1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 6.5 数字高通、数字高通、带通和带阻滤波器的设计带通和带阻滤波器的设计 习题与上机题习题与上机题第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值
2、运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过A/DC和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 1数字滤波器的分类数字滤波器的分类按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器的特点
3、是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。例如，输入信号x(t)中含有干扰，其时域波形和频谱图分别如图6.1.1(a)、(b)所示，由图可见，信号和干扰的频带互不重叠，可用图6.1.1(c)所示低通滤波器滤除干扰,得到纯信号，如图6.1.1(d)所示。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自
4、适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。本书仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，而现代滤波器属于随机信号处理范畴，已超出本书学习范围。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频特性如图6.1.2所示。这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，我们只能按照某些准则设计滤波器，使之在误差容限内逼近理想滤波器，理想滤波器可作为逼近的标准。另外，需要注意的是,数字滤波器的频率响应
5、函数H(ej)都是以2为周期的，低通滤波器的通频带中心位于2的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于的奇数倍处，这一点和模拟滤波器是有区别的。一般在数字频率的主值区,描述数字滤波器的频率响应特性。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.1.2 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可以分成无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器和有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数;(6.1.2)式中的H(z)称为N1阶FIR数字滤波器系
6、统函数。这两种数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分别进行学习。(6.1.1)(6.1.2)NkkkMjrjzazbzH101)(10)()(NnnznhzH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤波器和其他滤波器。上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器。滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声中提取信号(见图6.1.1)、信号分离和信道均衡等。所以学习滤波器的设计与实现是必不可少的。运行本书程序集中的绘图程序fig611b.m可以清楚地观察用滤波器分离载波频率不同的两路双边带信
7、号的原理。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 2 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示：H(ej)=|H(ej)|ej()式中，|H(ej)|称为幅频特性函数;()称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，对几种典型滤波器(如巴特沃斯滤波器)，其相
8、频特性是确定的，所以设计过程中，对相频特性一般不作要求。但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如波形传输、图像信号处理等。本章主要研究针对幅频特性指标的选频滤波器设计。如果对输出波形有严格要求，则需要设计线性相位数字滤波器，这部分内容在第7章介绍。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 对于图6.1.2所示的各种理想滤波器，我们必须设计一个因果可实现的滤波器去近似实现。另外，也要考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带中都允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零。此外，按照要求，在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设
9、计 图6.1.3表示低通滤波器的幅频特性，p和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0|p，在通带中要求(11)|H(ej)|1，阻带频率范围为s|，在阻带中要求|H(ej)|2。从p到s称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示。对低通滤波器，p和s分别定义为：第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 显然，p 越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；s越大,阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；p与s间距越小,过渡带就越窄。所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率p、通带最大
10、衰减p 阻带边界频率s和阻带最小衰减s确定。(6.1.3a)(6.1.4a)pjjp0,dB|)e(|min|)e(|maxlg20HHdB|)e(|min|)e(|maxlg20jjsHH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 片段常数特性：片段常数特性：对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度1”和“阻带波纹幅度2”，而通带最大衰减p和阻带最小衰减s是与1和2完全等价的两个常数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解IIR数
11、字滤波器的双线性变换设计思想。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表示为如果将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3b)和(6.1.4b)式则表示为：dB|)e(|)e(|lg20pj0 jpHH(6.1.3b)(6.1.4b)dB|)e(|)e(|lg20sj0 jsHH(6.1.5)(6.1.6)dB|)e(|lg20pjpHdB|)e(|lg20sjsH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 当幅度下降到 时，标记=c，此时 dB，称c为3 dB通带截止频率。p、c和s统称为边界频率，它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他类型的
12、滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改成 ，0为滤波器通带中心频率。2/23p)(0jeH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.1.3 低通滤波器的幅频特性指标示意图 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 3 数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法完全不同。IIR滤波器设计方法有间接法和直接法，间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有
13、完善的图表和曲线供查阅；另外，还有一些典型的优良滤波器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 对于线性相位滤波器，经常采用FIR滤波器。可以证明，FIR滤波器的单位脉冲响应满足一定条件时，其相位特性在整个频带是严格线性的，这是模拟滤波器无法达到的。当然，也可以采用IIR滤波器，但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行校正，这样增加了设计与实现的复杂性。本章只介绍IIR滤波器的间接设计方法。为此，我们先介绍模
14、拟低通滤波器的设计，这是因为低通滤波器的设计是设计其他滤波器的基础。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是：先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。应当说明，滤波器设计公式较多，计算繁杂。但是，在计算机普及的今天，各种设计方法都有现成的设计程序（或设计函数）供我们调用。所以，只要掌握了滤波器基本设计原理，在工程实际中采用计算机辅助设计滤波器是很容易的事。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法
15、已发展得相当成熟，且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性
16、也稍严重。设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 选频型模拟滤波器按幅频特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅频特性如图6.2.1所示。但设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。椭圆滤波器的设计理论比较复杂，所以只介绍其MATLAB设计函数，并举例说明直接调用MATLAB函数设计椭圆滤波器的方法。其他滤波器的设计方法请参考文献9。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.1 各种理想模拟滤波器幅频特
17、性 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法本书中，分别用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下：可以用ha(t)、Ha(t)、Ha(j)中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。aaajaaa()LT()()ed(j)FT()()edsttHsh th ttHh th tt第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
18、 工程实际中通常用所谓的损耗函数（也称为衰减函数）A()来描述滤波器的幅频响应特性，对归一化幅频响应函数（本书后面都是针对该情况，特别说明的除外），A()定义如下（其单位是分贝，用dB表示）：（6.2.1）2aa()20lg(j)10lg(j)dB AHH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 应当注意，损耗函数A()和幅频特性函数|H(j)|只是滤波器幅频响应特性的两种描述方法。损耗函数的优点是对幅频响应|Ha(j)|的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。二者的特点如图6.2.2所示。图6.2.2(a)所示的幅频响应函数完全看不清阻带内取值较小（0.0
19、01以下）的波纹，而图6.2.2(b)所示的同一个滤波器的损耗函数则能很清楚地显示出阻带60 dB以下的波纹变化曲线。另外，直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线形状相反，所以，习惯将A()曲线称为损耗函数(本书中也如此称谓)，如图6.2.2（b）所示。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.2 幅频响应与损耗函数曲线的比较第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 模拟低通滤波器的设计指标参数有 p、p、s和s。其中p和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率，p称为通带最大衰减（即通带0，p中允许A()的最大值），s称为阻带最小衰减（即阻带s上允许A()的最小值），p和 s的单位为dB。
20、以上技术指标如图6.2.3所示,图(a)以幅频特性描述,图(b)以损耗函数描述。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.3 模拟低通滤波器的设计指标参数示意图 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 由图6.2.3可见，对于单调下降的幅度特性，p和 s可表示成：(6.2.2)(6.2.3)因为图6.2.3中，=3 dB，所以c称为3 dB截止频率。1和2分别称为通带和阻带波纹幅度，容易得到关系式：2pap10lg|(j)|H 2sas10lg|(j)|H 2/1|)j(|caH|)(|lg20cajH(6.2.4)(6.2.5)1lg(201p2slg20第6章 无限脉冲响应数字滤波器的
21、设计 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标。一般滤波器的单位冲激响应为实函数，因此如果能由 p、p、s和s求出|Ha(j)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的Ha(s)的极点必然落在右半平面。这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。对于上面介绍的五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。)j()j(|)()(|)j(|*a
22、ajaa2aHHsHsHHs(6.2.6)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计1 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：(6.2.7)式中，N称为滤波器的阶数。当=0时，|Ha(j)|=1；=c时，c是3 dB截止频率。在=c附近，随加大，幅度迅速下降。NH2c2a11|)j(|2/1|)(|jHa第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 幅度特性与和N的关系如图6.2.4所示。幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下
23、降的速度愈快,总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。以s替换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：(6.2.8)NssHsH2caaj11)()(第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 复变量s=+j，此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：(6.2.9)式中，k=0，1，2，2N-1。2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上(该圆成为巴特沃斯圆)，间隔是/Nrad。例如N=3，极点间隔为/3 rad，如图6.2.5所示。)21221(jcc21e)j()1(NkNks第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.4 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与 第6章 无限脉冲响应数字
24、滤波器的设计 图6.2.5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布图第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表达式为 (6.2.10)设N=3，极点有6个，它们分别为10ca)()(NkkNsssH22jj 330c1c2c11j j 333c4c5ce ,ee,essssss 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 取s平面左半平面的极点s0、s1、s2组成系统函数Ha(s)，即 由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯滤
25、波器采用对3 dB截止频率c归一化，归一化后的系统函数为)e)(e)()(32jc32jcc3cassssH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(6.2.11)令p=+j=s/c，=/c，称为归一化频率，p称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 (6.2.12)a1c0cc1NkksGss10a)(1)(NkkpppG第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，pk=sk/c,为归一化极点，用下式表示：(6.2.13)显然,这样，只要根据技术指标求出阶数N，按照(6.2.13)式求出N个极点，再按照(6.2.12)式得到归一化低通原型系统函数Ga(p)，如果给定c，再去
26、归一化，即将p=s/c代入Ga(p)中(或由(6.2.14)式求出sk=cpk)，便得到期望设计的系统函数Ha(s)。110 e21221j,N,kpNkkckksp(6.2.14)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 将极点表示式(6.2.13)代入(6.2.12)式，得到Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：（6.2.15）归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，k=0，1，N1，以及极点pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中还给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表可得到Ga(p)及各极点,而且可以选择级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了因式分
27、解运算工作。a1212101()NNNNNGppbpbpb pb第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 由(6.2.9)式和(6.2.10)式可知,只要求出巴特沃斯滤波器的阶数N和3 dB截止频率c，就可以求出滤波器的系统函数Ha(s)。所以，巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指标求阶数N和3 dB截止频率c的过程。下面先介绍阶数N的确定方法。阶数N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带、阻带的幅度下降速度，它由技术指标p、p、s和s确定。将=p代入幅度平方函数(6.
28、2.7)式中，再将幅度平方函数|Ha(j)|2代入(6.2.2)式，得到：(6.2.16)10/2cpp101N第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 将=s代入(6.2.7)式中，再将|Ha(j)|2代入(6.2.3)式中，得到：(6.2.17)由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：10/2css101Nsp/10s/10p101101N第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 令(6.2.18a)(6.2.18b)ssppsp/10sp/10101101k则N由下式表示：(6.2.18c)spsplglgkN 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于或等
29、于N的最小整数。关于3 dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出。由(6.2.16)式得到：(6.2.19)N211.0pc)110(p由(6.2.17)式得到：(6.2.20)N211.0sc)110(s第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 请注意，如果采用(6.2.19)式确定c，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余；如果采用(6.2.20)式确定c，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标p、p、s和s，用(6.2.18)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.13)式，求
30、出归一化极点pk，将pk代入(6.2.12)式，得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。也可以根据阶数N直接查表6.2.1得到pk和Ga(p)。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(3)将Ga(p)去归一化。将p=s/c代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数这里c为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出c，可以按照(6.2.19)式或(6.2.20)式求出。【例例6.2.1】已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大衰减 p=2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减 s=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。c|)()(asppGsH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的
31、设计 解解(1)确定阶数N。sp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN取N=5第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(2)按照(6.2.13)式，其极点为按照(6.2.12)式，归一化低通原型系统函数为上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5直接查表得到：57j456j3j254j153j0e ee eeppppp，40a)(1)(kkpppG第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 极点：0.3090j0.9511，0.8090j0.5878,1.0000归一化低
32、通原型系统函数为式中,b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式为以上公式中的数据均取小数点后四位。012233445a1)(bpbpbpbpbppG)1)(16180.1)(16180.0(1)(22appppppG第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(3)为将Ga(p)去归一化，先求3 dB截止频率c。按照(6.2.19)式，得到：将c代入(6.2.20)式，得到:krad/s 2755.52)110(211.0pcENs10.12sc(101)2 10.525 krad/sN第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 此时
33、算出的比题目中给的s小，因此，过渡带小于指标要求。或者说，在s=212 krad/s时衰减大于30 dB，所以说阻带指标有富余量。将p=s/c代入Ga(p)中,得到：s5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 2.用用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 MATLAB信号处理工具箱函数buttap,buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其5种调用格式如下。1）Z，P,K=buttap(N)该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频率c=1）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点
34、和增益因子。返回长度为N的列向量Z和P，分别给出N个零点和极点的位置，K表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式:（6.2.21）a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G(p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，Z(k)和P(k)分别为向量Z和P的第k个元素。如果要从计算得到的零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B和A,可以调用结构转换函数B,A=zp2tf(Z,P,K)。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 2）N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As)该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。调用参数wp
35、和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求0wp1，0ws1,1表示数字频率（对应模拟频率Fs/2，Fs表示采样频率）。Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。当wswp时，为高通滤波器；当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。N和wc作为butter函数的调用参数。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 3）N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s)该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。wp、ws和wc是实际模拟角频率（rad/s）。其他参数与格式2）相同。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
36、 4）B,A=butter(N,wc,ftype)计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3 dB截止频率的归一化值（关于归一化），一般按格式2）调用函数buttord计算N和wc。由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数：（6.2.22）1(N 1)N1(N 1)NB(z)B(1)B(2)zB(N)zB(N1)zH(z)A(z)A(1)A(2)zA(N)zA(N1)z式中，B(k)和A(k)分别为向量B和A的第k个元素。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 5）B,A=butter(N,wc,ftype,s)计算巴
37、特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3 dB截止频率（实际角频率）。由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为NN 1aNN 1B(s)B(1)sB(2)sB(N)sB(N 1)H(s)A(s)A(1)sA(2)sA(N)sA(N 1)（6.2.23）第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个3 dB截止频率wc，因此仅由调用参数wc不能区别要设计的是高通还是低通滤波器。当然仅由二维向量wc也不能区分带通和带阻。所以用参数ftype来区分。ftype=high时，设计3 dB截止频率为wc的
38、高通滤波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。ftype=stop时，设计通带3 dB截止频率为wc的带阻滤波器，此时wc为二元向量wcl,wcu，wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3 dB下截止频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器，通带为频率区间wclwcu。应当注意，设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶的。这是因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器级联。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计【例例6.2.2】调用buttord和butter设计巴特沃斯低通模拟滤波器。要求与例6.2.1相同。设计程序ep622.m如下:wp=2*pi*5000;ws=2*pi*1
39、2000;Rp=2;As=30;%设置滤波器参数N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);%计算滤波器阶数N和3 dB截止频率B,A=butter(N,wc,s);%计算滤波器系统函数分子分母多项式系数第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);subplot(2,2,1);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(频率(kHz);ylabel(幅度(dB)axis(0,14,-40,5)运行结果:N=5，wc=3.7792e+
40、004，B=7.7094e+022A=11.2230e+0057.4785e+0092.8263e+0146.6014e+0187.7094e+022第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 将B和A代入（6.2.23）式写出系统函数为与例6.2.1计算结果形式相同。滤波器的损耗函数曲线如图6.2.6所示。由图可以看出，阻带刚好满足指标要求，通带指标有富余。这就说明buttord函数使用（6.2.20）式计算3 dB 截止频率。a5432BH(s)sA(2)sA(3)sA(4)sA(5)sA(6)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.6 程序ep622.m运行输出的损耗函数(例6.2.1
41、的设计结果)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.2.3 切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器的设计1 切比雪夫滤波器的设计原理切比雪夫滤波器的设计原理巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是阻带都是频率的单调减函数。因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。因此，更有效的设计方法应该是将逼近精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布在两者之内。这样，就可以使滤波器阶数大大降低。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式：振幅特性在通带内是等波
42、纹的、在阻带内是单调下降的切比雪夫型滤波器；振幅特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图6.2.7(a)和(b)分别画出不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性。第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.7 不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。其幅度平方函数用|Ha(j)|2表示：(6.2.24)式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大;p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫
43、多项式，定义为2a22p1|(j)|1NHC1|)arch(ch1|)arccoscos()(xxNxxNxCN，第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x21；当N=3 时，C3(x)=4x33x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为(6.2.25)切比雪夫多项式的特性：(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内；(2)当|x|1时，|CN(x)|1，在|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。)()(2)(11xCxxCxCNNN第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.8 四阶切比雪夫
44、型和巴特沃斯低通滤波器的幅频特性比较第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 这样，当|x|1时，在0至2之间波动，函数1+的倒数即是幅度平方函数|Ha(j)|2。所以|Ha(j)|2在0，p上有等波纹波动，最大值为1，最小值为1/(1+2)。当p时，|Ha(j)|2随加大，很快接近于零。图6.2.8分别画出了四阶切比雪夫型和巴特沃斯低通滤波器的幅频特性，显然,切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有较窄的过渡带。按照(6.2.24)式，幅度平方函数与三个参数（、p、N）有关。其中与通带内允许的波动幅度有关，定义允许的通带内最大衰减p用下式表示：)(22xCN)(22xCN2app2amax(j)10lg
45、|min(j)HH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 式中因此这样，根据通带内最大衰减 p，可以求出参数。阶数N影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数。设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的|Ha(j)|2用(6.2.24)式确定：22aa21max()1 min()1HjHj(6.2.26)(6.2.27)1lg(102p110p1.02第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(6.2.28)令s=s/p，由s1，有可以解出2as22s1()1NpHjCss2as11()ch arch()1()NCNH(6.2.29)(6.2.30)
46、2ass11arch1(j)arch()HNsp2as111charch1(j)NH第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 3 dB截止频率用c表示，按照(6.2.24)式，有通常取c1，因此上式中仅取正号，得到3 dB截止频率计算公式：(6.2.31)2ac1(j)2Hpccc221)(，NCcc1()ch arch()NCN 1arch1chpcN第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 p通常是设计指标给定的，由(6.2.27)和(6.2.29)式求出和N后，可以求出滤波器的极点，并确定归一化系统函数Ga(p)，p=s/p。下面略去繁杂的求解过程，仅介绍一些有用的结论。设Ha(s)的极点为si
47、=i+ji，可以证明：(6.2.32)式中NiNiNiii,3,2,1 212cosch212sinchpp（6.2.33）(6.2.34)1arsh1N1chsh22p222p2ii第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(6.2.33)式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：式中(6.2.35)(6.2.36)(6.2.37)NNa1121NNb11211112第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在bp为长半轴、ap为短半轴的椭圆上的点。为因果稳定，用左半平面的极点构成Ga(p
48、)，即(6.2.38)式中,c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.24)式可导出：c=2N1，代入(6.2.38)式，得到归一化的系统函数为NiippcpG1a)(1)(6.2.39)NiiNpppG11a)(21)(第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 去归一化后的系统函数为(6.2.40)按照以上分析，归纳出切比雪夫型滤波器设计步骤：(1)确定技术指标参数 p、p、s和s。p是=p时的衰减，s是=s时的衰减，它们满足ppaa1p1()()2()NsNpNiiHsGpsp第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 这里 p就是前面定义的通带最大衰减，见(6.2.26)式。(2)求滤波器阶数N和参
49、数。归一化边界频率为p=1,s=s/p。由(6.2.24)式得到：(6.2.41)(6.2.42)p2ap110lg|(j)|Hs2as110lg|(j)|H2p2ap2s2as11()(j)11()(j)NNCHCH 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 将以上两式代入(6.2.41)和(6.2.42)式，得到：pssp0.12222p0.1222ss0.12s0.1101()1cos(arccos1)1101()1ch(arch)101ch(arch)101NNCNCNN 令(6.2.43)110110ps1.01.011k第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 则，因此 (6.2.44)这
50、样，先由(6.2.43)式求出，代入(6.2.44)式，求出阶数N，最后取大于或等于N的最小整数。按照(6.2.27)式求：(6.2.45)11Archch kNs)(arch)(archs11kN11kp0.12101第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(3)求归一化系统函数Ga(p)。为求Ga(p)，先按照(6.2.32)式求出归一化极点pk,k=1，2，N。(6.2.46)将极点pk代入(6.2.39)式，得到：NkNkpk2)12(coschj2)12(sincha1i11()2()NNiGppp第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(4)将Ga(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即(
