1、有限元方法及其应用能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 授课教师：关玉璞 办公室：动力楼333室 Tel：84890515 84892202-2333 Mobile：13814094531 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 课程简介 本课程是一门专业选修课程 航空宇航推进理论与工程 动力机械及工程 机械设计及理论 车辆工程能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 课程简介 本课程是一门应用基础课程 以现代力学和应用数学为基础，以计算机及技术为工具，以求解现代工程和科学技术中的力学问题为目标，研究离散化理论和求解方程，伴随计
2、算机出现而兴起和发展，在许多领域得到广泛需求和应用。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 课程简介 本课程内容丰富充实 介绍有限元法的数学基础变分原理；讨论连续体结构的有限元分析，包括平面问题、轴对称问题和空间问题；将线性有限元法推广至非线性有限元法，包括弹塑性问题有限元法和有限变形问题有限元法。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 学习目标 熟悉并掌握有限元法的数学基础，丰富与掌握常用单元的特性与总体分析方法，掌握有限元分析数值解的有关性质和复杂单元的实现技术，了解非线性有限元法的基本概念、基本方程与求解方法。初步学会使用一种通用结构分析有限元
3、软件。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 教材及参考书 航空航天结构有限元法 关玉璞主编 哈尔滨工业大学出版社 有限元分析及应用 曾 攀主编 清华大学出版社能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 教材及参考书 The Finite Element Method O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor 世界图书出版公司 有限元分析的概念与应用 R.D.Cook,D.S.Malkus,M.E.Plesha,etc 关正西，强洪夫，王铁军等译 西安交通大学出版社能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 第1章 绪论1.
4、1 有限元法的发展简史1.2 弹性力学的基本概念1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 求解微分方程的数值计算方法。优点：理论完善，物理意义直观明确，解题效率高等。随着电子计算机的发展和应用，有限元法已经成为解决许多科学和工程实际问题的有效工具。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 1943年，数学家Courant 应用定义在三角形区域上的分片连续函数，与最小势能原理相结合，来求解St.Venant扭转问题。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515
5、 1.1 有限元法的发展简史 1955年，Argyris和Kelsey 利用最小势能原理，得到了系统的刚度方程，推广杆系结构矩阵分析法，对连续结构进行了分析。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 1956年，波音公司Turner,Clough,Martin和Topp等人 在分析大型飞机结构时，第一次给出采用直接刚度法推导出的三角形单元，将结构力学中的位移法推广到平面应力问题。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 1960年，Clough 在一篇论文中首次使用“Finite Element”（
6、有限元或有限单元）这一名称。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 1963年，Besseling等人 证明了有限元法是基于变分原理的Ritz法的另一种形式。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 1969年，Oden将有限元法推广应用于加权残量法（如Galerkin法）。同年，Zienkiewicz提出了等参元的概念，从而使有限元法更加普及与完善。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 1970年代以后，随着电子计算机硬件和软件技术的发展，有限
7、元法的研究和应用得到了飞速地进展。出现了一些大型结构分析软件，如SAP，NONSAP等，安装在大中型计算机上。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 有限元法应用的领域不断扩大 平面问题空间问题和板壳问题 静力平衡动力响应和结构稳定能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 固体力学流体力学、传热学和电磁学等 弹性材料弹塑性、塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等 航空领域宇航、土木建筑、机械制造、水利工程、船舶海洋工程与核工程等领域能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有
8、限元法的发展简史 1980年代，多种功能扩大，大型通用程序如ADINA等，微型计算机，前后处理出现。1990年代，领域扩大，前后处理功能增强，大型商用软件，如ANSYS、MARC、NASTRAN等。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 目前，面向工程，与CAD结合成为CAE（计算机辅助工程）软件。能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905151.1 有限元法的发展简史 汽轮机叶片六面体有限元网格能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905151.1 有限元法的发展简史 整级叶片接触振动分析（第四阶振型）能源与动力学院
9、202研究室Tel:(025)848905151.1 有限元法的发展简史 涡轮盘强度疲劳分析能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.1 有限元法的发展简史 喷嘴热固耦合分析能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念 有限元法最初求解弹性力学平面问题时显露出有效性。弹性体的变形能和外力势能可以表示为二次泛函。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念1.2.1 三维问题三维问题 1.应力与平衡方程应力与平衡方程 在外力作用下，弹性体内部各部分之间产生内力，单位面积上的内力称为应力
10、。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念 一点的9个应力分量构成应力张量 x,xy,xz,yx,y,yz,zx,zy,z 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念 切应力互等定律 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515jizyxjijiij;,1.2 弹性力学的基本概念 有限元法中，6个独立的应力分量排成列向量 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 Tzxyzxyz
11、yx 1.2 弹性力学的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念 由四面体的平衡条件，得到 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxx 1.2 弹性力学的基本概念 是斜面上的应力 的三个分量。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515zyxppp,N 斜面上的正应力分量为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515lmnlmnnmlnpmplpxyzxyzzyxzyxn222222 斜面上的切应力分
12、量为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905152222nxyznppp 弹性体中任意一点都存在三个互相正交的主应力。体积应力为三个正应力之和，在坐标变换下是不变量。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515zyx 微元六面体的平衡方程为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx 1.2 弹性力学的基本概念1.2.1 三维问题三维问题 2.应变与几何方程应变与几何方程 弹性体内任一点 ，小变形后移动到
13、，位移函数为能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515),(zyxP),(zyxP),(wvuu 1.2 弹性力学的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念 一微小线段PA=dr，经小变形后变为 ，其正应变为能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515drAPdrdrdrn 正应变关于位移的表达式为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)8489051521111nzumyulxun 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905151
14、112121112111nzwmywlxwnzvmyvlxv 展开右端并略去高阶无穷小，得到 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515111111212121mlyuxvlnxwzunmzvywnzwmyvlxun 变形前两条线段的夹角 ，它们的夹角余弦 为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515212121cosnnmml lAPB 变形后两条线段的夹角 ，它们的夹角余弦 为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515212121cosnnmml lBPA
15、 两条线段夹角关于位移的表达式为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905152121212cos1cosnnzwmmyvl lxunBnA 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515212121212121lmmlyuxvnllnxwzumnnmzvyw 只要P点处的三个正应变 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515zwyvxuzyx,和三个切应变 已知，就可以完全确定P点附近的变形状态。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)8
16、4890515yuxvxwzuzvywxyzxyz,切应变同样满足互等定律，六个应变分量表示为一个应变向量为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515Tzxyzxyzyx 同样，弹性体中任意一点都存在三个互相正交的主应变。体积应变为三个正应变之和，在坐标变换下也是不变量。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515zyxe 对于各向同性体，应力主轴和应变主轴的方向是一致的。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 几何方程的矩阵形式为 1.2 弹性力学的基本概念
17、能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 uBzxyzxyzyx 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515wvuxyzzxyzyxT000000000 1.2 弹性力学的基本概念1.2.1 三维问题三维问题 3.物理方程物理方程 应力与应变之间的一般关系式，即物理方程为能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515yxzzxzyyzyxxEEE111 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)8489
18、0515xyxyxyzxzxzxyzyzyzGEGEGE112112112 用应变表示应力的物理方程为 写成矩阵形式 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515xyxyzzzxzxyyyzyzxxGGeGGeGGe,2,2,2 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 200020002000000000000000000GGGD B uGGG 式中 和剪切弹性模量G称为拉梅系数。而体积应变与体积应力之间的关系为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515211
19、E 式中比例系数称为体积弹性模量。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515eEEe21,2121E 1.2 弹性力学的基本概念1.2.1 三维问题三维问题 4.边界条件边界条件 弹性体的边界以固定、荷载和弹性支承三种方式承受面力能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 Tzyxqqqqq 对应三种支承的边界条件为 （1）几何约束条件 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515上在1,wwvvuu （2）面力平衡条件 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)
20、84890515上在2zzyzxzyzyyxyxzxyxxqnmlqnmlqnml （3）耦合平衡条件 在 上式中 是弹性支承系数。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515333323122322211131211qwcvcucnmlqwcvcucnmlqwcvcucnmlzyzxzzyyxyzxyxx3ijc 1.2 弹性力学的基本概念1.2.2 二维问题二维问题 薄板_平面应力问题 相当长的棱柱体_平面应变问题能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.2 弹性力学的基本概念1.2.2 二维问题二维问题 1.平面应力问题平
21、面应力问题 （1）力的平衡方程能源与动力学院202研究室Tel:(025)8489051500YyxXyxyxyyxx 1.2 弹性力学的基本概念（2）几何方程能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515yuxvyvxuyxxyyx,1.2 弹性力学的基本概念（3）物理方程能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515xyxyxyyyxxEEE1211 1.2 弹性力学的基本概念用应变表达应力则为能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515xyxyxyyyxxEEE121122 1.2 弹性力学的基本概念从三维物理方程还可推导出能源与动力学院202
22、研究室Tel:(025)84890515yxyxzE1 1.2 弹性力学的基本概念（4）边界条件 固定支承、荷载支承和弹性支承的边界条件分别为能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515上在1,vvuu 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515上在上在322221112112qvcucmlqvcucmlqmlqmlyxyyxxyyxyxyxx 1.2 弹性力学的基本概念1.2.2 二维问题二维问题 2.平面应变问题平面应变问题 力的平衡方程、几何方程和边界条件同平面应力问题一样。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890
23、515 1.2 弹性力学的基本概念 从 和三维问题物理方程，得到能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515xyxyxyyyxxEEE121111220z 1.2 弹性力学的基本概念用应变表达应力则为能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515xyxyxyyyxxEEE121121111211 1.2 弹性力学的基本概念 平面应力问题中的弹性常数更换能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515112EE 1.3 有限元法的基本概念 1.3.1 结构离散化结构离散化 求解域离散化 结点，有限单元 假设近似解的模式，结点未知参数 代数方程组，求解未知
24、数，近似解能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 结构离散化结构离散化：（1）划分单元 （2）约束简化 （3）等效结点载荷计算能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 单元单元：分割连续体的小区域，有线、面或实体等种类。结点结点：连接单元的空间点，具有一定的自由度。自由度自由度：描述物理场响应特性的参量，随单元类型变化。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念能源
25、与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 1.3.2 刚度矩阵刚度矩阵 结构离散化后，进行单元特性分析，确定单元结点力和结点位移的关系。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 在位移型有限元法中，就是要确定单元刚度矩阵。单元刚度矩阵反映了单元的特性。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 用弹簧来模拟单元说明刚度的概念。弹簧结点 i 处的力和位移之间的关系为能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515iiKuF 1.3 有限元法的基本概
26、念1.3.2 刚度矩阵刚度矩阵 1.杆系结构的单元刚度矩阵杆系结构的单元刚度矩阵 一平面桁架结构如下图。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 杆单元的结点位移列阵和结点力列阵为 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 jyjxiyixejjiieFFFFFvuvu,1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 当 时，在 i、j 二结点的x，y两个方向所产生的抵抗变
27、形的力（即刚度）为 能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905150,1jjiivuvuixjyjyixjxjxixiyiyixixixKFKFKFKF,1.3 有限元法的基本概念 当 时，在 i、j 二结点的x，y两个方向所产生的抵抗变形的力（即刚度）为 能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905150,1jiijuvuvjyjyjyjyjxjxjyiyiyjyixixKFKFKFKF,1.3 有限元法的基本概念 当各结点位移分量同时存在，在线弹性范围内，则各结点力分量等于各个位移分量所产生的结点力分量的线性叠加，即 能源与动力学院202研究室Tel:(025)8
28、4890515 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515jjyjyjjxjyiiyjyiixjyjyjjyjxjjxjxiiyjxiixjxjxjjyiyjjxiyiiyiyiixiyiyjjyixjjxixiiyixiixixixvKuKvKuKFvKuKvKuKFvKuKvKuKFvKuKvKuKF,1.3 有限元法的基本概念 写成矩阵形式 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 eeejjiijyjxiyixKFvuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFF444342413433323124232221141312
29、11 1.3 有限元法的基本概念 杆件只承受轴向力，只产生轴向位移，从图1.10可以看出 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515coscossincossincosaajxiijjaKFFvuvu 1.3 有限元法的基本概念 求出其他结点力与结点位移的关系，写成矩阵形式 式中K为杆件的轴向刚度系数 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 eeKFLEAK 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincoss
30、insincossincoscossincoscos 1.3 有限元法的基本概念 单元刚度矩阵的物理意义就是单元抵抗变形的能力。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念1.3.2 刚度矩阵刚度矩阵 2.结构刚度方程结构刚度方程 将杆单元组成结构，列出整体刚度方程，即建立平面桁架各结点上内力和外力的平衡方程。能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 单元的刚度方程为 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84
31、8905154411)3(44)3(43)3(42)3(41)3(34)3(33)3(32)3(31)3(24)3(23)3(22)3(21)3(14)3(13)3(12)3(11)3(4)3(4)3(1)3(1vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFyxyx 1.3 有限元法的基本概念 单元的刚度方程为 能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905152244)4(44)4(43)4(42)4(41)4(34)4(33)4(32)4(31)4(24)4(23)4(22)4(21)4(14)4(13)4(12)4(11)4(2)4(2)4(4)4(4vuvuKKKKKKKK
32、KKKKKKKKFFFFyxyx 1.3 有限元法的基本概念 单元的刚度方程为 能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905153344)5(44)5(43)5(42)5(41)5(34)5(33)5(32)5(31)5(24)5(23)5(22)5(21)5(14)5(13)5(12)5(11)5(3)5(3)5(4)5(4vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFyxyx 1.3 有限元法的基本概念 根据变形协调条件，即在相互连接的公共结点处，各单元的结点位移必须相等，如结点4处，其位移 能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905154)5(4)4(4)3(
33、44)5(4)4(4)3(4vvvvuuuu 1.3 有限元法的基本概念 按力的平衡条件，就是在相互连接的公共结点处，各单元的对结点的作用力与作用在该结点的外载荷必须相等，对于结点4有 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515(3)(4)(5)4444xxxxPFFF 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905153)5(143)5(134)5(124)5(112)4(142)4(134)4(124)4(114)3(344)3(331)3(321)3(31vKuKvKuKvKuKvKuKvKuKvKuK 1.3 有限元法的基本概念
34、能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905154)5(12)4(12)3(344)5(11)4(11)3(333)5(143)5(132)4(142)4(131)3(321)3(31vKKKuKKKvKuKvKuKvKuK 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905154)5(22)4(22)3(444)5(21)4(21)3(433)5(243)5(232)4(242)4(231)3(421)3(41)5(4)4(4)3(44vKKKuKKKvKuKvKuKvKuKFFFPyyyy 1.3 有限元法的基本概念 将上面各结点总合力与各结点
35、位移的关系写成矩阵形式 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 TTyxyyxvuvuvuvuPPQQQRKR4433221144311000 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 88878685848382817877767574737271686766656463626158575655545352514847464544434241383736353433323128272625242322211817161514131211KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
36、KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 1.3 有限元法的基本概念1.3.2 刚度矩阵刚度矩阵 3.连续体的刚度矩阵连续体的刚度矩阵 一个带孔的矩形薄板，两端承受均布拉力。用有限元法分析，离散成在 n 个结点处相连接的有限个三角形单元的组合体。能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905151.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 任取1个单元，令其3个结点为i，j，m，单元结点位移和结点力为 能源与动力学院202研
37、究室Tel:(025)84890515 TmymxjyjxiyixeTmmjjiieFFFFFFFvuvuvu 1.3 有限元法的基本概念 当 ，其它结点位移分量为零时，这相当于在结点 i 处设置了一个只允许产生水平方向位移的连杆铰支座，在结点 j,m 处分别设置了固定铰支座。能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905151iu1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 若假设三角形单元内各点的位移按线性变化，单元的变形情况如图中虚线所示，那末抵抗变形的各结点力分量（即刚度）为 能源与动力学院202研究室Te
38、l:(025)84890515 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515ixmymyixmxmxixjyjyixjxjxixiyiyixixixKFKFKFKFKFKF,1.3 有限元法的基本概念 同样方法，当 ，其它结点位移分量为零时，抵抗变形的结点力分量为 能源与动力学院202研究室Tel:(025)848905151jv 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515jymymyjymxmxjyjyjyjyjxjxjyiyiyjyixixKFKFKFKFKFKF,1.3 有限元法的基本概念 若各结点位移分量同时存在，则各结点力分量为各个位移分量所产生的结点力分量的线性叠加，写成矩阵形式，即 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 eeeKF 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室Tel:(025)84890515 666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKe
