1、(2018北京,22,5分)如图,AB是O的直径,过O外一点P作O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP, CD. (1)求证:OPCD; (2)连接AD,BC,若DAB=50,CBA=70,OA=2,求OP的长.,北京中考题组,思路分析 本题第(1)问可以通过切线的相关定理和等腰三角形“三线合一”来解决.本题第(2)问需要添 加辅助线构造三角形来推导角的度数,借助特殊角的三角函数解决问题.,教师专用题组 考点一 锐角三角函数,1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,
2、C=90,tan A= =3.,2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS), AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90, ABD+CBE=90,即ABC=90, tanBAC= =1,故选B.,3.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹 角的正切值等于 ( ) A. B. C. D.,3.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜
3、坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹 角的正切值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的正 切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,4.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与A,B重合),连 接OP,设POB=,则点P的坐标是 ( ) A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos ) C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos ),答案
4、C 过P作PQOB,交OB于点Q, 在RtOPQ中,OP=1,POQ=, sin = ,cos = ,即PQ=sin ,OQ=cos , 点P的坐标为(cos ,sin ).故选C.,5.(2015河北,9,3分)已知:岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上.符 合条件的示意图是 ( ),答案 D 本题考查方向角的简单识别,选D.,6.(2019内蒙古包头,17,3分)如图,在ABC中,CAB=55,ABC=25.在同一平面内,将ABC绕点A逆时针 旋转70得到ADE,连接EC,则tanDEC的值是 .,答案 1,解析 在ACB中,ACB=180-55-2
5、5=100,由旋转的性质可得AED=ACB =100,CAE=70,AE= AC,AEC= =55,DEC=100-55=45,tanDEC=1.,解题关键 抓住旋转的性质得出AEC是等腰三角形且CAE=70是解答本题的关键.,7.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC的 延长线于点F,在AF上取点M,使得AM= AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是 , 则 的值是 .,答案 8-,解析 过H作HGAC于点G,如图. AF平分EAC,EAF=CAF. DEBF,EAF=AFC, CAF=AFC,
6、CF=CA=2. AM= AF,AMMF=12. DEBF, = = = ,AH=1,SAHC=3SAHM= , 2GH= ,GH= , 在RtAHG中,AG= = , GC=AC-AG=2- = , = =8- .,解题思路 过H作HGAC于点G,构造直角三角形,再分别求出相应的边即可.,8.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海 上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80海里, 再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南
7、方向的 D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75),解析 由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80. 在RtACD中,cosACD= ,0.34 ,CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD= ,0.75 ,BD20.4. 答:还需要航行的距离BD的长约为20.4海里.,考点二 解直角三角形,1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于 地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜
8、坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6 米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos 36 0.81,tan 360.73)( ) A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米,2.(2015四川绵阳,10,3分)如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱 BC成120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线 时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为 ( ) A.(11-2 )米 B.(11 -2
9、)米 C.(11-2 )米 D.(11 -4)米,答案 D 延长BC、OD交于点E,CDOD,DCB=120,E=30, B=90,OB=22 =11米,EB=11 米, 在RtDCE中,CE=2DC=4米.BC=EB-CE=(11 -4)米,故选D.,3.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市 的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35,底部D的 俯角为45,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 350.57, cos
10、350.82,tan 350.70),解题关键 本题为解直角三角形的实际问题,过点C作CEAB构造出直角三角形和矩形是解题关键.,4.(2019吉林,21,7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm,花洒AC的长 为30 cm,与墙壁的夹角CAD为43,求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1 cm). (参考数据:sin 43=0.68,cos 43=0.73,tan 43=0.93),解析 性质探究 . (2分) 理解运用 (1)4 . (3分) (2)证明:EF=EG=EH, EFG=EGF,EGH=EHG. (5分) EFG+EHG=EGF+EGH
11、=FGH. (6分) 5 . (7分) 提示:由可知EFG+EHG=FGH. FGH=120, EFG+EHG=120. FEH+EFG+EHG+FGH=360, FEH=120.,6.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平桌 面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测 量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1) (1)如图2,ABC=70,BCOE. 填空:BAO= ; 求投影探头的端点D到桌面OE的距离; (
12、2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求ABC的大小. (参考数据:sin 700.94,cos 200.94,sin 36.80.60,cos 53.20.60),解析 (1)160. 如图1,延长OA交BC于点F, 图1 AOOE,AOE=90. BCOE,AOE=BFO=90, 在RtABF中,AB=30 cm, sinB= , AF=ABsinB=30sin 70300.94=28.20(cm).,图2,解后反思 解决此类解直角三角形问题的一般思路:将实际问题抽象成解直角三角形问题.弄清题目中各 量之间的关系,如果题目中有直角三角形,则根
13、据边角的关系进行计算,若图中没有直角三角形,可通过添加 辅助线构造直角三角形来解决.,7.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯 角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数). 参考数据:tan 481.11,tan 581.60.,解析 如图,过点D作DEAB,垂足为E. 则AED=BED=90. 由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90. 可得四边形BCDE为矩形. ED=BC=78,DC=EB. 在RtABC中,tanACB= ,AB=BCt
14、an 58781.60125. 在RtAED中,tanADE= , AE=EDtan 48. DC=EB=AB-AE=AB-EDtan 48125-781.1138. 答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m.,思路分析 过点D作DEAB,构造直角ADE和矩形BCDE,通过解直角ABC和直角ADE可求出答案.,8.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面 上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测 到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测
15、得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆 AB的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02),解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45, AEF=90. 在RtAEF中, =tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED, ABEFDE, = =tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分) 解法二:作FGAB于点G,思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出AB
16、EFDE,最后由相似三角形中对应边的 比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三角形 AFG中由锐角三角函数求出AB.,9.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC= , = ,直接写出tanCEB的值.,解析 (1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MB
17、A=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB. = =tanPAC= , 设PN=2t,则AB= t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BPBC,( t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t, tan C= . (3)在RtABC中,sinBAC= = ,tanBAC= = . 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, = = ,同(1)的方法得,ABGBCH, = = =
18、 , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, = = ,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB= = .,思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出 = = ,设PN=2t,则AB= t,再判断出ABP CBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出 = = ,同(1)的方法得,AB
19、GBCH,所以 = = = ,设BG =4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关 系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.,10.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低 杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离
20、为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直 线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB 的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.3 0.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7. (3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+
21、40=150.7151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+ BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关 系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形, 求出实际问题的答案.,11.(2018山西,19,8分),祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合
22、而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是 “三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一 项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表:,(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索端点C到AB的距离(参考数据:sin 380.6,cos 380.8, tan 380.8,sin 280.5,cos 280.9,tan 280.5); (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).,12.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下
23、轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定 在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC= OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位). (1)若OBC=50,求AC的长; (2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此过程中运动的路径长. 参考数据:sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14.,解析 (1)如图,过点O作ODAB于点D, 在RtOBD中, BD=OBcosOBD=60cos 50600.64=38.4(cm).
24、OC=OB,BC=2BD. AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm). (2)如图,AB=120 cm,AC=60 cm, BC=AB-AC=60 cm. OC=OB=60 cm,BC=OC=OB, OBC为等边三角形,OBC=60. 点O的运动路径为 , 点O运动的路径长为 =20=62.8(cm).,思路分析 (1)过点O作ODAB于点D,先根据OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的性质求得BC, 进而求得AC的长;(2)点O的运动路径是以点B为圆心,OB长为半径的圆弧,先确定当点C从点A向右运动60 cm后OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.,解题关键 解决本题的关
25、键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确理解点O的运 动路径.,考点一 锐角三角函数,1.(2018北京燕山一模,6)如图,在RtABC中,ACB=90,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,则ACD的正切 值是 ( ) A. B. C. D.,答案 D ACB=90,CD是AB边上的中线,AD=CD,ACD=A,tanACD=tanA= = = .,2.(2017北京西城一模,7)如图,小明在地面上放了一个平面镜,选择合适的位置,刚好在平面镜中看到旗杆的 顶部,此时小明与平面镜的水平距离为2 m,旗杆底部与平面镜的水平距离为16 m.若小明的眼睛与地面的距 离为1.5
26、 m,则旗杆的高度为(单位:m) ( ) A. B.9 C.12 D.,答案 C 如图: 由题意可知ACB=ECD,tan ACB=tan ECD, = , = .DE=12 m.故选C.,思路分析 通过读题,首先要标清边角条件,并借助解直角三角形的相关知识来解题.,解题关键 解决本题的关键是要明确平面镜的性质,从而得到反射角等于入射角,进而才能借助解直角三 角形或相似的相关知识来解决.,考点二 解直角三角形,1.(2019北京东城二模,7)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了 测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地起飞,垂直上升1 000米到
27、达C处,在C处观察B地的俯角为, 则A、B两地之间的距离约为 ( ) A.1 000sin 米 B.1 000tan 米 C. 米 D. 米,答案 C 由题意可知AC=1 000,ABC=.tanABC= ,AB= = .故选C.,答案 B tanABC= ,BC= = = .故选B.,3.(2019北京平谷一模,15)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC,交BC于点D,过点D作DEAB于点E, 若CD=2,BD=4,则AE的长是 .,答案 2,解析 AD平分BAC,DEAB,C=90,DE=CD=2. BD=4,sin B= .B=30.DAE=30.AE=BE=2 .,4.(20
28、18北京平谷二模,14)如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡从A滑行至B,已知AB=500米,则这 名滑雪运动员的高度下降了约 米.(参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 340.67),答案 280,解析 AC=ABsin 345000.56=280米.,5.(2017北京丰台二模,13)某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB 的高度.如图,他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30,然后向建筑物AB前进10 m到达点D处,又 测得点A的仰角为60,那么建筑物AB的高度是 m.,答案 5,解析 ABC=90,DAB=30,
29、CAB=60,CAD=30,AD=CD=10 m,AB=ADsin 60=10 = 5 m.,6.(2019北京门头沟二模,21)如图,在ABCD中,点E是BC边的一点,将边AD延长至点F,使得AFC=DEC, 连接CF,DE. (1)求证:四边形DECF是平行四边形; (2)如果AB=13,DF=14,tanDCB= ,求CF的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC. (1分) ADE=DEC. AFC=DEC, AFC=ADE, DEFC. 四边形DECF是平行四边形. (2分) (2)如图,过点D作DHBC于点H, (3分),四边形ABCD是平行四边形,AB=CD
30、=13, tanBCD= ,CD=13,DH=12,CH=5. (4分) DF=14,CE=14.EH=9. DE= =15.CF=DE=15. (5分),7.(2017北京丰台一模,23)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,DEAC于点E,且AE=CE,DE=5,EB=12. (1)求AD的长; (2)若CAB=30,求四边形ABCD的周长.,解析 (1)ABC=90,AE=CE,EB=12,EB=AE=CE=12.DEAC,DE=5, 在RtADE中,由勾股定理得AD= = =13. (2)在RtABC中,CAB=30,AC=AE+CE=24, BC=12,AB=ACcos 30=12
31、 .DEAC,AE=CE,AD=DC=13. 四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=38+12 .,一、选择题(每小题2分,共4分) 1.(2019北京怀柔二模,7)下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容:,设树顶端到地面的高度DC为x m,根据以上条件,可以列出求树高的方程为 ( ) A.x=(x-10)cos 56 B.x=(x-10)tan 56 C.x-10=xtan 56 D.x=(x+10)sin 56,30分钟 40分,答案 B =45,AC=DC.tan = ,DC=tan 56BC=tan 56(AC-AB).AB=10,x=(x-10)tan 56. 故选B.,解题
32、关键 解决本题的关键是用两种方式表示DC:线段的差及解直角三角形.,答案 A 通过量角器可以发现,圆和度数的交点的半圆半径即相应锐角的正弦值的近似值.所以正弦值最 接近0.94的是70,故选A.,二、填空题(每小题2分,共6分) 3.(2018北京石景山一模,15)在距办公楼20 m的点B处,用高为0.8 m的测角仪测得办公楼顶点C的仰角为63, 则办公楼CD的高约为 m. (精确到0.1 m,sin 630.89,cos 630.45,tan 631.96),答案 40.0,解析 过点A作AEBD交CD于E, tanCAE= = , 1.96 ,CE39.2米, CD=CE+DE=39.2+
33、0.8=40.0米.,4.(2018北京朝阳二模,11)2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞.下图是一种机翼的示意图, 用含有m、n的式子表示AB的长: .,答案 m+ n-n,解析 过点C作CE垂直BA,交BA的延长线于点E,则四边形CFBE为长方形,且长方形的长为m+ n,宽为n. ACE=45,CEA为等腰直角三角形,EA=CE=n,AB的长为m+ n-n.,5.(2018北京丰台二模,15)如图,一辆小汽车与墙平行停放,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米,小 汽车车门的宽AO为1.2米,当车门打开的角度AOB为40时,车门是否会碰到墙? (填“是”或 “否
34、”);请简述你的理由 . (参考数据:sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84),答案 否;求出点A到直线OB的距离,通过计算可得,此距离小于0.8,所以车门不会碰到墙,解析 过点A作ACOB,AC=AOsin 401.20.64=0.7680.8,所以车门不会碰到墙.,三、解答题(共30分) 6.(2019北京平谷一模,22)如图,在ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,连接AD,分别过点A,C作AEBC,CE AD,AE,CE交于点E,连接DE,交AC于点O. (1)求证:四边形ADCE是矩形; (2)若AB=10,sinCOE= ,求CE的长.,7.(2019
35、北京房山二模,21)如图,菱形ABCD的两条对角线交于点O,DFAC,CFBD. (1)求证:四边形OCFD是矩形; (2)若AD=5,BD=8,计算tanDCF的值.,解析 (1)证明:DFAC,CFBD, 四边形OCFD是平行四边形, (1分) 四边形ABCD是菱形,ACBD, DOC=90,四边形OCFD是矩形. (2分) (2)四边形ABCD是菱形,AD=CD, AD=5,CD=5. (3分) 菱形ABCD两条对角线交于点O, OD=OB= BD,OD=4, 四边形OCFD是矩形,OD=CF, 在RtCFD中,CF2+DF2=CD2, DF=3, (4分) tanDCF= = . (5
36、分),8.(2017北京怀柔二模,21)已知:如图,在四边形ABCD中,ABBD,ADBC,ADB=45,C=60,AB= .求四 边形ABCD的周长.,解析 ABBD,ABD=90. 在RtABD中,ABD=90,ADB=45, DAB=45. DAB=ADB. 又AB= ,AB=BD= , 由勾股定理得AD= =2 . ADBC,ADB=DBC=45. 过点D作DEBC,交BC于点E.,DEB=DEC=90. 在RtDEB中,DEB=90,DBC=45, BDE=45,sinDBC= . DBC=BDE,DE= . BE=DE= . 在RtDEC中,DEC=90,C=60. sin C=
37、,tan C= , CD=2,CE=1. BC=BE+CE= +1. 四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD= + +1+2+2 = +3 +3.,解析 AD=csin B,BD=ccos B. b2=a2+c2-2accos B. 补全图形如图. 结果:AC=2 .,10.(2017北京门头沟一模,28)已知ABC,AB=AC,BAC=,在BA的延长线上任取一点D,过点D作BC的平行 线交CA的延长线于点E. (1)当BAC=60时,如图1,依题意补全图形,直接写出EC,BC,ED的数量关系; (2)当BAC=90时,如图2,判断EC,BC,ED之间的数量关系,并加以证明; (3)当B
38、AC=时(0180),请写出EC,BC,ED之间的数量关系并写出解题思路.,解析 (1)补全图形如图. 数量关系:EC=BC+ED. (2)数量关系:BC+ED= EC. 过D作DFAC交BC的延长线于F点.,DFAC,EDBC, 四边形EDFC为平行四边形. ED=CF,EC=DF. AB=AC, ABC=ACB. EDBC,DEC=ECB,EDB=DBC.CED=BDE. AE=AD.EC=BD.BD=DF.DFAC,BDF=BAC=90. BDF为等腰直角三角形. 在RtBDF中,BF2=BD2+DF2, (BC+ED)2=2EC2,BC+ED= EC. (3)数量关系:BC+ED=2E
39、Csin . 由(2)可知四边形EDFC为平行四边形,BDF为等腰三角形,过D点作DNBC于N点,可得BN= BF,BDN= . 在RtBDN中,sinBDN= =sin . 可得BC+ED=2ECsin .,1.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60, CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm.,答案 ( + ),解析 如图,连接DE,过点E作EMBD于点M, 设EF交BD于点N, AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm, 点E为AB的中点,EMBD, D
40、E= AB=4 cm,EM= AD=2 cm, 由等腰直角三角形的性质可知ENM=FND=45, 在RtENM中,EN= EM=2 cm,MN=EM=2 cm, DN=DM-MN= DB-MN=(2 -2)cm, 在RtDFN中,FN= DN=( - )cm, EF=EN+FN=2 + - =( + )cm.,一题多解 过点A作AGCD的延长线于点G, CDB=CBD=45,ADB=90, ADG=45,AG= =2 cm, ABD=30,BD= AD=4 cm, CBD=45,BC= =2 cm, AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC, E是AB的中点,点F为CG的中点, EF= (A
41、G+BC)= (2 +2 )=( + )cm.,2.(2018吉林,21,7分)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,制订了如下测量方案,使用的工具是测角仪和皮 尺,请帮助组长林平完成方案内容,用含a,b,的代数式表示旗杆AB的高度. 数学活动方案 活动时间:2018年4月2日 活动地点:学校操场 填表人:林平,解析 测量步骤:(1)测角仪. (1分) (2)皮尺. (2分) 计算过程:由题意可知ADE=,DE=BC=a,BE=CD=b. 在RtADE中,AED=90. tanADE= , AE=DEtanADE. (4分) AE=atan . AB=AE+BE=(b+atan )米. (7分)
42、评分说明:计算结果没写单位或不加括号不扣分.,3.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果: sin27+sin2830.122+0.992=0.994 5, sin222+sin2680.372+0.932=1.001 8, sin229+sin2610.482+0.872=0.987 3, sin237+sin2530.602+0.802=1.000 0, sin245+sin245= + =1. 据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1. (1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立; (2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予
43、证明;若不成立,请举出一个反例.,解析 (1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260= + = + =1. 所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立. (2)小明的猜想成立.证明如下: 如图,ABC中,C=90, 设A=,则B=90-. sin2+sin2(90-)= + = = =1.,4.(2018贵州贵阳,18,8分)如图,在RtABC中,以下是小亮探索 与 之间关系的方法: sin A= ,sin B= , c= ,c= , = . 根据你掌握的三角函数知识,在图的锐角ABC中,探索 , , 之间的关系,并写出探索过程.,解析 如图1,过点A作BC边上的高AD, 图1 在RtABD中,sin B= ,在RtACD中,sin C= , AD=csin B,AD=bsin C, csin B=bsin C, = . 同理,如图2,过点B作AC边上的高BE,图2 在RtABE中,sin A= ,在RtBCE中,sin C= , BE=csin A,BE=asin C, csin A=asin C, = . 综上, = = .,
