1、7.1 方差分析的引论方差分析的引论 7.2 单因素方差分析单因素方差分析7.3 方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较7.4 双因素方差分析双因素方差分析第 7 章 方差分析与试验设计学习目标解释方差分析的概念解释方差分析的概念解释方差分析的基本思想和原理解释方差分析的基本思想和原理掌握单因素方差分析的方法及应用掌握单因素方差分析的方法及应用理解多重比较的意义理解多重比较的意义掌握双因素方差分析的方法及应用掌握双因素方差分析的方法及应用掌握试验设计的基本原理和方法掌握试验设计的基本原理和方法7.1 方差分析引论方差分析及其有关术语方差分析及其有关术语方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思
2、想和原理方差分析的基本假定方差分析的基本假定问题的一般提法问题的一般提法什么是方差分析(ANOVA)?(analysis of variance)检验多个总体均值是否相等通过分析察数据的误差判断各总体均值是否相等研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个分类尺度的自变量2个或多个(k 个)处理水平或分类一个间隔或比率尺度的因变量有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量方差分析及其有关术语什么是方差分析?(例题分析)消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公
3、司家电制造业家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758什么是方差分析?(例题分析)分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等如果它们的均值相等，就意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；如果均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异方差分析中的有关术语因素或因子(factor)所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，行业行业是要检验的因素
4、或因子水平或处理(treatment)因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平观察值在每个因素水平下得到的样本值每个行业被投诉的次数就是观察值方差分析中的有关术语试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据方差分析的基本思想和原理(图形分析)不同行业被投诉次数的散点图不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行业被投诉次数 零售业 旅游业 航空公司 家电制造从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数是有明
5、显差异的即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造也被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低行业与被投诉次数之间有一定的关系 如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近方差分析的基本思想和原理(图形分析)仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同
6、总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源。方差分析的基本思想和原理1.比较两类误差，以检验均值是否相等2.比较的基础是方差比3.如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(两类误差)随机误差随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差随机误差 系统误差系统误差因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间
7、的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差系统误差方差分析的基本思想和原理(两类方差)数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为方差组内方差(within groups)因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差组内方差只包含随机误差随机误差组间方差(between groups)因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差组间方差既包括随机误差随机误差，也包括系统误差系统误差方差分析的基本思想和原理(方差的比较)若不同不同行业对
8、投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于1当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响方差分析的基本假定每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其
9、观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分 方差分析中基本假定 如果原假设成立，即H0:m1=m2=m3=
10、m4 四个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为m、差为2的同一正态总体 方差分析中基本假定若备择假设成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等 至少有一个总体的均值是不同的 四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 问题的一般提法设因素有k个水平，每个水平的均值分别用m m1、m m2、m mk 表示要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：H0:m m1 m m2 m mk H1:m m1,m m2,，m mk 不全相等不全相等设m m1为零售业被投诉次数的均值，m m2为旅游业被投诉次数的均值，m m3为航空公司被投诉次数的均值，m m4为家电制造业被投
11、诉次数的均值，提出的假设为H0:m m1 m m2 m m3 m m4 H1:m m1,m m2,m m3,m m4 不全相等不全相等7.2 单因素方差分析数据结构数据结构分析步骤分析步骤关系强度的测量关系强度的测量单因素方差分析的数据结构(one-way analysis of variance)观察值观察值 (j)因素因素(A)i 水平水平A1 水平水平A2 水平水平Ak12:n x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 :x1nx2n xkn提出假设一般提法H0:m1=m2=mk 自变量对因变量没有显著影响 H1:m1，m2，mk不全相等自变量对因变量有显著影响 注意：拒绝原假设，
12、只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等 构造检验的统计量构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值误差平方和均方(MS)构造检验的统计量(计算水平的均值)假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数计算公式为),2,1(1kinxxinjijii构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值)全部观察值的总和除以观察值的总个数计算公式为 kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111式中：构造检验的统计量(例题分析)构造检验的统计量(计算总误差平方和 SST)全部观察值 与总平均值 的离差平方和反
13、映全部观察值的离散状况其计算公式为ijxxkinjijixxSST112构造检验的统计量(计算水平项平方和 SSA)各组平均值 与总平均值 的离差平方和反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和该平方和既包括随机误差，也包括系统误差计算公式为 kiiikinjixxnxxSSAi12112),2,1(kixix构造检验的统计量(计算误差项平方和 SSE)每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和该平方和反映的是随机误差的大小计算公式为 kinjiijixxSSE112构造检验的统计量(三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离
14、差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系kinjijkiiikinjijiixxxxnxx11212112构造检验的统计量(三个平方和的作用)SST反映全部数据总的误差程度；SSE反映随机误差的大小；SSA反映随机误差和系统误差的大小如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方均方差异就不会太大；如果组组间均方间均方显著地大于组内均方组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差组间方差与组内方差组内方差之间差异的大小构造检验的统计量
15、(计算均方MS)各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方均方，也称为方差计算方法是用误差平方和除以相应的自由度三个平方和对应的自由度分别是SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSE 的自由度为n-k构造检验的统计量(计算均方 MS)组间方差：组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为1kSSAMSAknSSEMSE536232.48514608696.1456MSA前例计算结果：526316.1424232708MSE前例计算结果：构造检验的统计量(计算检验统计
16、量 F)将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即),1(knkFMSEMSAF406643.3526316.142536232.485F前例计算结果：构造检验的统计量(F分布与拒绝域)统计决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FF ，则拒绝拒绝原假设H0，表明均值
17、之间的差异是显著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响若FC F ，则拒绝拒绝原假设H0，表明均值之间有显著差异，即所检验的列因素对观察值有显著影响 双因素方差分析表(基本结构)双因素方差分析(例题分析)提出假设对品牌因素提出的假设为H0:m1=m2=m3=m4 (品牌对销售量没有影响)H1:mi (i=1,2,4)不全相等 (品牌对销售量有影响)对地区因素提出的假设为H0:m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量没有影响)H1:mj(j=1,2,5)不全相等 (地区对销售量有影响)用用R进行无重复双因素分析进行无重复双因素分析双因素方差分析(例题分析)双因素方差分析(关系强度的测量)行平
18、方和(行SS)度量了品牌这个自变量对因变量(销售量)的影响效应列平方和(列SS)度量了地区这个自变量对因变量(销售量)的影响效应这两个平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应联合效应与总平方和的比值定义为R2其平方根R反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度 SSTSSCSSRR总效应联合效应2双因素方差分析(关系强度的测量)例题分析 品牌因素和地区因素合起来总共解释了销售量差异的83.94%其他因素(残差变量)只解释了销售量差异的16.06%R=0.9162，表明品牌和地区两个因素合起来与销售量之间有较强的关系%94.838394.095.1788870.201155.130
19、042SSTSSCSSRR有交互作用的双因素方差分析(可重复双因素分析)有交互作用的双因素方差分析(可重复双因素分析)【例】【例】城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验取得共获得20个行车时间(分钟)的数据，如下表。试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响 交互作用的图示可重复双因素分析(方差分析表的结构)可重复双因素分析(平方和的计算)设：为对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个 水平的第l行的观察值 为行因素的第i个水平的样本均值 为列因素的第j个水平的样本均值 对应于行
20、因素的第i个水平和列因素的第j个水平组合的样本均值 为全部n个观察值的总均值 ijlx.ixjx.ijxx可重复双因素分析(平方和的计算)总平方和：行变量平方和：列变量平方和：交互作用平方和：误差项平方和：kirjmlijlxxSST1112)(kiixxrmSSR12.)(rjjxxkmSSC12.)(kirjjiijxxxxmSSRC112.)(SSRCSSCSSRSSTSSE可重复双因素分析(R计算)第第1步：步：选择“工具”下拉菜单，并选择“数据分析”选项第第2步：步：在分析工具中选择“素方差分析：可重复双因素分 析”，然后选择“确定”第第3步：步：当对话框出现时 在“输入区域”方框内键入A1：C11 在方框内键入0.05(可根据需要确定)在“每一样本的行数”方框内键入5 在“输出选项”中选择输出区域本章小结方差分析方差分析(ANOVA)的概念的概念方差分析的思想和原理方差分析的思想和原理素方差分析中的基本假设素方差分析中的基本假设单因素方差分析单因素方差分析双因素方差分析双因素方差分析谢谢
