1、2022-7-2325.1 单输入单输出系统时域分析单输入单输出系统时域分析5.2 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解5.3 矩阵指数矩阵指数5.4 状态转移矩阵状态转移矩阵5.5 线性常系数非齐次状态方程的解线性常系数非齐次状态方程的解5.6 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性5.7 系统的可控标准型与可观测标准型系统的可控标准型与可观测标准型5.8 离散状态方程的解离散状态方程的解5.9 离散系统的可控性与可观测性离散系统的可控性与可观测性5.10 MATLAB在状态空间分析的应用在状态空间分析的应用5.11 工程实例中的时域分析工程实例中的时域分析2022
2、-7-2335.1 单输入单输出系统时域分析单输入单输出系统时域分析5.1.1 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应可用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，传递函数为可用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，传递函数为（T 是一阶系统的时间常数）是一阶系统的时间常数）oi()1()1XsX sTs一阶系统的两个例子一阶系统的两个例子kfRC(a)(b)(itu)(otuixox2022-7-234(1)一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应oi1()()()()()()()1W sXsG s X sG s LtG sTsTteTTsLsGLtw111)()(11图图5.2 一阶系统单位脉冲响应
3、一阶系统单位脉冲响应 一般把时间一般把时间4T称为系统的过渡称为系统的过渡过程。过程。T称为一阶系统的时间常数。称为一阶系统的时间常数。为了得到较高的测试精度，希为了得到较高的测试精度，希望脉冲信号的宽度望脉冲信号的宽度 h 比系统的时间比系统的时间常数常数T足够小，一般要求足够小，一般要求h0.1T。2022-7-235(2)一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃函数单位阶跃函数(5.4)0(1)()(1-otesXLtXTto时间响应时间响应stuLtutx1)(),()(i输出的拉氏变换sTssXsGsX111)()()(io一阶系统单位阶跃响应图一阶系统单位阶跃响应图02
4、46810121416182000.20.40.60.811.21.4Tttx-oe1)(T1斜率2022-7-236(3)一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应ii21(),()x tt X ss2oi22111()()()11TTXsG s X sTssssTso()(0)(5.5)tTx ttTTet io()()()(1)tTe tx tx tTe图图5.4 一阶系统单位斜坡响应一阶系统单位斜坡响应误差误差:2022-7-2375.1.2 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应典型二阶系统的传递函数典型二阶系统的传递函数2n22nn()(5.6)2G sss22nn21,2nn20
5、1sss 二阶系统的特征方程其特征根为2022-7-23821,2nn(1)01j1s 当时0(1)n2s1sj012n12022-7-239二阶系统特征根的分布图二阶系统特征根的分布图01s2sj1s(4)0)(21ssjn1(3)02sjn01s(2)1,2n(3)1s 当时1,2n(2)0js 当时21,2nn(4)11s 当时2022-7-2310(1)二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应ii()()()1x ttX s2211nn22222nnnn()2()(1)w tLLsss二阶系统的单位脉冲响应函数为二阶系统的单位脉冲响应函数为2dn1二阶系统的单位脉冲响应函数可分为下
6、面四种情况：二阶系统的单位脉冲响应函数可分为下面四种情况：有阻尼固有频率有阻尼固有频率:n1dnnd2222nd()esin(5.8)()11tw tLts(1)当当01，系统为过阻尼系统时，系统为过阻尼系统时2022-7-2312 二阶欠阻尼系统单位脉冲响应二阶欠阻尼系统单位脉冲响应2022-7-2313(4)二阶系统时间响应的性能指标二阶系统时间响应的性能指标n rd rdr211cossin1tett rror(1)()1tttx t上升时间当时，o()x tpM10rtst允许误差允许误差0.05或或0.02tptd rdr2cossin01tt2d r1tant 2022-7-231
7、4d rrd,tt即21arctan,令则d r,2,3,t的时间必定满足第一次到达稳态输出值)(otx2022-7-2315popod pd pd ppdd()(2)0d()sin0,0,2,t tx tttx ttttt峰值时间将的表达式代入上式得根据定义：)(0txpM10rtst允许误差允许误差0.05或或0.02tpt2022-7-2316opopo()-()(3)100%()x txMx最大超调量ndop2()1,cossin100%1-xMe 当21p100%(3.20)Me2022-7-2317（4）调整时间）调整时间ts05.002.0取是指定误差限度，一般)()()()(s
8、ooottxxtxsnsn00.740.0230.05tt当时2022-7-2318二阶系统计算举例二阶系统计算举例io(t)8.9N(),mx mx tm kc在质量块 上施加阶跃力后，的时间响应如图所示。试求系统的和 的值。k)(itx)(otxc)(ao()mx t)(b12340030.00290.stm2022-7-2319oi2i()18.9N(),(s)()XsG sXXsmscsks此系统的传递函数为稳态输出 0.0029m,)(-)(0.03m,)(opooxtxxooo200Laplace18.9()lim()lim()lim8.90.03tssxx ts Xssmscsk
9、sk 由变换的终值定理可得k求)1(297 N/mk 2022-7-2320oiio()()()8.9NN2970.03mm()xxxkx因为为静变形，所以即可视为静载荷p0.0029(2)100%9.6%0.03mM 求：0.6又求得，pp2n12nn2s,0.611.9677.3 kgttksmm将代入中，得。再由，求得6.02mkc22 0.677.3 297182(kg/s)cmk(3)求c:根据得2022-7-23215.2 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解Axx 00 xxtCxy 2022-7-23225.2.1 直接求解直接求解 kktttbbbbx2210其中
10、其中bi(i=1,2,.)为待定系数。当为待定系数。当 t=0 时时 00bxx设状态方程的解为设状态方程的解为数学的常数学的常用方法用方法21212301223)kkttKt(ttbbbbA bbbAxx 2022-7-2323001002210332001122!1133!1!kkkbxbAbAxbAbA xbAbA xbA x由初始条件及上式两边由初始条件及上式两边 t 的同次幂的系数相等可得的同次幂的系数相等可得21212301223)kkttKt(ttbbbbA bbb2022-7-23242 23 30111()2!3!k kttttkxIAAAAxkkttkttteAAAAIA!
11、1!31!2133220 xxAte将（将（5.31）这些系数）这些系数 bi 代入所设的解中，得代入所设的解中，得定义定义矩阵指数矩阵指数为为2012kkbbtb tb tx2022-7-232511220123xxxx010 x例例5.2 线性定常系统齐次状态方程为线性定常系统齐次状态方程为，且，且求齐次状态方程的解。求齐次状态方程的解。2 23 3232323233232112!3!1001010111012323232!3!371267752313322teItttttttttttttttttAAAA解：将解：将A阵代入式（阵代入式（5.33），即），即2022-7-2326所以：所以
12、：2323032322332371126()0775231332217233tttttttettttttttttt Axx 2 23 3232323233232112!3!1001010111012323232!3!371267752313322teItttttttttttttttttAAAA2022-7-23275.2.2 利用拉氏变换求解利用拉氏变换求解)()(0sssAXxX01)()(xAIX ss取拉氏反变换得取拉氏反变换得 011)(xA-IxsL)-(11AIAsLet0 xxAte又因为又因为所以得到指数矩阵所以得到指数矩阵Axx 2022-7-23283210A1()23ss
13、IAs13131(1)(2)(1)(2)1()22(3)2(1)(2)(1)(2)sssssssIAsss sssss例例5.3 试用拉氏变换法计算矩阵试用拉氏变换法计算矩阵A的矩阵指数。的矩阵指数。解：因为解：因为)-(11AIAsLet2022-7-2329ttttttttAteeeeeeeessssssssLe2222122222211221221112112)-(11AIAsLet又因为又因为查拉斯反变查拉斯反变换表换表，故有，故有2022-7-23305.3 矩阵指数矩阵指数)t(teeeAA）（15.3.1 矩阵指数的一般性质矩阵指数的一般性质IA02 e）（IAA ttee）（3
14、，进而可知，进而可知 1tteeAAteAddttteeetAAAAA（4）矩阵指数）矩阵指数对时间对时间t求导一次，有求导一次，有 1ddddtttteeeettAAAAA2022-7-2331221120ttteeeA22221010d1202d020tttttteeeeteeAAA例例5.4 已知某系统的矩阵指数为已知某系统的矩阵指数为试求系统矩阵试求系统矩阵A。解：根据（解：根据（5.47）式，则）式，则2022-7-2332(5)(5)如果如果 AB=BA,则则ttteeeBABA)(2022-7-23335.3.2 特殊矩阵指数的性质特殊矩阵指数的性质(1)(1)如果矩阵如果矩阵A
15、有不相等的特征值有不相等的特征值1 1,2 2,n n,是由是由 A 经相似变换得来的对角矩阵经相似变换得来的对角矩阵(相似变相似变 换不改变特征值换不改变特征值)A),(diag21nA),(diag21ttttneeeeA那么：那么：12000000000000nA2022-7-2334(2)如果矩阵如果矩阵 A 有不相等的特征值有不相等的特征值1,2,n，那么存在非奇异矩阵那么存在非奇异矩阵P,使得使得或者记为：或者记为：121ntttteeeeAPP1tteeAAPP2022-7-233551166116110A116116(1)(2)(3)06115IA例例5.5：已知矩阵已知矩阵:
16、Ate求矩阵指数求矩阵指数 。解：首先求解：首先求A的特征值的特征值2022-7-23361122331011p4212p9613p941620111P123134322531P所以所以A的特征值为的特征值为然后求对应的特征向量可得然后求对应的特征向量可得由此求得变换矩阵由此求得变换矩阵P()0iiIA P2022-7-233721323232332323232323000000533342322668966527312916212922tttttttttttttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeAPP所以矩阵指数所以矩阵指数2022-7-2
17、338(3)如果如果 Ji 为如下形式的为如下形式的 mm 阶矩阵子块阶矩阵子块10010iiiim mJ则称其为则称其为约当块约当块或称其为或称其为约当子块约当子块。2022-7-233910001)!2(1)!1(21212tmttmttteeimimttiiiiJ约当块的矩阵指数为约当块的矩阵指数为2022-7-2340ttttkeeeeJJJJ0021kJJJJ0000021(4)如果约当矩阵如果约当矩阵 J 有如下形式有如下形式那么那么2022-7-2341例例5.6 求下列约当矩阵的矩阵指数求下列约当矩阵的矩阵指数 100020012J解解 矩阵矩阵J中有一个中有一个22的约当块的
18、约当块1=-2和和 一个一个11的约当块的约当块2=-1。2022-7-2342ttttteeteee00000222J所以，由性质（所以，由性质（3 3）、（）、（4 4）可得：）可得：ttttkeeeeJJJJ002110001)!2(1)!1(21212tmttmttteeimimttiiiiJ2022-7-2343(5)如果如果 nn 矩阵矩阵 A 有重特征值有重特征值,可将可将 A 变变 换成约当矩阵换成约当矩阵 J,即即1JJJPAP那么那么 1ttJJePe PAJ2022-7-2344 例例5.7 5.7 求下列矩阵求下列矩阵A的矩阵指数的矩阵指数 584100010A解解 由
19、由|A i I|=0 求得求得A的特征值为的特征值为 1=2=-2,3=-1,故其约当矩阵及其指数为故其约当矩阵及其指数为ttttteeteee00000100020012222JJ2022-7-2345可求得可求得P及及P-1 为为1111110211231401441 PP222222222222222222111011021100231401004413223444456424844ttttttttttttttttttttttttteteeeeeteeteeeteeeteeeteeeteeeteee A221244tttttteetee11()0IA P221()IA PP33()0IA
20、 P2022-7-234600AAcossinsincostttettAcossinsincostttttteeeettBA（6）设）设，则有，则有2022-7-2347teA10()ntiiietAA()it121011112211()1()1()1nntntntnnntetete（7）矩阵指数）矩阵指数可表示为有限项之和可表示为有限项之和其中，当其中，当A的的n个特征根互不相等时，个特征根互不相等时，满足：满足：2022-7-23485.4 状态转移矩阵状态转移矩阵5.4.1 基本概念基本概念0()0()()t ttetAxx对于定常系统，前面式（对于定常系统，前面式（5.35），即），即
21、反映了两个方面的问题：反映了两个方面的问题：(1)x(t)是齐次状态方程的解，是由状态初始值所引起的系是齐次状态方程的解，是由状态初始值所引起的系 统状态的自由解；统状态的自由解；(2)它反映了从初始状态向量它反映了从初始状态向量x(t0)到任意到任意tt0时，向量时，向量x(t)的的 一种向量变换关系。一种向量变换关系。0()t teA0()tt 变换矩阵是变换矩阵是x(t0)左边的时间函数矩阵，随着时间的左边的时间函数矩阵，随着时间的推移，它将不断地把状态的初始值变换为其他时间的值，推移，它将不断地把状态的初始值变换为其他时间的值，从而在状态空间中形成一条轨迹。在这个意义上说，这从而在状态
22、空间中形成一条轨迹。在这个意义上说，这个变换矩阵起着一种状态转移的作用，所以把个变换矩阵起着一种状态转移的作用，所以把称作为称作为状态转移矩阵状态转移矩阵，用符号，用符号表示。表示。2022-7-23495.4.2 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质0()tt00d()()()dttttttA00()ttI211020()()()tttttt0()tt0()tt100()()tttt（1）状态转移矩阵）状态转移矩阵满足矩阵微分方程满足矩阵微分方程和初始条件和初始条件 （2）（3）有逆，且其逆为有逆，且其逆为，即，即（5.65）2022-7-23505.5 线性常系数非齐次状态方程的解线性常系
23、数非齐次状态方程的解)()()(tttBuAxx5.5.1 5.5.1 直接求解法直接求解法)()()(tettettBuAxxAA)()(ddtetetttBuxAA2022-7-2351ttttee00d)()(BuxAA)d()()(000BuxxAAAttttetetetttttetetx00d)()()()(0)(uBxAA)()(ddtetetttBuxAA2022-7-2352()0()(0)()dtttteeAAxxBu当初始时刻当初始时刻t0=0时，（时，（5.73）变为）变为tttttetetx00d)()()()(0)(uBxAA()()u tKt00000000()()
24、d()d()dtttttttttttee eKeeeKeeKeeK AAAAAAAAAAxxBxBxIBxB当当u(t)为几种典型的控制输入时，（为几种典型的控制输入时，（5.75）有如下形式。）有如下形式。（1）脉冲信号输入，即）脉冲信号输入，即 即即 0()()tteKAxxB （5.77）2022-7-2353()1()u tKt00001100()1()dd()ttttttttttttee eKeeeKeeeKeeKAAAAAAAAAAAxxBxBxIA BxI A B10()()ttteeKAAxxI A B()u tKt210()()ttteetKAAxxAIAB（2）阶跃信号输入
25、，即）阶跃信号输入，即 即即（3）斜坡信号输入，即）斜坡信号输入，即，可以求得，可以求得 （5.80）（5.79）2022-7-2354010()()()231ttu t xx(0)x0例例5.8 求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出。求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出。，10()()ttteeKAAxxI A B000 x01 B1K 113101222310A22222222ttttttttteeeeeeeeeA2222223111021()122221222110tttttttttttteeeeeeteeeeee x解：根据（解：根据（5.79）式）式其中，其中，在例在例5.3
26、中已求得中已求得故故 2022-7-2355024681000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5时 间 轴x代表x1,-*代表x2图图5.14 系统状态轨迹图系统状态轨迹图2022-7-23565.5.2 利用拉氏变换求解利用拉氏变换求解)()()0()(ssssBUAXxX)()0()(11sssBUAsIxAIX1111()()(0)()()tLsLssxIA xIA BU由状态方程可得设初始状态为 (0),x)()()(tttBuAxx2022-7-2357 例例5.95.9设系统的状态方程为设系统的状态方程为 uxxxx1032102121)0(0)(
27、0)21xxx输入输入u为为单位阶跃函数单位阶跃函数，求此系统状态方程的解。，求此系统状态方程的解。2022-7-2358 解解 用拉氏变换求解，因为用拉氏变换求解，因为321-ssA-sI232-13)(21-ssssA-sI1()U ss1111()()(0)()()tLsLssxIA xIA BU2022-7-2359(0)(0)2-13231)(212xxsssssXsssss1102-132312)23(2)3(123(0)(0)2-23(0)(0)3)(22221221ssssssssssxxssxxs2022-7-2360t-tt-texxexxe/xxexx/txtx22121
28、2212121 1(0)2(0)2 1(0)(0)221(0)(0)1(0)(0)221)()(两边取拉氏反变换，得状态方程的解为两边取拉氏反变换，得状态方程的解为2022-7-23615.6 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性 1960年由卡尔曼（年由卡尔曼（Kalman）最先提出的系统的）最先提出的系统的能控性与能观性，已成为控制系统中的两个基础性概能控性与能观性，已成为控制系统中的两个基础性概念，特别是多变量系统，必须回答的两个基本问题是：念，特别是多变量系统，必须回答的两个基本问题是：一、在有限的时间内，控制作用能否使系统从初始状一、在有限的时间内，控制作用能否使系统
29、从初始状态转移到要求的状态？态转移到要求的状态？二、在有限的时间内，能否通过对系统输出的测二、在有限的时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？定来估计系统的初始状态？2022-7-23625.6.1 线性连续系统的可控性判别准则线性连续系统的可控性判别准则(1)第一种形式的可控性判据第一种形式的可控性判据 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 uBAxx初始状态初始状态 x(t0)终端状态终端状态 x(te)2022-7-2363tttttetetx00d)()()()(0)(uBxAA由由5.735.73式知式知 的解为的解为uBAxx由于由于 x(te)=0，令，令 t=te
30、 00()0()d0eeetttttex teuAAB 00()0detttx teu AB2022-7-2364 10njjjaeAA 0100dentjjtjtau xA B 00()0detttx teu AB根据矩阵指数的定义：根据矩阵指数的定义：0detjjtau令令(j=0,1,2,n-1)2022-7-2365 100210121njjjnnt xA BBABA BAB012121nn BABA BAB 0100dentjjtjtau xA B2022-7-2366若若 nn 矩阵矩阵 21cnQBABA BAB满秩满秩,即即 cRanknQ系统可控，否则不可控。系统可控，否则不
31、可控。则则 有解有解j结论：结论：2022-7-2367例例5.10 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 uxxxx0110122121确定它的可控性。确定它的可控性。解解 cc12Rank1200 QQ21cnQBABA BAB不可控。不可控。2022-7-2368(2)第二种形式的可控性判据第二种形式的可控性判据Bunnnxxxxxx21212100式中式中 i(i=1,2,.n)是系统的相互不等的特征值。是系统的相互不等的特征值。如果系统的输入矩阵如果系统的输入矩阵B中没有一中没有一行行是全为零是全为零时时,则系统是可控的，否则不可控。则系统是可控的，否则不可控。2022-7-2369
32、例例5.11确定下述系统的可控性。确定下述系统的可控性。u702300050007321321xxxxxx解解 B 中第二行为中第二行为0，不可控。，不可控。2022-7-2370BuxJJJxk2001 B 中对应每个约当块中对应每个约当块 Ji(i=1,.,k)最后一行的最后一行的元素不全为零时元素不全为零时,则系统可控，否则不可控。则系统可控，否则不可控。对于状态方程为如下约当标准型对于状态方程为如下约当标准型(3)第三种形式的可控性判据第三种形式的可控性判据2022-7-2371例例 5.12 确定下列系统是否可控。确定下列系统是否可控。11122332110420100000230u
33、u xxxxxxuxxxxxxxxxx0312450000150000020000120000125432154321（1）（2）2022-7-23725.6.2 线性连续系统的可观测性判别准则线性连续系统的可观测性判别准则(1)第一种形式可观测性判据第一种形式可观测性判据 e0()()ttyx系统的输出为系统的输出为ee()()ttyCx ee0e0e0dttttttex teuAAyCCB ee0eedtttK ty teuACB由观测时刻的输出由观测时刻的输出 系统的初始状态系统的初始状态设设则则2022-7-2373 e0e0ttK tex tACe010nttjjjeaAA 1e00
34、102001110:njjjnnnK tax tx txtaaaxt CACCAIIICA2022-7-2374o1:nCCAQCAoRanknQ因此系统可观测性的判据为矩阵因此系统可观测性的判据为矩阵 Qo 是否满秩。是否满秩。即即 2022-7-2375例例5.13 确定下列系统的可观测性确定下列系统的可观测性11221122211131101 0 xxuxxyxyx解解 o10102111Q显然，显然，Rank Qo=2=n，满秩，此系统可测。，满秩，此系统可测。2022-7-2376(2)第二种形式可观测性判据第二种形式可观测性判据 1200nxxBuyCx在输出矩阵在输出矩阵C中没有
35、全为零的中没有全为零的列列，则系统是可观测的。，则系统是可观测的。2022-7-2377例例5.14 试确定下列系统是否可观测。试确定下列系统是否可观测。321321100050007xxxxxx321540yxxx解解 的第一列为零，此系统不可观测。的第一列为零，此系统不可观测。2022-7-2378如果系统有重根如果系统有重根,其状态方程和输出方程其状态方程和输出方程12kJ0JxxBuyCx0J 输出矩阵输出矩阵 C 中与各约当块中与各约当块 Ji(i=1，2，.，k)首列首列所相对所相对应列的元素不全为零应列的元素不全为零,则系统是可观测。则系统是可观测。（3）第三种形式的可观测性判据
36、）第三种形式的可观测性判据2022-7-2379例例 5.15 试确定下列系统是否可观测试确定下列系统是否可观测 112212310310 xxxxxyx解解 C 中第一列不为零中第一列不为零,所以系统可测。所以系统可测。2022-7-23805.6.3 可控性与可观测性的对偶关系可控性与可观测性的对偶关系11111()()()()()tttttxAxBuyCxTT222T22()()()()()tttttxA xC uyB x设系统设系统的状态空间表达式为的状态空间表达式为若系统若系统的状态空间表达式为的状态空间表达式为 则称系统则称系统 和系统和系统是互为对偶的，即系统是互为对偶的，即系统
37、 是是系统系统的对偶系统，反之，系统的对偶系统，反之，系统是系统是系统 的对偶系统。的对偶系统。2022-7-2381：系统系统状态完全能控的充要条件状态完全能控的充要条件是对偶系统是对偶系统的状态完全能观测；系统的状态完全能观测；系统状状态完全能观测的充要条件是对偶系统态完全能观测的充要条件是对偶系统状态状态完全能控。完全能控。21c1nQBABA BAB证明：系统证明：系统的可控性和可观测性矩阵分别为的可控性和可观测性矩阵分别为o11:nCCAQCA2022-7-2382TTTTT1Tc21():nnCCAQCA CACCATTTT1o2TT1()nnBB AQBABABBAc1o2Ran
38、kRankQQo1c2RankRankQQ系统系统的可控性和可观测性矩阵分别为的可控性和可观测性矩阵分别为所以所以 2022-7-23835.7 系统的可控标准型与可观测标准型系统的可控标准型与可观测标准型5.7.1 系统的可控标准型系统的可控标准型（1）单输入单输出系统的可控标准型）单输入单输出系统的可控标准型设设A的特征多项式为的特征多项式为 0111aaannnAIF()()()()()()ttu ty ttDu txAxBCx2022-7-238401210100000100,000101naaaa AB其可控标准型为其可控标准型为 2022-7-2385121232111101001
39、000nnnaaaaaaTBABA BAB式中，式中，ai(i=1,2,n-1)是系数矩阵是系数矩阵A的特征多项式系数。的特征多项式系数。线性等效变换后，可控标准型为线性等效变换后，可控标准型为()()()()()()ttu ty ttDu txAxBCx2022-7-2386111ATATBTBCCTxTx()()()()()()ttu ty ttDu txAxBCx2022-7-2387例例5.16 1010010110011 10uy xxx解：解：首先题目已知该系统是可控的，下面我们开始首先题目已知该系统是可控的，下面我们开始将其化成可控标准型。（将其化成可控标准型。（注意：注意：如果
40、题目没有告诉如果题目没有告诉是否可控，必须首先判断其可控性，因为不可控系是否可控，必须首先判断其可控性，因为不可控系统是不存在可控标准型的。）统是不存在可控标准型的。）2022-7-238832()IA21F02,a 10,a 22,a 31a（1）A的特征多项式为的特征多项式为 122110100011021110111210111101100121aaa 2TBABA B2022-7-238911110111111211121312 T1101 10111201121 CCTC010000101021u xx201y x2022-7-2390()()()()()()ttttttxAxBuy
41、CxDu 0111aaannnAIF2022-7-2391011rrrrrrrrnraaa0I0A00IIIIrrr0B0I2022-7-23925.7.2 系统的可观标准型系统的可观标准型()()()()()()ttu ty ttDu txAxBCx 设设A的特征多项式为的特征多项式为 0111aaannnAIF2022-7-23930121000100010001naaaaA001C2022-7-239411212311101000naaaaanCCAPCA式中，式中，ai(i=1,2,n-1)是系数矩阵是系数矩阵A的特征多项式系数。的特征多项式系数。()()()()()()ttu ttt
42、Du txAxByCx2022-7-2395其中，其中，111AP APBP BCCPxP x()()()()()()ttu tttDu txAxByCx2022-7-2396例例 5.17 将下列系统的状态空间表达式变将下列系统的状态空间表达式变成可观测标准型。成可观测标准型。11221210112101xxuxxxyx 解解 o0112Q满秩，所以系统是可测的。满秩，所以系统是可测的。oRank2Q2022-7-2397113101111110120101 P11101P1111101102011201131110011101 AP APBP BC2022-7-239802013101uy
43、 xxx2022-7-2399()()()()()()ttttttxAxBuyCxDu设设A的特征多项式为的特征多项式为 0111aaannnAIF2022-7-23100011mmmmmmmmnmaaa00II0IA0IImmmC00I 2022-7-231015.85.8离散状态方程的解离散状态方程的解 1.1.递推法递推法上述上述 ，即为状态方程在各采样时即为状态方程在各采样时刻的解刻的解 1x 2x 3x 2100223100112001232HuGHuHuGxGHuGxxHuGHuxGHuGxxHuGxx2022-7-23102可表示为可表示为 1010kjjkkjkHuGxGx2.
44、2.Z 变换法变换法 对对 方程两边作方程两边作Z变换得变换得 kkkHuGxx1 zzzzzHUGXxX02022-7-23103 zzzzHUxGIX0即即 zzzzzHUGIxGIX110作作Z反变换反变换,得离散状态方程解的表达式为得离散状态方程解的表达式为 zzzzkHUGIZxGIZx111102022-7-23104zzk11GIZG比较式比较式(5.130)和和(5.132)得得 10111njjkzzjHUGIZHUG线性定常离散系统的特征方程为线性定常离散系统的特征方程为 0z IG 它的根即为特征根，只有它的所有的特征根都在它的根即为特征根，只有它的所有的特征根都在平面以
45、原点为圆心的单位圆内，系统才是稳定的。平面以原点为圆心的单位圆内，系统才是稳定的。2022-7-23105例例5.18 求下列离散系统的单位阶跃响应求下列离散系统的单位阶跃响应 kkkHuGxx1其中其中11H010.161G初始条件为初始条件为 1100021xxx2022-7-23106 解解 1111601z.zzGI因此可求因此可求 zzk11GIZG zzzzHUxGIX01 zzzzkHUGIZxGIZx111102022-7-23107计算计算 zzHUx0 1zzkzuZU因此因此 zzHUx0可求可求 1kzxZX进而可求进而可求 kx2022-7-231085.9 5.9
46、离散系统的可控性与可观测性离散系统的可控性与可观测性设多输入多输出离散系统的状态方程和输设多输入多输出离散系统的状态方程和输出方程为出方程为 kkkHuGxy1 kkCxy定义：定义：如果在有限个采样间隔内如果在有限个采样间隔内 ,TTnk0存在阶梯形控制信号存在阶梯形控制信号 ,ku使状态使状态 kx由任意初始状态开始，由任意初始状态开始，在时在时TTnk为零，那么上式所示系统是状态可控的。为零，那么上式所示系统是状态可控的。5.9.1 5.9.1 线性离散系统的可控性线性离散系统的可控性2022-7-23109离散系统解的形式为离散系统解的形式为 1010kjjkkjkHuGxGx因终点状
47、态因终点状态 ，所以上式变为，所以上式变为 0nx 10100njjnnjHuGxG2022-7-23110因因 是非奇异矩阵，上式可写成是非奇异矩阵，上式可写成G 110110011121101nnjnnnjjuuuHGHGHGHuGHuGHuGHuGx2022-7-23111上式有解的条件是下面的矩阵满秩上式有解的条件是下面的矩阵满秩HGHGHQ11na或或1naQHGHGH系统可控的充要条件是下列系统可控的充要条件是下列矩阵矩阵 满秩。满秩。rnnaQ1naQHGHGH2022-7-231125.9.2 5.9.2 线性离散系统的可测性线性离散系统的可测性设离散系统的状态方程为设离散系统
48、的状态方程为 kkkkCxyGxx1解为解为 0 xGxkk 因此可得因此可得 0 xCGykk 2022-7-23113将已测出的输出向量值将已测出的输出向量值 ,代入上式得代入上式得 0y 1y1ny 0101001xCGyCGxyCxynn 有解的条件是如下有解的条件是如下 矩阵矩阵 满满秩。秩。0 xnmn0Q10nCGCGCQ2022-7-23114 例例5.5.1919 判断下述系统的可控性与可测性。判断下述系统的可控性与可测性。kkkkkuxxxx101211112121 kkk2101xxy2022-7-231151110GHHQa 解解 是满秩的，所以系统可控。是满秩的，所以系统可控。可测性判别矩阵为可测性判别矩阵为11010CGCQ满秩，所以系统是可测的。满秩，所以系统是可测的。
