1、第二章线性系统的可控性与可观测性1.可控性2.可观测性3.线性定常连续系统的可控性判据4.输出可控性5.线性定常连续系统的可观测性判据6.线性离散系统的可控性和可观测性7.可控性、可观测性与传递函数(矩阵)的关系(*)8.线性时变系统的可控性和可观测性（*）经典控制理论中用传递函数描述系统输入输出特性，输出量即为被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可观测得，故不需提出可控及可观测概念。现代控制理论用状态空间表达式来描述系统，揭示系统内部的变化规律，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在系统内部的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控
2、性和可观测性问题。可控性可控性 ：分析输入u u(t)对状态x x(t)的控制能力。可观测性：可观测性：分析输出y y(t)对状态x x(t)的反映能力。可控性、可观测性概念，是卡尔曼卡尔曼于20世纪60年代首先提出的，是用状态空间描述系统而引伸出来的新概念。可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且在许多最优控制、最优估计和自适应控制问题中，也常用到这一概念。引言引言可控性、可观测性的物理概念可控性、可观测性的物理概念 例例 已知某个系统的动态方程如下将其分别表示为标量方程组和模拟结构图形式，有21212160215004xxyuxxxx222116254xyuxxuxx
3、由此可见，状态变量x1、x2都通过选择控制量u由始点达到原点，因而系统完全可控的。但输出y只能反映状态变量x2，而与x1既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。s-114+1x 1xs-12-5+2x 2x-6yu 例例 右图所示桥式电路，选取电感电流iL和电容端电压uC作为状态变量，u为网络输入，输出量y=uc。系统中只要有一个状态不可控或不可观测，便称该系统不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观。当电桥处于非平衡状态，即R1R4R2R3时，u将控制两个状态变量的变化，且可通过选择u，使任意初态转移到任意终态，因而是可控的。由于量测到输出量即uc，且uc与iL有确定关
4、系，即uc含有iL的信息，因而是可观测的。图 电桥电路A AC Cu uL L1iLiLi2icu3i4i1R2R4R3R 当电桥处于平衡状态，即R1R4 R2R3时，u只能控制iL的变化，不能控制uc的变化，这时uc 0，从而也不能由输出测量结果确定iL，因而uc不可控，iL不可观测。例例 下图所示两个网络，当R1R2，C1C2时，且初始状态x1(t0)=x2(t0)，u只能使x1(t)x2(t)，而不能将x1(t)与 x2(t)分别转移到不同的数值，这表明此电路不完全可控，简称称为电路不可控。由于y=x1=x2，故可观测。网络（a）网络（b）u u2x2C2R1R1x1Cu u2R2Cyx
5、21x1C1R3R2.1 2.1 可控性可控性 考虑线性时变系统的状态方程)1002(),()()()()(tTttutBtxtAtx 其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；Tt为时间定义区间；A（t）和B（t）分别为nn和np矩阵。现对状态可控和不可控分别定义如下：状态可控状态可控 对于式(2100)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻t0Tt的一个非零初始状态x（t0）x0，存在一个时刻t1Tt，t1t0，和一个无约束的容许控制u(t)，tTt0,t1，使状态由x（t0）x0转移到t1时的x（t1）0，则称x0是在t0时刻可控的 系统可控系统可控 对于式(2100)所示线性时变系统，如果
6、状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0Tt)时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的,简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统一致可控。系统不完全可控系统不完全可控 对于式(2100)所示线性时变系统，取定初始时刻t0Tt，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统不可控。补充说明（对补充说明（对u(t)的限制）的限制）在上述定义中只要求系统在找到的控制u(t)的作用下，使t0时刻的非零状态x0在Tt上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标原点，而对于状态转移轨迹则未加任何限制和规定。所以，可控性是表征系统状态运
7、动的一个定性特性。定义中随控制u(t)的每个分量的幅值并未加以限制，可为任意大的要求值。但u(t)必须是容许控制，即 u(t)的每个分量),2,1)(pitui均为时间区间Tt上平方可积，即 tttiTttdttu0,)(02此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻t0的选取有关，是相对于Tt中的一个取定时刻t0来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻t0的选取无关。状态可达与系统可达状态可达与系统可达 对于式(2100)所示线性时变系统，若存在能将状态x（t0）0转移到x（tf）xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达。若系统
8、对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻状态完全可达的，简称该系统是t0时刻可达的。注：注：线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的；离散系统、时变系统，严格地说两者是不等价的，有可能系统不完全可控却完全可达。2.2 可观测性 可观测性是表征状态可有输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统状态方程和输出方程)1012()(),()()()()()1012(),()()()()(00bxtxtutDtxtCtyaTttutBtxtAtxt其中A（t），B（t），C（t）和D（t）分别为（nn），（np），（qn）和（qp）的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。式（2
9、101a）状态方程的解为)1022()()(),(),()(000duBtxtttxtt其中(t,t0)为系统的状态转移矩阵。将式(2102)代入式(2-101b)输出方程，可得输出响应为)1032()()()()(),()(),()()(000tutDduBttCxtttCtytt 在研究可观测性问题时，输出y和输入u均假定为已知，只有初始状态x0是未知的。因此，若定义则式（2103）可写为)()()()(),()()()(0tutDduBttCtytytt)1042(),()()(00 xtttCty这表明可观测性即是 00 xy 和完全估计的性能。由于可由yx可取任意值，所以这又等价于研
10、究u0时由y来估计x0的可能性，即研究零输入方程)1052()()()()1052(,)(),()()(000btxtCtyaTttxtxtxtAtxt的可观测性。式（2103）成为)1062(),()()(00 xtttCty下面基于式（2105）给出系统可观测性的有关定义。系统完全可观测 对于式（2105）所示线性时变系统，如果取定初始时刻tTt 0存在一个有限时刻,011ttTtt对于所有,10ttt，系统的输出y（t）能唯一确定状态向量的初值x（t0），则称系统在t0,t1内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在内完全可观测。),0t系统不可观测
11、对于式（2105）所示线性时变系统，如果取定初始时刻 tTt 0存在一个有限时刻,011ttTtt对于所有,10ttt，系统的输出y（t）不能唯一确定所有状态的初值,2,1),(0nitxi即至少有一个状态的初值不能被y（t）确定，则称系统在时间区间t0，t1内是不完全可观测的，简称不可观测。2.3 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据)1072(0,)0(),()()(0txxtButAxtx 其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为（nn）和(np)常阵。下面根据A和B给出系统可控性的常用判据。线性定常连续系统的状态方程 线性
12、定常连续系统式（2107）完全可控的充要条件是，存在时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：)1082(),0(101ttATAtdteBBetWT非奇异。证明证明 充分性：充分性：已知w（0，t1）为非奇异，欲证系统完全可控。已知w非奇异，故w1存在。对于任一非零初始状态x0可选取u(t)为)1092(,0,),0()(1011ttxtWeBtutATT则在u（t）作用下系统（2107）在t1时刻的解为必要性必要性:已知系统完全可控，欲证W（0，t1）为非奇异。nAtAttATtAtAtAttttAAtRxxtWtWexextdtWeBBeexedttBuexetxT001110011000)(
13、010),0(),0(),0()()(11111111这表明，对任一取定的初始状态x00，都存在有限时刻t10和控制u（t），使状态由x0转移到t1时刻的状态x（t1）0，于是根据定义可知系统完全可控。充分性得证。采用反证法。设W（0，t1）为奇异，则存在某个非零向量使,0nRx)1102(0),0(01xtW成立，由此可导出由此又可导出)1112(0),0(200000000010111dtxeBdtxeBxeBdtxeBBexxtWxttATttATTtATttATAtTTTTTT其中|为范数，故其必为正值。于是，欲使式（2111）成立，应当有)1122(,0,010ttxeBtATT另一
14、方面，因系统完全可控，根据定义对此非零向量应当有0 x)1132(0)()(111001tAtAtAtdttBueexetx)1153()()()1143(0)(1110000002000ttATTTtAtTtAtdtxeBtuxdttBuexxxdttBuexT再利用式（2112），由式（2115）可以得到)1162(00020 xx即显然，此结果与假设00 x相矛盾，即W（0，t1）为非奇异得反设不成立。因此，若系统完全可控，W（0，t1）必为非奇异。必要性得证。证毕。可以看出，在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数eAt，在A的维数n较大时计算eAt是困难的。所以格拉姆矩阵判据主要用于理论
15、分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵A和B判断可控性的秩判据。由于在推导秩判据时要用到凯莱哈密顿定理，所以下面先介绍凯莱哈密顿定理，然后再给出秩判据。2 凯莱凯莱-哈密顿定理哈密顿定理设n阶矩阵A的特征多项式为)1172()(0111aaaAIfnnn则A满足其特征方程，即)1182(0)(0111IaAaAaAAfnnn式（2-118）称为凯特-哈密顿定理。证明证明 据逆矩阵定义有)()()()(1fBAIBAI式中B()为(I-A)的伴随矩阵，其一般展开式为 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAIaaaaaaaaaA212222111211212222111211,B
16、()的元素均为(n+1)阶多项式，根据矩阵加法规则将其分解为n个矩阵之和，即1,11,11,1111,11,2211,12,11121222211)1()1()1()1()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaB)1202()(012211BBBBBnnnnBn-1,Bn-2,B0为n阶矩阵。将式(2-119)的两端右乘(I-A)1212()()(IfAIB将式（2120）代入式（2121）并展开，有由方程两端 同幂项系数相等的条件有)1222()()()(01110102321211IaIaIaIABABBABBABBBnnnnnnnnnnnIaABIaA
17、BBIaABBIBnnnn001101121)1232(将式（2123）的前n个等式两端按顺序右乘An,An-1,AIaABAaABABAaABABAABnnnnnnnnn001210111121)1242(将式（2124）中各式相加，则 0)(0111IaAaAaAAfnnn证毕。)1252()(10nkAAnmmmk证明证明IaAaAaAaAnnnnn012211AaAaAaAaAAAnnnnnn0211211AaAaAaIaAaAaannnnn0211201111)(IaaAaaaAaaaAaaaAaannnnnnnnnn01011212123211221)()()()(故上述推论成立。
18、式中m与A阵的元素有关。该推论可用以简化矩阵的幂的计算。推论推论1 1 矩阵A的k（kn）次幂，可表示为A的（n-1）阶多项式这是由于101232112210221122)()()!1(1)(!1!121nnnnnnnnnnnnnnnnAttIaaAaaaAaantIaAaAanAtItAntAAtIe)1262()(10nmmmAtAte令推论推论2 2 矩阵指数eAt可表为A的（n-1）阶多项式则有1221111112122210111110100)()!1(1!1)1(1)()()!1(1!1!21)()()!1(1!1)()!1(1!11)(nnnnnnnnnnnnnnnntaanta
19、ntnttaaantantttaaantantttaantant 10112210)()()()()(nmmmnnAtAtAtAtAtIte故推论2成立。式（2126）中的 0(t),1(t),n-1(t)均为t的幂函数。同理对于,0ftt 不同时刻构成的向量)(,),(,),0(,),0(1010fnfntt是线性无关的向量组，其中任一向量都不能表为其它向量的线性组合。)1272()(10nmmmAtAte式中 122111111101100)()!1(1)1(!1)1()!1(1)1()()!1(1)1(!1)1(1)(nnnnnnnnnnnnnnntaantantnttaantant3
20、秩判据秩判据线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件)1282(1nBAABBrankn其中n为矩阵A的维数，BAABBSn 1称为系统的可控性判别阵。证明证明充分性：已知rankSn，欲证系统完全可控。采用反证法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知0,),0(1011tdteBBetWttATAtT为奇异，这意味着存在某个非零n维向量使0),0(11001tTAtTAtTttATAtTTdtBeBedteBBetWT成立。显然，由此可导出)1292(,0,01ttBeAtT将式（2129）求导直至n1次，再在所得结果中令t0，得到)1302(0,0,0,012BABAABB
21、nTTTT式（2130）又可表示为)1312(012SBABAABBTnT由于 0，所以式（2131）意味着S为行线性相关，即rankSn,这显然和已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。必要性：已知系统完全可控，欲证rankS=n.采用反证法。反设rankS 0有,2,1,0;,0;0!)1(1ittBitAiiTi或)1342(,0;0!312113322ttBeBtAtAAtIAtTT因而有)1352(0),0(101tTtATAtTtWdteBBeT由于已知 0，若式（9135）成立，则W（0，t1）必为奇异，系统为不完全可控，与已知结果相矛盾。于是有rankS=n
22、,必要性得证。秩判据证毕。例例217试用可控性判据判断图226所示桥式电路的可控性。解解 该桥式电路的微分方程为 uiRiRdtdiLiRuiRiRuiRiiiiiLccL3311221133444321选取状态变量：x1=iL,x2=uc。将i1，i2，i3，i4消去，可得状态方程 2432114342122243321114343212111111111xRRRRCxRRRRRRCxuLxRRRRRRLxRRRRRRRRLx列出其可控性矩阵S3：A AC Cu uL L1iLiLi2icu3i4i1R2R4R3R图226这时状态方程变为43421243432121231011RRRRRRL
23、CRRRRRRRRLLAbbS时当434212RRRRRRrankS3=2=n,系统可控。但当电桥处于平衡状态即R1R4=R2R3时，成立，及有433211434212RRRRRRRRRRRR243212143432121111111xRRRRCxuLxRRRRRRRRLx系统不可控，u不能控制x2，x2是不可控状态变量。nRRRRRRRRLLrankAbbrankrankS100114343212123例例218网络如图227所示，试用可控性判据判断其可控性。解解 图227所示网络的微分方程为 dtiCxdtiCuxCixCixiiiiiRxiRxuxxiiRc322111123211143
24、21422211212131,1,)(式中消去i1i4，得状态方程为 2R2Cyx 21x1C1R3R1i2i3i4iu u图2272123222323232123111313132322322123213213111131111111111111111111CCRCRCRCRCRCCRCRCRCRCRrankAbbrankuCRxCRCRxCRxuCRxCRxCRCRx系统不可控。的两行或两列均相同时，当系统可控。时，当nAbbrankAbbCCRRnAbbrankCCRR1,2,21212121例例219试用可控性判据判断图225所示网络的可控性dtiCuxdtiCuxuxCRxxCRxc
25、c22221111222211111,1式中解解 图225所示网络的微分方程为22222221211122222211111111111111CRCRCRCRrankAbbrankuCRxCRxuCRxCRx时，系统可控。当2211CRCR系统不可控有当,1,22112121nAbbrankCRCRCCRR状态方程为 u u2x2C2R1R1x1C例例220?,1021100AA求已知解解 n2，A的特征多项式为 121021)(2AIf据凯莱哈密顿定理，有 102001990099100020010099100)1(342)2(32323)2(22202)(10023422322IAAIkk
26、AAIAAIAAAAAAIAAIAAAAAAIAAIAAAfk例例221判断下列状态方程的可控性 21321321111112310020231uuxxxxxx解解 系统的可控性矩阵4422114422114523122BAABBS显见S矩阵的第二、第三行元素绝对值相同，rankS=23,系统不可控。4 PBH 秩判据秩判据 线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 i(i=1,2,3,n),)1362(,2,1;ninBAIranki均成立，或等价地表示为)1372(,CsnBAsIrank证明证明 必要性必要性：已知系统完全可控，欲证式（2136）成立。采用反
27、证法。反设对某个BAInBAIrankiii则意味着有,为线性相关，因而必存在一个非零常数向量，使)1382(0BAIiT成立。考虑到问题的一般性，由式（2138）可导出)1392(0,BATTiT即(sI-A)和B是左互质的。由于这一判据由波波夫和贝尔维奇(Belevitch)首先提出并由豪塔斯(Hautus)最先指出其广泛应用性，故称为PBH秩判据。进而可得0,0,01BABABBnTTiTT于是有)1402(01SBAABBTnT因已知0，所以欲使式（2140）成立，必有nrankS 这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，而式(2-136)成立。考虑到sI-A B为多
28、项式矩阵，且对复数域C上除i(i=1,2,3,n)以外的所有s均有det(sI-A)0，所以式（2136）等价于式（2137）。必要性得证。充分性充分性：已知式（2136）成立，欲证系统完全可控。采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，PBH秩判据证毕。例例222已知线性定常系统的状态方程为4,021001100500100001000010nuxx 试判断系统的可控性。解解 根据状态方程可写出02500101000101010001ssssBAsI考虑到A的特征值为,5,5,04321所以只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算可知，时，有当021s42050010010100
29、001rankBAsIrank时，有当53s40200100001501015rankBAsIrank时，有当54s40200100001501015rankBAsIrank计算结果表明，充分必要条件（2136）成立，故系统完全可控。5 PBH 特征向量判据特征向量判据 线性定常连续系统（2107）完全可控的充分必要条件是，A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值i，使同时满足)1412(0,BATTiT证明证明 必要性必要性：已知系统完全可控，设存在一个向量0，使式（2-141）成立，则有0,0,01BABABBnTTiTT从而得到01SBAABBTnT这意味着rank
30、S n即系统不完全可控。这与已知条件相矛盾，因而反设不成立。必要性得证。充分性充分性：也用反证法，利用与上述相反的思路来进行，具体过程略。证毕。PBH特征向量判据主要用于理论分析，特别是线性系统的复频域分析中。的特征向量0。6 约当规范型判据约当规范型判据 线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件分两种情况：矩阵A的特征值i(i=1,2,3,n),是两两相异的。由线性变换可将式(2-107)变为对角规范型)1422(21uBxxn则系统（2107）完全可控的充分必要条件是，在式（2142）中，B不包含元素全为零的行。证明证明 可用秩判据予以证明，推证过程略。矩阵A的特征值为nttt212
31、211),(,),(),(且重重重由线性变换可将式（2107）化为约当规范型)1432(.uBxAx其中rikikikprikiiirrikiaiipiaiiilpnlnnbbbBJBBBBJJJJBBBBJJJAikikikiii,11,21)()(21)(21)(21)(21)(（2144）（2145）（2146）续续（2147）),2,1(,)(21kBrrrikiiaii由而的最后一行所组成的矩阵ririribbbBi21均为行线性无关。对li,2,1证明证明 可用PBH秩判据予以证明，此处略去推证过程。例例223已知线性定常系统的对角线规范型为21321.3.2.1200310200
32、010008uuxxxxxx（9148）试判定系统的可控性。解 由于此规范型中B不包含元素全为零的行，故系统完全可控。例例224 给定线性定常系统的约当规范型如下，试判定系统的可控性。uxx003330021000400020001000522012111011故系统完全可控。的元素不全为零都是行线性无关的和矩阵,003330021,400020001321313222121312111BBBbBbbBbbbBrrrrr解解 由于2.4 2.4 输出可控性输出可控性 1 输出可控性定义2 输出可控性判据 若在有限时间间隔内t0，t1 内，存在无约束的分段连续控制函数u(t)，tt0，t1，能使
33、任意初始输出y(t0)转移到任意最终输出y(t1),则称该系统输出可控。设系统动态方程为 DuCxytttxtxBuAxx,)(,1000其状态方程的解为,)()0()(100)(1111tttBuexetxttAAt其输出为)()()0()(10)(1111tDuBueCxCetyttAAt可不失一般性地假定 y(t1)=0，于是有令 1001011001)()()()()()()()()()0(11111nmtmmtnmmmttAAttDuduaBACtDudBuAaCtDudBueCxCe101)()()(tmmduatu则)1532()()()()()()()()()()()()0(1
34、111110121111122111011101tutututuDBCABCACABCBtDutBuCAtBuCAtCAButCButDutBuACxCennnnnmmmAt记)1542(120DBCABCACABCBSnS0称为输出可控性矩阵，它是q(n+1)p矩阵。与状态可控性研究相似,输出可控的充分必要条件是：矩阵S0的秩为输出变量的数目q，即rank S0=q (2-155)注意：状态可控性与输出可控性是两个概念，其间没有必然的联系 例例225 判断下列系统的状态可控性、输出可控性21212101,112110 xxyuxxxx解解 状态可控性矩阵S为1111AbbSdetS3=0，r
35、ank S 0，使如下定义的格拉姆矩阵：)1572(),0(101tAtTtAdtCeCetMT为非奇异。)1582()0,(00 xCextCyAt积分得到然后从）左乘将式（10,1582tCeTtAT 证明证明 充分性充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观测。由式(2-156)可得已知M（0，t1）非奇异，即M-1（0，t1）存在，故由式（2159）得)1592(),0()(0100011xtMxdtCeCedttyCetAtTtAtTtATT10110)(),0(tTtAdttyCetMxT这表明，在M（0，t1）非奇异条件下，总可以根据0,t1上的输出y（t）唯一地确定非
36、零初始状态x0。因此，系统为完全可观测。充分性得证。必要性必要性：系统完全可观测，欲证M（0，t1）非奇异。采用反证法。反设M（0，t1）奇异，假设存在某一非零初始状态使,0nRx 0)()()(),0(1111020000000010ttTtAtTtATtAtTtATTdttydttytydtxCeCexxdtCeCexxtMxTT成立，这意味着,0,0)(10ttxCetyAt测状态。为状态空间中的不可观显然，0 x这与已知矛盾，故必要性得证。证毕。2 秩判据秩判据线性定常连续系统（2156）完全可观测的充要条件是)1612(rank1nCACACn或)1622()(rank1nCACAC
37、TnTTTT式(2-161)和式(2-162)中的矩阵均为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。证明证明 证明方法与可控性秩判据相似，略。以下从式(2-158)出发，进一步论证秩判据的充要条件。由式(2158)，利用eAt的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理推论2可得011100100)()()()()(xAtCAtCtCxAtCxCetynnnmmmAt)1632()()()(01110 xCACACItItItnqnqq 式中Iq为q阶单位阵。已知 0(t)Iq 1(t)Iq n-1(t)Iq 的nq列线性无关，于是根据测得的 y(t)可唯一确定x0的充要条件是nCACACVn1rankrank
38、例例226 判断下列系统的可观测性1101,0112,1111)2(01,13,1002)1(,CBACBACxyBuAxx 解解21rank,10021rankrankrank)1(nVCACVTTTnVCACVTTT2rank,221100111rankrankrank)2(故系统不可观测。故系统可观测。3 PBH秩判据秩判据 线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 1,2,n，均有)1642(,2,1;rankninAICi或等价地表示为)1652(;ranknCsnAsIC即(sI A)和C是右互质的4 PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常连续系统
39、(2156)完全可观测的充要条件是，A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量。即对A的任一特征值 1,2,n 使同时满足)1662(0,CAi的特征向量0。5 约当规范型判据约当规范型判据线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件分两种情况：矩阵A的特征值 1,2,n是两两相异的。由线性变换可将式(2-156)变为对角规范型)1672(,21xCyxxn 矩阵A的特征值为nltl212211),(,),(),(且重重重由线性变换可将式（2156）化为约当规范型)1682(,xCyxAxC式中 不包含元素为零的列。其中)1712(,11)1702(,.,2,1,)1692(,21)()(2
40、1)(21)(21)(21)(rikikikrqikiiirrikiiiqiiaiiilnqlnnCCCCJliCCCCJJJJCCCCJJJAikikikiii),2,1(,)(21kCrrrikiiaii由而的第一列所组成的矩阵iiiCCCCI12111对 i=1,2,l 均为列线性无关例例227已知线性定常系统的对角线规范型为xyxx320001,200010008试判定系统的可观测性。解解 显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统为完全可观测。C例例228 已知系统的约当规范型为xyxx010330007042010000010002,522012111011解解 根据判断法则可
41、定出下列矩阵070,130201,300010002131122121113112111cccccc 它们都是列线性无关的，并且131 的元素不全为零，故系统为完全可观测。2.6 2.6 线性离散系统的可控性和可观测性线性离散系统的可控性和可观测性1 线性离散系统的可控性和可达性线性离散系统的可控性和可达性 由于线性定常系统只是线性时变系统的一种特殊情况，和前面一样，在讨论线性离散系统时，利用时变离散系统给出相关定义。设线性时变离散时间系统的状态方程为)1732(),()()()()1(kTkkukHkxkGkx其中Tk为离散时间定义区间。如果对初始时刻lTk,和状态空间中的所有非零状态x(l
42、),都存在时刻mTk,m l，和对应的控制u(k)，使得x(m)=0，则称系统在时刻 l 为完全可控。对应地，如果对初始时刻lTk,和初始状态x(l)=0,存在时刻lTk,m l和相应的控制u(k)，使x(m)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻 l为完全可达。线性定常离散时间系统)1742(,2,1,0);()()1(kkHukGxkx的可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵G为非奇异。如果离散时间系统（2173）或（2174）是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的。证明证明 略。时变或定常离散系统的可控性和可达性等价的条件可控性和可达性等价的条件：线性离散
43、时间系统（2173）的可控性和可达性为等价的充要条件是，系统矩阵G(k)对所有 kl,m-1 为非奇异；线性定常离散系统的可控性判据线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离散系统的状态方程为)1752()()()1(khukGxkx其中，x为n维状态向量；u为标量输入。状态方程（2175）的解为)1762()()0()(101kiikkihuGxGkx根据可控性定义，假定k=n时x(n)=0，则)1772()1()0()1()1()0()()0(2121101nuuhGhGhGnhuGhuGhuGihuGxnnnii将上式两端左乘G-n，则有101)()0(niinnihuGxG称 为
44、可控性矩阵，该阵为（）矩阵。1 Snn 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵Gn 相乘，其秩不变，故)1812(rankrankrank111nhGhhGSGSnn交换矩阵的列，且记为S1，其秩也不变，故有 1 S)1792(rank1 nS)1802(0det1S式（2-177）是一个非奇次线性方程组，含n个方程，有n个未知数u(0),u(n-1)。根据线性方程组解的存在定理，在x(0)为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：矩阵 满秩，即 或行列式不为零 或矩阵是非奇异的。)1822(11nhGGhhrankrankSn由于式(2-182)避免了矩阵求逆，在判断可控性时，使用式(2-182)
45、较方便。记)1782(.211hGhGhGSn 式(2-179)至式(2-182)都称为可控性判据，S1，S1都称为单输入离散系统的可控性矩阵。显见，状态可控性取决于G和h。当rankS1n时，系统不可控，表示不存在能使任意x(0)转移到x(n)的控制。以上研究假定了终态为x(n)=0，若令终态为任意给定状态x(n)，则式(2-176)变为)1832()()0(101niinnGnxxG将式（2183）两端左乘G-n，有)1842()1()0()()0(21nuuhGhGhGnxGxnn当G满秩时，该式左端不过是任一给定的另一状态，其状态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令x(0
46、)=0，上述结论同样成立。可见，当G为非奇异时，系统的可控性和可达性是等价的。上述研究单输入离散系统可控性方法可推广到多输入系统。设系统的状态方程为)1852()()()1(kHukGxkx所谓可控性问题即是能否求出无约束控制序列u(0),u(1),u(n-1)，使系统能从任意初态x(0)转移到x(n)=0。式（2185）的解为)1862()()0()(101kiikkiHuGxGkx令k=n，x(n)=0，且方程两端左乘 G-n,有)1()1()0()()0(21101nHuGHuGHuGiHuGxnnii)1872()1()0(21nuuHGHGHGn记)1882(212HGHGHGSn为
47、(nnp)矩阵，由子列向量u(0),u(1),u(n-1)构成的控制列向量是np维的。式（2187）含n个方程，但有np个待求的控制量。由于初态x(0)可任意给定，根据解存在定理，矩阵S2的秩为n时，方程组才有解。于是多输入线性定常离散系统状态可控的充要条件是)1892(2 nrankS或)1902(122nHGHHGrankSGrankrankSnn或)1912(12nHGGHHrankrankSn或)1922(0det22TSS或)1932(22 nSrankST式(2-189)至式(2-193)都是多输入离散系统的可控性判据。通常使用式(2-191)或式(2-192)较为方便。由于式（2
48、-187）中方程个数少于未知量的个数，方程组的解不唯一，可以任意假定（np-n）个控制量，其余n个控制量才能唯一确定。多输入系统控制序列的选择，通常是具有无穷多种方式的。还可看出，S2的行数总少于列数。在列写S2时，若能知道S2的秩为n，便不必把S2的其余的列都写出来。由于S2满秩时其S2T必满秩，n阶方阵detS2S2T也必满秩，这时计算一次n阶行列式detS2S2T便可确定可控性了，这比可能需要多次计算S2的n阶行列式要简单一些。多输入线性定常离散系统使任意初态转移到原点一般可少于n个采样周期。例例229 设单输入线性定常离散系统状态方程为设单输入线性定常离散系统状态方程为)(101)(0
49、11220001)1(kukxkx试判断可控性；若初始状态 x(0)=2 1 0T 确定使 x(3)=0 的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究使 x(2)=0 的可能性。解解 由题意知 nhGGhhShG3311220111rankrankrank101,01122000121故该系统可控。可按式（2177）求出u(0),u(1),u(2)。求逆运算比较麻烦，尝试用递推法。令k0，1，2可得状态序列)2(101)1(121)0(3214122)2()2()3()1(101)0(121062)1()1()2()0(101122)0(101012011220001)0()0()1(uuuh
50、uGxxuuhuGxxuuhuGxx令x(3)=0，得下列方程组4122)2()1()0(113022111uuu其系数矩阵即可控性矩阵S1，是非奇异的，因此 811541220211211212121214122113022111)2()1()0(1uuu若要使 x(2)=0，即解下列方程组 062)1()0(110211uu上式中，系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 011602211的秩为3，两个秩不等，方程组无解，意味着不能在二个采样周期内使系统从定初始状态转移至原点。若该两个秩相等，则可用两步完成转移。例例230 双输入线性定常离散系统的状态方程如下，试判断其可控性，并研究使 x(1)=0
