1、材料：你们最关心的是什么？性能：你认为与哪些因素有关？结构：有哪些检测分析技术？绪论物质的性质、材料的性能决定于它们的组成和微观结构。如果你有一双X射线的眼睛，就能把物质的微观结构看个清清楚楚明明白白！X射线衍射将会有助于你探究为何成份相同的材料，其性能有时会差异极大.X射线衍射将会有助于你找到获得预想性能的途径。X-射线衍射测定晶体结构射线衍射测定晶体结构提纲点阵、晶胞对称操作、对称性、对称元素特征方向、特征对称性、Bravais格点点群螺旋轴、滑移面、空间群国际晶体学表：等效点、普通点、特殊点倒易点阵、倒易晶胞及与实空间晶胞的关系X-射线衍射原理，Brag方程，Ewald球，衍射角与衍射指
2、标间的关系晶体学是研究晶体的自然科学。主要研究包括晶体学是研究晶体的自然科学。主要研究包括5个个部分：晶体生长、晶体的几何结构、晶体结构分部分：晶体生长、晶体的几何结构、晶体结构分析、晶体化学及晶体物理。析、晶体化学及晶体物理。1.1 晶体学晶体学 晶体生长是研究人工培育晶体的方法和规律晶体生长是研究人工培育晶体的方法和规律 晶体的几何结构是研究晶体外形的几何理论及内部质晶体的几何结构是研究晶体外形的几何理论及内部质点的排列规律点的排列规律 晶体结构分析是收集大量与晶体结构有关的衍射数据晶体结构分析是收集大量与晶体结构有关的衍射数据 晶体化学主要研究化学成分与晶体结构及性质之间的晶体化学主要研
3、究化学成分与晶体结构及性质之间的关系关系 晶体物理是研究晶体物理性质，如光学性质、电学性晶体物理是研究晶体物理性质，如光学性质、电学性质、磁学性质、力学性质、声光性质和热学性质等质、磁学性质、力学性质、声光性质和热学性质等1.1.1 经典晶体学经典晶体学1669年丹麦学者斯蒂诺，发现了晶面角守恒定律。年丹麦学者斯蒂诺，发现了晶面角守恒定律。1801年法国结晶学家赫羽依，发表了有理指数定律。年法国结晶学家赫羽依，发表了有理指数定律。1809年乌拉斯顿设计了第一台反射测角仪。年乌拉斯顿设计了第一台反射测角仪。18051809年间德国学者外斯总结出晶体对称定律。年间德国学者外斯总结出晶体对称定律。随
4、后又提出了晶带定律。随后又提出了晶带定律。18181839年间外斯和英国学者密勒先后创立了用年间外斯和英国学者密勒先后创立了用以表示晶面空间方位的晶面符号。以表示晶面空间方位的晶面符号。18851890俄国晶体学家费道罗夫首先推导出描述俄国晶体学家费道罗夫首先推导出描述晶体结构对称性的晶体结构对称性的230种空间群。随后，德国种空间群。随后，德国数学家熊夫利斯和英国的巴罗相继以不同的数学家熊夫利斯和英国的巴罗相继以不同的途径推导出所有的空间群。途径推导出所有的空间群。到到19世纪末，晶体结构的点阵理论已基本成熟。世纪末，晶体结构的点阵理论已基本成熟。经典晶体学还包括了晶体的发生与成长的启蒙工作
5、。经典晶体学还包括了晶体的发生与成长的启蒙工作。经典晶体学还包括了对天然矿物物理性质的研究。经典晶体学还包括了对天然矿物物理性质的研究。1830年德国学者赫塞尔推导出描述晶体外形的年德国学者赫塞尔推导出描述晶体外形的32种种点群。点群。1.2.2 近代晶体学近代晶体学1912年德国科学家劳埃成功发现了年德国科学家劳埃成功发现了X射线对晶体的衍射线对晶体的衍射现象，具体地证实了晶体结构点阵理论的正确性。射现象，具体地证实了晶体结构点阵理论的正确性。1913年英国晶体学家布拉格父子和俄国晶体学家吴年英国晶体学家布拉格父子和俄国晶体学家吴里弗分别独立地推导出里弗分别独立地推导出X射线衍射基本公式。射
6、线衍射基本公式。20世纪世纪20年代，完成了收集年代，完成了收集X射线衍射图谱和推引射线衍射图谱和推引空间群方法等工作。空间群方法等工作。40年代着重应用了年代着重应用了X射线衍射强度数据，将数学上的射线衍射强度数据，将数学上的Patterson函数和函数和Fourier级数应用到结构分析上来，级数应用到结构分析上来，在这个时期中，各类有代表性的无机物和不太复杂的在这个时期中，各类有代表性的无机物和不太复杂的有机物的晶体结构，大多数已得到了测定，并总结出有机物的晶体结构，大多数已得到了测定，并总结出原子间的键长、键角和分子构型等重要科学资料。原子间的键长、键角和分子构型等重要科学资料。60年代
7、，人们已成功地测定了蛋白质大分子的晶体年代，人们已成功地测定了蛋白质大分子的晶体结构，它标志着结构，它标志着X射线晶体结构分析工作已达到了射线晶体结构分析工作已达到了相当高的水平。相当高的水平。近近20多年来，采用了电子学和计算数学的新技术与多年来，采用了电子学和计算数学的新技术与新成就，使晶体结构分析测定的精度、速度和广度新成就，使晶体结构分析测定的精度、速度和广度得到了更进一步的提高。得到了更进一步的提高。近代晶体学是一门边缘科学，它与固体物理学、化近代晶体学是一门边缘科学，它与固体物理学、化学、矿物学、冶金学和近代分子生物学等科学的关学、矿物学、冶金学和近代分子生物学等科学的关系极为密切
8、。系极为密切。在古代，无论中外，都把具有几何多面体形态的水在古代，无论中外，都把具有几何多面体形态的水晶称为晶体。后来，这一名词推广了，凡是天然具晶称为晶体。后来，这一名词推广了，凡是天然具有有(非人工琢磨而成非人工琢磨而成)几何多面体形态的固体，几何多面体形态的固体，所示的所示的石盐等，都称为晶体。石盐等，都称为晶体。1.2 晶体晶体方解石方解石石盐石盐显然，这种认识还并不全面。例如，同样是一种显然，这种认识还并不全面。例如，同样是一种物质石英，它既可以呈多面体形态的水晶而存在，物质石英，它既可以呈多面体形态的水晶而存在，也可以呈外形不规则的颗粒而生成于岩石之中。也可以呈外形不规则的颗粒而生
9、成于岩石之中。这两种形态的石英，从本质上来说是一样的。由这两种形态的石英，从本质上来说是一样的。由此可见，自发形成几何多面体形态，只是晶体在此可见，自发形成几何多面体形态，只是晶体在一定条件下的一种外在表现。晶体的本质必须从一定条件下的一种外在表现。晶体的本质必须从它的内部去寻找。它的内部去寻找。QuartzRock-crystal晶体晶体是原子、分子或离子规则排布的固体；是原子、分子或离子规则排布的固体；晶体晶体是微观结构具有周期性和一定对称性的固体；是微观结构具有周期性和一定对称性的固体；晶体晶体是可以抽象出是可以抽象出点阵结构点阵结构的固体。的固体。微观结构可抽象为微观结构可抽象为单一点
10、阵单一点阵描写的晶体称为描写的晶体称为单晶单晶单晶无规则排布组成的晶体称为单晶无规则排布组成的晶体称为多晶多晶1自范性自范性 自范性是指晶体在适当条件下可以自发地形成几自范性是指晶体在适当条件下可以自发地形成几何多面体的性质。何多面体的性质。2确定的熔点确定的熔点3各向异性各向异性和和对称性对称性 晶体的性质随方向的不同而有所差异，晶体的性质随方向的不同而有所差异，这就是晶体的异向性这就是晶体的异向性（许多晶体的解理等）（许多晶体的解理等）。在晶体的外形。在晶体的外形上，也常有相等的晶面、晶棱和角顶重复出现。这种相同的上，也常有相等的晶面、晶棱和角顶重复出现。这种相同的性质在不同的方向或位置上
11、作有规律地重复，就是对称性。性质在不同的方向或位置上作有规律地重复，就是对称性。晶体的格子构造本身就是质点重复规律的体现。晶体的格子构造本身就是质点重复规律的体现。4对对 X 射线的衍射效应射线的衍射效应5最小内能最小内能和和稳定性稳定性 在相同的热力学条件下晶体与同种物在相同的热力学条件下晶体与同种物质的非晶质体、液体、气体相比较，其内能最小。晶体由于质的非晶质体、液体、气体相比较，其内能最小。晶体由于有最小内能，因而结晶状态是一个相对稳定的状态。有最小内能，因而结晶状态是一个相对稳定的状态。1.3.1 晶体的基本特性晶体的基本特性 与晶体情况相反，有些状似固体的物质如玻璃、琥珀、与晶体情况
12、相反，有些状似固体的物质如玻璃、琥珀、松香等，它们的内部质点不作规则排列，不具格子构造，松香等，它们的内部质点不作规则排列，不具格子构造，称为称为非晶质非晶质或或非晶质体非晶质体。从内部结构的角度来看，非晶质。从内部结构的角度来看，非晶质体中质点的分布颇类似于液体。体中质点的分布颇类似于液体。石英晶体结构示意图石英晶体结构示意图石英玻璃结构示意图石英玻璃结构示意图1.3.2 非晶质体非晶质体1.3.3 准晶体准晶体 1985年在电子显微镜研年在电子显微镜研究中，发现了一种新的究中，发现了一种新的物态，其内部结构的具物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探索之体形式虽然仍在探索之中，但从其对称性可知
13、，中，但从其对称性可知，其质点的排列应是长程其质点的排列应是长程有序，但不体现周期重有序，但不体现周期重复，即不存在格子构造，复，即不存在格子构造，人们把它称为准晶体。人们把它称为准晶体。二二 晶晶 体点体点 阵阵 晶体结构最突出的特点是其结构基元晶体结构最突出的特点是其结构基元(原原子、离子、分子或络合离子）在晶体所占有的子、离子、分子或络合离子）在晶体所占有的空间中作周期性的排列，构成了晶体点阵结构空间中作周期性的排列，构成了晶体点阵结构图案。点阵总是由为数无限和周围相同点组成。图案。点阵总是由为数无限和周围相同点组成。Cs+Cl-CsCl的晶胞图的晶胞图CsCl晶体结构示意图晶体结构示意
14、图CsCl的晶体结构示意图CsCl的晶胞图Cs+ClCs+ClNa+Cl-NaCl晶体结构示意图晶体结构示意图Cl-Na+氯化钠晶体中Na+、Cl-的离子个数比为1 1NaCl的晶体结构示意图NaCl的晶胞图Na+Cl 我们在研究晶体结构中各类物质点排列的规律性时，为了得出一个能概括各类等同点排列的一般规律，也就是说为了更好地、形象而简单地描述晶体内部物质点排列的周期性，把晶体中按周期重复的那一部分物质点抽象成一些几何点，而不考虑重复周期中她所包含的具体内容（指原子、离子或分子），从而集中反映周期重复的方式。这种几何点，称为结点结点（点阵点）。由结点排列成的三维点阵就概括地表明各种等同点在晶体
15、结构空间中的排列规律。称之为晶体结构的空间点阵空间点阵。2.1 点阵与结构基元点阵与结构基元1 一维图案与直线点阵一维图案与直线点阵a点阵点点阵点聚乙烯聚乙烯a点阵点点阵点Tm=ma (m=0，1，)经过平移基矢经过平移基矢 ma 的平移操作，点阵点可以完的平移操作，点阵点可以完全不可分辨，因此点阵具有全不可分辨，因此点阵具有平移对称性平移对称性点阵点点阵点所代表的具体物质结构内容称为所代表的具体物质结构内容称为结构基元结构基元（structural motil)晶体中规则排列的微粒抽象为几何学中的点称为晶体中规则排列的微粒抽象为几何学中的点称为点阵点点阵点或或结点结点点阵直线点阵直线2 二维
16、图案与平面点阵二维图案与平面点阵石墨石墨基矢座标系平面格子(平面晶格)平面点阵格点阵点矢量(格点矢量)Rl=l1a1+l2a2初基矢量阵点指数l1 l2初基晶胞在点阵中在点阵中 a，b 决定的平行四边形称为决定的平行四边形称为晶胞晶胞。基矢基矢 a，b 以及夹角以及夹角 g g 称为称为晶胞参数晶胞参数。只含有一个点阵点的晶胞称为只含有一个点阵点的晶胞称为初基胞初基胞。含有一个以上点阵点的晶胞称为含有一个以上点阵点的晶胞称为非初基胞非初基胞或或惯用胞惯用胞。相应的基矢称为相应的基矢称为非初基非初基或或晶体学惯用基晶体学惯用基(简称简称惯用基惯用基)。Tm，n=ma+nb (m，n=0，1，)平
17、移平移 矢量矢量 五种五种不同排不同排列的平列的平面点阵面点阵aaaaabbbbbg g 从下面一组二维周期性重复的平面图案中从下面一组二维周期性重复的平面图案中抽象出点阵来，并指出结构基元。同时请指抽象出点阵来，并指出结构基元。同时请指出属于五种平面格子的哪一种？出属于五种平面格子的哪一种？3 晶体结构与空间点阵晶体结构与空间点阵 在空间点阵中，可以划分出无限多个阵点直线族，在空间点阵中，可以划分出无限多个阵点直线族，在每一个阵点直线族中的阵点直线均为互相平行，而在每一个阵点直线族中的阵点直线均为互相平行，而且重复周期相同。阵点直线在晶体结构中为晶列，且重复周期相同。阵点直线在晶体结构中为晶
18、列，在在晶体外形上可表现为晶棱晶体外形上可表现为晶棱。空间点阵可以划分成无限多个阵点平面族，阵点平空间点阵可以划分成无限多个阵点平面族，阵点平面族中的阵点平面互相平行。阵点平面族有两个重面族中的阵点平面互相平行。阵点平面族有两个重要特征：要特征：1、空间方向，阵点平面的法线方向代表该、空间方向，阵点平面的法线方向代表该阵点平面族的方向；阵点平面族的方向；2、阵点平面族中相邻平面间距、阵点平面族中相邻平面间距相等。阵点平面在晶体结构中称为网面，相等。阵点平面在晶体结构中称为网面，表现在晶表现在晶体外形上称为晶面体外形上称为晶面。晶体结构晶体结构 =点阵点阵*结构基元结构基元点阵点或结点总和称为点
19、阵点阵点或结点总和称为点阵(lattice)，具有，具有平移对称性平移对称性。晶胞晶胞(unit cell)是晶体中能代是晶体中能代表晶格一切特征的最小部分，表晶格一切特征的最小部分，必为必为平行六面体平行六面体。用。用a,b,c和和a a,b b,g g 表示晶胞特征，称为表示晶胞特征，称为晶胞参数晶胞参数。沿着一定方向按某种规则把沿着一定方向按某种规则把结点联结起来，则可以得到结点联结起来，则可以得到描述各种晶体结构的几何图描述各种晶体结构的几何图象象-晶体的空间格子晶体的空间格子(简简称为称为晶格晶格)Tm，n，p=ma+nb+pc (m，n，p=0，1，)平移矢量平移矢量晶胞的大小与形
20、状：由晶胞参数 a,b,c,a,b,g 表示，a,b,c为六面体边长，a,b,g 分别是bc,ca,ab 所组成的夹角。晶胞的内容：粒子的种类，数目及它在晶胞中的相对位置。按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系晶系边长夹角晶体实例立方晶系a=b=c=900NaCl三方晶系a=b=c=900Al2O3四方晶系a=bc=900SnO2六方晶系a=bc=900,=1200AgI正交晶系abc=900HgCl2单斜晶系abc=900,900KClO3三斜晶系abc 900CuSO45H2O晶胞的两个要素晶胞的两个要素abc七大晶系七大晶系根据晶胞特征，可以划分成七个晶系根据晶胞特征，可以划分成七个晶系 (
21、crystal system)晶系晶系边长边长角度角度三斜三斜(triclinic)abca ab bg g 90单斜单斜(monoclinic)abca a=b b=90,g g 90正交正交(orthorhombic)abca a=b b=g g=90四方四方(tetragonal)a=bca a=b b=g g=90菱形菱形(rhombohedral)a=b=ca a=b b=g g 90六方六方(hexagonal)a=bca a=b b=90,g g=120立方立方(cubic)a=b=ca a=b b=g g=902.2 晶系和晶系和14种种Bravais格格子子根据点阵点在平行六
22、面体单位中分布的数目和位置不同，可分为四种情况根据点阵点在平行六面体单位中分布的数目和位置不同，可分为四种情况(1)初基初基(简单简单)点阵点阵 P 一个阵点一个阵点(2)底心点阵底心点阵 C,A或或B 两个阵点两个阵点(3)体心体心点阵点阵 I 两个两个阵点阵点(4)面心面心点阵点阵 F 四个四个阵点阵点晶系晶系原始格子原始格子（P）底心格子底心格子（C）体心格子体心格子（I）面心格子面心格子（F）三斜三斜C=II=FF=P单斜单斜I=F F=P正交正交四方四方C=IF=P14种种Bravais格子格子晶系晶系原始格子原始格子（P）底心格子底心格子（C）体心格子体心格子（I）面心格子面心格子
23、（F）六方六方与本晶系与本晶系对称不符对称不符I=FF=P菱形菱形与本晶系与本晶系对称不符对称不符I=F F=P立方立方与本晶系与本晶系对称不符对称不符若平面周期性图案是由下图所示的单位重复堆砌而成,试问哪些单位是最小的重复单位,哪些不是?对不是者,其最小单位是什么样的形状?123正交正交P单斜单斜三三 图象法图象法3.1 理想晶体与实际晶体理想晶体与实际晶体理想晶体：与点阵结构完全一致，尺度无限大理想晶体：与点阵结构完全一致，尺度无限大 不存在不存在原因：原因：(1)实际晶体大小有限，处于晶体表面的质点和实际晶体大小有限，处于晶体表面的质点和内部的质点不能平移复原。内部的质点不能平移复原。(
24、2)晶体中的质点在其平衡位置作振动，即使在晶体中的质点在其平衡位置作振动，即使在0K也不停止。也不停止。(3)晶体中存在位错、裂缝、杂质包藏等缺陷。晶体中存在位错、裂缝、杂质包藏等缺陷。3.2 晶体几何的经验规律晶体几何的经验规律(1)晶面角守恒定律晶面角守恒定律石英晶体的各种外形石英晶体的各种外形ab=14147bc=12000ac=11308晶面角守恒定律：在不同条件条件下生长的同一成分的同种晶面角守恒定律：在不同条件条件下生长的同一成分的同种晶体之间，其对应晶面间的夹角恒等。晶体之间，其对应晶面间的夹角恒等。-第一晶体学定理第一晶体学定理 宏观晶体的典型外貌特征是一组面平棱直的晶面所围宏
25、观晶体的典型外貌特征是一组面平棱直的晶面所围成的凸多面体成的凸多面体(2)有理指数有理指数(整数整数)定律定律选三个不共面、相交于一点的晶棱选三个不共面、相交于一点的晶棱OI、OII、OIII，再在这个，再在这个晶体上取两个不平行的晶面晶体上取两个不平行的晶面A1B1C1和和A2B2C2。这两个晶面在晶。这两个晶面在晶棱上的截距分别为棱上的截距分别为OA1、OB1、OC1、OA2、OB2、OC2。OA2OA1OB2OB1OC2OC1:=:qrs:整数整数3.3 宏观晶体的几何表征宏观晶体的几何表征(1)坐标系坐标系结晶学坐标系结晶学坐标系六方和三方晶系六方和三方晶系 H 坐标坐标d=ab(2)
26、晶面的标记：晶面的标记：Miller指数指数(hkl)定义：设与一晶面平行的某二维点阵平面在晶轴定义：设与一晶面平行的某二维点阵平面在晶轴a轴、轴、b轴、轴、c轴上的截距分别为轴上的截距分别为(ox，oy，oz)，则，则r1p1q1:=:hlkh:k:l为互质整数比，为互质整数比，h，k，l 称为该晶面的称为该晶面的Miller指指数，通常称为晶面指数数，通常称为晶面指数(face-indices)。晶面用晶面用(hkl)表示表示cozaoxboy:=:prq截距系数截距系数注注：(1)当阵点平面平行于当阵点平面平行于X轴时，其截距为无穷大，则轴时，其截距为无穷大，则(hkl)=1q1r1:=
27、0:k:l=(0kl)同样可得：同样可得：(h0l)，(hk0)，(00l)，(0k0)等晶等晶面指数；面指数；(2)晶体结构中，凡属于同一阵点平面族的平面指数晶体结构中，凡属于同一阵点平面族的平面指数相同，皆为相同，皆为(hkl)；(3)在六方晶系中，晶面指数为在六方晶系中，晶面指数为(hkil)。定理：若晶体结构的空间格子是简单格子，则格点平定理：若晶体结构的空间格子是简单格子，则格点平面族面族(hkl)将基矢将基矢 a，b，c 分别截成分别截成 h、k、l 个等个等分；也即是晶体中最靠近原点的那个格点平面分；也即是晶体中最靠近原点的那个格点平面(hkl)在在 a，b，c 上的截距分别为上
28、的截距分别为 ，。ahbkcl指出各晶面指数，并说明晶面指数与平面点阵点密度的关系指出各晶面指数，并说明晶面指数与平面点阵点密度的关系(110)(100)(010)(210)(120)实际应用上，就一般情况来说，不在于如何去具体测量晶实际应用上，就一般情况来说，不在于如何去具体测量晶面符号，而是看到一个晶面符号后能够明白它的含义，想面符号，而是看到一个晶面符号后能够明白它的含义，想象出它在晶体上的方位。象出它在晶体上的方位。（1）米勒符号中某个数为）米勒符号中某个数为0时，表示该晶面与相应的结晶时，表示该晶面与相应的结晶轴平行：第一个指数为轴平行：第一个指数为0，表示晶面平行于，表示晶面平行于
29、a轴；第二个指轴；第二个指数为数为0，表示平行，表示平行b轴；最后一个指数为轴；最后一个指数为0，则表示平行，则表示平行c轴。轴。（2）同一米勒符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在）同一米勒符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在相应结晶轴上的截距系数（绝对值）越小；在轴单位相等相应结晶轴上的截距系数（绝对值）越小；在轴单位相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短，而晶面本的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短，而晶面本身与该结晶轴之间的夹角则越大。身与该结晶轴之间的夹角则越大。（3）在同一晶体中，如有两个晶面，它们对应的三组米勒指）在同一晶体中，如有两个晶面，它们对应的三组米勒指数的绝对值
30、全都相等，而正负号恰好全部相反，则此二晶面数的绝对值全都相等，而正负号恰好全部相反，则此二晶面必互相平行。例如（必互相平行。例如（130）与（）与（130）就代表一对相互平行）就代表一对相互平行的晶面。的晶面。面网密度小的晶面优先生长面网密度小的晶面优先生长生长速度快的晶面在生长速度快的晶面在生长过程中被淹没生长过程中被淹没ab(3)晶棱的符号晶棱的符号(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)=u:v:w=x0:y0:z0 x0:y0:z0=u:v:wu，v，w互质整数，互质整数，u:v:w记作记作uvw成为晶向指数成为晶向指数100 010 001立方简单晶胞的一些重要阵点平面立方简单
31、晶胞的一些重要阵点平面xzy(111)(111)or111111or3.4 单形和晶带单形和晶带单形单形-一个一个晶体晶体中，彼此间能对称重复的一组晶面的组中，彼此间能对称重复的一组晶面的组合，也就是能借助于对称要素作用而相互联系起合，也就是能借助于对称要素作用而相互联系起来的一组晶面的组合。来的一组晶面的组合。不考虑左右形，有不考虑左右形，有47种几何单形，种几何单形，146种结晶学单形种结晶学单形由普通晶面构成的单形称为由普通晶面构成的单形称为一般单形一般单形由特殊晶面构成的单形称为由特殊晶面构成的单形称为特殊单形特殊单形晶带晶带-彼此间交棱相互平行的一组晶面组合。彼此间交棱相互平行的一组
32、晶面组合。晶带定律：任一属于晶带定律：任一属于uvw晶带的晶面晶带的晶面(hkl)，必定有，必定有 uh+vk+wl=03.5 晶体的投影晶体的投影(1)晶体的球面投影晶体的球面投影以晶体的质心为球心，以晶体的质心为球心，任意半径作参考球面，任意半径作参考球面，称为称为投影球面投影球面；过球心；过球心作某晶面的外法线，它作某晶面的外法线，它与球面的交点即该晶面与球面的交点即该晶面的球面投影点，称为的球面投影点，称为晶晶面的极点面的极点(face pole)。极点间的圆弧极点间的圆弧=晶面之间二面角晶面之间二面角(2)晶体的极射赤平投影晶体的极射赤平投影 以球的赤道面为投以球的赤道面为投影面影面
33、 Q，与，与 Q 垂直的直垂直的直径为投影轴，投影轴与径为投影轴，投影轴与球面交于上投影球面交于上投影 N 和下和下投影投影 S。将上半球面上的极将上半球面上的极点点 P 与与S 极直线相连，极直线相连，交于投影面于交于投影面于P 点，点，P 即即 P 的极射赤平投影。的极射赤平投影。水平晶面的极射赤平投影点必水平晶面的极射赤平投影点必定位于基圆的中心，垂直晶面定位于基圆的中心，垂直晶面的极射赤平投影在基圆。的极射赤平投影在基圆。不仅可以对晶体的晶面作极射赤平投影，亦可不仅可以对晶体的晶面作极射赤平投影，亦可对晶体的对称元素作极射赤平投影。对晶体的对称元素作极射赤平投影。对称元素是它本身投影对
34、称元素是它本身投影晶面是晶面的法线投影晶面是晶面的法线投影3.4 对称元素的极射赤平投影对称元素的极射赤平投影对称点对称点球面投影球面投影点点点点极射赤平投影极射赤平投影对称面对称面球面投影球面投影圆圆极射赤平投影极射赤平投影圆圆(平行平行)极射赤平投影极射赤平投影极射赤平投影极射赤平投影直线直线(垂直垂直)圆弧圆弧(斜交斜交)对称轴对称轴球面投影球面投影点点本身本身(与投影面重合与投影面重合)极射赤平投影极射赤平投影点点极射赤平投影极射赤平投影两种平面的极射赤平投影两种平面的极射赤平投影微观对称元素符号微观对称元素符号点群为点群为4的晶的晶体；彩钼铅矿体；彩钼铅矿PbMoO44重对称轴及由重
35、对称轴及由4重对称旋转相联系重对称旋转相联系的的4个面的极射投影个面的极射投影例：例：3.7 吴氏网吴氏网赤式极射赤平投影网赤式极射赤平投影网它的投影系以赤道上的某点作为视点，投影它的投影系以赤道上的某点作为视点，投影平面则为通过球心而且垂直于视点与球心连平面则为通过球心而且垂直于视点与球心连线的平面，与赤道面正好垂直。线的平面，与赤道面正好垂直。四四 对称原理对称原理 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同晶体的对称性往往又是互有差异的：因称的；但不同晶体的对称性往往又是互有差异的：因此，可以根据晶体对称特点上差异来对晶体进行科学此，
36、可以根据晶体对称特点上差异来对晶体进行科学的分类。此外，晶体的对称性不仅包含几何意义上对的分类。此外，晶体的对称性不仅包含几何意义上对称，而且也包含物理意义上的对称。它们对于我们理称，而且也包含物理意义上的对称。它们对于我们理解晶体的一系列性质和识别晶体，以至对晶体的利用解晶体的一系列性质和识别晶体，以至对晶体的利用都具有重要的意义。都具有重要的意义。晶体的对称性首先最直观地表现在它们的几何多晶体的对称性首先最直观地表现在它们的几何多面体外形上，以及其他方面的宏观性质上。面体外形上，以及其他方面的宏观性质上。旋转对称对物体的作用旋转对称对物体的作用镜面对称对物体的作用镜面对称对物体的作用反演对
37、称对物体的作用反演对称对物体的作用对称对称（symmetry）就是物体相同部分有规律）就是物体相同部分有规律的重复。的重复。对称变换对称变换（symmetry conversion）亦称）亦称对称对称操作操作（symmetry operation），它是指：能够），它是指：能够使对称物体（或图形）中的各个相同部分，使对称物体（或图形）中的各个相同部分，作有规律重复的变换动作。作有规律重复的变换动作。对称要素对称要素（symmetry element）则是指：在进）则是指：在进行对称变换时所凭借的几何要素行对称变换时所凭借的几何要素点、线、点、线、面等。面等。NH3分子结构分子结构对称操作的集合
38、构成的群称为对称操作群对称操作的集合构成的群称为对称操作群3重旋转构成的群重旋转构成的群 C3群论基础群论基础定义：在元素的集合定义：在元素的集合G上定义一种结合法（称为乘法），上定义一种结合法（称为乘法），若若G对于给定的对于给定的乘法乘法满足下述四条公设，则集合满足下述四条公设，则集合G称为一个群称为一个群(group)：1.满足封闭性。满足封闭性。G 中任何两个中任何两个(不同的或相同的不同的或相同的)元素元素 a和和 b，它们的乘积，它们的乘积 ab 仍是仍是 G 中元素。中元素。2.结合律成立。结合律成立。G 中任何元素中任何元素 a，b，c 有有(ab)c=a(bc)。3.单位元单
39、位元e存在。存在。对于对于G中任何元素中任何元素 a，有，有ea=ae=a。单位元单位元 e 也称为恒等元，也记为也称为恒等元，也记为1。4.逆元素存在。逆元素存在。对于对于G中每一元素中每一元素a，都有，都有G中的一个中的一个元素元素 b=a-1，称为，称为 a 的逆元，使得的逆元，使得 ab=ba=1。例例2：群群G=1，-1，i，-i的乘法表的乘法表1111iiii有限群中互不相同的元素的个数称为有限群中互不相同的元素的个数称为 该该群的阶群的阶例例2 中的中的 1,-1 的乘法也构成一个群，则称为是群的乘法也构成一个群，则称为是群 G 的的子群子群，G则称为则称为母群母群。例例1 是对
40、称操作群，对称群中两个元素的乘积定义为是对称操作群，对称群中两个元素的乘积定义为顺次进行两个操作，乘积顺次进行两个操作，乘积 a2a1表示先操作表示先操作 a1，后，后操作操作 a2，即先右边的操作。，即先右边的操作。群的乘积不一定是算术中的乘法，而是代表了一种操作。群的乘积不一定是算术中的乘法，而是代表了一种操作。例例1 群中任何元素都可以看作是群中任何元素都可以看作是 3+生成的生成的3=(3+)2 1=(3+)3这样的群称为这样的群称为循环群循环群，3+称为生成元称为生成元。4.1 第第 I 类点对称操作类点对称操作：n 重旋转轴重旋转轴点对称操作点对称操作是客体所相关的空间中至少有一点
41、不是客体所相关的空间中至少有一点不发生位移的对称操作。发生位移的对称操作。n Cn晶体中旋转对称轴必定平行于某一点列。晶体中旋转对称轴必定平行于某一点列。直角坐标系下，绕直角坐标系下，绕X轴，轴，Y轴，轴，Z轴的轴的n重旋转的重旋转的矩阵分别为：矩阵分别为：Wa=1 0 00 cosan -sinan0 sinan cosan Wb=0 1 0cosan 0 sinan-sinan 0 cosan (1)1重旋转重旋转 相当于没有进行任何操作即全同操作。看相当于没有进行任何操作即全同操作。看上去全同操作没有意义，但它是旋转群中不可上去全同操作没有意义，但它是旋转群中不可少的单位元素。少的单位元
42、素。Wc=0 0 1cosan -sinan 0sinan cosan 0(2)2重旋转重旋转 2一对互为对映异构体的点群为一对互为对映异构体的点群为 2 的酒石的酒石酸酸 对于唯一最高对称轴为对于唯一最高对称轴为 2 的宏观晶体或微的宏观晶体或微观点阵，大部分文献定义该观点阵，大部分文献定义该 2 重轴方向的宏观晶重轴方向的宏观晶轴轴Y，微观点阵基矢，微观点阵基矢 b。b 轴为轴为 2 重轴重轴c 轴为轴为 2 重轴重轴1,2(3)3重旋转重旋转 33+，3，1点群为点群为 3 的过碘酸钠晶体的过碘酸钠晶体3 重旋转对称重旋转对称(4)4重旋转重旋转 44+，2，4，1(5)5重对称轴不存在
43、重对称轴不存在晶体学对称轴的轴次定理晶体学对称轴的轴次定理：晶体中只可能存在：晶体中只可能存在1，2，3，4，6重对称轴，重对称轴，5重和重和6重以上对称重以上对称轴不存在。轴不存在。定理证明的前提是晶体具有点阵结构。定理证明的前提是晶体具有点阵结构。设设 A 和和 B 是相距为一个平移周期是相距为一个平移周期 s 的两点的两点(AB=d)，在在 A 和和 B 点皆有旋转点皆有旋转=2/q角度的旋转对称轴。角度的旋转对称轴。绕绕 A 点点 转动转动角后，角后，AB 变成了变成了AC，绕，绕 B 点转动点转动角后，角后，BA变成了变成了BD。为了保证平移对称性不。为了保证平移对称性不破坏，破坏，
44、CD的长度必须是的长度必须是 d 的的 整数倍整数倍,即即 CD=md，其中其中 m 为正整数。由图可知为正整数。由图可知 CD=md=d+2dsin-/2于是有于是有 cos=(1-m)/2，满足上式的满足上式的m只能取五个值只能取五个值m=3,2,1,0,-1，转动角度转动角度可能的取值为可能的取值为=，2/3，/2，/3，2(6)6重旋转重旋转 66+，3+，2+，3，6 ，14.2 第第 II 类点对称操作类点对称操作：反映与反演：反映与反演(1)反映反映 mm，1Cs反映面平行于某一点阵平面反映面平行于某一点阵平面1=mhC21，1(2)反演反演 1反演对称对物体的作用反演对称对物体
45、的作用Ci第第 I 类点操作的乘积仍为第类点操作的乘积仍为第 I 类点操作，即类点操作，即旋转之间的乘积仍为旋转。旋转之间的乘积仍为旋转。奇数个第奇数个第 II 类点操作类点操作-反演的乘积为反演，反演的乘积为反演，偶数个反演的乘积为恒等操作。偶数个反演的乘积为恒等操作。奇数个第奇数个第 II 类点操作类点操作-反映的乘积为反映，反映的乘积为反映，偶数个反映的乘积为恒等操作。偶数个反映的乘积为恒等操作。1=mhC2=C2mh也可将也可将1，C2，mh 和和 1 构成一个对称操作群构成一个对称操作群两个非对称操作的组合可构成对称操作两个非对称操作的组合可构成对称操作mh 表示的是与对称旋转轴垂直
46、的反映面表示的是与对称旋转轴垂直的反映面C2h1，C2，mh，112mh1112mh12211mhmhmh11211mh21C2h1，C2，mh，1=交换群交换群4.3 第第 I 类点操作类点操作 与第与第 II 类点操作的组合类点操作的组合(1)旋转旋转-反演反演 n旋转与反演是可交换的。旋转旋转与反演是可交换的。旋转-反演的对称反演的对称要素为要素为 n 重轴重轴(不一定是旋转对称轴不一定是旋转对称轴)在加上在加上一点作为反演心一点作为反演心(不一定是对称心不一定是对称心)，合称为，合称为反演轴反演轴(n)。1：即反演。：即反演。2：即：即mh，不是新的对称操作。，不是新的对称操作。例：硫
47、酸钾晶体有对称心即例：硫酸钾晶体有对称心即 1，反演是对称操作。，反演是对称操作。尽管它没有尽管它没有 2 重对称轴和对称面，我们总可以重对称轴和对称面，我们总可以为它指定一个为它指定一个 2 重轴和一个相应的重轴和一个相应的 mh 反映面，反映面，相应的操作相应的操作 2 和和 mh 不是对称操作，但乘积不是对称操作，但乘积 C2mh=1 却为对称操作。却为对称操作。3：即：即 3 重旋转轴和反演的组合，不是独立重旋转轴和反演的组合，不是独立的对称操作。的对称操作。3=3，(3)2=3，(3)3=1，(3)4=3+，(3)5=(3)，(3)6=1两个子群：两个子群：H1=3+，3，1，H2=
48、1，14：是新的独立的对称操作。：是新的独立的对称操作。4=4，(4)2=2，(4)3=(4)，(4)4=16：既可以看作两个非对称操作：既可以看作两个非对称操作 6+，1 的组合，的组合，也可以看作两个对称操作也可以看作两个对称操作 3 和和 mh 的组合。的组合。6=6，(6)2=3+，(6)3=2=mh，(6)4=3，(6)5=(6)，(6)6=1C3h 群群(2)旋转旋转-反映反映 n1：即反映，与操作：即反映，与操作 2 等价。等价。相应对称要素为相应对称要素为n重轴重轴(不一定是对称轴不一定是对称轴)和一和一个与之垂直的反映面个与之垂直的反映面(不一定是对称面不一定是对称面)，合，
49、合称为称为反映轴反映轴。2：即反演，：即反演，2=1。3：与：与 6 完全等同。完全等同。3=3，(3)2=3，(3)3=mh，(3)4=3+，(3)5=(3)，(3)6=13 群包含子群群包含子群 3 和子群和子群 mh。3=(6)，即：，即：3=C3mh=C3C21=61=(6)将将3=(6)两边取逆，得两边取逆，得(3)=64：与：与 4 群完全相同。群完全相同。6：与：与 3 群完全相同。群完全相同。对称操作对称操作 1，2，3，4，6 中，中，1 和和 2=mh不不是复合操作，是复合操作，3，4，6是复合操作。其中是复合操作。其中 4 是独立对称操作。是独立对称操作。1=2，2=1，
50、3=6，4=4，6=3n旋转旋转n1反演反演mv反映反映mh反映反映2n2nmvm1m3m2C3v 群群13+3m1m2m3113+3m1m2m33+3+31m3m1m23313+m2m3m1m1m1m2m313+3m2m2m3m1313+m3m3m1m23+31C3v=1，3+，3，m1，m2，m3判断下列命题的真伪：判断下列命题的真伪：1.具有具有 3 重反演轴重反演轴 3 的客体，必同时具有的客体，必同时具有 3 重轴重轴和对称心和对称心 12.4 重反演轴重反演轴 4 是无法用别的对称要素替代的独是无法用别的对称要素替代的独立对称要素立对称要素 3.不可能用正五边形不留空隙地铺满平面不
