1、2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1（2分）3的相反数是（）A13B-13C3D32（2分）若代数式x+1x-3有意义，则实数x的取值范围是（）Ax1Bx3Cx1Dx33（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A圆柱B正方体C圆锥D球4（2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A线段PAB线段PBC线段PCD线段PD5（2分）若ABCABC，相似比为1：2，则ABC与ABC的周长的比为（）A2：1B1：2C4：1D1：46（2分）下列各数中与2+3的积是有理数的是（）A2+
2、3B2C3D2-37（2分）判断命题“如果n1，那么n210”是假命题，只需举出一个反例反例中的n可以为（）A2B-12C0D128（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）ABCD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9（2分）计算：a3a 10（2分）4的算术平方根是 11（2分）分解因
3、式：ax24a 12（2分）如果35，那么的余角等于 13（2分）如果ab20，那么代数式1+2a2b的值是 14（2分）平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是 15（2分）若x=1，y=2是关于x、y的二元一次方程ax+y3的解，则a 16（2分）如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，AOC120，则CDB 17（2分）如图，半径为3的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tanOCB 18（2分）如图，在矩形ABCD中，AD3AB310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN 三
4、、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19（8分）计算：（1）0+（12）1（3）2；（2）（x1）（x+1）x（x1）20（6分）解不等式组x+10，3x-8-x，并把解集在数轴上表示出来21（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C处，BC与AD相交于点E（1）连接AC，则AC与BD的位置关系是 ；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论22（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图（1）本次调查的样本容量是 ，这组
5、数据的众数为 元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数23（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率（不重叠无缝隙拼接）24（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做12
6、0个零件所用的时间相等甲、乙两人每小时各做多少个零件？25（8分）如图，在OABC中，OA22，AOC45，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y=kx（x0）的图象经过点A、D（1）求k的值；（2）求点D的坐标26（10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋
7、子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2 ；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形当n3，m3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y7当n4，m2时，如图4，y ；当n5，m 时，y9；对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y （用含m、n的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立27（10分）如图，二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上（1）b ；（2
8、）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N是否存在这样的点P，使得PMMNNH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且SPQB2SQRB，求点P的坐标28（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度（1）写出下列图形的宽距：半径为1的圆： ；如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1，0）
9、，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d若d2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点C在M上运动，M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上对于M上任意点C，都有5d8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围2019年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1（2分）3的相反数是（）A13B-13C3D3【解答】解：（3）+30故选：C2（2分）若代数式x+1x-3有意义，则实数x的取值范围是（）Ax1Bx3Cx1Dx3
10、【解答】解：代数式x+1x-3有意义，x30，x3故选：D3（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A圆柱B正方体C圆锥D球【解答】解：该几何体是圆柱故选：A4（2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A线段PAB线段PBC线段PCD线段PD【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B故选：B5（2分）若ABCABC，相似比为1：2，则ABC与ABC的周长的比为（）A2：1B1：2C4：1D1：4【解答】解：ABCABC，相似比为1：2，ABC与ABC的周长的比为1：2故选：B6（2分）下列各数中与2+3的积是有理数的是（）A2+3B2C3
11、D2-3【解答】解：（2+3）（2-3）431；故选：D7（2分）判断命题“如果n1，那么n210”是假命题，只需举出一个反例反例中的n可以为（）A2B-12C0D12【解答】解：当n2时，满足n1，但n2130，所以判断命题“如果n1，那么n210”是假命题，举出n2故选：A8（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）ABCD【解答】解：当t0时，极差y2
12、85850，当0t10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10t20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20t24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9（2分）计算：a3aa2【解答】解：a3aa2故答案为：a210（2分）4的算术平方根是2【解答】解：4的算术平方根是2故答案为：211（2分）分解因式：ax24aa（x+2）（x2）【解答】解：ax24a，a（x24），a（x+2）（x2）12（2分）如果35，那么的余角等于55【解答】解：35，的余角等于90
13、3555故答案为：5513（2分）如果ab20，那么代数式1+2a2b的值是5【解答】解：ab20，ab2，1+2a2b1+2（ab）1+45；故答案为514（2分）平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是5【解答】解：作PAx轴于A，则PA4，OA3则根据勾股定理，得OP5故答案为515（2分）若x=1，y=2是关于x、y的二元一次方程ax+y3的解，则a1【解答】解：把x=1y=2代入二元一次方程ax+y3中，a+23，解得a1故答案是：116（2分）如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，AOC120，则CDB30【解答】解：BOC180AOC18012060，CDB=12BOC
14、30故答案为3017（2分）如图，半径为3的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tanOCB35【解答】解：连接OB，作ODBC于D，O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，OBCOBA=12ABC30，tanOBC=ODBD，BD=ODtan30=333=3，CDBCBD835，tanOCB=ODCD=35故答案为3518（2分）如图，在矩形ABCD中，AD3AB310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN6或158【解答】解：分两种情况：MN为等腰PMN的底边时，作PFMN于F，如图
15、1所示：则PFMPFN90，四边形ABCD是矩形，ABCD，BCAD3AB310，AC90，ABCD=10，BD=AB2+AD2=10，点P是AD的中点，PD=12AD=3102，PDFBDA，PDFBDA，PFAB=PDBD，即PF10=310210，解得：PF=32，CE2BE，BCAD3BE，BECD，CE2CD，PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，PFMN，MFNF，PNFDEC，PFNC90，PNFDEC，NFPF=CECD=2，MFNF2PF3，MN2NF6；MN为等腰PMN的腰时，作PFBD于F，如图2所示：由得：PF=32，MF3，设MNPNx，则FN3x，在RtPNF中，（
16、32）2+（3x）2x2，解得：x=158，即MN=158；综上所述，MN的长为6或158；故答案为：6或158三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19（8分）计算：（1）0+（12）1（3）2；（2）（x1）（x+1）x（x1）【解答】解：（1）0+（12）1（3）21+230；（2）（x1）（x+1）x（x1）x21x2+xx1；20（6分）解不等式组x+10，3x-8-x，并把解集在数轴上表示出来【解答】解：解不等式x+10，得：x1，解不等式3x8x，得：x2，不等式组的解集为1x2，将解集表示在数轴上
17、如下：21（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C处，BC与AD相交于点E（1）连接AC，则AC与BD的位置关系是ACBD；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论【解答】解：（1）连接AC，则AC与BD的位置关系是ACBD，故答案为：ACBD；（2）EB与ED相等由折叠可得，CBDCBD，ADBC，ADBCBD，EDBEBD，BEDE22（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图（1）本次调查的样本容量是30，这组数据的众数为10元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，
18、请你估计该校学生的捐款总数【解答】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+530，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为65+1110+815+52030=12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600127200（元）23（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸
19、片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率（不重叠无缝隙拼接）【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23；故答案为：23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，拼成的图形是轴对称图形的概率为26=1324（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等甲、乙两人每小时各做多少个零件？【解答】解：设甲每小时做x个零
20、件，则乙每小时做（30x）个零件，由题意得：180x=12030-x，解得：x18，经检验：x18是原分式方程的解，则301812（个）答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件25（8分）如图，在OABC中，OA22，AOC45，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y=kx（x0）的图象经过点A、D（1）求k的值；（2）求点D的坐标【解答】解：（1）OA22，AOC45，A（2，2），k4，y=4x；（2）四边形OABC是平行四边形OABC，ABx轴，B的横纵标为2，点D是BC的中点，D点的横坐标为1，D（1，4）；26（10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数
21、、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n21+3+5+7+2n1；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形当n3，m3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y
22、7当n4，m2时，如图4，y6；当n5，m3时，y9；对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得yn+2（m1）（用含m、n的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立【解答】解：（1）有三个Rt其面积分别为ab，12ab和12c2直角梯形的面积为12（a+b）（a+b）由图形可知：12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2整理得（a+b）22ab+c2，a2+b2+2ab2ab+c2，a2+b2c2故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2c2（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，2n1由图形可知
23、：n21+3+5+7+2n1故答案为1+3+5+7+2n1（3）如图4，当n4，m2时，y6，如图5，当n5，m3时，y9算法y个三角形，共3y条边，其中n边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n边形内部共有 （3yn）2条线段；算法n边形内部有1个点时，其内部共有n条线段，共分成n个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，所以n边形内部有m个点时，其内部共有n+3（m1）条线段，由 （3yn）2n+3（m1）化简得：yn+2（m1）故答案为：6，3；n+2（m1）27（10分）如图，二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为
24、（1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上（1）b2；（2）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N是否存在这样的点P，使得PMMNNH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且SPQB2SQRB，求点P的坐标【解答】解：（1）二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）1b+30解得：b2故答案为：2（2）存在满足条件呢的点P，使得PMMNNH二次函数解析式为yx2+2x+3当x0时y3，C（0，3）当y0时，x2+2x+30解得：x11，x23A（1，0
25、），B（3，0）直线BC的解析式为yx+3点D为OC的中点，D（0，32）直线BD的解析式为y=-12x+32，设P（t，t2+2t+3）（0t3），则M（t，t+3），N（t，-12t+32），H（t，0）PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，MNt+3（-12x+32）=-12t+32，NH=-12t+32MNNHPMMNt2+3t=-12t+32解得：t1=12，t23（舍去）P（12，154）P的坐标为（12，154），使得PMMNNH（3）过点P作PFx轴于F，交直线BD于EOB3，OD=32，BOD90BD=OB2+OD2=352cosOBD=OBBD=3352=255PQBD于
26、点Q，PFx轴于点FPQEBQRPFR90PRF+OBDPRF+EPQ90EPQOBD，即cosEPQcosOBD=255在RtPQE中，cosEPQ=PQPE=255PQ=255PE在RtPFR中，cosRPF=PFPR=255PR=PF255=52PFSPQB2SQRB，SPQB=12BQPQ，SQRB=12BQQRPQ2QR设直线BD与抛物线交于点G-12x+32=-x2+2x+3，解得：x13（即点B横坐标），x2=-12点G横坐标为-12设P（t，t2+2t+3）（t3），则E（t，-12t+32）PF|t2+2t+3|，PE|t2+2t+3（-12t+32）|t2+52t+32|若
27、-12t3，则点P在直线BD上方，如图2，PFt2+2t+3，PEt2+52t+32PQ2QRPQ=23PR255PE=2352PF，即6PE5PF6（t2+52t+32）5（t2+2t+3）解得：t12，t23（舍去）P（2，3）若1t-12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQQR，即SPQB2SQRB不成立若t1，则点P在x轴下方，如图4，PF（t2+2t+3）t22t3，PE=-12t+32-（t2+2t+3）t2-52t-32PQ2QRPQ2PR255PE252PF，即2PE5PF2（t2-52t-32）5（t22t3）解得：t1=-43，t23（舍去）P（-43，-1
28、39）综上所述，点P坐标为（2，3）或（-43，-139）28（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度（1）写出下列图形的宽距：半径为1的圆：2；如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：1+5；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d若d2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点C在M上运动，M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的
29、直线上对于M上任意点C，都有5d8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围【解答】解：（1）半径为1的圆的宽距离为2，故答案为2如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是O上一点，连接OP，PC，OC在RtODC中，OC=CD2+OD2=12+22=5OP+OCPC，PC1+5，这个“窗户形“的宽距为1+5故答案为1+5（2）如图21中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2，点C所在的区域的面积为S1+S2=8323如图22中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MTx轴于TACAM+CM，又5d8，当d5时AM6，AT=AM2-MT2=42，此时M（42-1，2），当d8时AM7，AT=72-22=35，此时M（35-1，2），满足条件的点M的横坐标的范围为42-1x35-1当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为35+1x42+1第24页（共24页）
