1、2022-7-241 微分方程是研究动态经济微分方程是研究动态经济学的基本工具。通过计算微分学的基本工具。通过计算微分方程来分析变量的具体时间路方程来分析变量的具体时间路径，以及能否收敛于均衡。径，以及能否收敛于均衡。2022-7-242v一、导论一、导论v变量为导数的方程称为微分方程。变量为导数的方程称为微分方程。v例如：例如：()()y tf y t 120a y ta y tx tdyydt是的简写如果只有一个自变量，称为常微分方程（如果只有一个自变量，称为常微分方程（ODEODE）。）。常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。宏观经济学使用的宏观经济
2、学使用的ODEODE都是对时间的导数。都是对时间的导数。例：例：若若x(t)x(t)是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通过变量过变量y y而依赖于时间）。若而依赖于时间）。若x(t)x(t)0 0，方程被称为，方程被称为齐次的。齐次的。2022-7-243微分方程的解法微分方程的解法v求解微分方程的目的在于找到变量的变化特征。求解微分方程的目的在于找到变量的变化特征。v第一种解法：图解法。只能用于自控方程。第一种解法：图解法。只能用于自控方程。v第二种解法：解析法。可以找到精确的解，但第二种解法：解析法。可以找到精确的解，但只能用于有限的函数形式，如线性
3、函数。只能用于有限的函数形式，如线性函数。v第三种解法：数值分析。使用现存软件，如第三种解法：数值分析。使用现存软件，如MatlabMatlab的子程序的子程序ODE23ODE23和和ODE45ODE45。2022-7-244二、一阶常微分方程的解法二、一阶常微分方程的解法v1 1、图解法、图解法v例例1 1：一阶线性自控常微分方程：一阶线性自控常微分方程：v其中其中a a和和x x是常数且大于是常数且大于0 0。v以以y y为横轴，以为横轴，以 为纵轴。由于为纵轴。由于 是是y y对时间对时间的导数，因此，的导数，因此，为正时，意味着为正时，意味着y y随着时间随着时间的变化而增加；的变化而
4、增加；为负则减少。为负则减少。0yta ytxty y y y y 2022-7-245v图形为直线。图形为直线。v在纵轴的截距为在纵轴的截距为-x-x，在，在横轴的截距为横轴的截距为-x/a-x/a。v在在y y*点，点，0 0，即，即y y不会不会随时间而变化，随时间而变化，y y*称为称为y y的稳态值。的稳态值。v当当y(0)yy(0)y*,0,y,0,y随时间而减少。反之则随时间而减少。反之则增加。增加。v练习：当练习：当a0a0的动态。的动态。yy y*y y 当直线的斜率为负时方程是当直线的斜率为负时方程是稳定稳定的：的：无论初始值无论初始值y(0)y(0)在在何处，何处，y(t
5、)y(t)都将回到都将回到y y*。稳态值稳态值2022-7-246v例例2 2：非线性函数的动态。：非线性函数的动态。v微分方程：微分方程：v其中其中s s、和和都是正常数，且都是正常数，且100且且a a222200：系统不稳定。系统不稳定。v情形情形2 2：a a111100且且a a222200：系统稳定。系统稳定。v情形情形3 3：a a1111000：鞍点路径稳定。鞍点路径稳定。y1y2鞍点路径稳定的相位图鞍点路径稳定的相位图10y 20y 稳定臂稳定臂不稳定臂不稳定臂原点是稳态。鞍点路径既不是稳原点是稳态。鞍点路径既不是稳定又不是不稳定的。系统只有从定又不是不稳定的。系统只有从稳
6、定臂稳定臂(横轴横轴)开始才会回到稳态。开始才会回到稳态。结论：对角系统的稳定性结论：对角系统的稳定性依赖于系数的符号。若两依赖于系数的符号。若两者都为正，系统不稳定；者都为正，系统不稳定；若两者都为负，系统稳定；若两者都为负，系统稳定；若两者异号，系统是鞍点若两者异号，系统是鞍点路径稳定。路径稳定。2022-7-2416（2 2）非对角系统）非对角系统v边界条件为边界条件为y y1 1(0)=1(0)=1和和v 的轨迹是直线的轨迹是直线y y2 2=0.06y=0.06y1 1+1.4+1.4v在直线的下方，在直线的下方，y y2 20.06y0.06y1 1+1.4+1.4，即在，即在该区
7、域该区域y y1 1递增；同理，在直线的上方区域递增；同理，在直线的上方区域y y1 1递减。递减。v 的轨迹是直线的轨迹是直线y y1 1=10=10v在直线的左边，在直线的左边，y y2 2递增；右边递减。递增；右边递减。v将将 和和 联立求解，可以得到稳态值：联立求解，可以得到稳态值：y y1 1*=10,y=10,y2 2*=2=2。10y 11221()0.06()()1.4()0.004()0.04y ty ty ty ty t 0.061()0limttey t 10y20y 10y 20y 20y 2022-7-2417具有鞍点路径稳定性的非对角系统的相位图具有鞍点路径稳定性的
8、非对角系统的相位图y1y210y y1*=1020y 稳定臂稳定臂不稳定臂不稳定臂y2*=2稳定臂和不稳定臂对应于两个特征向量稳定臂和不稳定臂对应于两个特征向量2022-7-2418非对角系统稳定性：结论非对角系统稳定性：结论v1 1、两个特征值是正实数，系统不稳定。、两个特征值是正实数，系统不稳定。v2 2、两个特征值是负实数，系统稳定。、两个特征值是负实数，系统稳定。v3 3、两个特征值是实数但异号，系统是鞍点路径稳定。稳定、两个特征值是实数但异号，系统是鞍点路径稳定。稳定臂对应于与负特征值相关的特征向量，不稳定臂对应于与正臂对应于与负特征值相关的特征向量，不稳定臂对应于与正特征值相关的特
9、征向量。特征值相关的特征向量。v4 4、两个特征值是有负实部的复数，系统振荡收敛。、两个特征值是有负实部的复数，系统振荡收敛。v5 5、两个特征值是有正实部的复数，系统振荡且不收敛。、两个特征值是有正实部的复数，系统振荡且不收敛。v6 6、两个特征值是有零实部的复数，系统轨迹是环绕稳态运、两个特征值是有零实部的复数，系统轨迹是环绕稳态运动的椭圆。动的椭圆。v7 7、两个特征值相等，解为、两个特征值相等，解为y(t)=(by(t)=(b1 1+b+b2 2t)et)eatat。a a是特征值，是特征值，若若a0a0a0，解是不稳定的。，解是不稳定的。2022-7-2419两变量时的特征根及稳定性
10、两变量时的特征根及稳定性111221122112212212122det()0()()0AIaaaaa aa aaa特征方程：11112112212222()()()()()()()()()y taay tx ty tAy tx ty taay tx t即：112211221221()det()trAaaAa aa a矩阵的迹：矩阵的行列式：221 2det0()4det2trAAtrAtrAA，特征方程可写为：两个特征根：22222()4det0()4det0()4det0dettrAAtrAAtrAAA 11系统的稳定性判断：当判别式时，存在两个实数根；当判别式时，存在两个复数根；当判别式
11、时，存在两个相等的实数根。下述关系可以判断特征根的符号：trA=；两变量动两变量动态系统态系统2022-7-2420（3）非线性系统）非线性系统 解答：解答：的轨迹为：的轨迹为：c=kc=k0.30.3;轨迹为轨迹为k=10k=10。将将k k和和c c的动态结合到一起，系统的稳态是两的动态结合到一起，系统的稳态是两条轨迹的交点。稳态值：条轨迹的交点。稳态值：k k*=10,c=10,c*=2=2。系统是鞍点路径稳定的。系统是鞍点路径稳定的。0.30.7()()()()()0.3()0.06k tk tc tc tc tk t0k0c2022-7-2421kc0k 0c稳定臂稳定臂不稳定臂不稳
12、定臂具有鞍点路径稳定的非线性系统的相位图具有鞍点路径稳定的非线性系统的相位图2022-7-24222 2、解析解、解析解（1 1）线性齐次系统）线性齐次系统()()y tA y ty(t)是一个是一个n1列向量，列向量，A是是nn常系数矩阵。常系数矩阵。解法：解法：假设假设z(t)=V-1y(t)，则，则1()()z tVy t 1111()()()()()z tVy tVAy tVAVVy tDz t其中，其中，V V是特征向量矩阵，是特征向量矩阵，D D是特征值对角矩阵。是特征值对角矩阵。先解出先解出z(t)z(t)，然后根据，然后根据y(t)=Vz(t)y(t)=Vz(t)可解出可解出y
13、(t)y(t)。2022-7-2423（2 2）线性非齐次系统）线性非齐次系统()()()y tA y tx t解法与齐次系统相同。解法与齐次系统相同。练习练习1：求解以下线性系统的解。求解以下线性系统的解。1122()()0.0611.4()()0.00400.04()()()y ty ty ty ty tA y tx t 即：边界条件：边界条件：y y1 1(0)=1(0)=1和和limlimttee-0.06t-0.06ty y1 1(t)=0(t)=011221()0.06()()1.4()0.004()0.04y ty tytyty t 2022-7-24240.1000.04D特征
14、值对角矩阵110.040.1V特征向量矩阵10.1/0.141/0.140.04/0.141/0.14V逆矩阵111122zyzVyVzy定义，即1122()0.110/140.049.6/14x tzzzz-1原系统变为：z(t)=Dz(t)+V0.1110.0422()100/14()240/14ttz tbez tb e 求解微分方程得到：2022-7-242511122yzzVyVyz由于，那么y=Vz，即0.10.041120.10.04212()10()20.040.1ttttyy tbeb ey tbeb e得到 的解：0.060.060.040.1112lim()lim 100
15、ttttttey tebeb e根据边界条件可以确定根据边界条件可以确定b b1 1和和b b2 2的值。的值。根据初始条件根据初始条件y y1 1(0)=1(0)=1，得到，得到b b1 1+b+b2 2=-9=-9根据终端条根据终端条件得到：件得到：当当t t趋于无穷大时，上式中第一和第三项都趋于趋于无穷大时，上式中第一和第三项都趋于0 0，除非，除非b b1 1等于等于0 0，否则第二项将趋于无穷大。因此，否则第二项将趋于无穷大。因此，b b1 1=0=0。这意味着。这意味着b b2 2=-9=-9。这个这个ODEODE系统的精系统的精确解为：确解为：y y1 1(t)=10-9e(t)
16、=10-9e-0.04t-0.04ty y2 2(t)=2-0.9e(t)=2-0.9e-0.04t-0.04t当当t=0t=0时，时，y y1 1=1,y=1,y2 2=1.1=1.1；当当tt时，时，y y1 1*=10,y=10,y2 2*=2=2。2022-7-2426练习练习2 2：求解非线性系统的解：求解非线性系统的解0.30.7()()()()()0.3()0.06k tk tc tc tc tk t*1212112212(,)(,)()()fffxxfxxxxxxxx泰 勒 展 开 式：边界条件：边界条件：y1(0)=1和和lim te-0.06ty1(t)=00.71.70.
17、3(*)(*)(*)0.061.4*0.3(0.7)(*)(*)0(*)0.0080.08kkkkcckccckkkcck 非线性非线性系统系统稳态值：稳态值：k k*=10=10，c c*=2=2。围绕稳态值将上述系统进行线性化：。围绕稳态值将上述系统进行线性化：原系统线性化为：原系统线性化为：系统与练习系统与练习1 1求解方法完全相同。求解方法完全相同。2022-7-2427高维系统三维非线性系统(,)(,)(,)xf x y zyg x y zzh x y z根据0 xyz得到稳态值(,)xyz在稳态附近进行泰勒展开xyzxyzxyzxfffxxygggyyzhhhzz 12312312
18、2313dettrAA 所有主子式之和求解系数矩阵A的特征根以判别系统的稳定性2022-7-2428v判别方法：v如果特征根都是正数，系统是不稳定的。v如果特征根都是负数，系统是稳定的。v如果负（具有负实部）特征根的个数等于初始条件的个数，则存在惟一收敛路径（稳定臂）；如果大于，则有无数个收敛路径，如果小于，则不稳定。v这意味着经济的稳态具有不定性：有可能存在多个收敛路径。v这可以用来解释各国经济增长的差异性。2022-7-2429解释312123()tttx txc ec ec e123,x(0),(0)z(0)c ccy和 由和决定。123(0)x假设 和为正，为负，且只有一个初始条件。根据泰勒展开式可以求解：12123cc0,c(0),x因为 和为正，稳定路径要求取决于稳定路径惟一。3(0)(0)xyc如果初始条件为和，那么 不能确定，系统不稳定。2022-7-2430
