1、第七章 统计学习理论的本质7.1 统计学习的本质统计学习的本质n系统S为研究对象，通过一系列的观测样本来求得学习机LM，使得LM的输出 能够尽量准确的预测S的输出y。(x1,y1)，(x2,y2)，(xn,yn)y风险风险n学习机LM的输出 与输入x之间可以看作是一个函数关系：n一般需要将函数 限定在特定的一组函数 中求取。n定义风险：均方误差：似然函数：y yf x f x,f x w,L y f x w2,L y f x wyf x w,ln,L p x wp x w 期望风险期望风险ny与x之间存在一定的依赖关系，可以用一个未知的联合概率F(x,y)描述。n期望风险定义为：n统计学习的目
2、的就是要寻找到一个最优的函数f(x,w*)，使得R(w*)最小。,R wL y f x wdF x y经验风险经验风险n期望风险一般来说无法计算，在工程上转而计算经验风险：n求取最优参数w*，使得经验风险Remp(w*)最小。n当学习过程具有一致性时，统计学有如下关系：11,nempiiiRwL yf x wn limempnRwR w期望风险与经验风险的关系期望风险与经验风险的关系 empRwR w7.2 函数集的函数集的VC维与推广性的界维与推广性的界n统计学习的推广能力不仅同训练样本数n有关系，而且同学习机的函数集选择有关系，“简单的”的函数集合推广能力强，“复杂”的函数集合推广能力差。
3、n当函数集过于“复杂”时，很容易产生“过学习”现象：对于训练样本风险很小，而对非训练样本风险却很大。过学习过学习VC维维n打散：如果存在一个有h个样本的样本集能够被一个函数集中的函数按照所有可能的2h种形式分为两类，则称函数集能够将样本数为h的样本集打散；nVC维：如果函数集能够打散h个样本的样本集，而不能打散h+1个样本的样本集，则称函数集的VC维为h。d维空间中线性函数的VC维：h=d+1；1.正弦函数集合sin(wx)的VC维：h=。推广性的界推广性的界n函数集合的VC维描述了函数的复杂程度，利用VC维可以确定推广性的界，下列不等式右半部分至少以概率1-成立：其中h为函数集合的VC维，n
4、为训练样本数。n当n/h较小时，置信范围较大；n/h较大时，置信范围较小：ln 21ln4empemphn hRwR wRwn empempnRwR wRwh7.3 提高推广能力的方法提高推广能力的方法n提高推广能力的本质方法是由原来只优化经验风险 变为优化期望风险的上界 ：empRwn h empRw过学习欠学习结构风险最小化原则结构风险最小化原则（SRM，Structural Risk Minimization）n首先把函数集 分解为一个函数子集序列：各个子集按照VC维的大小排序：在子集序列中寻找经验风险与置信范围之和最小的子集，这个子集中使经验风险最小的函数就是所求的最优函数。,Sf x
5、 ww12kSSSS12khhhSRM在线性分类器上的应用（在线性分类器上的应用（SVM）nd维空间中的线性函数的VC维为d+1，但当限制判别界面的分类间隔时，其VC有可能更小。n定理定理：在d维空间中，设所有n个样本都在一个超球范围之内，超球的半径为R，那么-间隔分类超平面集合的VC维h满足如下不等式：n而间隔 ，因此根据SRM的原则，只需在保证经验风险为0的条件下（超平面能够正确分类全部训练样本），最小化权值矢量的长度 。22min,1Rhn1 ww验证技术（验证技术（Validation）n当无法计算函数集的VC维时，可以采用验证技术。将样本集分为训练集和验证集，用训练集的样本训练网络，用验证集的样本测试网络，寻找一个验证集风险最小的模型和参数。权值衰减权值衰减n实验表明，多层感知器网络中比较小的权值往往能够提高系统的推广能力，因此在训练过程中可以有意地衰减权值：n或者采用一个等价的目标函数：1newoldww 2TefJJww w
