1、第一节等 差 数 列一、数列在日常生活中,经常遇到按某种顺序排成一列的数,如学生的学号,是按自然数顺序依次排列的,若某班共40人,其学生号可以编排为1,2,3,40(1)正的偶数2n(nN),当n依次取1,2,3,时,排出的一列数为2,4,6,8,10,(2)数轴上的点(如图7-1)由自然数的倒数(nN)组成,当n依次取1,2,3,时,排出的一列数是1,(3)图7-1“一尺之棰,日取其半,万世不竭”我们可将每日所剩下的棰的长度记录为,(4)无穷多个1排成的一列数:1,1,1,1,(5)某人按动十次函数形计算器的(2ndF)(RANDOM)键,得到十个随机数:0.098,0.265,0.086,
2、0.968,0.233,0.987,0.862,0.357,0.142,0.988(6)定义按照一定的顺序排成一列的数a1,a2,a3,an,叫做数列,记为an。数列an的每一个数叫做数列的一个项。按照它所在的位置分别叫做首项a1,第二项a2,第n项an叫做数列的通项。例如,上述数列(2)的第一项是a1=2,第二项a2=4,第n项an=2n下面再举一些例子:函数f(n)=3-2n,当自变量n取自然数1,2,3,时,所对应的函数值为1,-1,-3,-5,-7,(7)函数f(n)=n2-(n+3)(n-2),当自变量n取自然数1,2,3,时,所对应的函数值为5,4,3,2,1(8)从上面的两个例子
3、可以看出,以自然数n为自变量的函数f(n),当自变量n取自然数时,所对应的函值f(1),f(2),f(3),的全体组成一个数列。如果数列的第n项an与项数n之间的对应关系能用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。例如数列(2)的通项公式是an=2n(n=1,2,3,);数列(3)的通项公式是an=(nN);数列(7)的通项公式是3-2n等。但是,并不是所有的数列都能写出它的通项公式的,例如,数列(6)就难以写出通项公式。项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列。上面各例中的数列(1)、(6)是有穷数列,其余都是无穷数列。例1根据数列的通项公式,写出它的前4项:(1
4、)an=;(2)an=(-1)n-1n2。解 (1)将n=1,2,3,4依次代入an=中,得到数列的前4项为0,(2)将n=1,2,3,4依次代入an=(-1)n-1n2中,得到数列的前4项为1,-4,9,-16。(1)1,3,5,7,;(2)1,-,-,;(3),。例2观察下列数列的变化规律,写出它们的通项公式:解 (1)是奇数数列,它的通项公式是an=2n-1;(2)数列的每一项的绝对值的分子都是1,分母都是项数的2倍减1,而奇数项数值为正,偶数项数值为负,所以它们的通项公式为an=(-1)n+1(3)数列的每一项的分母都是项数加1,而分子3,8,15,24,35,可写为22-1,32-1
5、,42-1,52-1,62-1,即都是分母的平方减1,所以它的通项公式为an=二、等差数列的定义我们先来看两个数列:1,3,5,7,9,(1)9,4,-1,-6,-11,(2)在这两个数列中,从第2项起,每一项减去它的前一项,所得的差都等于同一个常数。在数列(1)中,这个常数是3-1=5-3=7-5=9-7=2。在数列(2)中,这个常数是4-9=-1-4=-6-(-1)=-11-(-6)=-5。对于具有这样规律的数列,给出下面的定义:定义如果数列a1,a2,a3,an,d=a2-a1=a3-a2=an-an-1=那么这个数列就叫做等差数列,常数d叫做公差。d=0时,数列是常数列。从第2项起,每
6、一项减去它的前一项,所得的差都等于某一个常数d,即例3在等差数列an中,已知a1=5,a2=2,求公差d及a3。解由等差数列的定义可知:d=a2-a1=2-5=-3因为a3-a2=d,所以a3=a2+d=2+(-3)=-1三、等差数列的通项公式由等差数列的定义可知 一般地有an=a1+(n-1)d(7-1)式(7-1)叫做等差数列的通项公式。这个公式描述了a1,an,n,d四个量之间的关系,如果知道其中任何三个量,都可以求出另外一个量。例4求等差数列-5,-7,-9,-11,的第15项。解 a1=-5,d=a2-a1=-7-(-5)=-2,n=15代入式(7-1),得a15=-5+(15-1)
7、(-2)=-33例5已知等差数列中a1=7,d=3,an=304,求数列的项数n。解由等差数列的通项公式可得304=7+(n-1)3解这个方程,得n=100。例6已知等差数列中a4=10,a7=19,求d,a1,a14。解 由题意,得方程组 即 解此方程组,得 所以数列的第14项为 a14=a1+13d=1+39=40。例7在8与36中间插入6个数,使这8个数成等差数列,求所插入的六个数。解 由已知条件可知a1=8,a8=36,代入式(7-1)得36=8+(8-1)dd=4所以插入的六个数为:12,16,20,24,28,32。四、等差中项定义 如果a,A,b三个数成等差数列,那么A叫做a与b
8、的等差中项。根据等差数列的定义,得A-a=b-A即A=这就是说,如果三个数成等差数列,那么等差中项等于另两项的算术平均数。容易看出,一个等差数列从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。例9求-与+的等差中项A。解根据等差数列的定义,A=。例10设数列an是等差数列,求证a7是a2与a12的等差中项。证设d为等差数列an的公差,则有a2=a1+d,a7=a1+6d,a12=a1+11d;因为(a2+a12)=(a1+d)+(a1+11d)=a1+6d=a7,所以a7是a2与a12的等差中项。想一想:例10的情况能否推广?五、等差数列的前n项和的公式德国数学家高斯
9、(C.F.Gauss,17771855)幼年时就显露了他的才华,一次老师要学生计算由1到100的所有的整数的和,小高斯稍加思索就算出了1+2+3+4+100=5050,他是如何思考的?他是这样计算的:假设 1+2+3+100=x(1)100+99+98+1=x(2)由(1)+(2)得101+101+101+101=2x2x=101100 x=5050这里的关键在于第1个数与第100个数的和,第2个数与第99个数的和,第50个数与第51个数的和相等。于是,可以用乘法来简化运算。一般地,设等差数列为a1,a2,a3,an,它的前n项的和为Sn,即Sn=a1+a2+a3+an(1)根据等差数列的通项
10、公式,上式还可以写成Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d(2)(1)式又可以写成Sn=an+an-1+an-2+a1 即Sn=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d(3)把(2)、(3)两式的两边分别相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)即Sn=(a1+an)(7-2)如果把an=a1+(n-1)d代入上式,则得公式的另一种形式Sn=na1+d(7-3)例11已知数列an为等差数列,(1)如果a1=50,a8=15,求S8;(2)如果a1=3,d=-0.5,求S10。解 (1)把a1=50,a8=15,n=8,代入
11、式(7-2),得S8=260;(2)把a1=3,d=-0.5,n=10,代入式(7-3),得S10=103+(-0.5)=7.5。例12在等差数列中,已知a1=-5,d=2,Sn=-8,求项数n。解 把已知数据代入式(7-3),得-8=n(-5)+2化简后,得n1=4,n2=2。因此这个数列的前4项或前2项和为-8。例13 打一口30m深的井,打到第1m深处需要40min,从第1m深处打到第2m处需要50min,以后每深1m,都比前1m多用10min,求打完这口井总共要用多少时间?解由例5知:a1=40min,a30=330min,d=10min,得S30=5550(min)=92.5(h)例
12、14已知等差数列an的前5项和为0,前10项和为-100,求前20项的和。解 设等差数列的首项为a1,公差为d,那么由题意得S5=5a1+d=5a1+10dS10=10a1+d=10a1+45d于是 从而解得a1=8,d=-4因此S20=208+(-4)=-600。第二节等 比 数 列一、等比数列的定义我们先来看下面的数列1,2,4,8,16,32,64,128,256,(1),(2)1,-,-,(3)在这些数列中,从第2项起,每一项与它前一项的比都等于同一个不等于零的常数,在数列(1)中,这个常数是=2;在数列(2)中,这个常数是=;在数列(3)中,这个常数是=-。对于具有这样规律的数列,给
13、出下面的定义:定义如果数列a1,a2,a3,an,(a10)从第2项起,每一项与它前一项的比都等于同一个不等于零的常数q,即q=,那么这个数列就叫做等比数列,常数q叫做公比。上面的数列(1),(2),(3)都是等比数列,它们的公比分别为q=2;q=;q=-。例1在等比数列an中,已知a1=5,a2=2,求公比q及a3。解 由等比数列的定义可知:q=因为=q,所以a3=a2q=2=二、等比数列的通项公式由等比数列的定义,可知 一般地an=a1qn-1(7-4)式(7-4)叫做等比数列的通项公式式(7-4)表示了等比数列的a1,q,n,an四个量之间的关系。如果知道其中任意三个量,就可以求出另外一
14、个量。例2在等比数列an中,已知a1=,a2=2,求a5。解 由a1=,a2=2,求得q=3,n=5,代入式(7-4),得a5=a1q4=34=54例3在等比数列an中,已知a1=1,an=256,q=2,求项数n。解 把已知数据代入式(7-4),得256=12n-1即28=2n-1 从而8=n-1得n=9例4在等比数列an中,已知a1=27,a6=,求公比q。解 由式(7-4)可得=27q5,即q=。例5某产品经过四次革新后,成本由原来的105元下降到60元,设这种产品的成本每次下降的百分比相同,问这个百分比是多少?(精确到0.1%)解 设所求的百分比为x,则经过四次革新后的产品的成本可列为
15、数列:105(1-x),105(1-x)2,105(1-x)3,105(1-x)4 这是一个等比数列,其中a4=105(1-x)4=601-x=x=0.1306即这个百分比是13.1%。三、等比中项定义如果a,G,b三个数成等比数列,那么数G就叫做数a与b的等比中项。由定义可知,=,即G2=ab(7-5)这就是说,如果三个数成等比数列,那么等比中项的平方等于另两项的积。容易看出,一个等比数列从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。当ab0时,G=存在;ab0时,G不存在。例6求12和108的等比中项G。解根据等比中项的定义可知G=36例7设数列an是等比数列,
16、求证a7是a2与a12的等比中项。证 设q为等比数列an的公比,则有a2=a1q,a7=a1q6,a12=a1q11 因为a2a12=a1qa1q11=(a1q6)2=所以a7是a2与a12的等比中项。想一想:例7的情况能否推广?例8在3与9中间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求所插入的两个数。解设两个正数为x,y,根据题意,得 解得 即所插入的两个正数为,。例9设a,b都是正数,求证。证 因为a0,b0所以,都有意义,又因为(-)20,展开得a-2+b0所以有 这说明,任意两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。设等比数列为a1,a2,a3,an,它的前n项的和为Sn
17、,即Sn=a1+a2+a3+an(1)根据等比数列的通项公式,(1)还可以写成Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-1(2)四、等比数列前n项和的公式(2)式两边同时乘以q,得 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn(3)(2)-(3),得(1-q)Sn=a1-a1qn 当公比q1时,得Sn=(q1)(7-6)当公比q=1时,因为a1=a2=an,所以Sn=na1,q=1(7-7)例10求等比数列1,的和。解因为a1=1,q=,n=5,所以S5=例11已知等比数列的前5项和,q=,求这个数列的前5项。解 因为S5=,所以a1=2即这个等比数列的前5项是2,1,。例12某工厂今
18、年某项生产的利润为5万元,计划使用一项新技术,使利润在五年内平均增长10%,求该项生产五年的总利润(包括今年的利润)。解由题意,该项生产在这五年内的利润成以下的等比数列:5,5(1+10%),5(1+10%)2,5(1+10%)3,5(1+10%)4 即a1=5,q=1+10%=1.1,n=5。带入公式(7-6),得Sn=30.53即这五年内的总利润为30.53万元。由式(7-4)和(7-6)可以看出,如果知道等比数列a1,q,n,an,Sn五个量中的任何三个量,就可以利用这些公式求出另外两个量。例13已知等比数列an中q=2,an=96,Sn=189,求n与a1。解根据题意,q1,把已知数据
19、代入式(7-4)和(7-6),得方程组 解此方程组,得n=6,a1=3。例14已知等比数列an中,公比q=2,前4项和S4=1,求an的前8项和S8。S8=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)解法一 S8=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=17解法二 S8=(1)S4=(2)(1)(2),得=1+q4,S8=(1+q4)S4=17。练习1:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求此四个数。(15,9,3,1或0,4,8,16)练习2:某工厂每年的产值以10%的速度
20、增长,如果2002年的产值为1000万元,那么到2005年该厂的产值是多少?(1331万元)第三节数列的极限一、数列极限的定义我们常会遇到这样一类数列an,当n无限增大时,an与某一个常数无限接近。先看下面两个数列:1,(1)2,(2)我们把这两个数列的前几项分别在数轴上表示出来,如图7-2,图7-3所示。图7-2图7-3由图7-2可以看出,当n无限增大时,表示数列an=的点逐渐密集在x=0的右侧,即数列an无限趋近于0;由图7-3可以看出,当n无限增大时,表示数列an=的点逐渐密集在x=1的左右两侧,即数列an无限趋近于1。归纳这两个数列的变化趋势,一般地,我们给出下面的定义。定义 如果当n
21、无限增大时,数列an无限趋近于一个确定的常数C,那么称C为数列an的极限,记为an=C或当n时,anC读作n趋向无穷大时,数列an的极限等于C。例如,=0,=1。例1考察下列数列的变化趋势,写出它们的极限。(1)an=;(2)an=2-;(3)an=(-1);(4)an=-8。=2;=2;(-1)=0;(-8)=-8。从以上所举的例子可以推得下列的结论:(1)对于数列,有=0(0);(2)对于数列qn,有qn=0(|q|1);(3)对于数列C,有C=C。想一想:是不是任何数列都有极限?例如an=2n,an=(-1)n+1,为什么?an=2n,当n无限增大时,2n也无限增大,不能无限趋近于一个确定的常数,这个数列没有极限。an=(-1)n+1,当n无限增大时,an在1与-1两个数来回跳动,不能无限趋近于一个确定的常数,这个数列没有极限。因此,并不是任何数列都有极限的。对于没有极限的数列,也说数列的极限不存在。二、数列极限的四则运算我们已经学了数列、qn和C的极限,如何求由这些数列的和、差、积、商所得的数列的极限呢?这需要研究数列极限的运算性质。
