1、Sichuan University电工原理电工原理第五章第五章 正弦交流电路分析正弦交流电路分析2022-7-2322022-7-233随时间按正弦规律周期性变化的电流或电压，称为随时间按正弦规律周期性变化的电流或电压，称为正弦交流电正弦交流电，简称，简称正弦量正弦量。以正弦电流为例，其瞬时表达式为以正弦电流为例，其瞬时表达式为misiniIt2022-7-234如果参考方向如图（b）所示，电流箭头方向取A到B,则设电流AB的流动方向记为(+)，BA的流动方向为(-)如果参考方向如图(c)所示，电流箭头方向取B到A，则设电流BA的流动方向假定为(+)，则AB的流动方向就为(-)2022-7-
2、235 tIi sinmI Im m 2 Tit O2022-7-2362022-7-237单位：弧度秒-1(rad/s)为电角度初相位的单位用弧度或度表示，习惯于用度表示，通常规定，即小于等于3.14159弧度或180o。【例5.1.1】求幅值 、频率 ，初始相位 的正弦波电压的瞬时表达式，以及在时的瞬时值，并用图表示该波形。2022-7-238m100VE 60 Hzf 6 1s240t【解】正弦波电压的瞬时值可写成：依题意的瞬时表达式：mmsin()sin(2)eEtEft)6120sin(100te2022-7-2391100sin(260)100sin()100sin()V 86.6
3、V2406263e 在 时的瞬时值：1s240t 2022-7-2310则有则有 TtiTI02d1dtRiT20RTI2 TttIT1022mdsin2mI 同理：同理：2mUU 2mEE 2022-7-2311用 加下标下标表示2022-7-2312【例5.1.2】两同频率的正弦电压 ，求出它们的有效值和初相位及相位差。212cos(30)Vut【解】将两正弦电压写成标准形式：则其有效值为：初相位为：，；相位差为：2022-7-2313图中|F|表示复数的大小，称为复数的模复数的模;有向线段F与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅复数的幅角角，用表示，规定幅角的绝对值小于180;a、b为复数F
4、的实部和虚部。2022-7-2314设设A为复数为复数:F=a+jbabarctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角式中式中:racosrbsin)sinj(cossinjcosrr rA由欧拉公式由欧拉公式:2jeesinjj ,2eecosjj 2022-7-2315得:实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数共轭复数，用F*表示F的共轭复数2022-7-2316四则运算：2022-7-2317【例5.2.1】设复数 ，讨论F乘以 将是怎样的情况？是一个模为1的复数。即，【解】F将逆时针旋转 90o，得到F12022-7-2318所以，j是90旋转因子。任意一个复数
5、乘以+j，即向前（逆时针）转90，乘以-j即向后（顺时针）转90F将顺时针旋转 90o，得到F22022-7-2319E电压相量：电压相量：(cossin)jUUjUeU 2022-7-2320按照各个正弦量的大小和相位关系，画出若干个相量的初始位置的图形，称为相量图相量图。正弦电压U对应的相量 和 的相量图，最大值相量比有效值相量长 倍）mUU2电压电流的有效值相量图2022-7-2321三相交流电压的相量图，相量式：1122330 V120 V120 VUUUUUU2022-7-2322【例5.2.2】已知正弦电压u1和u2的有效值分别为U1=50 V，U2=30 V，u1 超前u2于60
6、，=314 rad/s，求：（1）写出u1和u2的相量表达式和瞬时值表达式；（2）总电压u=u1+u2的有效值和瞬时值表达式，并画出u、u1、u2的相量图；（3）总电压u与u1及u2的相位差。【解】本题可以任选一个电压为参考量，现选u1的相量为参考相量，则两电压的有效值相量分别为：2022-7-2323总电压的有效值相量：瞬时值表达式：总电压的有效值是70V，瞬时值表达式：2022-7-2324总电压u与u1及u2的相位差:2022-7-2325RRuRi电压、电流相量图2022-7-2326RRi2 sin(t)iIRmRRRmRUU=R=ZII或2022-7-2327电压电流的相量图202
7、2-7-2328oLLLiLiLu2cos()2sin(90)2sin()diuLILtILtUtdt或2022-7-2329LfLXL2 电感电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用f=0,XL=0，电感，电感L视为视为短路短路fLXL2 fXL2022-7-2330电压电流的相量图2022-7-2331或2022-7-2332CfCXC211所以电容所以电容C具有隔直通交的作用具有隔直通交的作用 XC直流：直流：XC ，电容，电容C视为视为开路开路交流：交流：fCfXC212022-7-23332022-7-2334电阻、电感、电容三元件的电压电流有效值和相量都有一个共同的欧姆定律形式：
8、有效值欧姆定律形式：|Z|叫阻抗模，电阻 ；电感 ；电容 相量欧姆定律形式：Z叫复阻抗，电阻 ；电感 ；电容 UZI2022-7-2335【例5.3.1】相量图如图所示的正弦电压，施加于一个L=10 mH的电感元件上，当电源频率为50 HZ与50 kHZ时，求流过电感元件的电流I。2022-7-2336可见，频率改变时，电感的感抗要改变，频率越大，感抗越大，所以，电感线圈能有效阻止高频电流通过。通过线圈的电流为：当f=50 kHZ时【解】由电压相量图可以得出：当f=50 HZ时通过线圈的电流为：L103.18A3.14UIX2022-7-2337【例5.3.2】Z是电容元件，电容电压电流参考方
9、向如图（a）所示，已知 及 ，求通过电容的电流瞬时值表达式并画出的相量图。4FC 2022-7-2338【解】图(a)电压电流参考方向不一致62501000 4 1090400.70750 A2Ij CU 电流瞬时值表达式：u,i的相量图如(b)图所示。(b)2022-7-23392022-7-23400U 对最大值相量的KVL形式也是成立的2022-7-2341 RLC串联电路的两种形式2022-7-2342RL串联时：RC串联时：LC串联时：2022-7-2343CLRUUUU0II设设)j(CCXIU )(jLLXIU 则则 RIUR2022-7-23442022-7-2345阻抗三角形
10、22ZRX阻抗模阻抗模uiarctanXR幅角幅角cosRZ当当 XL XC 时时，0，u 超前超前 i 呈呈感性感性当当 XL XC 时时，R，UL=UCU=UR,所以串联谐振也叫电压谐振电压谐振。串联谐振时整个电路呈电阻性；阻抗模最小，电容和电感相串联部分的阻抗为0，电感、电容串联部分相当于短路短路。2022-7-2358串联谐振相量图阻抗的幅频特性电流的幅频特性2022-7-2359【例5.4.3】已知RLC串联电路中端口电源电压U=20 mV，当电路元件的参数为R=5，L=10 H，C=100 pF时，若电路产生串联谐振，求电源频率f0、品质因数Q及UC、UL、UR。【解】606121
11、15.04 10 Hz223.1410 10100 10fLC660022 3.14 5.04 1010 1063.305Lf LQRR363.30 20 101.266 VLCUUQU2022-7-2360m0I2022-7-2361RLCmi1sin()uduiiiiudtCItRLdtRL并联时：RC并联时：LC并联时：2022-7-2362RLC111+1IIIIURjLjC并联部分总可以等效为一个等效复阻抗Z设设2022-7-2363RL并联时:2022-7-2364RC并联时：LC并联时：2022-7-2365【例5.5.1】如图所示的电路中，电流表A1和A2的读数分别为I1=6
12、A，I2=8 A，根据要求计算并画出相应的相量图。(1)设Z1=R，Z2=-jXC，则电流表A0的读数为多少？并求出电压电流夹角。(2)设Z1=R，Z2=jXL，则电流表A0的读数为多少？并求出电压电流夹角。(3)设Z1=R，则Z2为何种元件、取何值时，才能使A0的读数最大？最大值是多少？(4)设Z1=jXL，则Z2为何种元件、取何值时，才能使A0的读数为最小？最小值是多少？2022-7-2366(1)由于Z1是电阻，电流电压同相；Z2是电容，所以Z2中的电流相位超前于电压90，RC并联的相量图如图（a）所示，由电流三角形求得总电流：222222RC12=6+8=10AIIIII2022-7-
13、2367也可以用相量计算得：(2)由于Z1是电阻，电流电压同相；Z2是电感，所以Z2中的电压相位超前于电流90，RL并联的相量图如图（b）所示，由电流三角形求得总电流：A0读数为10 A，也可以用相量计算得：2022-7-2368(3)Z1、Z2中电流同相时，总电流最大，相量图如图（c）所示，因此，Z2为电阻R2时，A0读数最大，最大电流：A0的读数为14 A，且满足(4)Z1、Z2中电流反相时，总电流最小，现Z1为电感，则Z2为容抗XC的电容时，A0读数最小，相量图如图（d）所示，最小电流：A0的读数为2 A，且满足2022-7-2369相量图如下:2022-7-2370111uinkkUU
14、ZZIIZ总2022-7-2371某支路流过的电流按照并联电路分流原理进行分配，即与复阻抗成反比2022-7-2372【例5.5.2】如图电路是一个LC滤波电路。若输入电压 ，求(1)电路的等效复阻抗；(2)电路中的总电流i及支路电流i0。2022-7-237323120(10)/10422 5 26.572010jZZZZjjj【解】(1)C561110101 10XC 220ZR2022-7-2374(2)10010226.57 A22 5 26.57UIZ55sin(1026.57)Ait50sin(1090)Ait2022-7-2375RLC并联电路，此电路在正弦稳态下，其输入阻抗为Z
15、、导纳为Y2022-7-2376当电路发生谐振时，端口电压、电流同相，即电路呈电阻性，所以输入导纳的虚部为0，即或并联谐振频率f0与串联谐振频率公式一样，与电阻没有关系，改变L、C可以改变谐振频率，一般用可调电容来调频。2022-7-2377（a）谐振时输入导纳最小，阻抗最大，电路呈电阻性。电容和电感相并联部分的支路相当于开路。谐振时输入导纳的虚部为零，01()YjR或（b）并联谐振时，在电流有效值IS不变的情况下，电压U为最大，且与电源电流同相。谐振时最大电压：2022-7-2378（c）并联谐振时 ，并联谐振也叫电流谐振。并联谐振时各元件上电流为:Q:品质因数品质因数2022-7-2379
16、不同Q值时的阻抗谐振曲线谐振时输入阻抗最大。2022-7-2380【例5.5.3】电路如图所示，外加电压含有400 Hz和1000 Hz两种频率的信号，若要滤掉1000 Hz的信号，使电阻R上只有400 Hz的信号，若L=100mH，C值应是多少？2022-7-2381【解】只要使1000Hz的信号在LC并联电路中产生并联谐振，该信号便无法通过，从而使上只有400Hz的信号，由谐振频率的公式求得LCZ2022-7-2382【例5.6.1】用戴维南定理求图(a)电路中电容支路的电流 。I(a)原电路 2022-7-2383【解】将电容支路开路，如图（b）所示，求开路电压U0 (b)求开路电压电路
17、2022-7-2384将理想电压源短路，如图（c）所示，求A、B之间的等效复阻抗Z00(38)32.460.72383jZjj（c）求等效复阻抗电路 从而得到戴维南等效电路如图(d)所示。（d）戴维南等效电路2022-7-2385【例5.6.2】图(a)正弦交流电路中，用叠加定理求电感支路的电流 。S35 0 AI 50R CL206XX，I2022-7-2386【解】令原电路的独立电源分别作用，如图(b)、(c)所示，则如图(b)S70 05A5 90 A620UIjZjj CSLC2035 050 A620jXjIIjXjXjj 如图(c)2022-7-2387设：i=Imsint，则：u
18、=Umsint瞬时功率瞬时功率(小写的p表示)：电阻元件吸收的瞬时功率p等于电压u与电流i的乘积。瞬时功率的单位是瓦特(W)。2022-7-23882022-7-2389图(b)的功率波形等效为一个长方形，长方形的高就是P。P表示瞬时功率p在一个周期内的平均值，称为平均功率平均功率(又称有功功率)（大写的P表示）。有功功率的单位是瓦特(W)。只有电阻有有功功率，电感和电容都没有有功功率。设：i=Imsint，则：u=Umsin（t+90）2022-7-2390电感的瞬时功率瞬时功率：电感的电压电流以的速度变化，功率以2的速度变化。2022-7-2391电感的有功功率有功功率（平均功率）：电感的
19、无功功率无功功率（大写的Q表示）：电感元件和电源之间互相交换的那部分能量，用无功功率来描述。大小等于瞬时功率的最大值。无功功率的单位为乏(Var)或千乏(kVar)电感元件L对直流电相当于短路（没有电压，所以没有无功功率）；对交流电表现为一个感抗：，用无功功率来描述它的能量。2022-7-2392设：i=Imsin(t+90)，则：u=Umsint2022-7-2393电容的瞬时功率瞬时功率：电容的电压电流以的速度变化，功率以2的速度变化。电容的有功功率有功功率（平均功率）：0011sin20TTPpdtUItdtTT2022-7-2394电容元件对直流电相当于开路（没有电流，所以没有无功功率
20、）。对交流电表现为一个容抗:用无功功率来描述它的能量。CCXUXIUIQ22无功功率无功功率Q：电源与电容间能量互换的规模用无功功率Q来衡量。电容的无功功率Q取负值，大小等于瞬时功率的最大值。2022-7-2395sin()sincoscos(2)cos 1cos(2)sinsin(2)mmpuiU IttUIUItUItUIt2022-7-2396根据电压三角形可得：根据电压三角形可得：RIIUUIPR2cosURU XU0011dcoscos(2)dTTPp tUIUIttTT cosUIP 所以所以coscos 称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。称为功率因数，用来衡量对电源的利用程
21、度。2022-7-2397一般地，对感性负载，00；对容性负载，-900，有Q0，cos1；完全补偿：完全补偿：电路呈电阻性，=0，cos=1；过补偿：过补偿：电路呈电容性，0，cos1。cos=1，一般情况下很难做到完全补偿，在角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态比较恰当。2022-7-23113【例5.7.3】有一台220 V，50 Hz，50 kW的电动机，功率因数为0.9。(1)在使用时，电源提供的电流是多少?无功功率是多少?(2)如欲使功率因数达到0.95，需要并联的电容器电容值是多少?此时电源提供的电流是多少?电源电流改变了多少？
22、电源提供的无功功率是多少?【解】（1）电源提供的电流：无功功率：2sin220 252.531 0.924.22varQUIk2022-7-23114(2)使功率因数提高到0.95时所需并联电容容量为3122250 10(tantan)(0.48 0.33)493.5F314 220PCU此时电源提供的电流：350 10A239.23Acos220 0.95PIU电源电流改变量：252.53 239.23A 13.3AI 电源提供的无功功率：2sin220 239.231 0.9516.43 varQUIk2022-7-23115无源二端网络电压相量和电流相量的共轭复数的乘积定义为该二端网络的复功率，记为 ，单位VA。S复功率是复数，它的模是视在功率，幅角是阻抗角，其实部是有功功率，虚部是无功功率。*2*2*()SUIZIII ZSUIU UYUU YU Y 或也可以表示为以下形式：*ZZZ()=cosjsinjuiSUIUIUIUIUIPQ2022-7-23116bbkkkk=1k=1()0SPjQ复功率、有功功率、无功功率是守恒的，视在功率不守恒。复功率守恒示例电路2022-7-23117
