1、数字图像处理学数字图像处理学第第7章章 图像重建图像重建n图像重建图像重建:Image Reconstruction 指根据对场景的投影数据获取场景中物质分指根据对场景的投影数据获取场景中物质分布的信息布的信息n分类分类 二维图像重建二维图像重建 一个物体的多个轴向投影图重建目标图一个物体的多个轴向投影图重建目标图像像三维物体重建三维物体重建 由物体的图像重建三维物体模型由物体的图像重建三维物体模型 由物体截面投影来重建该截面图象是近年由物体截面投影来重建该截面图象是近年来发展起来工获得广泛应用的图像处理技术。来发展起来工获得广泛应用的图像处理技术。图像重建的最典型应用是医学上的计算断层摄图像
2、重建的最典型应用是医学上的计算断层摄影技术（影技术（Computerized Tomography,CT）。它。它用于人体头部、腹部等内部器官的无损伤诊断，用于人体头部、腹部等内部器官的无损伤诊断，其基本方法就是根据人体截面投影，经过计算其基本方法就是根据人体截面投影，经过计算机处理来重建截面图象。机处理来重建截面图象。问题：能否从投影中恢复原图？问题：能否从投影中恢复原图？答复是肯定的。答复是肯定的。例如：断层摄影图像的获取n基本方法如图所示，从线性并排着的如图所示，从线性并排着的X线源发射一定强度的线源发射一定强度的X线，把通过身体的线，把通过身体的X线用与线用与X线源平行排列的线源平行排
3、列的X线线检测器接收。然后把检测器接收。然后把X线源和检测器组以体轴为中线源和检测器组以体轴为中心一点一点的旋转，反复进行同样的操作。利用心一点一点的旋转，反复进行同样的操作。利用这样求得的在各个角度上的投影数据，就可得到这样求得的在各个角度上的投影数据，就可得到了垂直于体轴的断面了垂直于体轴的断面 图像。图像。ABCDEF6151291290o60o120o612121599oooDCBEFAFBAEDCFEDCBA120912609120156解联立方程组解联立方程组得得 654321FEDCBA 三维重建 为了测出三维物体的形状，一方面可以一点点为了测出三维物体的形状，一方面可以一点点地
4、移动位置，一方面求出多个垂直于通过物体中心线地移动位置，一方面求出多个垂直于通过物体中心线的断面，然后把它们依次连接起来，即根据一系列二的断面，然后把它们依次连接起来，即根据一系列二维图像的位置变化构成三维图像。维图像的位置变化构成三维图像。一旦这样的物体三维信息被恢复，就可以求出一旦这样的物体三维信息被恢复，就可以求出关于具有任意倾斜度平面的断面，或者可以由三维的关于具有任意倾斜度平面的断面，或者可以由三维的任意方向来看物体，从而使对物体形状的判读变得非任意方向来看物体，从而使对物体形状的判读变得非常容易。常容易。从多个断面恢复三维形状的方法有从多个断面恢复三维形状的方法有Voxel 法（体
5、法（体素法）、分块的平面近似法。素法）、分块的平面近似法。7.1 概述概述 图像处理一个重要研究分支是物体图像的重图像处理一个重要研究分支是物体图像的重建，被广泛应用于检测和观察，而重建方法一般是建，被广泛应用于检测和观察，而重建方法一般是根据物体一些横截面部分的投影而进行的。在一些根据物体一些横截面部分的投影而进行的。在一些应用中，某个物体的内部结构图像的检测只能通过应用中，某个物体的内部结构图像的检测只能通过这种重建才不会有任何物理上的损伤。例如：医疗这种重建才不会有任何物理上的损伤。例如：医疗放射学、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、放射学、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、光显微和
6、全息成像学及理论视觉等等领域都多有应光显微和全息成像学及理论视觉等等领域都多有应用。用。在医学影像处理中重建是医学图像获取的重在医学影像处理中重建是医学图像获取的重要方法。如医疗放射学，核医学，电子显微等领要方法。如医疗放射学，核医学，电子显微等领域是必不可少的技术，在工业生产中的无损检测域是必不可少的技术，在工业生产中的无损检测技术图像重建也扮演重要角色。技术图像重建也扮演重要角色。假设两个嵌在内部的物体只能从外边观察，假设两个嵌在内部的物体只能从外边观察，如何才能达到检测目的：将物体切开是一种显而如何才能达到检测目的：将物体切开是一种显而易见的解决方法。但多数情况下这样做不实际，如易见的解
7、决方法。但多数情况下这样做不实际，如医疗检查，天文观察，工业中的无损检测，光传导医疗检查，天文观察，工业中的无损检测，光传导中的测量等一些应用都不能采用这种破坏性方法。中的测量等一些应用都不能采用这种破坏性方法。图图 7-1 图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图 在三维重建处理中研究的主要问题及不同的重建在三维重建处理中研究的主要问题及不同的重建方案有三种方案有三种n透射模型透射模型 建立于能量通过物体后有一部分能量会建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收的基础之上，透射模型经常用于被吸收的基础之上，透射模型经常用于X射线、电射线、电子射线及光线和
8、热辐射的情况下，它们都遵从一定子射线及光线和热辐射的情况下，它们都遵从一定的吸收规则的吸收规则n发射模型发射模型 可用来确定物体的位置。这种方法已经可用来确定物体的位置。这种方法已经广泛用于正电子检测，通过在相反的方向分解散射广泛用于正电子检测，通过在相反的方向分解散射的两束伽马射线，则这两束射线的度越时间可用来的两束伽马射线，则这两束射线的度越时间可用来确定物体的位置确定物体的位置n反射模型反射模型 可以用来测定物体的表面特征，例如光可以用来测定物体的表面特征，例如光线、电子束、雷达，激光或超声波等都可以用来进线、电子束、雷达，激光或超声波等都可以用来进行这种测定行这种测定 图像重建多年来已
9、经取得巨大进展，有许多有图像重建多年来已经取得巨大进展，有许多有效算法，如：代数法、迭代法、傅里叶反投影法、效算法，如：代数法、迭代法、傅里叶反投影法、卷积反投影法等。其中以卷积反投影法运用最广泛，卷积反投影法等。其中以卷积反投影法运用最广泛，因其运算量小、速度快；又以傅里叶反投影算法最因其运算量小、速度快；又以傅里叶反投影算法最为基础。为基础。7.2 傅里叶变换重建傅里叶变换重建 傅里叶变换是最简单的重建方法。一个三维傅里叶变换是最简单的重建方法。一个三维(或二维或二维)物体，它的二维物体，它的二维(或一维或一维)投影的傅里叶投影的傅里叶变换恰与此物体的傅里叶变换的主体部分相等变换恰与此物体
10、的傅里叶变换的主体部分相等,而傅里叶变换重建方法也正是以此为基础的。而傅里叶变换重建方法也正是以此为基础的。通过将投影进行旋转和部分傅里叶变换可以通过将投影进行旋转和部分傅里叶变换可以首先构造整个的傅里叶变换的平面，然后只须再首先构造整个的傅里叶变换的平面，然后只须再通过傅里叶反变换就可以得到重建后的物体。通过傅里叶反变换就可以得到重建后的物体。傅里叶变换重建的原理如下：傅里叶变换重建的原理如下：1974年年Shepp and Logan 令令f(x,y)代表一图像函数，则此二维函数的傅里叶代表一图像函数，则此二维函数的傅里叶变换为：变换为：(,)(,)exp2()F u vf x yjuxv
11、y dxdy 而图像在而图像在x轴上的投影为：轴上的投影为：dyyxfxgy),()(投影的一维傅氏变换为投影的一维傅氏变换为：()()exp(2)(,)exp(2)yyG ugxj ux dxf x yj ux dxdy 恰与二维傅氏变换的表达式一致。即：恰与二维傅氏变换的表达式一致。即：dxdyuxjyxfuF)2exp(),()0,(二维图像之一维投影的傅里叶变换，等二维图像之一维投影的傅里叶变换，等于该二维图像傅里叶变换之中心剖面于该二维图像傅里叶变换之中心剖面.n问题由F(u,0)无法从已知投影gy(x)重建原图像f(x,y)如果投影不在x轴或y轴上，而在和x 轴夹一 角的方向 现在
12、假设将函数投影到一条经过旋转的直线上，现在假设将函数投影到一条经过旋转的直线上，该直线的旋转角度为该直线的旋转角度为 。yxts cos sinsin cosxyst f(x,y)t1O 新投影轴坐标系和原坐新投影轴坐标系和原坐标系间的关系：标系间的关系：图 72 投影几何关系 定义旋转坐标为：而将函数投影的直线选为而将函数投影的直线选为 x 轴。投影点通过对距轴。投影点通过对距离离 t 轴为轴为 处的一平行线进行函数积分，因此，处的一平行线进行函数积分，因此，该投影可如下表示：该投影可如下表示：cossin,sincosyxtyxs1s111(,)(,)sg sf x y dsn这里这里,积
13、分路径是沿着积分路径是沿着 直线进行。此投影的一维傅氏变换为直线进行。此投影的一维傅氏变换为:sincos1yxs111)2exp(),(),(dsrsjsgrG展开后为展开后为:dxdyyxrjyxfrG)sincos(2exp),(),(,)(,)exp2()F u vf x yjuxvy dxdy 对比函数的二维傅里叶变换对比函数的二维傅里叶变换:111(,)(,)sg sf x y dscos,sinurvr令),(),(vuFRG 有有 即令即令(u u,v v)点是在一条和点是在一条和u u轴成轴成 角的角的直线上，并且与原点的距离为直线上，并且与原点的距离为r r，则，则对对即当
14、频率变量即当频率变量u，v和和r，满足条件时，二维图像满足条件时，二维图像f(x,y)在与在与 x 轴夹轴夹 角的射线角的射线 s上的投影的傅立叶变上的投影的傅立叶变换，恰好等于该图像函数之二维傅立叶变换。换，恰好等于该图像函数之二维傅立叶变换。ovu(r,)r为使展开式与投影的二维傅里叶变换相等，把指数为使展开式与投影的二维傅里叶变换相等，把指数项做某种代换得到下式：项做某种代换得到下式：dxdyyxrjyxfrG)sincos(2exp),(),(n若投影变换若投影变换 中的所有中的所有 及及 值都是已值都是已知的，则图像的二维变换也是可以确定的。为得知的，则图像的二维变换也是可以确定的。
15、为得到图像函数，我们须进行反变换运算，即：到图像函数，我们须进行反变换运算，即：),(rGr.)(2exp),(),(dudvvyuxjvuFyxf 这就是重建技术的基础，要准确地重建原图像，必这就是重建技术的基础，要准确地重建原图像，必须向足够多的射线进行投影须向足够多的射线进行投影n这些结论很容易推广到三维情形中。令这些结论很容易推广到三维情形中。令:),(321xxxf321332211)321321)(2exp,(),(dxdxdxxuxuxuj xxxfuuuF表示一物体表示一物体,这里这里 f 可为实数或复数。它的三维傅氏可为实数或复数。它的三维傅氏变换由下式给出它的三维傅氏变换由
16、下式给出变换由下式给出它的三维傅氏变换由下式给出 而变换的核心部分是而变换的核心部分是212211332121)(2exp),()0,(dxdxxuxujxdxxxfuuF 通过定义，纵剖面或在通过定义，纵剖面或在 面上的投影是：面上的投影是：21,xx3321213),(),(dxxxxfxxf注意到注意到 的二维傅里叶变换的二维傅里叶变换正好等于上述三维变换的核心部分。正好等于上述三维变换的核心部分。),(213xxf 这也说明如果投影在这也说明如果投影在 平面上旋转了平面上旋转了 角度，相应的傅里叶变换部分正好也将在变换域角度，相应的傅里叶变换部分正好也将在变换域内的内的 平面内转过平面
17、内转过 角。这样，投影可以采角。这样，投影可以采用不同的方向角用不同的方向角 插入到三维变换域中。插入到三维变换域中。21,xx21,uu 建立一个傅里叶变换空间需要很多的投影。建立一个傅里叶变换空间需要很多的投影。最后最后,通过傅里叶反变换重建图像通过傅里叶反变换重建图像 。既。既然在三维空间中的任意平面都可以被重建，那么，然在三维空间中的任意平面都可以被重建，那么，一个二维图像一个二维图像 的重建也不失一般性。的重建也不失一般性。),(321xxxf),(21xxf 我们可重写二维投影方程，定出我们可重写二维投影方程，定出 及投影平及投影平面面 ：sdsyxfg),(),(ds这里这里 是
18、光线几何路径中的微分长度。是光线几何路径中的微分长度。傅里叶变换的结论由下面给出：傅里叶变换的结论由下面给出：dRjgRF)2exp(),(),(dudvvyuxjvuFyxf)(2exp),(),(如图如图7373所示。图中（所示。图中（a a）是投影数据，）是投影数据，(b)(b)是傅是傅 里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极坐标里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极坐标 中计算得到的投影变换推出在矩形平面中计算得到的投影变换推出在矩形平面 中的傅里叶变换中的傅里叶变换 并不困难。并不困难。),(RF),(vuF 图图 73 73 傅里叶变换的几何原理傅里叶变换的几何原理n但是，若只有有
19、限个投影是有效的，则可能需但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变换中插入一些数据。另外需要注意的是，要在变换中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一维傅里叶变换的投影数据就可构成虽然只须一维傅里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像重建则需要二维反变换。由变换空间，但图像重建则需要二维反变换。由此，我们得出一个推论，即：此，我们得出一个推论，即：三维图像不能在三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重建，而必须得到部分投影数据过程中局部地重建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重建。延迟到所有投影数据都获得之后才能重建。7.3 7.3 卷积法重建卷积法重建首先看下极坐标中的
20、傅里叶反变换表达式首先看下极坐标中的傅里叶反变换表达式arxcossincosRRucossin,sinRRvry20(,)(,)exp 2sin()f rF RRjRrdRd 笛卡尔坐笛卡尔坐标系和极坐标系和极坐标的关系标的关系由对称共轭特性可得到由对称共轭特性可得到 ：dRdRrjRFRrf)sin(2exp),(|),(22令令 22/)sgn(2)sgn(|RjjRRR这里这里:则，则，).sin(,0,1,0,0,0,1sgnrzRRRRdRdRzjRFRjrf)2exp(),()sgn(21),(222此表达式亦可写成下列形式：此表达式亦可写成下列形式：2/2/21*),(21),
21、(dzzzgrf此处，此处，*号代表卷积运算。号代表卷积运算。此卷积表达式可直接写成：此卷积表达式可直接写成：2/2/2)sin(/),(21),(drgrf 这里，过这里，过 的积分可以解释为的积分可以解释为 在在 对对 求偏导的变换式。这求偏导的变换式。这种解释的重要性在于：若取样值个数为有限的，种解释的重要性在于：若取样值个数为有限的，则积分值为有限的，也就是收敛。应注意到，则积分值为有限的，也就是收敛。应注意到，前面所写的含有前面所写的含有|的积分表达式的积分表达式(719)(719)不不总是收敛的。总是收敛的。Hilbert)sin(r),(gRn另外，这样求导也可推出一种很简便的图
22、像重建另外，这样求导也可推出一种很简便的图像重建方法。假定将投影数据方法。假定将投影数据 都存放于一等量都存放于一等量矩形空间内，这种存放数据的方式称矩形空间内，这种存放数据的方式称为为 。),(gLayergramn对于一恒定对于一恒定 值，我们可线性地滤出该投值，我们可线性地滤出该投影数据，即可在频域内用影数据，即可在频域内用Rho 滤波器乘以滤波器乘以|R|得出，也可以在空间域内通过一个滤波得出，也可以在空间域内通过一个滤波器冲激响应是器冲激响应是Rho频率滤波器的反变换的频率滤波器的反变换的投影数据卷积得出，投影数据卷积得出，此处，积分上下限是无限的，但在实际中一定为此处，积分上下限是
23、无限的，但在实际中一定为有限值。有限值。2/2/,)2exp(|)(AAdRRjRhn这一处理就是所谓的这一处理就是所谓的 方法。为得到最终的重建图像，只需将方法。为得到最终的重建图像，只需将 对对 在一特定在一特定 值作积分，即：值作积分，即：RhofilteredlayergramRhofilteredlayergram)cos(r0,),cos(),(drgrf 此处此处).(*),(),(hgg这个处理过程如图这个处理过程如图7575所示。所示。图中（图中（a a）是投影数据卷积，）是投影数据卷积，(b)(b)是对于卷积的是对于卷积的RhoRho滤波。滤波。n因为这一重建技术只需用到一
24、维滤波和积分，因因为这一重建技术只需用到一维滤波和积分，因而在重建处理中具有极大吸引力。另外，该方法而在重建处理中具有极大吸引力。另外，该方法可以很容易产生与极坐标中的图像可以很容易产生与极坐标中的图像 相对应相对应的矩形值。的矩形值。),(rfn重建方程的数字解决方法可以使我们得到一线性重建方程的数字解决方法可以使我们得到一线性方程系统，从而解决确定该图像的问题。我们可方程系统，从而解决确定该图像的问题。我们可以使用直接、迭代或直接迭代混合算法来使问以使用直接、迭代或直接迭代混合算法来使问题近似成为一系列线性方程表示。这样一来，近题近似成为一系列线性方程表示。这样一来，近似算法就变得很容易了
25、。似算法就变得很容易了。7.4 代数重建方法代数重建方法7.5 重建的优化问题重建的优化问题n图像重建中的问题也可以通过选择一合理的准图像重建中的问题也可以通过选择一合理的准则函数来解决。此函数用来衡量真实图像与重则函数来解决。此函数用来衡量真实图像与重建图像之间的差异，并且开发一种使此准则函建图像之间的差异，并且开发一种使此准则函数最小的解决方案。数最小的解决方案。Kaskyap 和和Mittal于于1975年巧妙地将重建问题转变成最小化年巧妙地将重建问题转变成最小化(函数函数)问题，问题，目前已有多种基于该准则的代数解决方案。目前已有多种基于该准则的代数解决方案。n首先引入向量符号来表示重
26、建投影。令首先引入向量符号来表示重建投影。令 代表代表一图像向量，此向量通过将图像行向量一图像向量，此向量通过将图像行向量 堆成堆成一列向量而形成，即：一列向量而形成，即：fifTn),.ff,(ff2,1 考虑到投影射线是以相对于水平角度考虑到投影射线是以相对于水平角度 入射，入射，如图如图7777所示，还应注意到所示，还应注意到 个这样的投影，其个这样的投影，其角度分别从角度分别从 ，令，令 是角度为是角度为 时投影的向量值，显然，可以认为它有时投影的向量值，显然，可以认为它有 个分量个分量组成，组成，kPp,21kgkn图图 77 77 角度为角度为 的透影元素的赋值的透影元素的赋值kn
27、 将各角度的投影向量纵向排列将各角度的投影向量纵向排列,可得到可得到 个分个分量组成的向量量组成的向量 ，Tnkk)(,gg,g,gk,3k,2k,1gpngTp)gg,(gg21如果投影值假定为下述图像值的线性组合，则：如果投影值假定为下述图像值的线性组合，则：nlpkginkDjjlk,2,1,2,1;)1(,f其中，集合由投影组合的所有元素组成。其中，集合由投影组合的所有元素组成。注意到某个几何加权也能够计算出来注意到某个几何加权也能够计算出来。n它是与射线宽度它是与射线宽度 和图和图7676中所示的元素中所示的元素 的图的图形单元的交集部分有关的。为了简便起见，可不形单元的交集部分有关
28、的。为了简便起见，可不这样做。比较合适的方法是，如果一条入射角为这样做。比较合适的方法是，如果一条入射角为 的射线落在的射线落在 单元内任一点，则总有一个元素可单元内任一点，则总有一个元素可以用来组成投影值以用来组成投影值 。wijfkijfijg 在这种假设下，有如下所述的过程来得到元素的在这种假设下，有如下所述的过程来得到元素的集合。集合。首先，在图像元素首先，在图像元素 取一单元取一单元 ，此单，此单元也可以称为单元元也可以称为单元 ，此处，此处ijf),(jikjink)1(n且令元素的中心在且令元素的中心在 n现在令现在令 为图像主对角线为图像主对角线 的投影线，此时的投影线，此时
29、轴与水平轴夹角为轴与水平轴夹角为 。如图。如图7777所示，则所示，则 长度为：长度为：)21,21(jiPQABORkPQ).45cos(2knQPn将此长度平均分为将此长度平均分为 等分，等分，。将一元。将一元素分配给集合素分配给集合D D的原则是：若单元的原则是：若单元 的中心投影的中心投影落在相应的增量范围内，则认为此单元是投影的落在相应的增量范围内，则认为此单元是投影的一部分。单元一部分。单元 在在 上的中心投影为上的中心投影为nnkkkPPP,2,1,.,),(ji),(jiOR).cos()21()21(22kijijqjiP如果单元的投影满足条件如果单元的投影满足条件这里这里)
30、21/()21(tan1ijqij)45cos(2)45cos(2)1(kijklPln则对一给定的则对一给定的 值，可以认为此点在集合值，可以认为此点在集合 内。内。实质上，对于每个投影过程来说，每一图像元素实质上，对于每个投影过程来说，每一图像元素的中心都被投影了，而上述条件则用以确定图像的中心都被投影了，而上述条件则用以确定图像元素是否被投影了。元素是否被投影了。l1)1(NKDn以下讨论数学过程中存在的问题。投影方程的集合可以写以下讨论数学过程中存在的问题。投影方程的集合可以写成成BFg 这里这里 是一个大小为是一个大小为 、个元素的二元矩个元素的二元矩阵阵B2npn其它01jijDj
31、ifBn注意到方程的解是：当且仅当注意到方程的解是：当且仅当 时，有唯时，有唯一解；当一解；当 时，无解；当时，无解；当 时，有多个时，有多个解。现在图像重建问题已经简化为解线性方程组解。现在图像重建问题已经简化为解线性方程组的问题。下一个要考虑的问题是准则函数的选择。的问题。下一个要考虑的问题是准则函数的选择。np np np n第一个准则第一个准则 与局部是否平坦的或在一个局与局部是否平坦的或在一个局部一个元素与其邻点间的强度是否有差别有关。部一个元素与其邻点间的强度是否有差别有关。这时这时 叫做非均匀函数，其表达式如下叫做非均匀函数，其表达式如下)(1fJ)(1fJCfff21)(1Jn
32、其中其中 是是8 8邻域平滑矩阵。矩阵邻域平滑矩阵。矩阵 是结构半正是结构半正定的。注意到定的。注意到 ，对于均匀图，对于均匀图像像 。因此，需要使用约束条件来解决。因此，需要使用约束条件来解决最小化问题。这可能会使不确定系统得不到唯一最小化问题。这可能会使不确定系统得不到唯一解。所以，考虑准则函数解。所以，考虑准则函数 ：CC0)(1fJ0)(1fJ)(2fJ)(21)(12ffffJJn 的第一项与图像的能量有关，也与样的第一项与图像的能量有关，也与样本方差本方差 有关。由于有关。由于)(2fJ2)()()(2ffffEE 此处此处 ，常量，常量 可可 用实验方法来确定，用实验方法来确定，
33、可以获得最好的重建图像的那一个值便是常可以获得最好的重建图像的那一个值便是常量量 。)(fEn现在，图像重建的问题就可归结为最小化现在，图像重建的问题就可归结为最小化 的问题了，这是由前述约束的问题了，这是由前述约束条件条件 推导出来的。推导出来的。Cfffff)2121(2JBFg n而有约束的最小化问题可以通过引入一个而有约束的最小化问题可以通过引入一个 的的拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）乘数向量）乘数向量“”“”加以解决。加以解决。我们引入一新的准则函数我们引入一新的准则函数np)()()(23gBfff,JJn它可被直接最小化，在考虑到它可被直接最小化，在考虑到
34、 的情况下，为的情况下，为了最小化了最小化 ，我们来计算偏导数，我们来计算偏导数f)(3fJ3BCfffaJ令偏导数为零，则得到：令偏导数为零，则得到：)(BfCI an由于由于 是一半正定矩阵，是一半正定矩阵，是一非奇矩阵，是一非奇矩阵，因此，我们可以解出因此，我们可以解出 :CCIaf)(1BCIfa其中，其中，的值可以通过上式乘以的值可以通过上式乘以 加以确定：加以确定：B)1BCB(IBfa这个结果与约束条件这个结果与约束条件)(1BC1BBfga相同。如果相同。如果 时，时，可能是非奇异的，就可能是非奇异的，就可能得到一个假答案。如：可能得到一个假答案。如：np BgBC1B#1)(
35、a这里，表示伪逆，对于重建图像这里，表示伪逆，对于重建图像 可以写成：可以写成：fFgf 这里，#11)()(BCIBBCIFaan注意到矩阵注意到矩阵 仅与下列因素有关：参数仅与下列因素有关：参数 ，图像几何，图像几何结构以及约束条件。所以结构以及约束条件。所以 可以预先计算出来。因为矩可以预先计算出来。因为矩阵尺寸很大，并且需要采用逆矩阵的方法计算，则就计算阵尺寸很大，并且需要采用逆矩阵的方法计算，则就计算方法来说，最优化重建方法并非是最简便的一种。方法来说，最优化重建方法并非是最简便的一种。FF7.6 7.6 图像重建中的滤波器设计图像重建中的滤波器设计n为说明滤波器设计中的问题，我们先
36、复习最简为说明滤波器设计中的问题，我们先复习最简单的解决方案即卷积算法的步骤，即：单的解决方案即卷积算法的步骤，即：1)1)、收集投影数据、收集投影数据 ,并将数据存放于一并将数据存放于一矩形空间，即所谓的矩形空间，即所谓的layergramlayergram。),(g2)2)、对于一固定值、对于一固定值 ，从，从 方向线性地过滤方向线性地过滤layergramlayergram，即用，即用|R|R|的逆变换对数据卷积：的逆变换对数据卷积：2/2/)2exp(|)(AAdRRjRh3 3）、在一特定）、在一特定 值，通过值，通过Rho-Rho-滤波，对滤波，对 layergramlayergr
37、am以以 为积分变量作积分，计算出反为积分变量作积分，计算出反投影。即：投影。即：)cos(ar0),cos(),(),(dargrafyxf这里，这里，)(*),(),(hgg图像重建主要包括三个步骤。图像重建主要包括三个步骤。第一步，数据采集；将投影数据收集并存放于第一步，数据采集；将投影数据收集并存放于layergramlayergram中。中。第二步，滤波；滤波对重建图像的质量至关重要。第二步，滤波；滤波对重建图像的质量至关重要。图像的质量依赖于滤波器。图像的质量依赖于滤波器。第三步，反向投影；这是一个积分过程，此过程需第三步，反向投影；这是一个积分过程，此过程需要对每一个图像元素进行
38、计算，因此计算量很大。要对每一个图像元素进行计算，因此计算量很大。几种滤波器的设计如下：几种滤波器的设计如下：由由Ramachandran 和和Lakshiminarayanan（1971）定义的滤波器空间脉冲响应如下式：）定义的滤波器空间脉冲响应如下式：212/)0(ah为偶数为奇数kkakkah0/2)(221 这个滤波器当这个滤波器当 时用线性内插时用线性内插kaakkak和)1()1()()()(kahakhakahhk这个滤波器的频率响应函数是这个滤波器的频率响应函数是aacH/|)21(sin|)(2 这里这里 项来自于取样间的线性内插项来自于取样间的线性内插的结果。的结果。)21
39、(sin2ac Shapp Shapp 和和Logan(1974)Logan(1974)用相同的线性内插改进用相同的线性内插改进了上面滤波器函数，即：了上面滤波器函数，即：,2,1,0)14(4)(22kkakah其相应的频率响应为：其相应的频率响应为：)2(sin2sin2)(2acaaH 为解决噪音的问题，为解决噪音的问题，Shapp Shapp 和和LoganLogan提出了一提出了一种噪音平滑滤波器种噪音平滑滤波器)(3.0)(3.0)(4.0)(ahahhhkkkk滤波器的频率响应为：滤波器的频率响应为：aHHHcos)(6.0)(4.0)(通用的通用的Reed-KwohReed-K
40、woh滤波器组的频率响应没有线性滤波器组的频率响应没有线性内插形式，内插形式，即：即：aaaaaaaHpp/2|/).|/2|exp(|/2|/|),|exp(|)(11n这里，这里，被称为抑制因子，它可以决定截止频率，被称为抑制因子，它可以决定截止频率，是一个滚降参数，它决定滤波器的尖锐性。由是一个滚降参数，它决定滤波器的尖锐性。由于滤波器的数字特性，于滤波器的数字特性，被认为具有周期为被认为具有周期为 的周期性。线性内插通过因子的周期性。线性内插通过因子 来修改滤波器。来修改滤波器。p)(Ha/2)21(sin2acn对于对于 =1=1的情况，的情况，Reed-KwohReed-Kwoh滤
41、波器的冲激响应滤波器的冲激响应如下如下：p)1)(exp(1)()0(12h并且并且)()exp()()()1()()(2211121kCkCkCkCkahkn对对 于有于有,.,2,1k22222221)(,)(,/kakCkakCa当当 11，可用数字方式来得到冲激响应，可用数字方式来得到冲激响应图图7878给出了几种滤波器频响特性的比较。给出了几种滤波器频响特性的比较。p 图 78 几种滤波器的响应7 77 7 重建图像的显示重建图像的显示 n图像重建的目的是对目标进行测量和观察，因此，图像重建的目的是对目标进行测量和观察，因此，重建图像中大量信息的直观显示是图像重建的任重建图像中大量信
42、息的直观显示是图像重建的任务之一。人只能观察某些物体的表面特性。早期，务之一。人只能观察某些物体的表面特性。早期，常用的三维实体显示装置是用时间序列描述第三常用的三维实体显示装置是用时间序列描述第三维信息，即用二维显示方法显示三维附加信息。维信息，即用二维显示方法显示三维附加信息。采用这种方法的主要问题是单个切片的总信息不采用这种方法的主要问题是单个切片的总信息不能在一幅图像中显示，而是需要一个图像的序列。能在一幅图像中显示，而是需要一个图像的序列。这种显示方法的直观性是很差的。这种显示方法的直观性是很差的。7.7.1 7.7.1 重建图像的显示重建图像的显示n在重建图像中，首先考虑图像的信息
43、密度问题。在重建图像中，首先考虑图像的信息密度问题。如果一幅图像是如果一幅图像是 N*N矩阵，每一个像素包含种可能矩阵，每一个像素包含种可能 种可能的灰度，图像的总比特数为：种可能的灰度，图像的总比特数为：MNT2要求图像显示的数目为：要求图像显示的数目为：TL22Mn如果，如果，则，则 ，。这样一来，每幅图像像素包含的最大信息为：这样一来，每幅图像像素包含的最大信息为：160N10M327680T10010LMLogHM22所以，具有所以，具有10241024级灰度的图像每像素可包含级灰度的图像每像素可包含1010比比特的信息量。特的信息量。n由于像素之间的相关性，实际的信息量将比这一由于像
44、素之间的相关性，实际的信息量将比这一最大信息量小得多。我们可以用计算每一像素的最大信息量小得多。我们可以用计算每一像素的水平直方图的方法估计在一幅图像中的一阶熵，水平直方图的方法估计在一幅图像中的一阶熵，即：即：iiiPPHM221logn还要考虑到分辨率还要考虑到分辨率N和每像素比特数之间并不和每像素比特数之间并不是线性关系，某些心理视觉资料表明对于相同是线性关系，某些心理视觉资料表明对于相同的图像质量，的图像质量，M与与N之间的关系必须加以修正。之间的关系必须加以修正。同时在重建图像的显示方法中必须考虑人的视同时在重建图像的显示方法中必须考虑人的视觉系统对灰度范围和精确度的限制。觉系统对灰
45、度范围和精确度的限制。n尽管定量描述有些困难，但实验表明，在最好尽管定量描述有些困难，但实验表明，在最好的观察条件下，人类仅能分辨几十种灰度、几的观察条件下，人类仅能分辨几十种灰度、几千种不同的颜色和几秒的弧度，而大多数情况千种不同的颜色和几秒的弧度，而大多数情况下视觉条件都难于达到最佳条件，因此，人眼下视觉条件都难于达到最佳条件，因此，人眼能分辨的灰度级和颜色都是有限的。能分辨的灰度级和颜色都是有限的。7.7.2 7.7.2 单色显示单色显示n三维重建图像的单色显示有：飞点扫描、三维重建图像的单色显示有：飞点扫描、CRT、平板显示器、机械微光图像密度计或打印机输平板显示器、机械微光图像密度计
46、或打印机输出设备等。出设备等。n实际应用中阴极射线管实际应用中阴极射线管(CRT)及液晶等平板显及液晶等平板显示器是典型的输出设备。在图像显示中的线性、示器是典型的输出设备。在图像显示中的线性、量化、开窗口和增强（如平滑、锐化、高通滤量化、开窗口和增强（如平滑、锐化、高通滤波）处理是提高显示质量的必要技术。波）处理是提高显示质量的必要技术。n线性处理是首先考虑的预处理技术。给定一幅数线性处理是首先考虑的预处理技术。给定一幅数字重建图像，数据和显示器灰度间具有非线性特字重建图像，数据和显示器灰度间具有非线性特性，为了获得数据与灰度之间的线性关系，必须性，为了获得数据与灰度之间的线性关系，必须考虑
47、视觉条件和人的视觉系统。考虑视觉条件和人的视觉系统。n把人的视觉系统特性也考虑在内的话，数字图像把人的视觉系统特性也考虑在内的话，数字图像与实际感觉的灰度也是非线性的。这就说明如果与实际感觉的灰度也是非线性的。这就说明如果没有校正步骤在两种观察条件下都不可能得到最没有校正步骤在两种观察条件下都不可能得到最佳图像质量。佳图像质量。n在在CRT的观察条件下，一给定点的发光强度的观察条件下，一给定点的发光强度 与与电压电压 的关系可近似为的关系可近似为:指数大小与对指数大小与对比度有关比度有关n若电压值与图像数若电压值与图像数N成比例，则成比例，则IUkNU 发光强度与图像数发光强度与图像数N成指数
48、关系成指数关系：)(kNI IU如果图像用负幂数来表示，则图像可用如果图像用负幂数来表示，则图像可用 表示表示 N1NN于是，在发光强度和图像之间就可以得到一个于是，在发光强度和图像之间就可以得到一个线性关系线性关系:.)()(1NkkNkNI对于一个给定的对于一个给定的CRT的的 值很容易测得值很容易测得。7.7.3 7.7.3 重建对象的显示重建对象的显示n重建信息三维矩阵的显示本身就是一个复杂的重建信息三维矩阵的显示本身就是一个复杂的问题。其中最基本的方法是显示密度信息和表问题。其中最基本的方法是显示密度信息和表面信息。在大多数应用中，由重建算法所得到面信息。在大多数应用中，由重建算法所
49、得到的密度信息可以直接在收集了投影数据的几何的密度信息可以直接在收集了投影数据的几何薄片上显示。第三维信息可以用一组二维图像薄片上显示。第三维信息可以用一组二维图像简单描述显示出来。简单描述显示出来。1 1 真实感显示真实感显示 近年来，计算机图形学的发展极大的促进了图近年来，计算机图形学的发展极大的促进了图像三维重建技术的发展。图像三维重建技术与像三维重建技术的发展。图像三维重建技术与计算机图形学的结合使得重建的三维图像极具计算机图形学的结合使得重建的三维图像极具真实感。真实感显示的关键技术是浓淡层次和真实感。真实感显示的关键技术是浓淡层次和光照模型的运用。光照模型的运用。三维重建中的光照模
50、型主要有二个主要成三维重建中的光照模型主要有二个主要成分，分，重建物体的表面特性与照明特性重建物体的表面特性与照明特性。表面特。表面特性又包括物体的表面反射特性和透明特性。性又包括物体的表面反射特性和透明特性。反射特性确定照射到物体表面的光有多少反射特性确定照射到物体表面的光有多少被反射，当物体表面对不同波长的光具有不同被反射，当物体表面对不同波长的光具有不同的反射系数时，就会出现不同的颜色。的反射系数时，就会出现不同的颜色。透明性确定有多少光线从物体中透射过去，透明性确定有多少光线从物体中透射过去，对于透明物体，其颜色由透射光决定。对于透明物体，其颜色由透射光决定。照明特性在浓淡处理中与物体
