。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体 半径 R，则天体密度 3GT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。 例 2 2017 邢台市四模 为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为 R，地球质量为 m，太阳与地球中心间距为 r，地
9、球表面的重力加速度为 g，地球绕太阳公转的周期为 T。则太阳的质量为 ( ) A.42r3T2R2g B.T2R2g4 2mr3 C.42mgr2r3T2 D.4 2mr3T2R2g (1)知道地球绕太阳公转的周期 T 和太阳与地球中心间距 r，能求太阳质量吗？ 提示： 能。利用 GMmr2 m42T2 r。 【 精品教育资源文库 】 (2)太阳质量的四个选项中没有引力常量 G，可以考虑用哪一信息替代？ 提示： 地球表面重力加速度 g GmR2。 尝试解答 选 D。 地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 GMmr2 m42T2 r，所以 M4 2r3GT2 ，地球表面物体 m0的
10、重力来源 于万有引力，有 Gmm0R2 m0g，所以 G gR2m ，把 G 代入 M4 2r3GT2 ，得 M4 2r3gR2m T2 42r3mgR2T2 ， D 正确。 总结升华 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r R；计算天体密度时， V 43 R3中的 R 只能是中心天体的半径。 递进题组 1.若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球的轨道半径为 r，它绕地球运动的周期为 T，引力常量是
11、 G，由此可以知道 ( ) A月球的质量 m 2r3GT2 B地球的质量 M 42r3GT2 C月球的平均密度 3GT2 D地球的平均密度 3GT2 答案 B 解析 对月球有 GMmr2 m42T2 r，可得地球质量 M4 2r3GT2 ，月球质量无法求出，其密度也无法计算，故 B 正确，A、 C 错误；因不知道地球自身半径，故无法计算密度，故 D 错误。 2 2017 唐山一模 美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星。荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的 “ 火星一号 ” 计划打算将总共 24 人送上火星，创建一块长期殖民地。若已知万有引力常量 G，那么在下列给出的各种情景中，
12、能根据测量的数据求出火星密度的是 ( ) A在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落 下的高度 H 和时间 t B火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期 T C火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度 H 和运行周期 T D观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径 D 和运行周期 T 答案 B 解析 由 GMmR2 mg， M43 R3得： 3g4 GR，由 H 12gt2得出 g，却不知火星半径， A 错误。由 GMmr2 m42T2 r，【 精品教育资源文库 】 M43 R3得： 3 r3GT2R3。当 r R 时 3GT2， B 正确，不知火星半径，
13、 C 错误。 D 选项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故 D 错误。 考点 3 人造卫星的运动规律 深化理解 1人造卫星的运动规律 (1)一种模型：无论自然天体 (如地球、月亮 )还是人造天体 (如宇宙飞船、人造卫星 )都可以看作质点，围绕中心天体 (视为静止 )做匀速圆周运动。 (2)两条思路 万有引力提供向心力，即 GMmr2 ma。 天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即 GMmR2 mg 或 gR2 GM(R、 g 分别是天体的半径、表面重力加速度 )，公式 gR2 GM 应用广泛，被称为 “ 黄金代换 ” 。 (3)地球卫星的运行参数 (将卫
14、星轨道视为圆 ) 物理量 推导依据 表达式 最大值或最小值 线速度 GMmr2 mv2r vGMr 当 r R 时有最大值， v 7.9 km/s 角速度 GMmr2 m 2r GMr3 当 r R 时有最大值 周期 GMmr2 m? ?2T 2r T 2 r3GM 当 r R 时有最小值，约 85 min 向心 加速度 GMmr2 ma 向 a 向 GMr2 当 r R 时有最大值，最大值为a g 轨道 平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合 共性：半径越小，运动越快，周期越小 2地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。 (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T 24 h 86400 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。 (4)高度一定：据 GMmr2 m42T2 r 得 r3 GMT24 2 4.23104 km，卫星离地面高度 h r R6 R(为恒量 )。 (5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 3极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星
