1、2022年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（解析版） 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 已知（其中为虚数单位），则 【答案】【解析】2. 双曲线的实轴长为 【答案】6【解析】3. 函数的最小正周期为 【答案】【解析】4. 已知，行列式的值与行列式的值相等，则 【答案】3【解析】=5. 已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 【答案】【解析】，6. 已知，则的最小值为 【答案】【解析】过点时，7. 二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 【答案】10【解析】8. 若函数为奇函数，则实数 【答案】1【解析】9. 为了检测学生的
2、身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 【答案】【解析】10. 已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则（1、2、100）中不同的数值有 个【答案】98【解析】设等差数列的公差为，不妨设列举几项，所以重复2个，（1、2、100）中不同的数值有个11. 已知，且，则 【答案】【解析】，设，则，由12. 已知函数的定义域为，且满足，函数的值域为A，若集合可取得A中所有值，则实数a的取值范围为 【答案】【解析】方法1：，当时，当时，对于上的任意，在上都存在，使得，即方法2：原命题等价于任意即二. 选择题（本大题共4题，每题5分，
3、共20分）13. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】，选B14. 若实数a、b满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】，选A15. 如图正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、CD的中点，联结、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ） A. 点P B. 点B C. 点R D. 点Q【答案】D【解析】即与线段、异面16. 已知平面直角坐标系中的点集. 存在直线l与Q没有公共点，且Q中存在两点在l的两侧；存在直线l经过Q中的无数个点. 则（ ）A. 成立成立 B. 成
4、立不成立C. 不成立成立 D. 不成立不成立【答案】B【解析】如图所示点集，以为圆心，为半径的一簇圆，其中圆心在抛物线上，、的增大幅度均大于，只要k大到一定程度，就会存在l使得成立；圆心在抛物线上，且、的增大幅度均大于，Q中的圆会夹在两条抛物线之间，不存在直线l满足三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示三棱锥，底面为等边ABC，O为AC中点，PO平面ABC，. （1）求三棱锥的体积；（2）若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角的大小.【答案】（1）1；（2）（或，或）【解析】（1）（2） 取中点，连接，所以即为所求角.所以与平面所成角的大小为18
5、. 已知. （1）若将函数的图像向下平移m（）个单位，经过点、，求a与m的值；（2）若且，解关于x的不等式.【答案】（1），；(2)当，不等式解为；当，不等式解为【解析】（1） ，；(2)且，在当，解得；当，解得.19. 如图，为中点，曲线上所有的点到的距离相等，为曲线上的一动点，点Q与点P关于OM对称. （1）若P在点的位置，求的大小；（2）求五边形面积的最大值. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）P在点的位置，；（2）连接，曲线上所有的点到的距离相等，点Q与点P关于OM对称，设20. 已知（）的左、右焦点为、，A为的下顶点，M为直线上一点.（1）若，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；（2
6、）直线l交y轴于点B，直线AM经过点，若ABM有一个内角的余弦值为，求b；（3） 若椭圆上存在点P到直线l的距离为d，且满足，当a变化时，求d的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）d的最小值为【解析】（1），设AM的中点在x轴上，（2） 若，则； 若，求得，；（3）设，即，即d的最小值为21. 数列中，若对任意n（），都存在正整数i（）使得. （1）求的所有可能值；（2）命题：若、成等差数列，则，证明命题p为真. 写出命题p的逆命题q，并判断命题q的真假，若命题q为真则证明，若命题q为假，请举出反例；（3）若对任意正整数m，求数列的通项公式.【答案】（1）7或9；（2）命题p的逆命题q： 若，则、成等差数列，q为真命题.（3）见解析【解析】（1），的所有可能值为7或9（2）对于命题：若、成等差数列，则，对任意n（），都存在正整数i（）使得. . 命题p为真命题命题p的逆命题q： 若，则、成等差数列，结论：q为真命题.假设：，若、单调递增，、单调递增，可得、单调递增，有得同时取等号条件为， 、成等差数列综上所述：q为真命题.（3），,对任意正整数m，,猜想：，证明： 利用数学归纳法证明：当时，命题成立；假设时则时，当时，成立，若，由（2）证明单调性可知，即与矛盾；若，与矛盾；若，与矛盾；若，与矛盾；综上所述：，即时，,9
