1、A组 20152019年广西中考题组 考点一 矩形,1.(2019桂林,11,3分)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶点A,C,D都落在点O处,且 点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则 的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 在矩形ABCD中,A=D=90,AB=CD. 由折叠的性质可得点E、G分别为AD、DC的中点,AEB=BEO,OEG=GED,AB=OB,DG=OG, AE=DE= AD,DG=CG= CD= AB,BEG=90. 在RtABE中,BE2=AB2+AE2=AB2+ .在RtEDG中,EG2=ED2+DG2=
2、 + . 在RtBEG中,BE2+EG2=BG2, 即AB2+ + + = , 整理得 =2, 即 = .,2.(2018南宁,12,3分)如图,矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将CDP沿DP折叠,点C落在点E处, PE、DE分别交AB于点O、F,且OP=OF,则cosADF的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 由题意得RtDCPRtDEP,所以DC=DE=4,CP=EP, 在RtOEF和RtOBP中,EOF=BOP,B=E,OP=OF, 所以RtOEFRtOBP(AAS),所以OE=OB,EF=BP, 设EF=x,则BP=x,DF=DE-EF=4-x, 又因
3、为BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x, 所以AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x, 在RtDAF中,AF2+AD2=DF2,即(1+x)2+32=(4-x)2, 解得x= ,所以EF= ,DF=4- = , 在RtDAF中,cosADF= .,难点突破 折叠问题的核心结论是折叠前后不改变图形的形状和大小,因此题干中隐含了很多相等关系, 突破口在于利用折叠的性质将有关联的线段长用未知数表示,利用勾股定理得到关于所求线段或相关线段 的方程,难度适中.,3.(2019百色,18,3分)四边形具有不稳定性.如图,矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形ABCD,当变形
4、后 图形面积是原图形面积的一半时,则A= .,答案 30,解析 过B作BEAD于E. S矩形ABCD=2SABCD且AD=AD, AB=2BE,又AB=AB, AB=2BE. 在RtABE中,sinA= = , A=30.,思路分析 过B作AD的垂线段BE,则有BE= AB= AB,由此求得sinA= ,故A=30.,4.(2018贵港,16,3分)如图,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC的对应边B C 与CD交于点M,若B MD=50,则 BEF的度数为 .,答案 70,解析 由折叠可知B=B=90,BEF=BEF. 过B作BGAB交EF于G,则BGCDAB. DMB=MBG=50, AE
5、B=EBG=90-50=40. BEB=180-40=140. 又BEF=BEF, BEF= BEB = =70.,5.(2019梧州,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,AF平分DAC,分别交DC,BC的延长线于点E,F,连接 DF,过点A作AHDF,分别交BD,BF于点G,H. (1)求DE的长; (2)求证:1=DFC.,解析 (1)在矩形ABCD中,ADCF, DAF=AFC. AF平分DAC, DAF=CAF, CAF=AFC, AC=CF. AB=4,BC=3, 在RtABC中,AC= = =5, CF=AC=5. ADCF, ADEFCE, = .,设DE=
6、x(x0),则CE=4-x, = , 解得x= . DE= . (2)证明:ADFH,AHDF, 四边形ADFH是平行四边形, AD=FH=3, CH=2,BH=5. ADBH, ADGHBG, = , = , DG= . DE= , = = , EGBC,1=AHC. 又DFAH,AHC=DFC, 1=DFC.,思路分析 (1)由ADCF,AF平分DAC,可得FAC=AFC,进而得出AC=CF=5.由ADCF可得ADE FCE,则 = ,即可求出DE的长. (2)由ADGHBG,可求出DG的长,进而可得EGBC,则1=AHC,根据DFAH,可得AHC=DFC, 结论得证.,6.(2018玉林
7、,25,10分)如图,在ABCD中,DCAD,四个角平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分 别作DC与AB间的垂线MM与NN,在DC与AB上的垂足分别是M,N与M,N,连接EF. (1)求证:四边形EFNM是矩形; (2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.,解析 (1)证明:如图,过点E作EGAD于点G,过点F作FHBC于点H. DE平分ADC,EG=EM, 同理EG=EM, ME=ME,则E为MM的中点. 同理可证点F为NN的中点. 四边形ABCD为平行四边形,ABCDEF. 又MMCD,NNCD,MENF, 四边形EFNM为平行四边形,又EMN=90,四
8、边形EFNM为矩形. (2)DE,AE分别为CDA和DAB的平分线,2+3= =90,DEA=90, 在RtADE中,AD= =5. 在ADE和EDM中, ADEEDM. = ,即 = ,DM= . 1=2,AME=AED, ADEAEM, = ,即 = ,AM= , 在AEM和CFN中, AEMCFN,AM=CN= , MN=DC-DM-NC=9- - =4.EF=4.,7.(2017百色,22,8分)矩形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,CE、AF分别交BD于G、H两点.求证: (1)四边形AFCE是平行四边形; (2)EG=FH.,证明 (1)四边形ABCD是矩形, ADBC,A
9、D=BC, E、F分别是AD、BC的中点, AE= AD,CF= BC, AE=CF, 四边形AFCE是平行四边形. (2)四边形AFCE是平行四边形, CEAF, DGE=AHD=BHF, ADBC, EDG=FBH, 在DEG和BFH中,DEGBFH(AAS), EG=FH.,思路分析 (1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可; (2)证明EG所在的DEG与FH所在的BFH全等即可得出EG=FH.,8.(2017南宁,22,8分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF. (1)求证:AE=CF; (2)若AB=6,COD=60,求矩形A
10、BCD的面积.,解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, OA=OC,OB=OD, BE=DF,OE=OF, 又AOE=COF, AOECOF(SAS), (3分) AE=CF. (4分) (2)四边形ABCD为矩形, BCD=90,AB=CD=6,OD=OC. (5分) COD=60,OCD为等边三角形, OD=OC=CD=6,BD=2OD=12. (6分) 在RtBCD中,BC2+DC2=BD2, BC= =6 . (7分) S矩形ABCD=BCCD=6 6=36 . (8分),思路分析 (1)证AOECOF,可得AE=CF;(2)要求矩形ABCD的面积,只要求BC即可,因为四边形ABCD
11、 是矩形,COD=60,所以OCD是等边三角形,从而得出OD=6,故BD=12,再利用勾股定理即可求出BC,从 而求出矩形ABCD的面积.,考点二 菱形,1.(2019玉林,7,3分)菱形不具备的性质是 ( ) A.轴对称图形 B.中心对称图形 C.对角线互相垂直 D.对角线一定相等,答案 D 菱形的性质主要有:四边相等;对边平行且相等;对角相等;对角线互相平分且垂直,且平分每一组 对角;既是轴对称图形又是中心对称图形.因此A、B、C选项均是菱形具有的性质,而D选项不是菱形的性 质,故选D.,2.(2018贵港,11,3分)如图,在菱形ABCD中,AC=6 ,BD=6,E是BC边的中点,P、M
12、分别是AC,AB上的动点,连 接PE,PM,则PE+PM的最小值是 ( ) A.6 B.3 C.2 D.4.5,答案 C 在菱形ABCD中,设AC,BD交于点O, 则OC= AC=3 ,OB= BD=3, ACBD,BC= =3 , S菱形= ACBD= 6 6=18 . 作E关于AC的对称点E,则E为CD的中点. 作EMAB交AC于点P,交AB于点M,此时PM+PE最小,且PM+PE=EM. AB=BC=3 ,ME= =2 . PM+PE的最小值为2 . 故选C.,3.(2019北部湾经济区,16,3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AHBC于点H,已知BO =4
13、,S菱形ABCD=24,则AH= .,答案,解析 四边形ABCD是菱形, BO=DO=4,AO=CO,BD=8,AC=2AO. 又S菱形ABCD= =24, AC=6,则AO=CO= AC=3. 在RtBOC中,BC= = =5, AHBC,S菱形ABCD=AHBC=24, 即AH5=24, AH= .,4.(2019梧州,18,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,将菱形ABCD绕点A按逆时针方向旋转,对应得 到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是 .,答案 -1,5.(2017南宁,16,3分)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=2,BD=2
14、 ,将菱形按如图方式折叠,使点B与 点O重合,折痕为EF,则五边形AEFCD的周长为 .,答案 7,解析 四边形ABCD是菱形,OA=OC= AC=1,OD=OB= BD= ,ACBD,AD= =2,tan ADO= = ,ADO=30,ADC=60=ABC,ABC是等边三角形.由折叠及菱形的性质可得OB 与EF互相垂直平分,则OE=EB=BF=FO,EOB=EBO=ADO=30,AOE=90-30=60=OAE, AOE和BEF均为等边三角形,故EF=EB=EO=AE=1,由此可知FC=1,五边形AEFCD的周长为AE+EF+FC+ CD+DA=1+1+1+2+2=7.,思路分析 根据菱形的
15、对角线互相垂直平分及勾股定理,求出菱形的边长,再根据折叠的性质求出AE,EF, FC的长,进而求出五边形AEFCD的周长.,6.(2019百色,22,8分)如图,菱形ABCD中,作BEAD,CFAB,分别交AD、AB的延长线于点E、F. (1)求证:AE=BF; (2)若点E恰好是AD的中点,AB=2,求BD的值.,解析 (1)证明:四边形ABCD是菱形, AB=BC,ADBC, (1分) A=CBF. (2分) BEAD,CFAB, AEB=BFC=90, AEBBFC, (3分) AE=BF. (4分) (2)E是AD的中点,且BEAD, BE垂直平分AD, (6分) BD=AB=2. (
16、8分),7.(2019贺州,24,8分)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF. (1)求证:ABECDF; (2)当ACEF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.,思路分析 (1)由矩形的性质得出B=D=90,AB=CD,AD=BC,ADBC,再结合AE=CF可证明RtABE RtCDF. (2)由全等三角形的性质得出BE=DF,即可得出CE=AF,又由CEAF,可证出四边形AECF是平行四边形,再 结合ACEF,即可得出四边形AECF是菱形.,8.(2018柳州,23,8分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2. (1)求菱形A
17、BCD的周长; (2)若AC=2,求BD的长.,解析 (1)菱形ABCD中,AB=AD=BC=CD=2, 菱形ABCD的周长为4AB=42=8. (2)在菱形ABCD中,AO=OC= AC=1,BO=OD= BD,且ACBD, 在RtAOB中, BO= = = . BD=2BO=2 .,9.(2018南宁,23,8分)如图,在ABCD中,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,且BE=DF. (1)求证:ABCD是菱形; (2)若AB=5,AC=6,求ABCD的面积.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, B=D. AEBC,AFDC, AEB=AFD=90, 又BE=DF, AEBA
18、FD(ASA). AB=AD, ABCD是菱形. (2)如图,连接BD交AC于点O,由(1)知四边形ABCD是菱形, ACBD,AO=OC= AC,AC=6,AO= 6=3, AB=5, 在RtAOB中,BO= = =4, BD=2BO=8, SABCD= ACBD= 68=24.,方法总结 证明菱形的方法有很多,考查频率较高的是一组邻边相等的平行四边形是菱形.求菱形的面积 主要有两种方法:1.对角线乘积的一半;2.底乘高,具体方法需结合具体条件和题设灵活运用.,10.(2018贺州,24,8分)如图,在ABC中,ACB=90,O、D分别是边AC、AB的中点,过点C作CEAB交DO的 延长线于
19、点E,连接AE,CD. (1)求证:四边形AECD是菱形; (2)若四边形AECD的面积为24,tanBAC= ,求BC的长.,解析 (1)证明:O是AC的中点, OA=OC, CEAB, DAO=ECO, 在AOD和COE中, AODCOE, AD=CE, 又CEAB, 四边形AECD是平行四边形, CD是RtABC斜边AB上的中线,CD=AD, 四边形AECD是菱形. (2)由(1)知,四边形AECD是菱形, ACED. 在RtAOD中,tanDAO= =tanBAC= . 设OD=3x(x0),OA=4x, 则ED=2OD=6x,AC=2OA=8x, 依题意得 6x8x=24,解得x=1
20、(负值舍去). OD=3, O,D分别是AC,AB的中点,OD是ABC的中位线, BC=2OD=6.,11.(2016贺州,23,9分)如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点O作EFAC,交BC于点E,交AD于点F,连 接AE,CF. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若AB= ,DCF=30,求四边形AECF的面积.(结果保留根号),解析 (1)证明:O是AC的中点,且EFAC, AF=CF,AE=CE,OA=OC. 四边形ABCD是矩形,ADBC, AFO=CEO. 在AOF和COE中, AOFCOE(AAS). AF=CE.AF=CF=CE=AE. 四边形AECF是菱形.
21、 (2)四边形ABCD是矩形,CD=AB= . 在RtCDF中,CF= = =2. 四边形AECF是菱形,CE=CF=2.,四边形AECF的面积为ECAB=2 .,思路分析 (1)由O是AC的中点,且EFAC,得AF=CF,AE=CE,OA=OC,由矩形对边平行得AFO=CEO,可 证AOFCOE,得AF=CE,再利用四边相等的四边形是菱形得结论. (2)用底乘高求菱形的面积.,主要考点 矩形的性质,菱形的判定,锐角三角函数.,考点三 正方形,1.(2019河池,9,3分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,则图中与AEB相等的角的个数 是 ( ) A.1 B.2
22、 C.3 D.4,答案 C 如图,在正方形ABCD中,AB=BC,ADBC, ABC=C=BAD=90. AEB=1.又BE=CF, 易证得ABEBCF(SAS), AEB=2,3=4. 又3+AEB=90,4+5=90. AEB=5. 综上所述,AEB=1=2=5,故有3个,故选C.,2.(2019贵港,12,3分)如图,E是正方形ABCD的边AB的中点,点H与B关于CE对称,EH的延长线与AD交于点F, 与CD的延长线交于点N,点P在AD的延长线上,作正方形DPMN,连接CP,记正方形ABCD,DPMN的面积分别 为S1,S2,则下列结论错误的是 ( ) A.S1+S2=CP2 B.AF=
23、2FD C.CD=4PD D.cosHCD=,答案 D 正方形ABCD,DPMN的面积分别为S1,S2, S1=CD2,S2=PD2. 在RtPCD中,PC2=CD2+PD2, S1+S2=CP2,故A中结论正确. 连接CF. 点H与B关于CE对称, BE=EH,CH=CB=CD,BCE=ECH. 在BCE和HCE中,BCEHCE(SAS), EHC=B=90,BEC=HEC. 在RtFCH和RtFCD中, RtFCHRtFCD(HL), FCH=FCD,FH=FD, ECH+FCH= BCD=45,即ECF=45. 作FGEC于G, CFG是等腰直角三角形, FG=CG. BEC=HEC,B
24、=FGE=90, CEBFEG, = = , FG=2EG. 设EG=x(x0),则FG=2x, CG=2x,CF=2 x, EC=3x. EB2+BC2=EC2, BC2=9x2, BC2= x2, BC= x. 在RtFDC中,FD= = = x, 3FD=AD,AF=2FD,故B中结论正确. ABCN, = = . PD=ND,AE= CD, CD=4PD,故C中结论正确. EG=x,FG=2x, EF= x. FH=FD= x,BC= x, AE= x, 作HQAD于Q, HQAB, = ,即 = , HQ= x, CD-HQ= x- x= x, cosHCD= = = ,故D中结论错
25、误. 故选D.,3.(2018桂林,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,AEM与ADM关于AM所在直 线对称,将ADM按顺时针方向绕点A旋转90得到ABF,连接EF,则线段EF的长为 ( ) A.3 B.2 C. D.,答案 C 连接BM,如图所示. 由对称和旋转可知,ADMAEMABF, AD=AE=AB,AF=AM,FAB=MAD=MAE, FAB+BAE=MAE+BAE, FAE=MAB, 在FAE和MAB中, FAEMAB(SAS).,EF=BM, 又在正方形ABCD中,AB=DC=BC=3,DM=1,MC=2, 在RtBCM中,根据勾股定理得
26、BM= = = , EF= ,故选C.,4.(2017贵港,12,3分)如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重 合),CNDM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:CNBDMC;CONDOM; OMNOAD;AN2+CM2=MN2;若AB=2,则SOMN的最小值是 ,其中正确结论的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 D 正方形ABCD中,CD=BC,BCD=90, BCN+DCN=90, 又CNDM, CDM+DCN=90, BCN=CDM, 又CBN=DCM=90, CNBDMC(ASA),故正确; 根
27、据CNBDMC,可得CM=BN, 又OCM=OBN=45,OC=OB, OCMOBN(SAS), OM=ON,COM=BON, DOC+COM=COB+BON,即DOM=CON, 又DO=CO,CONDOM(SAS),故正确; BON+BOM=COM+BOM=90, MON=90,即MON是等腰直角三角形, 又AOD是等腰直角三角形, OMNOAD,故正确; AB=BC,CM=BN, BM=AN, 又在RtBMN中,BM2+BN2=MN2, AN2+CM2=MN2,故正确; OCMOBN, 四边形BMON的面积=BOC的面积=1, 即四边形BMON的面积是定值1, 当MNB的面积最大时,MNO
28、的面积最小,设BN=x=CM,则BM=2-x, MNB的面积= x(2-x)=- x2+x, 当x=1时,MNB的面积有最大值 , 此时,SOMN的最小值是1- = ,故正确. 综上所述,正确结论的个数是5,故选D.,5.(2019柳州,16,3分)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应 为 .,答案 5,解析 如图所示,四边形ABCD是正方形,则ADC=90,连接AC, AC为O的直径,即AC=10, AD=ACsin 45=10 =5 . 故正方形纸片的边长应为5 .,6.(2019贺州,18,3分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,A
29、F平分BAE交BC于点F,将ADE绕 点A顺时针旋转90得ABG,则CF的长为 .,答案 6-2,解析 过F作FHAE于H. AF平分BAE,ABF=90, BF=FH. 设CF=x,则BF=FH=4-x. E为DC的中点,CE=DE=2, AE= =2 .SAEF=S正方形ABCD-SADE-SABF-SECF,S正方形ABCD=42,SADE= 24=4,SABF=2(4-x),SEFC=x, 2 (4-x)=42-4-2(4-x)-x, 解得x=6-2 .,思路分析 作FHAE于H,由角平分线的性质知BF=FH,根据勾股定理可得AE=2 ,设CF=x,用含x的代数 式分别表示BF、FH,
30、从而表示出SABF、SCEF、SAEF,然后利用等面积法计算出x,即CF的长.,一题多解 过点F作FMAD于点M,作FNAG于点N,易知四边形CFMD为矩形,则FM=CD=4. CD=4,E为CD的中点,DE=2. AE= = =2 . ADE绕点A顺时针旋转90得ABG, AG=AE=2 ,BG=DE=2,3=4,ABG=D=90,GAE=90. 又ABC=90, 点G在CB的延长线上. AF平分BAE,1=2. 1+3=2+4,即AF平分GAD, FN=FM=4. ABGF= FNAG, GF= = =2 . CF=CG-GF=4+2-2 =6-2 .,7.(2018贺州,18,3分)如图
31、,正方形ABCD的边长为12,点E在边AB上,BE=8,过点E作EFBC,分别交BD、CD于 G、F两点,若点P、Q分别为DG、CE的中点,则PQ的长为 .,答案 2,8.(2019北部湾经济区,25,10分)如图1,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一个动点(点E与点A,B不重合),连 接CE,过点B作BFCE于点G,交AD于点F. (1)求证:ABFBCE; (2)如图2,当点E运动到AB中点时,连接DG,求证:DC=DG; (3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CMDG于点H,分别交AD,BF于点M,N,求 的值.,解析 (1)证明:BFCE,CGB=90, GCB+CBG=90.
32、四边形ABCD是正方形,CBE=90=A,BC=AB, FBA+CBG=90,GCB=FBA, ABFBCE(ASA). (2分) (2)证明:过点D作DQCE于点Q,设CD=BC=AB=2a, E为AB的中点,EA=EB=a,CE= = a. 在RtCEB中,SBCE= BGCE= CBEB, BG= a,则CG= = a. (3分) DCE+BCE=90,CBF+BCE=90, DCE=CBF,又CQD=CGB=90,CD=BC, CQDBGC(AAS), (4分),CQ=BG= a,则GQ=CG-CQ= a=CQ, (5分) 又DQCG, CD=GD. (6分) (3)由(2)及已知得S
33、CDG= CGDQ= CHDG, CH= = = a. (7分) 在RtCHD中,CD=2a,DH= = a. MDH+HDC=90,HCD+HDC=90,MDH=HCD, 又CHD=DHM=90,CHDDHM, = , DH2=CHHM,即 = HM, HM= a. (8分) 在RtCHG中,CG= a,GH= = a, NGH+CGH=90,HCG+CGH=90,NGH=HCG, 又GHN=GHC=90, NGHGCH, = , HN= = = a, (9分) MN=HM-HN= a- a= a, = = . (10分),方法总结 本题重点考查了三角形全等、勾股定理、三角形相似、正方形的性
34、质,综合性较强,计算量较 大,属于几何综合压轴题类型.添加辅助线,利用特殊的几何模型和结论解决问题是关键,也是难点.,9.(2017河池,22,8分) (1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AEBF于点M,求证:AE=BF; (2)如图2,将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AEBF于点M,探究AE与BF的数量关系,并证 明你的结论.,解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, ABC=C,AB=BC. AEBF, AMB=90,BAM+ABM=90, ABM+CBF=90, BAM=CBF. 在ABE和BCF中, ABEBCF(ASA),
35、AE=BF. (2)AE= BF. 证明:四边形ABCD是矩形,ABC=C, AEBF, AMB=90,BAM+ABM=90, ABM+CBF=90, BAM=CBF, ABEBCF, = = , AE= BF.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 矩形,1.(2019四川成都,5,3分)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起,若1=30,则2的度 数为 ( ) A.10 B.15 C.20 D.30,答案 B 如图,由题意得ABCD,EFG=45,3=1=30,2=EFG-3=45-30=15,故选B.,2.(2019辽宁大连,9,3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使
36、点C与点A重合,折痕为EF.若AB=4,BC=8,则DF的长 为 ( ) A.2 B.4 C.3 D.2,答案 C 四边形ABCD为矩形,AB=4,BC=8, AD=BC=8,CD=AB=4,D=90, 由折叠可得AD=CD=4,D=D=90,FD=FD, 设FD=x,则FD=FD=x,AF=AD-FD=8-x, 在RtADF中,AD2+FD2=AF2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3. FD=3,故选C.,3.(2017甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC= ( ) A.5 B.4 C.3.5 D.3,答案 B 因为四边形
37、ABCD为矩形,所以AC=BD,OC= AC.因为ADB=30,故在直角三角形ABD中,BD=2 AB=8,所以AC=8,所以OC= AC=4,故选B.,4.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将ABE沿AE折叠, 若点B的对应点B 落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .,答案 或,解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE= a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形,BE=AB,即 a=1,a= ; 当点B落在边CD上时,如图. 1+2=2
38、+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, = . 在RtADB中,由勾股定理得BD= = , = ,a= . 综上所述,满足条件的a的值为 或 .,解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决 本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可 求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值.,5.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于 AC的长为 半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线
39、MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 .,答案,解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3. 在RtADE中,AD= = = . 在RtADC中,AC= = = .,思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计 算出AC,得解.,解题关键 本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练 应用勾股定理计算是解题的关键.,6.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DEAM,垂足为E,若
40、DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 .,答案,解析 BAM+EAD=90,EAD+EDA=90, BAM=EDA.又B=AED=90, ADEMAB. = ,即 = . AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x0),则BM=2x, 在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2, 解得x= (舍负),BM=2x= .,7.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.,证明 本小题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.考查推理能力. 四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB.
41、 在ADF和CBE中, ADFCBE,AF=CE.,8.(2019新疆,19,10分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD中点,连接OE.过点C作CFBD 交OE的延长线于点F,连接DF. 求证:(1)ODEFCE; (2)四边形OCFD是矩形.,证明 (1)CFBD,DOE=CFE, (1分) E是CD的中点,DE=CE, (2分) 又DEO=CEF, ODEFCE. (4分) (2)ODEFCE,OD=FC, (5分) CFBD,四边形OCFD是平行四边形, (7分) 四边形ABCD是菱形,DOC=90, (9分) 平行四边形OCFD是矩形. (10分),解题关键
42、本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定,平行四边形的判定,熟练掌握菱 形的性质,证明三角形全等是解题的关键.,9.(2018云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DPCP),APB=90,将ADP沿AP翻折 得到ADP,PD的延长线交边AB于点M,过点B作BNMP交DC于点N. (1)求证:AD2=DPPC; (2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由; (3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若 = ,求 的值.,解析 (1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,C=D=90, DAP+APD=90, APB=90, CPB+APD
43、=90, DAP=CPB, (1分) ADPPCB, = , (2分) ADCB=DPPC. AD=BC, AD2=DPPC. (3分) (2)四边形PMBN为菱形,理由如下: (4分) 在矩形ABCD中,CDAB,BNPM, 四边形PMBN为平行四边形, ADP沿AP翻折得到ADP, APD=APM, CDAB, APD=PAM, APM=PAM, (6分) APB=90, PAM+PBA=90,APM+BPM=90, 又APM=PAM, PBA=BPM, PM=MB. 又四边形PMBN为平行四边形,四边形PMBN为菱形. (7分) (3)解法一:APM=PAM, PM=AM, PM=MB,
44、 AM=MB, 四边形ABCD为矩形, CDAB且CD=AB, 设DP=a,则AD=2DP=2a, 由AD2=DPPC得PC=4a, DC=AB=5a, (8分) MA=MB= , CDAB,ABF=CPF,BAF=PCF, BFAPFC, = = = , (9分) = , 同理可得MEAPEC, = = = , = , (10分) = - = - = , (11分) = , = = . (12分),解法二:过点F作FGPM,交MB于点G. APM=PAM, PM=AM, PM=MB, AM=MB, 四边形ABCD为矩形, CDAB且CD=AB, 设DP=a,则AD=2DP=2a, 由AD2=DPPC得PC=4a,DC=AB=5a, (8分) MA=MB= . CDAB, CPF=ABF,PCF=BAF, PFCBFA, = = = , (9分) FGPM, = = , (10分) = , AM=MB, = , (11分),FGPM, = = . (12分),思路分析 (1)根据矩形的性质以及所给条件,证明ADPPCB,从而得AD2=DPPC;(2)由翻折得APD =APM,由等角的余角相等得PBA=BPM,从而得PM=MB,进而易得四边形PMBN为菱形;(3)解法一:设 DP=
