1、2019年湖北省随州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1（3分）3的绝对值为（）A3B3C3D92（3分）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（）A637104mB63.7105mC6.37106mD6.37107m3（3分）如图，直线ll12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若135，则2的度数是（）A65B55C45D354（3分）下列运算正确的是（）A4mm4B（a2）3 a5C（x+y ）2x2+y2D（t1）1t5（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮
2、练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：投中次数35678人数13222则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）A5，6，6B2，6，6C5，5，6D5，6，56（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）A2B3C4D57（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（）ABCD8（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，
3、则米粒落在图中阴影部分的概率为（）A116B112C18D169（3分）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2+32-3=(2+3)(2+3)(2-3)(2+3)=7+43，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3+5-3-5，设x=3+5-3-5，易知3+53-5，故x0，由x2（3+5-3-5）23+5+3-5-2(3+5)(3-5)=2，解得x=2，即3+5-3-5=2根据以上方法，化简3-23+2+6-33-6+33后的结果为（）A5+36B5+6C5-6D53610（3分）如图所示，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两
4、点，与y轴交于点C，OAOC，对称轴为直线x1，则下列结论：abc0；a+12b+14c0；ac+b+10；2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的一个根其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11（3分）计算：（2019）02cos60 12（3分）如图，点A，B，C在O上，点C在优弧AB上，若OBA50，则C的度数为 13（3分）2017年，随州学子尤东梅参加最强大脑节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力在2019年的最强大脑节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中幻
5、圆这个项目充分体现了数学的魅力如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：内、外两个圆周上的四个数字之和相等；外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为 和 14（3分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的直角顶点C的坐标为 （1，0），点A在x轴正半轴上，且AC2将ABC先绕点C逆时针旋转90，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为 15（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=kx（k0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若ODE的面积为3，则k的值为 16（3分）如图，已
6、知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF给出下列判断：EAG45；若DE=13a，则AGCF；若E为CD的中点，则GFC的面积为110a2；若CFFG，则DE（2-1）a；BGDE+AFGEa2其中正确的是 （写出所有正确判断的序号）三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）17（5分）解关于x的分式方程：93+x=63-x18（7分）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+10有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x23，求k
7、的值及方程的根19（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法
8、，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率20（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达21（9分）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且BAC2CBF（1）求证：BF是O的切线；（2）若O的直径为3
9、，sinCBF=33，求BC和BF的长22（11分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p=12x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）2410市场需求量q（百千克）12104已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量
10、的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x为 元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为 元/千克23（10分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c【基础训练】（1）解方程填空：若2x+x3=45，则x ；若7y-y8=26，则y ；若t93+5t8=13t1，则t ；
11、【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被 整除，mn-nm一定能被 整除，mnnm-mn一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235297），再将这个新数按上述方式重新排列
12、，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；设任选的三位数为abc（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数24（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（2，0），C（6，0）（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PDAC于点E，交x轴于点D，过点P作PGAB交AC于点F，交x轴于点G设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范
13、围；（3）在（2）的条件下，若PDG的面积为4912，求点P的坐标；设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由2019年湖北省随州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1（3分）3的绝对值为（）A3B3C3D9【解答】解：3的绝对值为3，即|3|3故选：A2（3分）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（）A637104mB63.7105mC6
14、.37106mD6.37107m【解答】解：6370000m，用科学记数法表示正确的是6.37106m，故选：C3（3分）如图，直线ll12，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若135，则2的度数是（）A65B55C45D35【解答】解：如图，1+390，135，355又直线ll12，2355故选：B4（3分）下列运算正确的是（）A4mm4B（a2）3 a5C（x+y ）2x2+y2D（t1）1t【解答】解：A、4mm3m，故此选项错误；B、（a2）3 a6，故此选项错误；C、（x+y ）2x2+2xy+y2，故此选项错误；D、（t1）1t，正确故选：D5（3分）某
15、校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：投中次数35678人数13222则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）A5，6，6B2，6，6C5，5，6D5，6，5【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）26，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6平均数是：（3+15+12+14+16）106，所以答案为：5、6、6，故选：A6（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）A2B3C4D5【解答】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，底面积12，侧面积为33，则这个几何体的
16、表面积+34；故选：C7（3分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（）ABCD【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；故B选项正确；故选：B8（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）A116B112C18D16【解答】解：E为BC的中点，BEAD=12，BOOD=OEAO=12，BOBD=13SBOE=12SA
17、OB，SAOB=13SABD，SBOE=16SABD=112SABCD，米粒落在图中阴影部分的概率为112，故选：B9（3分）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2+32-3=(2+3)(2+3)(2-3)(2+3)=7+43，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3+5-3-5，设x=3+5-3-5，易知3+53-5，故x0，由x2（3+5-3-5）23+5+3-5-2(3+5)(3-5)=2，解得x=2，即3+5-3-5=2根据以上方法，化简3-23+2+6-33-6+33后的结果为（）A5+36B5+6C5-6D536【解答】解：设x=6-
18、33-6+33，且6+336-33，x0，x2633-2(6-33)(6+33)+6+33，x212236，x=-6，3-23+2=526，原式526-6536，故选：D10（3分）如图所示，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OAOC，对称轴为直线x1，则下列结论：abc0；a+12b+14c0；ac+b+10；2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的一个根其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，b2a0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以正确；b2a，a+1
19、2baa0，c0，a+12b+14c0，所以错误；C（0，c），OAOC，A（c，0），把A（c，0）代入yax2+bx+c得ac2bc+c0，acb+10，所以错误；A（c，0），对称轴为直线x1，B（2+c，0），2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的一个根，所以正确；故选：B二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11（3分）计算：（2019）02cos600【解答】解：原式1212=110，故答案为：012（3分）如图，点A，B，C在O上，点C在优弧AB上，若OBA50，则C的度数为40【解答】解：OAOB，OABO
20、BA50，AOB180505080，C=12AOB40故答案为4013（3分）2017年，随州学子尤东梅参加最强大脑节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力在2019年的最强大脑节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中幻圆这个项目充分体现了数学的魅力如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：内、外两个圆周上的四个数字之和相等；外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2和9【解答】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b外圆两直径上的四个数字之和相等4+6+7+8a+3+b+11内、外两个圆周上的四个数字之和相等3+6+b+7a+4+
21、11+8联立解得：a2，b9图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9故答案为：2；914（3分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的直角顶点C的坐标为 （1，0），点A在x轴正半轴上，且AC2将ABC先绕点C逆时针旋转90，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为（2，2）【解答】解：点C的坐标为（1，0），AC2，点A的坐标为（3，0），如图所示，将RtABC先绕点C逆时针旋转90，则点A的坐标为（1，2），再向左平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标为（2，2），故答案为：（2，2）15（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，
22、反比例函数y=kx（k0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若ODE的面积为3，则k的值为4【解答】解：四边形OCBA是矩形，ABOC，OABC，设B点的坐标为（a，b），则E的坐标为E（a，ka），D为AB的中点，D（12a，b）D、E在反比例函数的图象上，12abk，SODES矩形OCBASAODSOCESBDEab-12k-12k-1212a（b-ka）3，ab-12k-12k-14ab+14k3，解得：k4，故答案为：416（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，C
23、F给出下列判断：EAG45；若DE=13a，则AGCF；若E为CD的中点，则GFC的面积为110a2；若CFFG，则DE（2-1）a；BGDE+AFGEa2其中正确的是（写出所有正确判断的序号）【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABBCADa，将ADE沿AE对折至AFE，AFEADEABG90，AFADAB，EFDE，DAEFAE，在RtABG和RtAFG中AB=AFAG=AG，RtABGRtAFG（HL），BAGFAG，GAEGAF+EAF=129045，故正确；BGGF，BGAFGA，设BGGFx，DE=13a，EF=13a，CGax，在RtEGC中，EGx+13a，CE=23a，由勾股
24、定理可得（x+13a）2x2+（23a）2，解得x=12a，此时BGCG=12a，GCGF=12a，GFCGCF，且BGFGFC+GCF2GCF，2AGB2GCF，AGBGCF，AGCF，正确；若E为CD的中点，则DECEEF=12a，设BGGFy，则CGay，CG2+CE2EG2，即(a-y)2+(12a)2=(12a+y)2，解得，y=13a，BGGF=13a，CGa-13a=23a，GFEG=13a13a+12a=25，SCFG=25SCEG=251212a23a=115a2，故错误；当CFFG，则FGCFCG，FGC+FECFCG+FCE90，FECFCE，EFCFGF，BGGFEFD
25、E，EG2DE，CGCEaDE，2CE=EG，即2(a-DE)=2DE，DE（2-1）a，故正确；设BGGFb，DEEFc，则CGab，CEac，由勾股定理得，（b+y）2（ab）2+（ac）2，整理得bca2abac，SCEG=12(a-b)(a-c)=12(a2-ab-ac+bc)=12(bc+bc)=bc，即SCEGBGDE，SABGSAFG，SAEFSADE，S五边形ABGED=2SAGE=212AFEG=AFEG，S五边形ABGED+SCEGS正方形ABCD，BGDE+AFEGa2，故正确故答案为：三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）1
26、7（5分）解关于x的分式方程：93+x=63-x【解答】解：去分母得：279x18+6x，移项合并得：15x9，解得：x=35，经检验x=35是分式方程的解18（7分）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+10有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x23，求k的值及方程的根【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+10有两个不相等的实数根，0，（2k+1）24（k2+1）0，整理得，4k30，解得：k34，故实数k的取值范围为k34；（2）方程的两个根分别为x1，x2，x1+x22k+13，解得：k1，原方程为x23x+20，x11
27、，x2219（10分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有60人，条形统计图中m的值为10；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为96；（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为1020人；（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图
28、的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有3050%60（人），m604301610；故答案为：60，10；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数3601660=96；故答案为：96；（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：18004+3060=1020（人）；故答案为：1020；（4）由题意列树状图：由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=2320（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的
29、求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达【解答】解：（1）作PCAB于C，如图所示：则PCAPCB90，由题意得：PA120海里，A30，BPC45，PC=12PA60海里，BCP是等腰直角三角形，BCPC60海里，PB=2PC602海里；答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；（2）PA12
30、0海里，PB602海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，救助船A所用的时间为12040=3（小时），救助船B所用的时间为60230=22（小时），322，救助船B先到达21（9分）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且BAC2CBF（1）求证：BF是O的切线；（2）若O的直径为3，sinCBF=33，求BC和BF的长【解答】（1）证明：连接AE，AB是O的直径，AEB90，1+290ABAC，21CABBAC2CBF，1CBFCBF+290即ABF90AB是O的直径，直线BF是O的切线；（2）解：过点C作
31、CHBF于HsinCBF=33，1CBF，sin1=33，在RtAEB中，AEB90，AB3，BEABsin1333=3，ABAC，AEB90，BC2BE23，sinCBF=CHBC=33，CH2，CHAB，CFAF=CHAB，即CFCF+3=23，CF6，AFAC+CF9，BF=AF2-AB2=6222（11分）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p=12x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）2410市场需求量q（
32、百千克）12104已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x为132元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为5元/千克【解答】解：（1）由表格的数据，设
33、q与x的函数关系式为：qkx+b根据表格的数据得12=2k+b10=4k+b，解得k=-1b=14故q与x的函数关系式为：qx+14，其中2x10（2）当每天的半成品食材能全部售出时，有pq即12x+8x+14，解得x4又2x10，所以此时2x4由可知，当2x4时，y（x2）p（x2）（12x+8）=12x2+7x16当4x10时，y（x2）q2（pq）（x2）（x+14）212x+8（x+14）x2+13x16即有y=12x2+7x-16，(2x4)-x2+13x-16，(4x10)（3）当2x4时，y=12x2+7x16的对称轴为x=-b2a=-7212=-7当2x4时，除x的增大而增大x
34、4时有最大值，y=1242+74-16=20当4x10时yx2+13x16（x-132）2+1054，10，1324x=132时取最大值即此时y有最大利润要使每天的利润不低于24百元，则当2x4时，显然不符合故y（x-132）2+105424，解得x5故当x5时，能保证不低于24百元故答案为：132，523（10分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c【基础训练】（1）解方程填空：若2x+x3=45，则x2；若7y-y8=26，则y4；若t93+5t8=13t1，则
35、t7；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被11整除，mn-nm一定能被9整除，mnnm-mn一定能被10整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235297），再将这个新数按上述方
36、式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为495；设任选的三位数为abc（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数【解答】解：（1）mn=10m+n若2x+x3=45，则102+x+10x+345x2故答案为：2若7y-y8=26，则107+y（10y+8）26解得y4故答案为：4由abc=100a+10b+c及四位数的类似公式得若t93+5t8=13t1，则100t+109+3+1005+10t+810001+1003+10t+1100t700t7故答案为：7（2）mn+nm=10m+n+10n+m11m+11n
37、11（m+n）则mn+nm一定能被 11整除mn-nm=10m+n（10n+m）9m9n9（mn）mn-nm一定能被9整除mnnm-mn（10m+n）（10n+m）mn100mn+10m2+10n2+mnmn10（10mn+m2+n2）mnnm-mn一定能被10整除故答案为：11；9；10（3）若选的数为325，则用532235297，以下按照上述规则继续计算 972279693 963369594 954459495 954459495故答案为：495当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c（100c+10b+a）99（ac），结果为99的倍数，由于abc，故ab+1c
38、+2ac2，又9ac0，ac9ac2，3，4，5，6，7，8，9第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981189792，972279693，963369594，954459495，954459495故都可以得到该黑洞数49524（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（2，0），C（6，0）（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作
39、PDAC于点E，交x轴于点D，过点P作PGAB交AC于点F，交x轴于点G设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若PDG的面积为4912，求点P的坐标；设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点B（2，0），C（6，0）设交点式ya（x+2）（x6）抛物线过点A（0，6）12a6a=-12抛物线解析式为y=-12（x+2）（x6）=-12x2+2x+6=-12（x2）2+
40、8抛物线对称轴为直线x2（2）过点P作PHx轴于点H，如图1PHD90点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧2m6，PHn=-12m2+2m+6，n0OAOC6，AOC90ACO45PDAC于点ECED90CDE90ACO45DHPHnPGABPGHABOPGHABOPHAO=GHBOGH=BOPHAO=2PH6=13ndDHGHn-13n=23n=23（-12m2+2m+6）=-13m2+43m+4（2m6）（3）SPDG=12DGPH=49121223nn=4912解得：n1=72，n2=-72（舍去）-12m2+2m+6=72解得：m11（舍去），m25点P坐标为（5，72）在抛物线上存在点R，使得ARS为等腰直角三角形设直线AP解析式为ykx+6把点P代入得：5k+6=72k=-12直线AP：y=-12x+6i）若RAS90，如图2直线AC解析式为yx+6直线AR解析式为yx+6y=x+6y=-12x2+2x+6 解得：x1=0y1=6（即点A）x2=2y2=8R（2，8）ASROAC45RSy轴xSxR2S（2，4）直线OM：y2xy=2xy=-12x+6 解得：x=125y=245M（125，245）ii）若ASR90，如图3SARACO45AR
