1、2系统描述中常用的基本概念系统描述中常用的基本概念n 系统的外部描述 传递函数n 系统的内部描述 状态空间描述3 1、外部描述、外部描述 经典控制理论中，系统一般可用常微分方程在时域经典控制理论中，系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入统，得到联系输入-输出关系的传递函数，基于传递函数输出关系的传递函数，基于传递函数设计设计SISO系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分系统极为有效，可从传递函
2、数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。函数不能包含系统的所有信息。42、内部描述、内部描述 由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、方向发展，所需利用的信息不局限
3、于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、可能处理复杂的时变、非线性、MIMO系统的问题，系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法：状态空间需要用新的对系统内部进行描述的新方法：状态空间分析法。分析法。5n状态空间分析法例子状态空间分析法例子n状态变量和状态矢量状态变量和状态矢量n状态空间和状态空间描述状态空间
4、和状态空间描述6一、状态空间分析法例子一、状态空间分析法例子1、R-L-C电网络系统电网络系统 解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选)(tiuidtidtdiLC1RRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出C1)(tuycidti1x2xidt7 为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵方程：1x2xLRLC1101x2xL10)(tudtdiLR1xLC12x)(tuL11xy2x)(tuc1x2xC1y1x2xC108一、状态空间分析法例子一、状态空间分析法例子2、机械系统的状态空间描述、机械系统的状态空间描述 外力 位移Ku(t)my(t)b)(tuymybky根据
5、牛顿力学原理yx 1 yx2令-弹性系数阻尼系数921xx)(12tumymbymkyx)(121tumxmbxmk1xy 动态方程如下动态方程如下10状态空间描述为：状态空间描述为：21xxmbmk1021xxum102101xxy11二、状态变量和状态矢量二、状态变量和状态矢量：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆时刻的初始状态能记忆系统在系统在 t=t0时输入的时间函数时输入的时间函数 ，那么，系统在，那么，系统在t=t0的任何瞬的任何瞬间的行为间的行为 就完
6、全确定了。就完全确定了。n最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方阶微分方程描述的含有程描述的含有n个独立变量的系统，当求得个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，必有变量不独立；若少于必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。，又不足以描述系统状态。100,nx txt u t 1nx txt，12 状态变量的选取具有非唯一性，即可用某状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变一
7、组、也可用另一组数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。改善系统性能的需要。13：把把 这几个状态变量看这几个状态变量看成是矢量成是矢量 的分量，则的分量，则 称为状态矢量。记作：称为状态矢量。记作：)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X )()(1txtxnX(t)X(t)或：或：)().,(),()(21txtxtxtnTX X
8、14：以状态变量以状态变量 为坐标为坐标轴所构成的轴所构成的n维空间。维空间。q在某一特定时刻在某一特定时刻t ，状态向量，状态向量 是状态空间的是状态空间的一个点。一个点。)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X：以以 为起点，随着时间的推移，为起点，随着时间的推移，在状态空间绘出的一条轨迹。在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX X)()(0ttX XX X 三、状态空间和状态空间描述三、状态空间和状态空间描述15状态空间描述状态空间描述 用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为组即为状态空间描述状态空间描述。状态空间描述是状态方
9、程、输出。状态空间描述是状态方程、输出方程的组合：方程的组合：（1）状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关）状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。系的数学表达式称为状态方程。（2）在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输）在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量入之间的函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。与状态变量和输入变量的因果关系。由于由于n阶系统有阶系统有n个独立状态变量，于是状态方程是个独立状态变量，于是状态方程是n个的一阶微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具个的一阶
10、微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态空间描述也有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态空间描述也不同，故系统的状态空间描述也具有非唯一性。不同，故系统的状态空间描述也具有非唯一性。16 在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即输入变量为阶跃函数，即u的导数为零。的导数为零。SISO线性定线性定常连续系统，其状态变量为常连续系统，其状态变量为 ，则，则一般形式的状态空间描述写作：一般形式的状态空间描述写作：(1-8)(1-9)式中常系数式中常系数 ；与系与系统特性有关。统特性有关。111,n
11、nnaabb，；，1nccd，；nxxx21ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111duxcxcxcynn221117方程（方程（1-8）、）、（1-9）可写成矩阵形式：可写成矩阵形式：12nxxxx12nbbbb输入矩阵，n1列矩阵。式中：式中：12nxxxxn维状态矢量111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA系统矩阵，nn矩阵。：输出矩阵，1n行矩阵），d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。12ncccc，uAxxbuxydc 18rnrnnnnnnnnrrnnrrnn
12、ubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax 22112211222212122221212121211112121111rmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy 2211221122221212222121212121111212111119,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn,212222111211 nrnnrrbbbbbbbbbB作作用用表表征征输输入入对对每每个个变变量量的的输输入入矩矩阵阵维维,rn 状态矢量维1
13、,T21nnxxxx输入矢量维1,T21ruuuurBuAxxDuCxy20,212222111211 mnmmnncccccccccC量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变输输出出矩矩阵阵维维nm ,212222111211 mrmmrrdddddddddD0D,通常传递关系表征输入对输出的直接直接传递矩阵又称为前馈矩阵维rm输出矢量维1,T21mmyyyy21 系统框图系统框图：B B C CA AD DU UX XX XY Y DUDUCXCXY YBUBUAXAXX X ik 注注:负反馈时为负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分器注：有几个状态变量，就建几个积分
14、器积分器积分器比例器比例器加法器加法器22,)t()t()t()t()t()t()t()t()t()t(212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn,)t()t()t()t()t()t()t()t()t()t(212222111211nrnnrrbbbbbbbbbB作作用用表表征征输输入入对对每每个个变变量量的的输输入入矩矩阵阵维维,rn 状态矢量维1,T21nnxxxx输入矢量维1,T21ruuuuruBxAx)t()t(uDxCy)t()t(23,)t()t()t()t()t()t()t()t()t()t(212222111211mnmmn
15、ncccccccccC量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变输输出出矩矩阵阵维维nm ,)t()t()t()t()t()t()t()t()t()t(212222111211mrmmrrdddddddddD0D,通常传递关系表征输入对输出的直接直接传递矩阵又称为前馈矩阵维rm输出矢量维1,T21mmyyyy24n状态空间描述的结构图绘制步骤：n画出所有积分器；n积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。n根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；n用箭头将这些元件连接起来。25例1-1 画出一阶微分方程的状态结构图。状态结构图状态结构图buax
16、x微分方程：微分方程：26系统系统系统系统271.3 1.3 状态空间描述的建立状态空间描述的建立建立状态空间描述的三个途径：建立状态空间描述的三个途径：1、由系统框图建立、由系统框图建立2、由系统物理或化学机理进行推导、由系统物理或化学机理进行推导3、由微分方程或传递函数演化而得、由微分方程或传递函数演化而得28一、由系统框图建立状态空间描述一、由系统框图建立状态空间描述uy4k111sTk122sTksTk33系统框图如下：系统框图如下：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换等效变换如下：等效变换如下：u11Tk11T22Tk3x 3x1x
17、 2x 2x1x21T33Tk4ky29图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：择积分环节后的变量为状态变量）：则有：则有：2131xTkx 3222221xTkxTx uTkxTxTkkx11311114311xy 写成矩阵形式：写成矩阵形式：uTkxxxTTkkTkTTkX1132111412223300101000X001y30系统系统31二、由系统机理建立状态空间描述二、由系统机理建立状态空间描述n步骤：步骤：n1)根据系统的机理建立相应的微分方程或根据系统的机理建立相应的微分方程或差分
18、方程；差分方程；n2)选择有关的物理量作为状态变量；选择有关的物理量作为状态变量；n3)导出状态空间表达式。导出状态空间表达式。32系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）（对角线标准型和约当标准型）33电路如图所示。建立该电路以电压电路如图所示。建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入量，为输入量，u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。图图L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+_ _+_ _i i1 1i i2
19、2R R2 2R R1 1L L1 11)1)选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，可以选择，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量，为状态变量，且两者是独立的。且两者是独立的。342 2）根据克希荷夫电压定律，列写）根据克希荷夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiLuAdtdidtdi 右回路右回路左回路左回路整理得：整理得：21211212121112122212121111111uRiRiuuiiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLR
20、dtdi 353 3）状态空间表达式为：）状态空间表达式为：212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR36试列出在外力试列出在外力f作作用下，以质量用下，以质量 的位移的位移 为输出的为输出的状态空间描述。状态空间描述。21,MM21,yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：2241132211,vyxvyxyxyx 11yk11yM 11yB)(122yyB 22yM )(122yyk f1M2M质量块受力图如下：质量块受力图如下
21、：37则有：则有：)()(122122111111yyByykykyByM 及：及：fyykyyByM )()(12212222 将所选的状态变量将所选的状态变量2241132211,vyxvyxyxyx代入上式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得：2211xyxy输出方程：输出方程：fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程：状态方程：38写成矩阵形式：写成矩阵形式：fMXMBMkMkMBMBBMkMkkX222221212121121211000010000100 432100100001x
22、xxxy391.4 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 及其几种标准形式及其几种标准形式 对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义，
23、从传递函数组成上可分存在与不存在零、极现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为最小实现。最小实现。本节先研究本节先研究SISO系统。系统。40ububububyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)(n n阶阶SISOSISO控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为
24、：可实现的条件：可实现的条件：mmnuxyuAxxdcb系统的传递函数为：系统的传递函数为：0111n0111mm)(asasasbsbsbsbsWnnmm 41当系统传递函数中m=n时，即应用长除法有0111n011n1nnn)(asasasbsbsbsbsWnn D(s)N(s)basasasssbsWnn n0111n011n1nn)(42式中 是直接联系输入、输出量的前馈系数，是严格有理真分式，其系数用综合除法得nb N sD s000111111nnnnnnba bba bbab其状态空间描述为其状态空间描述为nuyb uxAxbcx，(1-44)(1-45)式中A、b、c由实现方式
25、确定，其形式不变，唯输出方程中需增加一项 nb u43微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：ubyayayaynn001)1(1n)(系统的传递函数为：系统的传递函数为：0111n0)(asasasbsWnn 44 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的的输输入入及及 令令:uxaxaxaxxxxxxxxnnnnn121101322101yb11、标准、标准I型型45 状态方程为状态方程为:输出
26、方程为输出方程为:uxxxaaaxxxnnn100100102111021xy00b046 状态变量是输出状态变量是输出y及及y的各阶导数的各阶导数 系统矩阵系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分，最后一行为微分方程系数的负值，其它元素全为方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵或相伴矩阵。，称为友矩阵或相伴矩阵。0b0a 2xuy1xnxnx 1 nx1a 1 na2 na472、标准、标准II型型 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：)(0)0(,),0()
27、,0()1(tutyyyn的的输输入入及及 令令:nii1i0n01xy1-n,1,iyaxxubxax48 状态方程为状态方程为:输出方程为输出方程为:uxxxxaaaaxxxxnnnnnn000b10000000001001211210121xy100049 标准标准I型的型的A、b阵和标准阵和标准II型的型的A、c阵互为转置阵互为转置的关系，即：的关系，即：TIIITIIIbc,AA50)1(ububububyayayay011)(n1n(n)n011)(n1n(n)51设系统传递函数为：应用长除法有0111n011n1nnn)(asasasbsbsbsbsWnn 000111111nn
28、nnnnba bba bbab其中：D(s)N(s)basasasssbsWnn n0111n011n1nn)(52（1）能控）能控I型型引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项的微分方程，即 11101110nnnnnza zaz a zuyzzz(1-17)53定义如下一组状态变量1120nxz xzxz，(1-18)可得状态方程：1223101101121nnnnnxxxxxa za zazua xa xaxu 54输出方程为其向量-矩阵形式为式中0121010000100001naaaa A0001 b121nnxxxx x011nc0 11 21nnyxxx ubnu
29、yxAxbcx，ubn55)2(112n231n12n1uxxuxxuxxuyxnn式中系数式中系数 是待定系数是待定系数.n ,10)3(112n321n21uxxuxxuxxnn整理整理(2)式得式得:)4(n1012110uxyuxaxaxaxnnn由结构图可以看出由结构图可以看出:56联立联立(3)式和式和(4)式，即可式，即可求得状态空间表达式为：求得状态空间表达式为：uxaaaxn01n1101000010uxyn001A仍然是友矩阵仍然是友矩阵从中可以看出，状态空间表达式中不含有从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了的各阶导数了n ,.,210思路思路:由式由式(2)
30、可以看出，将可以看出，将y表示成表示成u的各阶导数和的各阶导数和x的形的形式，并代入式，并代入 原始微分方程式原始微分方程式(1)中中，根据，根据u及其各阶及其各阶导数的系数相等的原则求解：导数的系数相等的原则求解：57)5(12)2(1n)1(n)1(n1n2n3n1n2n1n2n1n1uuuuxyuuuxuuxyuuxuxyuxynnnn 由式由式(2)可以得到下式可以得到下式：在结构图中增加一个中间变量：在结构图中增加一个中间变量：)6(01uxxnn1 nx令令由式由式(5)和式和式(6)可求得：可求得：uuuuuxuuuuxynnnnnnn012)1(1n)(n112)1(1n)(n
31、)(7)58将式将式(5)和式和式(7)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：及其各阶导数的系数相等的原则可得到：n ,10)8(0n01n1221100n21n122nn111nn102111aaaabaababbxaxaxaxnnnnnnnnnnn为便于记忆，为便于记忆，将上式写成：将上式写成：011nn5960nnnnkknnnnbscscscscscscssssbsbsbsbs2q2q1q1q1111q1)1q(1q1q121q10111)()()()()()()(W不失一般性，讨论不失一般性，讨论此系统：此
32、系统：也有一个也有一个q重极点：重极点：n,2q1q1既有互异极点：既有互异极点：整理得整理得)1()()()()()(1qq11q1)1q(1sUbsUscsUscsYnniiijjj61)2(),2q,1q()(1)(nisUssXii)3(),2q,1q(niuxxiii令令拉氏反变换可得：拉氏反变换可得：系数系数 为待定系数，其中为待定系数，其中 ，采用，采用计算：计算：icni,.2,1 q1111)1(q)()(W)!1(1q,.,2,11ssdsdjLimCjjjsj时，当)(lim,.,2q,1qisissGcnii时，当62令令)4()q,.,2,1()()(1)(1q1js
33、UssXjj)1q,.,2,1()()(1)(q11jsUssXjj则：则：)5()q()(1)()1q,.,2,1(1)()(111jsUssXjssXsXjjj联立上两式得：联立上两式得：)6()q()1q,2,1(111juxxjxxxjjjjj拉氏反变换可得：拉氏反变换可得：)7(),.,2,1()()()(nisUbsXcsYniii联立联立(1)、(2)、(4)可得：可得：63ubxxxuxxxxxxxxxxxxnnnnnkkk 21n1q1112)1q(11q2q1qq212q1q1112121cccccc y11110000001001由由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述
34、为：可得状态空间描述为：64xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+-1 1-q+1q+1-n n-1 1-1 1 c11 c12 c1qcq+1 cn11x 12x q1x 1qx nx 651）SISO系统，用传递函数系统，用传递函数G(s)描述，描述，W(s)是一是一个元素；个元素；2）MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵传递函数矩阵W(s)，W(s)是一个矩阵，可以表是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；征多个输入对系统输出的影响；66DuCxyBuAxx 根据传递函数定义，对上式进行拉氏变换，并令根据传递函数定义，对上式
35、进行拉氏变换，并令 ，得式：，得式：0)0(0 xx)()()()()()(sDUsCXsYsBUsAXssX整理上式得：整理上式得：)()()(1sUDBAsICsY67mrmmrrDBAsICsUsYsWWWWWWWWW)()()()(W2122221112111注意矩阵求逆注意矩阵求逆定义传递函数矩阵：定义传递函数矩阵：1）dim(W(s)=mr，其中，其中dim()表示表示的维数。的维数。m是输出维数，是输出维数，r是输入维数。是输入维数。)()()(WsUsYsjiij2）W(s)的每个元素的含义：的每个元素的含义：表示第表示第i个输出中，由第个输出中，由第j个输入变量所引起个输入变
36、量所引起的输出和第的输出和第j个输入变量间的传递关系。个输入变量间的传递关系。3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的）同一系统，不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。是相同的。68求由求由 所表述系统的所表述系统的W(s)1120112012016116100010CBA，)det()()(1AsIAsIadjAsI 根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式：由传递函数矩阵公式得：由传递函数矩阵公式得：20120161161001112011)()(W11sssDBAsICs69 222316116)6(6161166116161161001sssssssssssssss求得：求得：求得传递
37、函数阵为：求得传递函数阵为：14173525644329461161)(W222223ssssssssssss701.6 离散时间系统的状态空间描述离散时间系统的状态空间描述 完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息；出量等都是离散信息；局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将
38、连续部分离散化；有用信息，故需将连续部分离散化；为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。711、由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程、由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程 经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为：1101101111nnny knay kna y ka y kb u knb u knbu kb u k式中式中 表示表
39、示 时刻，时刻，为采样周期；为采样周期；为为 时刻的输出量，时刻的输出量，为时刻为时刻 的输入量；的输入量；是与系统特性有关的常系数。是与系统特性有关的常系数。kkTT y k u k,iiabkTkT(1)72对式(1)进行 变换，整理为z 称为脉冲传递函数。显见式(2)与式(1-43)在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的。例如，引入中间变量 ，则有 11101110nnnnnz Q za z Q zazQ zaQ zu zy zz Q zzQ zQ z(2)(3)Q z初始条件为零时，离散函数的 变换关系为z ,izy kyzzy kiz yz 11101
40、11011101110nnnnnnnnnnnnnny zb zbzb zbG zu zzaza zaN zzzbbzaza zaD z)z(W)z(W73定义如下一组状态变量：12111nnnxzQ zxzzQ zzxzxzzQ zzxz于是 0 11 21nnnnzQ zzx zax zax za x zu z 0 11 21nny zx zx zx z(4)(5)(6)74利用 反变换关系 11,1iiiiZx zx kZzx zx kz由式(4)式(6)可得动态方程 122310 11 211111nnnnnx kx kx kx kxkx kx kax kax ka x ku k (8)
41、(7)0 11 21nny kx kx kx k75其矢量其矢量-矩阵形式为矩阵形式为 1122110121()010010()00101000011()01()1nnnnnx kx kx kxku kxkxkaaaaxkx k 011nnykxkb uk 76简记为 1kku kkkdu kxGxhycx 式中 为友矩阵，是可控标准形。由式(1-43)可见，离散系统状态方程描述了 时刻的状态与 时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了 时刻的输出量与 时刻的状态、输入量之间的关系。Gh 1kTkTGkTkT(1-43)771kkkkkkxG xH uyC xD u线性定常离散系统
42、的一般结构图如图1-26所示，图中T为单位延迟器，其输入为 时刻的状态，其输出为延迟一个采样周期的 时刻的状态。1kTkT (9)与连续系统的情况相类似，单输入-单输出线性定常离散系统的动态方程的形式可推广到多输入-多输出系统，有78例例 1-10 离散系统的差分方程为离散系统的差分方程为)(13)1(11)2(3)3(2)(6)1(5)2(2)3(kukukukukykykyky65212652131132)z(2322323zzzzzzzzzzzW于是直接写出它的一个状态空间描述（标准于是直接写出它的一个状态空间描述（标准I型）为型）为)()()(2)(111)()()()(100)(25
43、6100110)(kdukcxkukxkykhukGxkukxkx ，256100010G100h111c2d ，79：如果如果P是一个非奇异阵，则将是一个非奇异阵，则将 变换称为变换称为线性非奇异变换。线性非奇异变换。xTx：212121xxxTxT)xxT(kxxkT)xT(k叠加原理叠加原理齐次性条件齐次性条件通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角线通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角线或约当标准型。或约当标准型。80一、系统状态方程的非唯一性一、系统状态方程的非唯一性：同一系统的不同状态变量可以通过线性变换：同一系统的不同状态变量可以通过线性变换 互相得到。互相得到。xx1T
44、xxT1TT两组状态变量的关系：两组状态变量的关系：DuCxyBuAxx xxT uDxCyuBxAx其中：其中：DDCCBBAA,T,T,TT11P不同则得到不同的不同则得到不同的 。CBA,81例例1-12：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性 30,02,3120 CBA考虑系统考虑系统 为：为：),(CBA非奇异变换后非奇异变换后 ),(CBA1）若选择非奇异变换阵）若选择非奇异变换阵P为：为：0226T311021T1 06,10,3210 CBA结论结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性
45、非唯一性2）若选择非奇异变换阵）若选择非奇异变换阵P为：为：1112T2111T1 33,22,2001 CBA82对于系统矩阵对于系统矩阵A，若存在一非零向量，若存在一非零向量 ，使得：，使得：二、系统特征值的不变性和特征矢量二、系统特征值的不变性和特征矢量ppA则：则：矩阵矩阵A的特征值（的特征值（A特征方程的根）特征方程的根）矩阵矩阵A的特征方程的特征方程0|AI AI 矩阵矩阵A的特征矩阵的特征矩阵矩阵矩阵A对应于特征值对应于特征值 的特征矢量的特征矢量p 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式0111|aaaAInnn p使使 ，则称，则称 为为A的对应于的对应于 的特征矢量的特征矢量.
46、设设 为为A的一个特征值，若存在某个的一个特征值，若存在某个n维非零向量维非零向量 ，ipiiiApp：i niTniiii,3,2,1,pppp21ipi 83nn 3）对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。）对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。2）A为实数方阵，则其为实数方阵，则其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。个特征值或为实数，或为共轭复数对。系统系统2:特征多项式特征多项式 ，传递函数阵传递函数阵 系统系统1:特征多项式特征多项式 ，传递函数阵传递函数阵|AI ),(CBA),(CBA|AI )(sW)(W s则：则：且且|AIAI )(W)(Wss 其中
47、：其中：DBAsICs1)()(W845）若系统矩阵）若系统矩阵A具有形式：具有形式：110100001000010naaaA0111|aaaAInnn 则其特征多项式为：则其特征多项式为：特征方程为：特征方程为：0|0111 aaaAInnn 4）设）设 为系统矩阵为系统矩阵A的特征值的特征值,是是A属于特属于特征值的特征矢量。当征值的特征矢量。当 两两相异时，两两相异时，线线性无关，因此由这些特征矢量组成的矩阵性无关，因此由这些特征矢量组成的矩阵P必是非奇异的。必是非奇异的。n ,21np,p,p21n ,21nnnnnnnppppppppppppT21222211121121np,p,p
48、21852）对于每个特征值，计算其特征矢量。）对于每个特征值，计算其特征矢量。：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为为)(AIrankn 86 时特征矢量：时特征矢量：22 TAI)421(p0p)(222 时特征矢量：时特征矢量：22 TAI)931(p0p)(333 6116100010A 求下列矩阵求下列矩阵A的特征矢量。的特征矢量。1)计算特征值计算特征值 A的特征方程为：的特征方程为：0|AI A的特征值：的特征值：,，11 22 33 2）计算特征矢量）计算特征矢量 时特征矢量：时特征矢量：11 TAI)111(p0p)(111871）先求出
49、系统矩阵）先求出系统矩阵A的所有特征值。的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征矢量。并由此组成非奇）对于每个特征值，计算其特征矢量。并由此组成非奇异变换阵异变换阵T。3）由变换矩阵）由变换矩阵P和矩阵和矩阵A，B，C求出求出 ，其中对，其中对角阵角阵 可以由特征值直接写出，只需求出可以由特征值直接写出，只需求出 即可。即可。CBA,ACB,88 对于线性定常系统对于线性定常系统 ，如果，如果A特征值特征值 互异，互异，则必存在非奇异变换矩阵则必存在非奇异变换矩阵T，通过变换，通过变换 ，将原状态方，将原状态方程程 化为对角线规范形式化为对角线规范形式 。n ,21xxT),(CBA),(
50、CBA),(CBA：T,T,00TT1211CCBBAAn由特征值性质由特征值性质 4)知，由知，由A特征矢量构成的矩特征矢量构成的矩阵阵 是非奇异的，故可以选择是非奇异的，故可以选择T为变换阵。为变换阵。npppT2189TT1AA nnnnnnnAAAAA112122112121TppppppppppppT上式两端左乘上式两端左乘 得：得：1T111111110000TTTTA特征值定义特征值定义iiivAv 90 线性定常系统线性定常系统 ，其中：，其中：将此状态方程化为对角线标准型将此状态方程化为对角线标准型.BuAxx 327,120010112BA当当 时，时，2)确定非奇异矩阵确
