1、答案 A 连接FC,由作图方法及点O是AC的中点可知,BF垂直平分AC,AF=CF,AB=CB,易得1=2, ADBC,2=3,1=3,AB=AF,BC=CF=AF=3,FD=AD-AF=1.在RtDCF中,由勾股定理得 CD= =2 ,故选A.,2.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 D 在ABC中,ACB=90,DE垂直平分AC,AD=DC,DEBC,E为AB的中点,DE= BC, BC= =6,DE= BC=3.故选D.,3.(2017河南,14,3分)如
2、图1,点P从ABC的顶点B出发,沿BCA匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则ABC的面积是 .,答案 12,解析 观察题图可知BC=BA=5.当BPAC时,BP=4,此时AP=CP= =3,所以AC=6,所以SABC= 6 4=12.,4.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC= +1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN 所在的直线折叠B,使点B的对应点B 落在边AC上.若MBC为直角三角形,则BM的长为 .,答案 或1,解析 在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45.
3、(1)当MBC=90时,BMC=C=45.设BM=x,则BM=BC=x,在RtMBC中,由勾股定理得MC= x, x+x= +1,解得x=1,BM=1.,(2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合, 此时BM=BM= BC= . 综上所述,BM的长为 或1.,5.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与ABC 关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当AEF 为直角三角形时,AB的长为 .,答案 4或4,解析 (1)当点A在直线DE下方时,如图1,CAF=90
4、,EAFCAF,AEF为钝角三角形,不符合;(2) 当点A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90时,DEAB,EDA=90,ABAC.由对称知四边形 ABAC为正方形,AB=AC=4;当点A在直线DE上方时,如图3.当AEF=90时,AEAC,所以AEC= ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE为等边三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB= ACtan 60=4 ;当点A在直线DE上方时,EAFCAB,不可能为90. 综上所述,当AEF为直角三角形时,AB的长为4或4 . 图1 图2 图3,思路分析 由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方
5、.分类讨论,当点A 在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计算AB 的长,显然EAF90,可以排除.,方法总结 解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为 半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾 股定理等计算得出结果.,B组 20152019年全国中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论 时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( )
6、A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都 可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于 ( ) A.15 B.30 C.45 D.60,答案 A 由三角形ABC是等边三角形,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD 垂直
7、平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,3.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形, 则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0 (0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两 个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与
8、坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的 点C有5个,故选A.,4.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长为 .,答案 9,解析 AB=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9.,5.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD= AC,则等腰ABC底角的度数 为 .,答案 15或45或75,解析 如图,当BA=BC时, BDAC, AD=CD= AC, BD= AC,AD=BD=CD, A=C= (180-90)=45. 如图,当AB=A
9、C且A为锐角时,BD= AC= AB, A=30, ABC=ACB=75. 如图,当AB=AC且BAC为钝角时, BD= AC= AB,BAD=30,ABC=ACB= 30=15. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15. 故答案为15或45或75.,方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.,6.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则 BCE的周长为 .,答案 13,解析 DE垂直平分AB,AE=BE, BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+
10、BC=8+5=13.,评析 本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,考点二 直角三角形 1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于 点E,则AE的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4 ,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分 线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF= AE,又AD=4 ,DE=EF,AE= AD= ,故选D.,思路分析 首先利用AC的长及
11、C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质、含30角 的直角三角形的性质确定EF和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E, 交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 ( ) A. B. C. D.,3.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=
12、5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC的长为1或9.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,4.(2019河北,19,4分)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位: km).笔直铁路经过A,B两地. (1)A,B间的距离为 km; (2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为 km.,答案 (1
13、)20 (2)13,解析 (1)由点A和点B的坐标可知,ABx轴,A,B间的距离=12-(-8)=20 km. (2)如图,由点C的坐标可知点C在y轴的负半轴上且OC=17 km,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km, OE=1 km,所以CE=18 km,设CD=AD=x km,则DE=(18-x)km,在RtADE中,AD2=DE2+AE2,即x2=(18-x)2+122,解 得x=13,所以C,D间的距离为13 km.,思路分析 (1)根据点A与点B的坐标特点求出A,B间的距离;(2)首先确定直角坐标系,设y轴与直线AB的交点 为E,易得AE=12 km,CE=18 km,设
14、CD=AD=x km,根据勾股定理列出含x的方程,求解即可.,解题关键 正确画出平面直角坐标系,准确运用勾股定理得出方程是解决本题的关键.,5.(2019河北,21,9分)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B0. 尝试 化简整式A. 发现 A=B2.求整式B. 联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:,解析 尝试 A=n4-2n2+1+4n2 (2分) =n4+2n2+1. (4分) 发现 A=n4+2n2+1=(n2+1)2, 且A=B2,B0,B=n2+1. (7分) 联想 勾股数组 17 (8
15、分) 勾股数组 37 (9分) 提示:勾股数组 2n=8,n=4. 由发现可知,B=n2+1=16+1=17. 勾股数组 n2-1=35,B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37.,6.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点, CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM. 图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点,CM= BD. 又DEAB,同理,EM
16、= BD, CM=EM. (4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100. (9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, = , 又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF. = = . 又AFN=EFM,AFNEFM,N
17、AF=MEF, ANEM. (14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA= MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM. (14分),思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出 CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2( CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而可得 MEF=3
18、0,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得 = , 又点N是CM的中点,可推出 = ,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算 可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,答案 C 由作图可知AF是BAC的平分线,B=90,BG=1,点G到AC的距离等于1,ACG的面积是 14=2.故选C.,思路分析 先判断AF是BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的距 离,最后根据三角形面积公式求解即可.,2.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的
19、顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD= AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为 ( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10,答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,3.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60, C=25,则BAD为 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,
20、所以ADC=180-(25+25) =130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,4.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm,答案 A 当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长为2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,5.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个 顶点在ABC的其他边上,
21、则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D.,6.(2016河北,16,2分)如图,AOB=12
22、0,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边 三角形,则满足上述条件的PMN有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上,答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC, DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边 三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,7.(2015江苏苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为 ( ) A.35 B.45 C.
23、55 D.60,答案 C AB=AC,D为BC中点, CAD=BAD=35,ADDC, 在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,8.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80, 顶角为80.,9.(2015广东广州,15,3分)如图,ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=9,BC=12,则 cos C= .,答案,解析 因为DE是BC的垂直平分线,所以CE=BE=9,CD=BD=6,在RtCDE中,cos C= = .,EFH是顶角为120的等腰三角形,
24、由性质探究可知FH= EF. 又EF=10,FH=10 . M,N为FG和GH的中点, MN为FHG的中位线, MN= FH=5 .,类比拓展 2sin . (8分) 提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin , BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin . 评分说明:结果写成 1,2sin 1不扣分.,11.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.,证明 AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC, ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72,
25、 BDC=C, BD=BC,AD=BC.,12.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等 时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线,AD= AC,AE= AB, AD=AE, 又A=A,ABDACE, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,
26、由(1)知BD=CE,故可证 OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正 方形.,13.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明 AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC,BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD.CBE=BAD.,14.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上一点.过点E作AE 的垂线,过点A作AB的垂线,
27、两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2 ,求AB,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF; (3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形.若是,请证明;若不是,请说明理由. 图1 图2,解析 (1)点H是AC的中点,AC=2 , AH= AC= . (1分) ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4 . (2分) DAAB,DHAC,DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2. (3分) 在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2. BD= =2 . (4分)
28、 (2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD. (5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DAH=30,DH= AD. AE平分BAC,CAE= BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE= AD,AE=DH. (6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD, FDH=FAE. (7分) FDHFAE(SAS).FH=FE. (8分) (3)CEF是等边三角形. (9分) 理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG= DA. FGA=180-DAG=90, 又AE
29、= AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 点G为AB的中点,CG=AG. 又CAB=60,GAC为等边三角形. (10分) AC=CG,ACG=AGC=60.,FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS). (11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60, CEF是等边三角形. (12分),考点二 直角三角形 1.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C 落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为 ( ) A.3 B.6 C
30、.3 D.,答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3 ,AB=3 ,在 ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC= =3 .,答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在 以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB= AB=3,BC=4,OC= =5,又OP= AB =3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,3.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则 M,C两点间的距离为
31、( ) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km,答案 D ACBC,M是AB的中点,MC= AB=AM=1.2 km.故选D.,4.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其 中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其 中正确的命题的序号为 .,答案 ,解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰 三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由SAS 证得原两
32、三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得 两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是.,5.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD= .,答案 3,解析 依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 可得CD= AB=3.,6.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中 点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, D
33、EAC,DE=EC= AC=2.DEB=C=60. EFAC,EFC=90.FEC=30,EF= . DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG= . 在RtDEG中,DG= = = .,疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG 与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形, 再根据勾股定理即可求解DG的长.,7.(2017吉林,11,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=
34、3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形 ABCD.若点B的对应点B落在边CD上,则BC的长为 .,答案 1,解析 由题意可知,AB=AB=5,在RtADB中,利用勾股定理可得DB=4,所以BC=1.,思路分析 在RtABD中,利用勾股定理求出BD的长,即可求出BC的长.,8.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60, CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm.,答案 ( + ),解析 如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4 cm,A=6
35、0,AB=8 cm,DB=4 cm,点E为AB的中点,EMBD,DE= AB=4 cm,EM= AD=2 cm,由等腰直角三角形的性质可知ENM= FND=45,在RtENM中,EN= EM=2 cm,MN=EM=2 cm,DN=DM-MN= DB-MN=(2 -2)cm,在 RtDFN中,FN= DN=( - )cm,EF=EN+FN=2 + - =( + )cm.,一题多解 过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG= =2 cm,ABD=30,BD= AD=4 cm,CBD=45,BC= =2 cm,AGCG,EFCG,CB CG,AGEFBC
36、,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF= (AG+BC)= (2 +2 )=( + )cm.,9.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为( ,0),(0,1). 把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为 .,答案,解析 如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA= ,OB=1,AOB=90,tanBAO= ,BAO=30 ,由题意可得AO=AO= ,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中,AC=AOcos 60= ,OC= AOsin 60= ,OC=AO-AC= ,O .,10.(2016黑
37、龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接 AP,则AP的长为 .,答案 或,解析 当CP=1时,根据勾股定理得AP= = ;当CP=2时,根据勾股定理得AP= = = ,故AP的长为 或 .,11.(2015江西南昌,14,3分)如图,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,AOC=60,则当 PAB为直角三角形时,AP的长为 .,答案 2或2 或2,解析 由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因为 AOC=60,所以POA为等边三角形,所以AP=
38、2. 如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP为等边三角形,所 以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4 =2 . 如图,ABP=90,因为BOP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2 . 在RtABP中,AP= = = =2 . 综上所述,AP的长为2或2 或2 .,评析 本题是以等腰三角形中的动点为背景的分类讨论型问题,考查了含特殊角的直角三角形的边角关 系,勾股定理等知识,本题易漏掉某种情况,属易错题.,12.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,A
39、CB=ECD=90,D为 AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2.,答案 C 在ABC中,B=50,C=30,BAC=180-B-C=100.由作图可知MN为AC的中垂线, DA=DC,DAC=C=30.BAD=BAC-DAC=70.故选C.,2.(2018郑州一模,5)如图,已知ABC(ACBC),用尺规在BC边上确定一点P,使得PA+PC=BC,则下列四种不 同的作图方法中正确的是 ( ),答案 D 由题意知PA=PB,根据作图方法可知,选项D的作图所表示的是点P在线段AB的垂直平分线上,即 PA=PB.故选D.,3.(2017焦作一模,8)如图,
40、在ABC中,ABC=90,A=30,BC=4.若DE是ABC的中位线,延长DE交ACM 的平分线于点F,则DF的长为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案 A 在RtABC中,A=30,BC=4,AC=2BC=8, DE是ABC的中位线,DE= BC=2,EC=4. DFBM,EFC=FCM. CF平分ACM,ECF=FCM, ECF=EFC,EF=EC=4, DF=DE+EF=6.故选A.,二、填空题(每小题3分,共9分) 4.(2019开封一模,11)如图,在RtABC中,ACB=90,分别以A,B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧交于 两点,过这两点作直线交BC于点P,连接A
41、P,当B为 度时,AP平分CAB.,解析 根据作图可知,所作直线垂直平分AB,PA=PB,B=PAB,C=90,CAB+B=90,当AP 平分CAB时,CAP=BAP,CAP+BAP+B=90,即3B=90,B=30.,答案 30,5.(2019郑州一模,12)在同一平面内,将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(C=60,F=45),其中直角顶 点D是BC的中点,点A在DE上,则CGF= .,答案 15,解析 BAC=90,D为BC的中点, AD=CD. DAC=C=60. EAG=120. AGE=180-120-45=15. CGF=AGE=15.,6.(2018安阳二模,12)如图,B
42、D是矩形ABCD的一条对角线,点E、F分别是BD、DC的中点,若AB=4,BC=3,则 AE+EF的长为 .,答案 4,解析 在矩形ABCD中,C=DAB=90,点E、F分别是BD、DC的中点,EF= BC= ,AE= BD,且BD= =5,AE= ,AE+EF=4.,三、解答题(共20分) 7.(2019焦作一模,22)如图1,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,BE, 点P为DC的中点. (1)观察猜想 图1中,线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明 把ADE绕点A沿逆时针方向旋转到图2的位置,小航猜想(1)中
43、的结论仍然成立,请你证明小航的猜想; (3)拓展延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP的取值范围.,解析 (1)AP= BE,APBE. (2分) (2)延长PA交BE于N,延长AP到M使PM=AP,连接CM, (3分) 则ADPMCP, (4分) AD=CM=AE,DAP=M,ADCM, DAC+ACM=180, 又BAC=DAE=90,DAC+BAE=180, ACM=BAE, 又AB=AC,BAEACM, (5分) M=AEB=DAP,BE=AM, AP= AM,AP= BE. (6分) 又EAN+DAP=90, EAN+AEB=90,ENA=9
44、0,即APBE. (8分) (3)3AP7. (10分) 提示:当点E在线段AB上时,BE的长最小,最小值为AB-AE=10-4=6,AP=3;当点E在线段BA的延长线上时,BE的 长最大,最大值为AB+AE=10+4=14,AP=7.3AP7.,8.(2018许昌一模,22) (1)观察猜想 如图,点B、A、C在同一条直线上,DBBC,ECBC且DAE=90,AD=AE,则BC、BD、CE之间的数量关 系为 ; (2)问题解决 如图,在RtABC中,ABC=90,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰RtDAC,连接BD,求BD的长; (3)拓展延伸 如图,在四边形ABCD中,ABC=
45、ADC=90,CB=4,AB=2,DC=DA,请写出BD的长.,解析 (1)BC=BD+CE. (2)如图1,过D作DEAB,交BA的延长线于E, ABC=90,DAC=90, BCA+CAB=CAB +EAD=90, BCA=EAD. CBA=AED=90,AD=AC, ABCDEA, DE=AB=2,AE=BC=4, BE=AB+AE=6,一、选择题(每小题3分,共6分) 1.(2019郑州二模,6)如图,在ABC中,ABC=90,AB=4 cm,BC=3 cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移 动方向如图所示),点P的速度为 cm/s,点Q的速度为1 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P
