1、2019年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1（3分）下列各数中是负数的是ABCD2（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是ABCD3（3分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为ABCD4（3分）下列计算正确的是ABCD5（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则A4B2C1D6（3分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北
2、站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是A平均数是8B众数是11C中位数是2D极差是107（3分）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，若，则ABCD8（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为ABCD二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应
3、的位置上，每小题3分，满分24分）9（3分）函数中，自变量的取值范围是10（3分）若，则11（3分）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是12（3分）计算： 13（3分）将一次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为14（3分）四边形的内角和为 15（3分）如图，在四边形中，若，则添加一个条件，能得到平行四边形（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）16（3分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验
4、公式是：弧田面积（弦矢矢孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来18（6分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：立方差公式：根据材料和已学知识，先化简，
5、再求值：，其中19（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离（结果精确到0.1千米）（参考数据：，20（6分）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：数据收集：抽取的2
6、0名师生测评分数如下85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：分数人数5521等第数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：依据统计信息回答问题（1）统计表中的（2）心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为（3）学校决定对等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？21（6分）如图，将沿着边翻折，得到，且（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，求四边形的面积22（6分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“”的高考
7、选考方案“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考（1）“”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率23（8分）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，双曲线经过圆心
8、（1）求双曲线的解析式；（2）求直线的解析式24（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店、两种湘莲礼盒一个月的销售情况，种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？25（10分）如图一，抛物线过，、三点
9、（1）求该抛物线的解析式；（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值26（10分）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接（1）求的大小；（2）问题探究：动点在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由（3）问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度2019
10、年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1（3分）下列各数中是负数的是ABCD【解答】解：的绝对值； 故选：2（3分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是ABCD【解答】解：、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；故选：3（3分）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为ABCD【解答】解：将24000用科学记
11、数法表示为：，故选：4（3分）下列计算正确的是ABCD【解答】解：、结果是，故本选项不符合题意；、结果是，故本选项不符合题意；、结果是，故本选项不符合题意；、结果是，故本选项符合题意；故选：5（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则A4B2C1D【解答】解：方程有两个相等的实数根，解得：故选：6（3分）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，
12、以下结论正确的是A平均数是8B众数是11C中位数是2D极差是10【解答】解：，即平均数是8，故事正确的出现次数最多的是13，即众数是13，故不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故是不正确的；极差为，故不正确；故选：7（3分）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，若，则ABCD【解答】解：绕点逆时针旋转到的位置，而，故选：8（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件若设小江每小时分拣个物件，
13、则可列方程为ABCD【解答】解：由题意可得，故选：二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9（3分）函数中，自变量的取值范围是【解答】解：由题意得，解得故答案为：10（3分）若，则15【解答】解：，故答案为：1511（3分）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是【解答】解：选出的恰为女生的概率为，故答案为12（3分）计算：4【解答】解：，故答案为：413（3分）将一次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的函
14、数表达式为【解答】解：将正比例函数的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为，故答案为：14（3分）四边形的内角和为【解答】解：故四边形的内角和为故答案为：15（3分）如图，在四边形中，若，则添加一个条件，能得到平行四边形（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：故答案为：（答案不唯一）16（3分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分
15、可以求解现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米【解答】解：弦米，半径弦，弧田面积（弦矢矢，故答案为：10三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来【解答】解：，解不等式得，解不等式，所以，原不等式组的解集为，在数轴上表示如下：18（6分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：立方差公式：根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中【解答】解：，
16、当时，原式19（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离（结果精确到0.1千米）（参考数据：，【解答】解：如图所示：连接，由题意可得：，在直角中，在直角中，答：此时火箭所在点处与发射站点处的距离约为20（6分）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动为了解师生的心理健康状况，对全体20
17、00名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：数据收集：抽取的20名师生测评分数如下85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：分数人数5521等第数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：依据统计信息回答问题（1）统计表中的7（2）心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为（3）学校决定对等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？【解答】解：（1）总人数（人，故答案为7（2）所占的圆心角，故答案为（3）
18、（人，答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导21（6分）如图，将沿着边翻折，得到，且（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，求四边形的面积【解答】解：（1）四边形是菱形；理由如下：沿着边翻折，得到，四边形是菱形；（2）连接交于，如图所示：四边形是菱形，四边形的面积22（6分）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“”的高考选考方案“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考（1）“”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、
19、化、政”属于同一种选法）（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率【解答】解：（1）画树状图如下，由树状图知，共有12种等可能结果；（2）画树状图如下由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，所以他们恰好都选中政治的概率为23（8分）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，双曲线经过圆心（1）求双曲线的解析式；（2）求直线的解析式【解答】解：（1）如图
20、，过点作轴于，切轴于，四边形是矩形，在中，双曲线经过圆心，双曲线的解析式为；（2）如图，过点，作直线，由（1）知，四边形是矩形，在中，设直线的解析式为，直线的解析式为24（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店、两种湘莲礼盒一个月的销售情况，种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒若种湘莲礼盒的售价和销量
21、不变，当种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，则有，解得故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒（2）设种湘莲礼盒降价元盒，利润为元，依题意总利润化简得当时，取得最大值为1307，故当种湘莲礼盒降价9元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元25（10分）如图一，抛物线过，、三点（1）求该抛物线的解析式；（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上
22、的动点，求周长的最小值【解答】解：（1）抛物线过，、三点 解得：，；抛物线的解析式为：（2）抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点，在该抛物线上，根据抛物线的增减性得：或答：点横坐标的取值范围：或（3），是的中点，当点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，直线与、交点为、，此时的周长最小，周长为的长，由对称可得到：，即点，即：的周长最小值为3，26（10分）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接（1）求的大小；（2）问题探究：动点在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由（3）问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度【解答】解：（1）如图一（1）中，四边形是矩形，（2）如图一（1）中，当时，在中，是等边三角形，如图一（2）中，当时，易证，综上所述，满足条件的的值为5或结论：大小不变理由：如图一（1）中，四点共圆，如图一（2）中，四点共圆，综上所述，（3）如图二中，是等边三角形，垂直平分线段， 第23页（共23页）
