1、第第2 2章章 线性系统的数学模型线性系统的数学模型内 容 提 要 数学模型 建立方法 传递函数 方框图 信号流图数学模型数学模型:描述控制系统输入、输出变量描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。称为系统的数学模型。常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数学模型，建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。对于系统的分析研究是至关重要的。动态数学模型动态数学模型静态数学模型静态数学
2、模型线性系统线性系统非线性系统非线性系统时变系统时变系统时不变系统时不变系统(定常系统定常系统)这门课程将要研究的是线性定常系统这门课程将要研究的是线性定常系统数学模型的建立方法数学模型的建立方法:解析法或实验法。解析法或实验法。建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤:（1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程；考虑列写一个方程；（2）根据各变量所遵循的基本定律）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化物理定律、化学定律学定律)或通过实验等方法
3、得出的基本规律，列写或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；例例2-1 试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t)。解解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：dttitiCtiRtui)()(1)()(21111dttiCtiRdttitiC)(1)()()(12222211dttiCtu)(1)(220整理得：)()
4、()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudCCRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得)()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。例例2-2 图为一弹簧阻尼系统，假设初始静止，当外力图为一弹簧阻尼系统，假设初始静止，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移与位移y(t)之间的微分方程。之间的微分方程。解解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘和粘性摩擦阻力
5、性摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有：2221)()()()(dttydmtttFFF)()(1tkyt Fdttdyft)()(2F其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出 式中 k 弹簧系数 f 阻尼系数整理且标准化)(1)()()(22tktydttdykfdttydkmF令 称为时间常数；称为阻尼比；称为放大系数。kmT/)2/(mkfzkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTFz得例例2-3 电枢输入电压u0(t)，电动机输出转角为。Ra、La、ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流，if为恒定激磁电流，eb为反电势，f为电
6、动机轴上的粘性摩擦系数，ML为负载力矩。dttdceeb)(LDMdttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD)()()()(22tfMdttdfMdttdJMdttdJMffDD解解 电枢回路电压平衡方程为 baaaaaedttdiLtiRtu)()()(dttdceeb)(ce为电动机的反电势系数 力矩平衡方程为 LDMdttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD式中 为电动机电枢的转动惯量 J为电动机的力矩系数 Mc)()()()(22tfMdttdfMdttdJMdttdJMffDD整理得 dtdMLMRucdttdccfRdttdJRfLdttdJLLaLaaMMea
7、aaa )()()()()(2233dttd)(无量纲放大系数aacRLT MeaMccJRTMeafccfLT eccK1MeafccfRK电机转速电磁时间常数机电时间常数时间常数电机传递系数dtdMccLMccRtuKKdtdTTdtdTTLMeaLMeaaeffMMe)()1()(22例例2-4 热水电加热系统，如图所示，为减小周围热水电加热系统，如图所示，为减小周围空气的热损耗，槽壁是绝热的，控温元件是电动空气的热损耗，槽壁是绝热的，控温元件是电动控温开关。控温开关。能量守恒定律 容器壁散失水带出水吸收加热水带入lChiQQQQQ0其中 Qh 加热器供给的热量；QC 贮槽内水吸收的热量
8、；Q0 热水流出槽所带走的热量:Qi 冷水进入槽带入的热量:Ql 隔热壁逸散的热量:dtdTCQCVHTQ0iiVHTQ RTTQelC贮槽水的热容量；V流出槽水的流量；H 水的比热；R热阻；Ti进入槽水的温度；T槽内水的温度；Te槽周围空气温度。iiVHTQ dtdTCQCRTTQel整理得 RTTTTVHdtdTCQeih)(或 mjjmjmjniininidttrdbdttcda00)()(返回线性系统的齐次性和叠加性：uyH(u)y=H(u)H(ku)=kH(u)则称系统具有齐次性。齐次性：若系统满足叠加性：若系统满足 H(u1+u2)=H(u1)+H(u2)则称系统具有叠加性。同时满
9、足齐次性和叠加性的系统称线性系统。假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2=f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数 )(!21)()()(2101102121011011012xxdxfdxxdxdfxfxfxxx当(x1x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 )()()(10120101101102xxKxxxdxdfxfxx 其中 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。101xdxdfK 图为一铁芯线
10、圈，输入为ui(t)，输出为i(t)。线圈的微分方程为 )()(tuRidtidi)()(tuRidtdidiidi)(tuiiRiii0 线圈中的磁通 对 也有增量变化，假如在i0附近连续可微，将在i0 附近展开成泰勒级数，即 02021200)()(!21)(ididididii因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式 ididi00)(常数0|)()(iidiiddiid)(tuiRdtidLi 这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成)(tuRidtdiLi返回)()()(|0000tuuiiRdtiiddidiii 非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附
11、近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。一般情况下，描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程为:)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn2.2.1 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的传递函数。即，)()()(sRsCsGGain增益速写若已知线性定常系统的微分方程为)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrd
12、btcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)为输出量，r(t)为输入量。设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式(2-47)取拉氏变换，得)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn则系统的传递函数为 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()()()()()()(sNsMsRsCsG或写为 传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。G(s)R(s)C(s)r(t)c(t)SystemR(s)C(s)G(S)2.2.2 传递函数的特点 1.作为一种数学模型，传递函数只
13、适用于线性传递函数只适用于线性定常系统定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关关，而与输入量或输入函数的形式无关。3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。4.传递函数只表示单输入
14、和单输出(SISO)之间的关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数矩阵表示。5.传递函数是有理真分式,式(2-49)可表示成)()()()()(2121nmpspspszszszsKgsG式中p1，p2pn为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z1、z2、zn为分子多项式的根，称为传递函数的零点；有确定的零极点分布6.传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换。)(tg为系统单位脉冲作用下的系统输出：定义时，系统的输出c(t)称为)()(ttr当)(tg此时，1)()(tLtrL所以：)()()()(sGsRsGsCG(s)R(s)C(s)7.传递函数分母多项式称为特征多项式，记
15、为而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。这是由于实际系统的惯性所造成的。nnnnasasasasD1110)(2.2.3 典型环节的传递函数 控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。1.比例环节 环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t)比例环节的传递函数为 KsRsCsG)
16、()()(式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。G(s)R(s)C(s)2.惯性环节(非周期环节)惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程)()()(tKrtcdttdcT其传递函数为 1)()()(TsKsRsCsG式中 T 惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数 G(s)R(s)C(s)当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为)1(11)()(111TeKsTsKLsCLtc单位阶跃响应曲线 11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数式中 RLT RK12.积分环节 输出量正比于输入
17、量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程 dttrTtcti0)(1)(其传递函数 sTsRsCsGi1)()()(式中Ti为积分时间常数。G(s)R(s)C(s)积分环节的单位阶跃响应为 tTtCi1)(它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输出u0(t)，其传递函数为 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti=RC 4.微分环节 理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程 dttdrTtcd)()(其传递函数 sTsRsCsGd)()()(式中Td称微分时间常数
18、它的单位阶跃响应曲线)()(tTtcdG(s)R(s)C(s)如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，其传递函数 1)(sTsKTsGdd其单位阶跃响应为 dTKetc1)(曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若K值很大而Td值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。Td值很小时5.二阶振荡环节(二阶惯性环节)二阶振荡环节的动态方程为)()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdTz其传递函数 12)()()(22TssTKsRsCsGz2222)(nnnssKsGz式中 为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比，在后面时域分析中将详细
19、讨论。Tn1G(s)R(s)C(s)图中所示为RLC网络，输入为ui(t)、输出u0(t)，其动态特性方程)()()()(00202tutudttduRCdttudLCi其传递函数 222202 11)()()(nnnissRCsLCstUtUsGz式中 LCn1LCR2zG(s)R(s)C(s)6.延迟环节(时滞环节)延迟环节是输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间后才重现输入信号，其动态方程为)()(trtc其传递函数是一个超越函数 sesRsCsG)()()(式中称延迟时间 G(s)R(s)C(s)需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合
20、过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。返回 在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设计，常将各元件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示，即方框图和信号流图。2.4.1方框图 方框图也称方块图或结构图，具有形象和直观的特点。系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系。构成方框图的基本符号有四种，即信号线、比较点、传递环节的方框和引出点。2.4.2系统方框图的构成 对于一个系统在清楚系统工作原理及信号传递情况下，可按方框图的基本连接形式，把各个环节的方框图，连接成系统方框图。例2-5 图中为一无源
21、RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为 dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得 对每个表达式画出结构图图形)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI1）引
22、出点2）比较点3）方框4）信号线 RC网络方框图 各环节方框图 例2-6 图中为电枢电压控制的直流他励电动机,描述其运动方程为 LDaMDeaaaaaaadtdJtictctetetiRdttdiLtuMMM)()()()()()()(零初始条件下，对式中两边取拉氏变换)(1)()()()()()()()(1)()(sJsssscsscssIsLRsEsULDaMDeaaaaaaMMIME)()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME)()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDa
23、MDeaaaaaaMMIME 将同一变量的信号线连接起来，将输入Ua(s)放在左端，输出(s)放在图形右端，得系统方框图如图所示。2.4.3环节间的连接 简单变换串联、并联和反馈三种基本形式。1.串联:n个环节串联后总的传递函数:)()()()()()()()()()()()(211121sGsGsGsXsCsXsXsRsXsRsCsGnn即环节串联后总的传递函数等于串联的各个环节传递函数的乘积。环节的串联RC网络2.并联:若各个环节接受同一输入信号而输出信号又汇合在一点时，称为并联。如图2-34所示。由图可知)()()()(21sCsCsCsCn)()()()()()()()()(2211s
24、RsGsCsRsGsCsRsGsCnn总的传递函数为)()()()()()()()()()(2121sGsGsGsRsCsCsCsRsCsGnn环节的并联)()()()()(21sRsGsGsGsCn3.反馈：若将系统或环节的输出信号反馈到输入端，与输入信号相比较，就构成了反馈连接，如图所示。如果反馈信号与给定信号极性相反，则称负反馈连接。反之，则为正反馈连接，反馈连接若反馈环节H(s)=1称为单位反馈。前向通道：由信号输入点到信号输出点的通道反馈通道：输出信号反馈到输入点的通道。偏差信号e(t)：给定信号r(t)和反馈信号b(t)之差 开环传递函数=)()()()(sHsGsEsB前向通道传
25、递函数=)()()(sGsEsC闭环传递函数(s):系统输出信号C(s)与输入信号R(s)之比)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs“-”对应正反馈“”对应负反馈)()(1)()()()()()(1)()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()()()()()(sGsHsGsRsCssGsHsGsRsGsEsCsGsHsRsEsEsGsHsRsEsCsHsRsBsRsEsEsGsC负反馈R(s)C(s)(s)复杂的系统图：2.4.4方框图的变换和简化 1）方框图的变换应按方框图的变换应按变换前后信号等效原则变换前后信号等效原则进行进行。即对方框图的任一部
26、分进行变换时，变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。2）串联、并联和反馈串联、并联和反馈 简化简化为一个等效环节3)相同类型点往一起移动相同类型点往一起移动。4）相同比较点可交换位置，相同引出点可交换位置引出点前移引出点后移G2(s)G2(s)G1(s)G1(s)c1c2c3c2c1G2(s)c3G2(s)G2(s)G1(s)G1(s)c1c2c3c2c1c31/G2(s)变换和简化具体方法：比较点前移比较点后移G2(s)G2(s)G1(s)G1(s)c1c2c3c2c11/G2(s)c3G2(s)G2(s)G1(s)G1(s)c1c2c3c2c1G2(s)c3变换和简化具体方法：例例2
27、-7化简图(a)所示系统方框图，并求系统传递函数)()()(sRsCsG)()(1)GG(GG )1)(11)(1)()()(4321243212143211243212114321211GGGGHGGGHGGGHGGGHGGGGGGHGGGsRsCsG 图2-37(a)是一个交错反馈多路系统，采用引出点后移或前移，比较点前移等，逐步变换简化，可求得系统的闭环传递函数为 例例2-8 试化简如图2-37(a)所示系统的方框图，并求闭环传递函数。)()(1)(1()()(33224312143215sHGGsHGGsHGGsGGGGGsG图2-37 方框图的变换与简化 返回 信号流图是表示线性方程
28、组变量间信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图示方法关系的一种图示方法。将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用梅逊(Mason)公式求出系统的传递函数。考虑如下简单等式 jijixax 这里变量xi和xj可以是时间函数、复变函数，aij是变量xj变换(映射)到变量xi的数学运算，称作传输函数，如果xi和xj是复变量s的函数，称aij为传递函数Aij(s)，即上式写为)()()(sXsAsXjiji2.5.1信号流图的定义iijjxax1因果函数 变量xi和xj用节点“”来表示，传输函数用一有
29、向有权的线段(称为支路)来表示，支路上箭头表示信号的流向，信号只能单方向流动。信号流图jijixax)()()(sXsAsXjiji支路 节点2.5.2系统的信号流图 在线性系统信号流图的绘制中应包括以下步骤：（1）将描述系统的微分方程转换为以s为变量的代数方程。（2）按因果关系将代数方程写成如下形式：nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax22112.5.2系统的信号流图 5152121111xaxaxax5252221212xaxaxax5552521515xaxaxax（3）用节点“”表示n个变量或信号，用支路表示变量与变量之间的关系
30、。通常把输入变量放在图形左端，输出变量放在图形右端。例例2-9 如上图所示的电阻网络，v1为输入、v3为输出。选5个变量v1、i1、v2、i2、v3，由电压、电流定律可写出四个独立方程 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV 将变量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作节点表示，由因果关系用支路把节点与节点联接，得信号流图。2.5.3信号流图的定义和术语 节点：表示变量或信号的点，用“”表示。支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向 用箭头表示，权值用传输函数表示。输入支路：指向节点
31、的支路。输出支路：离开节点的支路。源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点，如图中节点X1。汇节点(阱点)：只有输入支路的节点，如图节点X7。信号流图定义与术语混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，如图中的X2、X3、X4、X5、X6。通道(路径)：沿着支路箭头方向通过各个相连支路 的路径，并且每个节点仅通过一次。如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反馈回X2。前向通道：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。如图X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7为 一条前向通道，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也为另一条前向通道。闭通道(反馈通道或回环)：通道的起点就 是通道的 终点，如图
32、X2到X3又反馈到X2；X4到X5 又反馈到X4。自回环：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成 自回环。通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的 乘积。如从X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点，称它们为不接触回环。如G2H1 与G4H2。2.5.4信号流图的性质（1）信号流图只适用于线性系统；（2）信号流图所依据的方程式，一定为因果函数形式的代数方程；（3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；（4）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路；（5）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可把
33、其变为输出节点，即汇节点；（6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。2.5.5信号流图的简化（1）加法规则：n个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图(a)所示：（2）乘法规则：n个同方向串联支路的总传输，等于各个支路传输之积，如图（b）。（3）混合节点可以通过移动支路的方法消去，如图（c）。（4）回环可根据反馈连接的规则化为等效支路，如图（d）。例例2-10 2-10 将图2-43所示系统方框图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数)()()(sRsCs 解解：信号流图如图(a)所示。化G1与G2串联等效为G1G2支路，G3与G4并联等效为G3+G4支路，如图(b)，G1G2
34、与-H1反馈简化为 支路，又与G3+G4串联，等效为 如图(c)121211HGGGG12121431)(HGGGGGG进而求得闭环传递函数为)()()(sRsCs)()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG2.5.6信号流图的增益公式 给定系统信号流图之后，常常希望确定信号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即两个节点之间的总增益或总传输。上节采用信号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊(Mason)公式可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。梅逊增益
35、公式可表示为 kkPT式中，T 输出和输入之间的增益或传递函数；Pk 第k条前向通道的增益或传输函数；信号流图的特征值 =1-Lj1+Lj2-Lj3+Lj1所有不同回环增益之和；Lj2所有两两互不接触回环增益乘积之和；Lj3所有三个互不接触回环增益乘积之和 k 与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的，称为第k条前向通道特征式的余子式。例例2-11 利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。p4L6图中有六个单回环，其增益为：L1=-G3H2，L2=-G5H1，L3=-G2G3G4G5H3，L4=-G6G4G5H3，L5=-G2G7G5H3，其中L1与L2是互不接触的，其增益之
36、积解解：输入量R(s)与输出量C(s)之间有三条前向通道，对应Pk与k为P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4=-G1G6G2G7G5 4=1L1L2=G3G5H1H2)()(357266HGGHGL系统的特征式为 21654321)(1LLLLLLLL系统的传递函数为)()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG例例2-12 求图示信号流图的闭环传递函数 解解：系统单回环有：L1=G
37、1，L2=G2，L3=G1G2，L4=G1G2，L5=G1G2系统的特征式 为：212151311GGGGLiiP4L5前向通道有四条：P1=-G1 1=1 P2=G2 2=1 P3=G1G2 3=1 P4=G1G2 4=1 系统的传递函数为 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii返回 控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的,在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等,而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统(Linear Time Invariant简记为LTI)。2.6.
38、1传递函数 单输入单输出线性连续系统的传递函数为 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点,分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零,得系统的特征方程:D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 因传递函数为多项式之比,所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示,行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数,例如多项式P(s)=s3+2s+4,其输入为 P=1 0 2 4 注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。MATLAB下多项式乘法处理
39、函数调用格式为 C=conv(A,B)例如给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再调用conv()函数来求C(s)A=1,3;B=10,20,3；C=conv(A,B)C=10 50 63 9即得出的C(s)多项式为10s3+50s2+63s+9 MATLAB提供的conv()函数的调用允许多级嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的语句来输入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4)有 了 多 项 式 的 输 入,系 统 的 传 递 函 数 在MATLAB下可由
40、其分子和分母多项式唯一地确定出来,其格式为 sys=tf(num,den)其中num为分子多项式，den为分母多项式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；对于其它复杂的表达式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列语句来输入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den)Transfer function:212313495566024032045sssssssssss2.6.2传递函数的特征根及零极点图 传递函数G(s)输
41、入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为 roots(p)其中p为多项式。例如,多项式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4;%p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反过来,若已知特征多项式的特征根,可调用MATLAB中的poly()函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例 poly(r)p=1.0000 3.0000 0.0000 4.0000 而polyval函数用来求取给定变量值时多
42、项式的值,其调用格式为 polyval(p,a)其中p为多项式;a为给定变量值 例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5时值：n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5)value=66p,z=pzmap(num,den)其中,p传递函数G(s)=numden的极点 z传递函数G(s)=numden的零点例如,传递函数 传递函数在复平面上的零极点图,采用pzmap()函数来完成,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“”表示。其调用格式为13316)(232sssssG)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH 用MATLAB求出G(s)的
43、零极点,H(s)的多项式形式,及G(s)H(s)的零极点图 numg=6,0,1;deng=1,3,3,1;z=roots(numg)z=0+0.4082i 00.4082i%G(s)的零点p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i%G(s)的极点 1.0000+0.0000i n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i;d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232sssssnumh/denh=%H(s)表达式mun=
44、conv(mung,numh);den=conv(deng,denh);pzmap(num,den)%零极点图title(pole-zero Map)零极点图如图所示：1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i2.6.3 控制系统的方框图模型 若已知控制系统的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。1.串联串联 如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series()来求G1(s)G2(s),其调用格式为 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1
45、dennumsGdennumsGG)(212.并联并联 如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数parallel()来实现,其调用格式为 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(213.反馈反馈 反 馈 连 接 如 图 所 示。使 用 M AT L A B 中 的feedback()函数来实现反馈连接,其调用格式为 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：dengnumgsG)(sign为反馈极性,若为
46、正反馈其为1,若为负反馈其为1或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(denhnumhsH)(例如 G(s)=,H(s)=,负反馈连接。21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1);printsys(num,den)num/den=1322ssss MATLAB中的函数series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop()函数求闭环传递函数,其调用格式为 num,den=cloop(num1,den1,
47、sign)2.6.4 控制系统的零极点模型 传递函数可以是时间常数形式,也可以是零极点形式,零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数,其调用格式分别为 z,p,k=tf2zp(num,den)num,den=zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。例如 G(s)=226422012241223423sssssss用MATLAB语句表示：num=12,24,12,20;den=2,4,6,2,2;z,p,k=tf2zp
48、(num,den)z=1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i p=0.95671.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412i k=6即变换后的零极点模型为G(s)=)9287.00353.0)(9287.00353.0)(9294.1(6sss)2272.19567.0)(2272.19567.0(isis)640.0433.0)(640.0433.0(isis 可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。num,den=zp2tf(z,p,k)num =0 6.0000 12.0000
49、 6.0000 10.0000 den =1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000 即 132106126)(23423ssssssssG2.6.5 状态空间表达式 状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型,它由状态方程和输出方程构成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)式中 x(t)Rn 称为状态向量,n为系统阶次;ARnn 称为系统矩阵;BRnp 称为控制矩阵,p为输入量个数;CRqn 称为输出矩阵;DRqp 称为连接矩阵,q为输出量个数。在一般情况下,控制系统的状态空间表达式项简记为(A,B,C,D)。例如：设一个双输入双输
50、出系统的状态空间表达式为uxtx202264510623421)(xy020100系统模型可由MATLAB命令直观地表示：A=1,2,4;3,2,6;0,1,5B=4,6;2,2;0,2C=0,0,1;0,2,0D=zeros(2,2)MATLAB的控制系统工具箱提供了由状态空间表达式转换成传递函数或由传递函数转换成状态空间表达式的转换函数ss2tf()和tf2ss()。其调用格式为num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu是代号 反过来,若已知系统的传递函数,求取系统状态空间表达式的调用格式为 A,B,C,D=tf2ss(num,den)例如系统的传递函数为 16332)(232
