1、x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,
2、222212NMPNPMd ,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式,),(zyxM)0,0,0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为定义：若曲面z与一三元方程F x y z(,)0满足：1曲面z上的点的坐标是F x y z(,)0的解 20),(zyxF解都在曲面z上 称F x y z(,)0为曲面z的方程，称z为F x y z(,)0的曲面 xyzO解建立球心在Mxyz0000(,)，半经为R的球面方程 设M x y
3、z(,)为球面上一点，则MMR0 又2020200zzyyxxMM Rzzyyxx202020即：2202020Rzzyyxx 这就是球面上的点所满足的方程，且不在球面上的点的坐标都不满足此方程。故此方程就是所求方程。解设点AB(,),(,)12 3214，求线段AB的垂直平分面的方程 设M x y z(,)为所求平面上一点，则AMBM 所以222321zyx 222412zyx两边平方化简得：07262zyx 这就是平面上的点所满足的方程，且不在此平面上的点的坐标都不满足此方程。故此方程就是所求方程。A作为点的轨迹的曲面，通常可用它的点的坐标间的关系来表示；B变量zyx,之间的一个方程，通常
4、也表示了一个曲面。因而在解析几何中，我们着眼于以下二问题的解决：1已知一曲面点的几何轨迹（图形），建立此曲面的方程；2已知方程，讨论该方程所表示的曲面 空间曲线的一般方程 对于方程组:C)1(0),(0),(zyxGzyxF xzyO1S2SC一方面：曲线C上的所有点应同时满足(1)；另一方面：满足(1)的解一定也在二曲面的公共曲线C上 以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM21MM00a0|a21MM|第二节第二节 矢量代数矢量代数矢量：矢量：矢量表示：矢量表示：矢量的模：向量的大小矢量的模：向量的大小.零矢量：模长为零矢量：模长为0的向量的向量.
5、既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.或或或或或或单位矢量单位矢量：模长为模长为1 1的向量的向量.自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.OMM负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a 向径：向径：非零向量非零向量 的的方向角方向角：a、,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.xyzo 1M 2M
6、 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 222|zyxaaaa PQR21212121RMQMPMMM 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa.cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为所求向量有两个，一个与所求向量
7、有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76|a,11|aa 0a,116117116kji 0a|aa .116117116kji 或或解解例例1 求平行于向量求平行于向量kjia676 的单位向量的分解式的单位向量的分解式.空间一矢量在轴上的投影空间一矢量在轴上的投影uAA BB ABjuPr向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos|AB uABA B B ABjuPrABju Pr cos|AB u 关于向量的投影定理关于向量的投影
8、定理证证cba abcababc|bac bac|bac 1 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向.abba cbacba )().(cba .0)(aa)(baba abb b cbabac )(ba ba ab矢量的加法符合下列运算规律：矢量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减法减法 设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为,0)1(a 与与a同向，同向，|aa ,0)2(
9、0 a,0)3(a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 数与矢量的乘积符合下列运算规律：数与矢量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)(（2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系 证证 充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ab 即有即有.同向同向与与此时此时ab aa
10、且且aab.b.的唯一性的唯一性，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)(a ，即即0 a ，故故0 .即即，0 a同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa.|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量是一个与原向量同方向的单位向量.例例 化简化简 53215abbba 53215abbbaba 551251)31(.252ba 解解 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到
11、点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW(其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例实例启示启示两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.定义定义关于数积的说明：关于数积的说明：0)2(ba.ba)(,0 ba,0|a,0|b,0cos .ba.|)1(2aaa )(,ba ,0cos .0cos|baba,0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2,2 数积符合下列运算规律：数积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbc
12、acba （3 3）),()()(bababa 若若 、为数为数：).()()(baba 若若 为数为数：,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ba0 zzyyxxbababa两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为 例例 1
13、1 已知已知4,1,1 a，2,2,1 b，求，求（1）ba；（2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影.ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 解解例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()(垂垂直直.cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(证证 设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点，有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处力力F与与OP的的夹夹角
14、角为为，力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面,指指向向符符合合右右手手系系.LFPQO 实例实例 sin|bac(其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义c 的方向既垂直于的方向既垂直于 a ，又垂直于，又垂直于 b ，指向符合，指向符合 右手系右手系.0)1(aa)0sin0(ba)2(/.0 ba)0,0(ba关于矢积的说明：关于矢积的说明：.abba .)(cbcacba （3）若若 为数：为数：).()()(bababa )(,0 ba,0|a,0|b,0sin ,0
15、 )(0sin .0sin|baba证证ba/ba/或或0 矢积符合下列运算规律：矢积符合下列运算规律：（2 2）分配律：）分配律：（1）,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 kkjjii,jik ,ikj ,kij .jki ,ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式矢积还可用三阶行列式表示矢积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000,0 yxaa
16、|ba 表表 示示 以以a和和b为为 邻邻 边边的的 平平 行行四四 边边形形 的的面面 积积.xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，abbac 例如，例如，补充补充例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc .5152 kj解解例例 4 4 在顶点为在顶点为)2,1,1(A、)2,6,5(B和和)1,3,1(C的三角形中，求的三角形中，求AC边上的高边上的高BD.ABCD3,4,0 AC0,5,4 AB|21AB
17、ACS 22216121521 ,225|AC,5)3(422|21BDS|AC|521225BD .5|BD三角形三角形ABC的面积为的面积为解解cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx ,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式设设定义定义acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac .0 cba（1）矢量混合积的几何意义：矢量混合积的几何意义：已知已知2 cba，计算计算)()()(accbba .)()()(accbba )()accbbbcaba ccbc
18、ccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba.4 例例解解例例 7 7 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD,求四面体的体积求四面体的体积.由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 解解,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141
19、413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.任一垂直于平面的非零向量称为该平面的垂线向量（法向量）垂线向量（法向量）.定义：平面上的任一向量都与其法向量垂直 由于：过直线外一点且与直线垂直的平面有且仅有一个过直线外一点且与直线垂直的平面有且仅有一个 因此，对一个平面来说，已知其上的任一点),(0000zyxM，和它的一个法向量,CBAn，则该平面便确定了),(zyxM为平面上任一异于0M的点，则nMM0 00MMn (1)反反之之，若00MMn，则MMn0 0M又，M 所以满足(1)的点M便
20、是平面上的点，同时平面上的点必满足(1),CBAn 0MM,CBAn，,0000zzyyxxMM 0)()()(000zzCyyBxxA .(2)称称(2)为为平平面面的的方方程程，称称为为(2)表表示示的的平平面面 又 该 平 面 是 由 点M xyz(,)000和 它 的 法 向 量M x y z(,)所确定，故称(2)为平面的点点法法式式方方程程 求过点为法向量的平面方程且以3,2,1)0,3,2(例1解由（2）得所求平面方程为：03)3(2)1(zyx即：0832zyx 解求过三点MMM12321413 20 2 3(,),(,),(,)的平面方程 因为法向量为平面上二向量之叉积且与方
21、向为下、上无关 设),(zyxM为平面上一点，则有0)(32211MMMMMM xyz2143462310即为所求平面方程 称 0232313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx为平面的三点式方程 返回问题：任意一个三元一次方程，是否可以表示一平面?设)1(0DCzByAx),(000zyx点为其上一点，即：)2(0000DCzByAx(1)-(2)得：)3(0)()()(000zzCyyBxxA(3)表示过点),(0000zyxM，法向量为,CBAn 的平面方程.又(1)(3)同解,因此(1)所表示的图形总是一个平面，称为平平面面的的一一般般式式方方程程 以,CBA为法向量
22、，过点CD,0,0 特别地：法向量为1,4,3 n,过点)9,0,0(1若A 0，缺少x，为一平行于x的平面，法向量 垂 直 于x轴，在x轴 上 投 影 为 零。对BC00,，同理 2D 0为过原点的平面 3若0 BA或0 CA，0 CB，表示平行于yozzoxxoy,面的平面 0943zyx解求过点(,)43 1 和x轴的平面 因为过x轴，法向量在x轴投影为 0，且过原点 0,0DA设该平面方程为：0DCzByAx 所以方程为0CzBy，)1,3,4(又过点，故：CB 3 yz30 为所求平面方程。xyzO1,3,4解求过点),0,0(),0,0(),0,0,(cRbQaP)0(abc的平面
23、方程 设所求方程为AxByCzD 0 代入以上三点得：cDCbDBaDA,又0,0Dabc，1czbyax为所求方程 称该方程为平面的截截距距式式方方程程 a b c,分分别别称称为为平平面面在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的截截距距 0,0 bc,0,0 xyzO0,0,a返回1.空间直线的一般式方程 设二相交平面0:11111DzCyBxA，0:22222DzCyBxA的交线为L xyzO1T2TL由于过空间同一直线的平面有无限多个，故可以也只须任取其中两个，将其联立起来得到的方程组即可表示 则L应满足方程组：)1(0022221111DzCyBxADzCyBxA 反过来，不在L上的点M，又
24、不可能是以上二方程的解 因此，直线L可由(1)表示，称(1)为空间直线L的一一般般式式方方程程 方向向量方向向量：任一平行于直线的非零向量称为直线的方向向量方向向量 直线上的任一向量平行于直线的方向向量，可视为方向向量 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，即：当已知直线上的一点),(0000zyxM和它的方向向量,pnms 时，直线L便完全确定了。xyzOsL0MMsMMzyxM/,),(0则为直线上任一点sMM/0反之若，则M一定位于直线上 又由sMM/0，得：xxmyynzzp000这便是由直线的点与方向向量所确定的方程，称之为直线的对对称称式式方方程程，也称为点点向向式式方方程程
25、 几点说明：A.其其中中若若m n p,中中有有一一个个或或二二个个为为零零，应应理理解解为为相相应应的的分分子子也也为为零零 xxmyynzzp000B.这这里里的的m n p,实实际际上上是是s的的在在三三个个轴轴向向上上的的坐坐标标，称称之之为为该该直直线线的的方方向向数数s的的方方向向余余弦弦称称为为直直线线的的方方向向余余弦弦 C.x y z,的系数的系数 1 xxmtyyntzzpt0003()D.若设若设以上比例式比值为以上比例式比值为 t，则可得：，则可得：称称之之为为直直线线的的参参数数式式方方程程 解将直线一般式方程)1(043201zyxzyx改写成对称式和参数式方程 因
26、为直线的方向向量与表示直线的二平面的法向量都垂直，故其方向向量s有：21nns312111kjikji34为求直线上一点，取1x，则由(1)得：632zyzy解之得：20zy 2,0,1为此直线上一点，故直线的对称式方程为：32141zyx令tzyx32141，得直线的参数式方程为：tztytx3241求过点Mxy zMxyz11112222(,),(,)的直线方程 因为方向向量21MMs，故由对称式得：,121121121zzzzyyyyxxxx称为直线的两两点点式式方方程程 例6解,121121121zzzzyyyyxxxx返回1T2T称两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角两平面的夹角（通
27、常指锐角）设有二平面：,0:11111DzCyBxA 0:22222DzCyBxA 则其法向量分别为：,22221111CBAnCBAn由点积与余弦关系得：222222212121212121cosCBACBACCBBAA特别地，若0,21212121CCBBAAnn则 解求xyzxyz260 250,的夹角 由上述公式，得其夹角有：222222112211121121cos21故3 可见，夹角与D无关 求过点MMxyz1211101 10(,),(,)且垂直于的平面方程 解设平面方程为 A xB yC z()()()1110(1)由nMM21（或过点2M）得：02 CA (2)又由1,1,1
28、n得：0CBA .(3)由(2)(3)得：CBCA2 代入方程(1)得：200 xyzC,()夹角：两直线方向向量的夹角称为两两直直线线的的夹夹角角。设,22221111pnmspnms为直线1L、2L的方向向量，则L L12,的夹角可由向量的点积得：222222212121212121cospnmpnmppnnmm注意222222212121212121cospnmpnmppnnmm夹角为02，且包含两直线相交与异面的情形 0.A21212121ppnnmmLL21212121/B.ppnnmmLL例9求二直线Lxyz11143:，Lxyz22221:的夹角 直线1L的方向向量为：1,4,1
29、；直线2L的方向向量为：1,2,2，所以1L、2L的夹角有：222222122141112421cos224解返回直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直直线与平面的夹角线与平面的夹角 定义：结论：直线与平面的法向量的夹角为2 L Ln特别地 直线为：pzznyymxx000，平面为：0DCzByAx 则：222222)2cos(pnmCBACpBnAm 222222sinpnmCBACpBnAmA直线与平面垂直pCnBmA B直线与平面平行0CpBnAm 解求过点(,)1 2 42340且与 xyz垂直的直线方程 因为直线的方向向量为平面的法向量1,3,2，故所求直线方程为：143221xxx
30、1,3,2 n返回解设),(0000zyxP0DCzByAx为外一点，求过Pd0到该平面的距离 1111,zyxP0000,zyxPCBAn,Nd如图，设1P为平面上任一点，则01PrjPPdn 又0101PrjPPnPPnn)()()(101010zzCyyBxxA)(111000CzByAxCzByAxDCzByAx000)(1Prj00022201DCzByAxCBAPPndAxByCzDABC000222该公式称为点点),(0000zyxP到到 平平面面0DCzByAx的的距距离离公公式式。点的距离到1)1,0,0(zyx：22211111d32返回设L由)2(0)1(02222111
31、1DzCyBxADzCyBxA给出，其中：111,CBA与222,CBA不对应成比例 则方程：A xB yC zDA xB yC zDR1111222203()()()具具有有以以下下特特点点：1因为111,CBA与222,CBA不对应成比例，故212121,CCBBAA不全为零，从而(3)表示了一个平面 过定直线L的全体平面称为平面束，而(3)表示除(2)的所有平面，称之为平平面面束束方方程程 例12解求直线0101zyxzyx在平面0zyx上的投影直线方程 设过已知直线的平面束方程为：2若点zyx,在L上，则满足 2,1，所以必满足 3，即 3是通过L的平面，而取不同的值，则表示过L的不同
32、的平面反之，任何过L的平面（除(2)）都可以用(3)表示 投影平面方程为:yz10所求直线方程为:yzxyz100即：()()()()11110 xyz 若该平面与xyz 0垂直，则有：01)1(1)1(1)1(，得：1 011zyxzyx返回作向量01MM，由勾股定理：例13如图，任取直线上一点,1M 求点),(0000zyxM到直线 pzznyymxx111的距离 0M1Md01PrjMMs法一)1()(Prj210210MMMMdss又由点积得：ssMMMM0101sPrj,代入(1)可求和距离。2M0M1Mds在直线上取两点1M、2M，作210MMM，则210MMM的面积S有：dMMS
33、212sin2101MMMM0121MMMM210121MMMMMMd0MdsP求过点M0且与l垂直的平面，解得交点P，由两点之间的距离公式求得（略）解求过点(,),3 2 543 251且与xzxyz的交线平行的直线方程 因为交线的方向向量s为由二平面法向量叉积的方向 512401kjiskji34由对称式得所求直线方程为：153243zyxs1n2n法一求241312zyx与62zyx之交点 联立解方程组62241312zyxzyx即可。利用参数式。令tzyx241312 则tx 2，ty 3，tz24 代入平面62zyx得：0624322ttt解之有：1t 故所求交点的坐标为：2,2,1
34、zyx。即：2,2,1 法二又由：03122312131zyxzyx 解求过点M)3,1,2(且与直线l：12131zyx垂直相交的直线方程 如图，由点法式得过点(,)2 13且垂直于已知直线l的平面方程为：031223zyx得交点：73,713,72 再由两点式得所求直线方程为：431122zyxsn返回试分析xyR222表示怎样的曲面?凡 是 过xoy平 面 内 园222Ryx上 一 点M x y(,)0且平行z轴的直线都在这个曲面上，这样，该曲面便可视为一平行于z轴的直线沿xoy平面上的圆xyR222平行移动而形成的.我们称之为圆圆柱柱面面，而xoy平面上的园222Ryx叫做它的准准线线
35、，平行于z轴的直线称之为母母线线 问：平行于定直线且沿定曲线C平行移动的直线L形成的轨迹，称为柱面，定曲线C称为准线，动直线L称为母线 xy22，0 yx表示怎样的曲面，在xoy面上表示什么？xyzOxyzOxy22xzOyxyzO只含x y,而缺少z的方程F x y(,)0表示母线平行于z轴，准线为xoy平面上的曲线C：F x y(,)0 只含zx,而缺少y的方程0,zxG表示母线平行于y轴，准线为xoz面上的曲线C：0,zxG。只含zy,不含x的方程0,zyH表示母线平行于x轴，准线为yoz面上的曲线C：0,zyH。表示0 zxyz10表示如：yxzOC0,yxFC0,zyHyxzOC0,
36、zxGOyxz返回一平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面，该直线称为旋转曲面的轴轴 定义：形成旋转曲面xyzO平面曲线C绕定轴旋转设yoz面上有一曲线C：f y z(,)0 绕z轴旋转一周，可得一旋转曲面，求此曲面方程。解设),0(111zyM为曲线C上一点，则0),(11zyf 当C绕z轴旋转时，1M转到另一点M x y z(,)，则zz1 而M到z轴与1M到z轴的距离相等，即：221yxyd化入（1）得：0),(22zyxf这便是所求旋转的方程 221yxy将将yoz面上有一曲线面上有一曲线f y z(,)0中中y换成了换成了22yx，z不变即得曲线绕不变即得
37、曲线绕z轴旋转的曲面方程轴旋转的曲面方程 同理，同理，将将yoz面 上有 一 曲线面 上有 一 曲线f y z(,)0中中z换 成 了换 成 了22zx，y不变即得曲线绕不变即得曲线绕y轴旋转的曲面方程轴旋转的曲面方程 一般地，一般地，欲求将平面曲线绕某轴旋转的曲面方程，只需将其对应的坐标不动，而另一变量换成其余二变量的完全平方和之正负方根的形式。即：zaxy2222()其中a22 cot 一直线绕另一条与它相交的直线旋转一周所得旋转面称为圆锥面，交点称为圆锥面的顶点，二直线的夹角称半顶角，试求顶点为原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为的圆锥面方程 解xyzO如图，依题意，在yoz平面上，直线的方
38、程为cot yz 故cot22xyz (1)这即是所求圆锥面方程。显然：锥面上的点都满足（1）式，（1）式的解都在锥面上，故（1）式为所求 解求xoz平面上的双曲线12222czax 绕zx,轴旋转一周所得到的旋转曲面方程 绕x轴旋转一周所成的曲面方程为：122222czyax绕z轴旋转一周所成的曲面方程为：122222czayx二者均称之为旋转双曲面旋转双曲面 xyzO图旋转双曲面yyxxzzO返回定义：用一系列平行于坐标面的平面与曲面相截，根据其截面形状综合得到曲面的形状，这种方法称之为截痕法截痕法 OxyzOxyz由方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面，a b c,称为椭
39、球面的三个半轴 讨论：1,1,1:12222220czbyax由有界性知：czbyax,故二次曲面是一个有限的图形，并被围在一个以cba2,2,2为长宽高的长方体之内 20对称性：是否关于原点对称？法：三坐标反号不变 是否关于坐标面对称？法：一坐标反号不变 是否关于坐标轴对称？法：二坐标反号不变 30截距：与三坐标轴的交点。法：令二变量为0，解另一变量 40与坐标面的截线。法：令一变量为 0，考查平面曲线 50平行截口：用一系列平行于坐标面的平面截曲面，考查其截口，以此显示其形状（关键）OxyzaabbccOxyz截面为同心椭圆Oxyz截面为同心椭圆Oxyz截面为同心椭圆讨论：由方程zqypx
40、2222,)0(qp所表示的曲面称为椭圆抛物面 0,10qp时，0z，图形在xoy面上方，yx,无限增大时，图形可延伸 zyx,20反号，可得图形关于yozzox,面对称，关于z轴对称。30过原点:40坐标面截口为原点与为抛物线与xoyyozxoz)2(,)1(:50平行截口;,)1(为一系列抛物线与yozxoz为椭圆与xoy)2(xyzO:40坐标面截口为原点与为抛物线与xoyyozxoz)2(,)1(:50平行截口;,)1(为一系列抛物线与yozxoz为椭圆与xoy)2(xyzO抛物面10pq为旋转抛物面旋转抛物面 xyzOxyzO旋转抛物面20p q,异号或者说由xpyqz p q222
41、2(,)同号表示双双曲曲抛抛物物面面或或鞍鞍形形曲曲面面 yxzO双曲抛物面xzO由1222222czbyax所表示的曲面为单叶双单叶双曲面曲面 定义：由xaybzc2222221 所表示的曲面为双双叶叶双双曲曲面面 有有一一个个“一一”为为单单叶叶双双曲曲面面，有有两两个个“一一”为为双双叶叶双双曲曲面面 特点：讨论方法类同，此略，其图如下：zxzyx16316)(3222为绕z轴旋转而成的旋转抛物面，解作由曲面316252222(),xyz zxy所围立体 2225yxz为 半经是 5 的上半球面。故其图如右：其交线为圆：xyz22163 xyzOxzyxzyxzyxzy因为：空间曲线可以
42、用参数方程xx tyy tzz t()()()()2表示。11tt 可得到一个点),(111zyx，随着在的变化可得到C上的全部点；2消去参数t可得到两个只含x y z,的方程，与一般式相一致 称(2)为空空间间曲曲线线的的参参数数方方程程 方程组：)2(6332)1(122zyxyx表示怎样的曲线？解(1)表示准线为xoy平面上的圆，母线平行于z轴的圆柱面；(2)则表示过点(3，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)的平面。其图如右 xyzO322解)4()2()2()3(222222ayaxyxaz表示何曲线?(3)表示一半球面(4)表示一圆柱面 故表示其交线。如右图：xyzORRR解若
43、空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴正向上升，（,v为常数），那么点M的轨迹构成的图形叫做螺旋线螺旋线，试建立该螺旋线方程 如图，取t为参数 则当时0t，)0,0,(aAM位于 设经任一时间段t后达到点M x y z(,)过M作xoyMM面，xyzAMMO即螺旋线的参数方程为：xatyatzvtcossin 则M位于圆柱面上，且 AOMt MAOMOxcostacosMAOMOysintasinMMzvt令t，（角为参数）得：vzayaxsincos每转过2，上升一确定高度hv 2，称为螺螺距距 设空间曲线C的一般方程为F x y zG x y z(
44、,)(,)()001 消去变量z得H x y(,)()02 则A满足(1)的x y z,(),()()一定满足即曲线在曲面上212；柱面(2)（投影柱面）与xoy平面的交线00),(zyxH称为曲曲线线(1)在在xoy面面上上的的投投影影 B曲面(2)是以xoy面上的曲线0,yxH为准线，母线平行于z轴（缺少z）的柱面（垂直于xoy平面）xyzO空间曲线C投影C1解求两球面：),5(1222zyx )6(1)1()1(222zyx的交线在xoy面上的投影方程 由(5)、(6)得：代入(5)得：02222yyx故所求投影方程为：002222zyyx1 zy前视右视顶视求由球面：224yxz和锥面：)(322yxz所围立体在xoy面上的投影 解 如图两式相减，可得交线：xyz2210故所求投影方程为：0122zyx2xyz1返回
