1、Ch.5 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性分析分析本章简介本章简介(1/2)本本 章章 简简 介介q 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍 李雅普诺夫稳定性的定义以及 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论 李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。本章简介本章简介(2/2)最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设计。目录目录(1/1)目目 录录q 概述概述q 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义q 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理李雅普诺夫稳定性的基本定理q 5.3 线性系统
2、的稳定性分析线性系统的稳定性分析q 5.4 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析q 5.5 Matlab问题问题 q 本章小结本章小结概述(1/5)概概 述述q 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统 例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力;电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。q 稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统.概述(2/5)q 也可以说,系统的稳定性就是系统在受
3、到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;为任意小的规定量。如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。)(Limtxt概述(3/5)q 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据.在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法.但这些稳定性判别方法仅限
4、于讨论SISO线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统.概述(4/5)再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。q 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身,往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理.
5、概述(5/5)q 实际上,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性.经典控制理论讨论的确有界输入有界输出稳定即为外部稳定性.内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性.本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性.外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统.对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性.概述(6/5)q 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapuno
6、v，1857 1918)发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论.百余年来,李雅普诺夫理论得到极大发展,在数学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广泛应用.李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类.概述(7/5)第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题.这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的.该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法.第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数
7、来分析判别稳定性.由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法.概述(8/5)q 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且也能用来研究 时变系统、非线性系统,甚至 离散时间系统、离散事件动态系统、逻辑动力学系统等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在.概述(9/5)q 可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位.随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最
8、主要方法,并得到了进一步研究和发展.本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫第一法和第二法的理论及应用.概述(10/5)q 本章需解决的问题:动态系统的状态稳定性理论-李雅普诺夫稳定性 基本概念:平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、不稳定性 基本方法:李雅普诺夫第一法、李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法在线性定常系统的应用-李雅普诺夫方程的求解重点喔！重点与难点喔！李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的定义的定义(1/4)5.1 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义q 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和表示的定性指标.它反映的是系统的一种本质特征.这种特征不随系统
9、变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制.这也是控制理论和控制工程的精髓.在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有界输出的输入输出稳定性问题.从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不然.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的定义的定义(2/4)q 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的,我们很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性.对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性,故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性.对于稳定的线性系统,由于只存在唯一的孤立平衡态,所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题.李雅
10、普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题.它是一种具有普遍性的稳定性理论,不仅适用于线性定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统.本节先讨论李雅普诺夫稳定性理论的基础-李雅普诺夫稳定性定义.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的定义的定义(3/4)q 本节主要讨论李雅普诺夫意义下的各种稳定性的定义和意义.本节主要问题主要问题为:基本概念基本概念:平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、大范围渐近稳定性、不稳定性基本方法基本方法:求解平衡态方法 要掌握好李雅普诺夫稳定性理论,重要的是深刻掌握和理解李雅普诺夫稳定性定义的实质和意义.在这里,空间想象力对理解李雅普诺夫稳
11、定性的实质和意义非常有帮助.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的定义的定义(4/4)下面将分别介绍如下李雅普诺夫稳定性有关定义.平衡态平衡态 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性 渐近稳定性渐近稳定性 大范围渐近稳定性大范围渐近稳定性 不稳定性不稳定性 平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系难点,要理解喔!平衡态(1/4)5.1.1 平衡态q 设我们所研究的系统的状态方程为x=f(x,t)其中x为n维状态变量;f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数.对该非线性系统,其平衡态的定义如下.平衡态(2/4)定义定义1q 定义5-1 动态
12、系统x=f(x,t)的平衡态是使f(x,t)0 的状态,并用xe来表示.q 从定义5-1可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态).由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如上图所示.平衡态 平衡态 平衡态 平衡态(3/4)q 李雅普诺夫稳定性研究的平衡态附近(邻域)的运动变化问题.若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态,则称该平衡态是渐近稳定的;若发散掉则称为不稳定的,若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称为稳定的,如上图所示.xe xe xe 稳定 平衡态 不稳定 平衡态 渐近稳定 平衡态 x2 x1
13、 平衡态(4/4)q 显然,对于线性定常系统x=Ax的平衡态xe是满足下述方程的解.Axe=0q 当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0;而当A为奇异时,则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不为孤立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间.对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态,它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解.平衡态(5/4)q 例如例如,对于非线性系统3221211xxxxxx其平衡态为下列代数方程组0032211xxxx的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态.1010003,e2,e1,exxx平衡态(6/4)q 对于孤立平衡态,总是可以通过坐标变换将其
14、移到状态空间的原点.因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状态空间的原点.q 值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻域(区域)。李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性(1/1)5.1.2 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性q 在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数学名词和符号：范数 球域然后介绍 李雅普诺夫意义下的稳定性的定义李雅普诺夫意义下的稳定性的定义.李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性范数范数(1/2)1)范数q 范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间
15、的距离.对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为|x1-x2|.由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种具体范数的定义.在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为2121,2,1()niiixxxx其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量.李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性范数范数(2/2)常用的n为维空间中的其它范数有:1-范数 -范数 121,2,11niiixxxx121,2,maxiiixxxx李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性-球域(1/1)x2 x1 xe 范数下球域x1 2)球域q 以n维空间中的点xe为中心
16、,在所定义的范数度量意义下的长度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,),即S(xe,)包含满足|x-xe|的n维空间中的各点x.x2 x1 xe 2范数下球域x1 x2 x1 xe 1范数下球域x1 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义稳定性定义(1/4)3)李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性定义定义q 基于上述数学定义和符号,我们有如下李雅普诺夫意义下稳定性的定义.x2 x1 x(0)x(0)图5-1李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义稳定性定义(2/4)q 定义5-2(李雅普诺夫稳定性)若状态方程x=f(x,t)所描述的系统,对于任意
17、的0和任意初始时刻t0,都对应存在一个实数(,t0)0,使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,)的初始状态x0,x2 x1 x(0)x(0)当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,)内,则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的,李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义稳定性定义(3/4)即逻辑关系式0 t0 0 x0S(xe,)t t0 x(t)S(xe,)为真,则xe是李雅普诺夫意义下稳定的.若实数(,t0)与初始时刻t0无关,即逻辑关系式 x2 x1 x(0)x(0)0 0 t0 x0S(xe,)t t0 x(t)S(xe,)为真,则称稳定的平衡
18、态xe是李雅普诺夫意义下一致稳定的.q 对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价.但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同.李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义稳定性定义(4/4)q 上述定义说明,对应于平衡态xe的每一个球域S(xe,),一定存在一个有限的球域S(xe,),使得t0时刻从S(xe,)出发的系统状态轨线总不离开S(xe,),则系统在初始时刻t0的平衡态xe为在李雅普诺夫意义下稳定的.x2 x1 x(0)x(0)以二维状态空间为例,上述定义的几何解释和状态轨线变化如图5-1所示.李雅普诺夫意义下的
19、稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义稳定性定义(5/4)q 对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明：李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(xe,)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。渐近稳定性渐近稳定性(1/3)渐近稳定性定义渐近稳定性定义5.1.3 渐近稳定性q 上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态稳定于何处.下面我们给出强调系统最终状态稳定性的李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定性定义.渐近稳定性渐近稳定性(
20、2/3)渐近稳定性定义渐近稳定性定义q 定义5-3(李雅普诺夫渐近稳定性)若状态方程x=f(x,t)所描述的系统在初始时刻t0的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的,且系统状态最终趋近于系统的平衡态xe,即Limt x(t)=xe x2 x1 x(0)则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的.若(,t0)与初始时刻t0无关,则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的.图5-2渐近稳定性渐近稳定性(3/3)q 对于线性定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)可与初始时刻t0无关,故其渐近稳定性与一致渐近稳定性等价.但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同.x2 x1 x(0)q 渐近稳定
21、性在二维空间中的几何解释如图5-2所示.该图表示状态x(t)的轨迹随时间变化的收敛过程.图5-1与图5-2相比较,能清楚地说明渐近稳定和稳定的意义.图5-2 x2 x1 x(0)x(0)图5-1渐近稳定性渐近稳定性(4/3)q 对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。从工程意义来说,渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更
22、为重要.由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念,只确定平衡态渐近稳定性,并不意味着整个系统能稳定地运行.大范围渐近稳定性大范围渐近稳定性(1/1)5.1.4 大范围渐近稳定性q 对于n维状态空间中的所有状态,如果由这些状态出发的状态轨线都具有渐近稳定性,那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下大范围渐近稳定的.换句话说,若状态方程在任意初始状态下的解,当t无限增长时都趋于平衡态,则该平衡态为大范围渐近稳定的.显然,大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空间中只有一个平衡态.对于线性定常系统,如果其平衡态是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的.但对于非线性系统则不然,渐近稳定性是一个局部性的概念
23、,而非全局性的概念.五、不稳定性五、不稳定性(1/2)不稳定性定义不稳定性定义5.1.5 不稳定性q 定义5-4 若状态方程x=f(x,t)描述的系统在初始时刻t0,对于某个给定实数0和任意一个实数0,x2 x1 x(0)总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe,)的初始状态x0,使得从x0出发的状态方程的解x(t)将脱离球域S(xe,),则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的,即逻辑关系式0 t0 0 x0S(xe,)t t0 x(t)S(xe,)为真,则系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的.图5-3不稳定性不稳定性(2/2)q 李雅普诺夫意义下不稳定性的几何解释如图5-3所示.
24、该图表示状态轨迹随时间变化的发散过程.图5-1与图5-3相比较清楚地说明稳定和不稳定的意义.x2 x1 x(0)x2 x1 x(0)x(0)图5-3图5-1平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系(1/1)4.1.6 平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系q 在经典控制理论中所定义的稳定性是指输入输出稳定性,即给定有界输入,产生的输出亦有界.而李雅普诺夫稳定性讨论的系统状态在平衡态邻域的稳定性问题.就一般系统而言,两种稳定性没有必然的联系.对于线性定常系统,则有结论如下:若该线性定常系统是渐近稳定的,则一定是输入输出稳定的,且其输出在输入信号为零后亦将趋于零.反之,则不尽然.李雅普诺夫稳定性的基本定理(
25、1/2)5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理q 本节主要研究李雅普诺夫意义下各种稳定性的判定定理和判定方法.讨论的主要问题有:基本概念基本概念:矩阵和函数的定号性(正定性、负定性等)基本方法基本方法:非线性系统线性化方法李雅普诺夫第一法矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法李雅普诺夫第二法难点喔!李雅普诺夫稳定性的基本定理(2/2)q 下面先讲述.李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法,然后讨论 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第一法(1/7)5.2.1 李雅普诺夫第一法q 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法.它的基本思路是:首先,对于非线
26、性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附近进行线性化,即在平衡态求其一次Taylor展开式,然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳定性.其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性.李雅普诺夫第一法(2/7)q 下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳定性中的应用.q 设所讨论的非线性动态系统的状态方程为x=f(x)其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元素对x有连续的偏导数.李雅普诺夫第一法(3/7)q 欲讨论系统在平衡态xe的稳定性,先必须将非线性向量函数f(x)在平衡
27、态附近展开成Taylor级数,即有其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵;R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项.雅可比矩阵A定义为eeeee()()(-)(-)(-)(-)RAR eexxxxf xxf xx xx xxx xx x1111/./()././nnnnfxfxAfxfxeexxxxf xx李雅普诺夫第一法(4/7)q 上述线性化方程的右边第一项A(x-xe)代表原非线性状态方程的一次近似式,如果用该一次近似式来表达原非线性方程的近似动态方程,即可得如下线性化的状态方程:x=A(x-xe)由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间
28、中的坐标平移,将平衡态xe移到原点.因此,上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程:x=Axq 判别非线性系统平衡态xe稳定性的李雅普诺夫第一法的思想即为:通过线性化,将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换到讨论线性系统x=Ax的稳定性问题.李雅普诺夫第一法(5/7)p 李雅普诺夫第一法的基本结论是:1.若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系统的稳定性与高阶项R(x)无关.2.若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的稳定性与高阶项R(x)无关.3.若线性化系统的系统矩
29、阵A除有实部为零的特征值外,其余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳定性由高阶项R(x)决定.李雅普诺夫第一法(6/7)q 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性.值得指出的区别是:经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺夫方法讨论状态稳定性问题.由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统,而不能推广至时变系统.李雅普诺夫第一法(7/7)例例5-1试确定系统在原点处的稳定性.q 解解 1.由状态方程
30、知,原点为该系统的平衡态.将系统在原点处线性化,则系统矩阵为1210)(KKAexxxxf0,)1(21122211221KKxKxxKxxxq 例5-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:因此,系统的特征方程为|I-A|=2+K1+K2=0李雅普诺夫第一法(8/7)2.由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充分条件为:K10 和 K20.李雅普诺夫第二法(1/3)5.2.2 李雅普诺夫第二法q 由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力,而且该方法不易推广到时变系统.下面我们讨论对所有动态系统的状
31、态方程的稳定性分析都适用的李雅普诺夫第二法.李雅普诺夫第二法(2/3)q 李雅普诺夫第二法又称为直接法.它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的.若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能量将随着时间推移而衰减.当趋于平衡态时,其能量达到最小值.反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大.基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性.李雅普诺夫第二法(3/3)q 在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 数学预备知识数学预备知识,然后介绍一些 李雅
32、普诺夫稳定性定理的直观意义李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理数学预备知识(1/1)1.数学预备知识数学预备知识q 下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预备知识:函数的正定性函数的正定性 二次型函数和对称矩阵的正定性 矩阵正定性的判别方法实函数的正定性(1/4)函数定号性定义函数定号性定义(1)实函数的正定性函数的正定性q 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题.它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下恒为负的.下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。q 定义5-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数
33、V(x)对任意n维非零向量x都有V(x)0;当且仅当x=0时,才有V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的正定函数。实函数的正定性(2/4)函数定号性定义函数定号性定义q 从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函数.由正定函数的定义,我们相应地可定义 负定函数、非负定(又称半正定或正半定)函数、非正定函数(又称半负定或负半定)和 不定函数.实函数的正定性(3/4)函数定号性定义函数定号性定义q 定义5-6 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x)对任意n维非零向量x,都有V(x)0;当且仅当x=0时,才有V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的负定函数。若对任意n维
34、非零向量x,都有V(x)0,且V(0)=0,则称函数V(x)为区域上的非负定函数。若对任意n维非零向量x,都有V(x)0,且V(0)=0,则称函数V(x)为区域上的非正定函数。若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为负值,则称函数V(x)为不定函数。实函数的正定性(4/4)q 下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、负定函数等的例子.1)正定函数正定函数222212221)2(2xxxxx2)负定函数负定函数2122122215)2(2xxxxx3)非负定函数非负定函数22122)2(2xxx4)非正定函数非正定函数22121)2(3xxx实函数的正定性(5/
35、4)5)不定函数不定函数q 函数的定号性是一个相对概念,与其函数定义域有关。如,函数 对x1与x2组成的2维空间为非负定的,但对于1维空间x2则为正定的。q 上面定义了时不变函数V(x)的定号性,相应地可以定义标量时变函数V(x,t)的定号性。2212212221)2()2(23xxxxxx222x实函数的正定性(6/4)q 定义定义5-7 设xRn,是Rn中包含原点的一个封闭有限区域,实函数V(x,t)是定义在t0,)上的一个标量函数且V(0,t)=0,标量连续函数(|x|)和(|x|)为非减(函数值单调增加)的且满足(0)=(0)=0,1)如果对任意tt0和x0,V(x,t)为有界正定的,
36、即0-(|x|)V(x,t)-(|x|)；有界非负定，即0V(x,t)(|x|)；有界非正定，即0V(x,t)-(|x|)，实函数的正定性(6/4)分别称函数V(x,t)为t0,)上的(时变)负定函数、非负定函数和非正定函数。3)如果存在tt0,无论取多么小的原点的某个邻域,V(x,t)可为正值也可为负值,则称函数V(x,t)为不定函数。二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)(2)二次型函数和对称矩阵的正定性q 二次型函数是一类特殊形式函数.设V(x)为关于n维变量向量x的实二次型函数,则其可以表示为其中aij(i=1,2,n,j=i,n)为实常数.211 112121122222221().
37、nnnnnnnnnijijij iVa xa x xa x xa xa x xa xa x xx二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)q 由线性代数知识知,实二次型函数V(x)又可表示为V(x)=xPx其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:nnnnnnaaaaaaaaaP.2/2/.2/.2/2/.2/212221211211二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)q 二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非正定和不定等定号性概念.二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的.因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正定性.q 定义5-8 设对称
38、矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x)分别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩阵P相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)-矩阵定号性定义矩阵定号性定义q 因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为判别对称矩阵的正定性.对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别记为P0,Pt0时不恒为零,那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定.此时,随着|x|,有V(x,t),则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的.稳定性定理稳定性定理(1/4)q 由此定理的结论可知,定理
39、5-5不仅可用于判别平衡态的稳定性,而且可作为定理5-4的补充,用于判别平衡态的渐近稳定性.q 例例5-5 试确定例5-4的系统的平衡态稳定性.q 解 前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数.该函数及其导数分别为稳定性定理稳定性定理(2/4)例例5-5 由于V(x)是非正定函数,由定理5-5的1)可知,系统为一致稳定的.0222)()(2222112221xxxxxVxxVxx21221xxxxx稳定性定理稳定性定理(4/4)例例5-5 下面利用定理5-5的结论2)来分析相应的平衡态是否渐近稳定.分析过程可如右图所示。0022()0(,)2()0)tttVtx t xx平衡态渐近稳定002
40、()0()0)ttt x t x)(0)(202txtx0)(,0)(00201212txtxxxx当21221xxxxx稳定性定理稳定性定理(5/4)例例5-5q 对例5-5，选取李雅普诺夫函数为则是负定的,系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。22212212)(21),(xxxxtVx)(),(2221xxtVx21221xxxxxq 例5-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性.稳定性定理稳定性定理(6/4)例例5-6为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)的全导数12210 xxkkxxq 解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择正定函数2221
41、)(kxxVx02222)(21212211xkxxkxxxxxV x 由于V(x)非正定,由定理5-5的1)可知,系统为一致稳定的.由于V(x)对任意的x0恒为零,因此由定理5-5中2)可知,该系统是稳定的但非渐近稳定.稳定性定理稳定性定理(6/4)例例5-6(3)不稳定性定理不稳定性定理q 定理5-6 设系统的状态方程为x=f(x,t),其中xe=0为其平衡态.若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:1)V(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;2)若V(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0)0,V(x,t)在tt0时不恒为零,那么该平
42、衡态xe亦是不稳定的.不稳定性定理不稳定性定理(1/2)q 例5-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性.不稳定性定理不稳定性定理(2/2)例例5-7q 解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择李雅普诺夫函数为2221)(xxVx则由于V(x)非负定,但其只在x1=0,x2=0时才恒为零,而在其它状态不恒为零,因此由定理5-6的2)可知,系统的该平衡态为不稳定的.21221xxxxx0222)(222211 xxxxxV x不稳定性定理不稳定性定理(3/2)例例5-8q 例例5-8 设时变系统的状态方程为txexxextxxtt22122211cossin试判断系
43、统在坐标原点处平衡状态的稳定性。q 解解 定义李雅普诺夫函数为212),(xxetVtx显然,在x1-x2平面上的第一,三象限内,有V(x,t),是正定的。在此区域内取V(x,t)的全导数为 x1x2222122112121212(,)2()22()22()tttVtex xx xe x xxxe x xxxx不稳定性定理不稳定性定理(4/2)例例5-8所以在x1-x2平面上的第一,三象限内V(x,t),0,它的一阶导数亦大于零,由此根据定理5-6可知,系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。q 下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结不稳定性定理不稳定性定理(5/2)稳定性定理小结稳
44、定性定理小结 V(x)V(x)结论正定(0)负定(0)半负定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(0)半负定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定但非渐近稳定正定(0)正定(0)该平衡态不稳定正定(0)半正定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定5.3 线性系统的稳定性分析q 本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用.讨论的主要问题有:基本方法基本方法:线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析矩阵李雅普诺夫方程的求解 线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理及稳定性分析李雅普诺夫方法在线性系统
45、的应用(1/2)q 由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性.由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法.目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻找建立李雅普诺夫函数的方法.李雅普诺夫方法在线性系统的应用(2/2)本节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统线性定常连续系统、线性时变连续系统线性时变连续系统和 线性定常离散系统线性定常离散系统,如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性.李雅普诺夫方法在线性系统的应用(3/2)
46、5.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析q 设线性定常连续系统的状态方程为x=Ax这样的线性系统具有如下特点:1)当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0,即为状态空间原点;2)若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的;3)对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式.线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/21)q 上述第(3)点可由如下定理中得到说明.q 定理定理5-7 线性定常连续系统x=Ax的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为:对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为矩阵方程PA+AP=-Q的解,并且正定
47、函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫函数.线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/21)定理定理5-7q 证明证明(1)先证充分性先证充分性.即证明,若对任意的正定矩阵Q,存在正定矩阵P满足方程PA+AP=-Q,则平衡态xe=0是渐近稳定的.证明思路：证明思路：线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/21)由于P正定,选择正定函数V(x)=xPx为李雅普诺夫函数计算李雅普诺夫函数V(x)对时间t的全导数V(x)通过判定V(x)的定号性来判定平衡态xe的稳定性线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/21)证明过程为：证明过程为：已知满足矩阵方程PA+AP=-Q的正定矩阵P存在
48、,故令V(x)=xPx.由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为V(x)=(xPx)=xPx+xPx=(Ax)Px+xPax=x(AP+PA)x=-xQx而Q为正定矩阵,故V(x)为负定函数 根据渐近稳定性定理渐近稳定性定理(定理5-4),即证明了系统的平衡态xe=0是渐近稳定的,于是充分性得证.(2)再证必要性再证必要性.即证明:若系统在xe=0处是渐近稳定的,则对任意给定的正定矩阵Q,必存在正定矩阵P满足矩阵方程PA+AP=-Q证明思路：证明思路：由正定矩阵Q构造满足矩阵方程PA+AP=-Q的正定矩阵P.线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(5/21)证明过程为证明过
49、程为：对任意给定的正定矩阵Q,构造矩阵P如下线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(6/21)0ee dA tAtPQt 由矩阵指数函数eAt的定义和性质知,上述被积矩阵函数的各元素一定是具有tket形式的诸项之和,其是A的特征值.因为系统是渐近稳定的,则矩阵A的所有特征值的实部一定小于零,因此上述积分一定存在,即P为有限对称矩阵.线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(7/21)又由于 Q正定,矩阵指数函数eAt可逆,则由方程(5-15)可知,P为有限的正定矩阵.因此,P为正定矩阵.0ee d(515)A tAtPQt线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(8/21)将矩阵P的表达式(5-1
50、5)代入矩阵方程PA+AP=-Q可得:QQtQttQAAtQPAPAAttAAttAAttAAttA0000eedeedddeedee 因此,必要性得证.0ee d(515)A tAtPQt线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(9/21)q 上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法,该方法 不需寻找李雅普诺夫函数,不需求解系统矩阵A的特征值,只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便.该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程.由上述定理,可得如下关于正定矩阵P是李雅普诺夫矩阵方程的唯一解的推论.q 推论5-1 如果线性定常系统x=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的,那么李雅普诺夫代数
