1、1.(2019河南,17,9分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不 与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G. (1)求证:ADFBDG; (2)填空: 若AB=4,且点E是 的中点,则DF的长为 ; 取 的中点H,当EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形.,A组 河南中考题组,解析 (1)证明:BA=BC,ABC=90, CAB=C=45. AB为半圆O的直径, ADF=BDG=90. DBA=DAB=45, AD=BD. (3分) DAF和DBG都是 所对的圆周角, DAF=DBG. ADFBDG.
2、 (5分) (2)4-2 . (7分) 30(注:若填为30,不扣分). (9分) 详解:如图,过F作FMAB于M,点E是 的中点,BAE=DAE, FDAD,FMAB, FM=FD, =sinFBM=sin 45= , = ,即BF= FD. AB=4, BD=4cos 45=2 , BF+FD=2 ,即( +1)FD=2 ,FD= =4-2 . 连接OH,EH,点H是 的中点, OHAE, AEB=90, BEAE, BEOH, 四边形OBEH为菱形, BE=OH=OB= AB, sinEAB= = , EAB=30.,2.(2018河南,19,9分)如图,AB是O的直径,DOAB于点O,
3、连接DA交O于点C,过点C作O的切线交DO 于点E,连接BC交DO于点F. (1)求证:CE=EF; (2)连接AF并延长,交O于点G.填空: 当D的度数为 时,四边形ECFG为菱形; 当D的度数为 时,四边形ECOG为正方形.,解析 (1)证明:连接OC. CE是O的切线,OCCE. FCO+ECF=90. DOAB,B+BFO=90. CFE=BFO,B+CFE=90. (3分) OC=OB,FCO=B. ECF=CFE.CE=EF. (5分) (2)30.(注:若填为30,不扣分)(7分) 22.5.(注:若填为22.5,不扣分)(9分),3.(2017河南,18,9分)如图,在ABC中
4、,AB=AC,以AB为直径的O交AC边于点D,过点C作CFAB,与过点B 的切线交于点F,连接BD. (1)求证:BD=BF; (2)若AB=10,CD=4,求BC的长.,解析 (1)证明:AB=AC, ABC=ACB. CFAB, ABC=FCB. ACB=FCB,即CB平分DCF. (3分) AB是O的直径,ADB=90,即BDAC. BF是O的切线, BFAB. (5分) CFAB,BFCF. BD=BF. (6分) (2)AC=AB=10,CD=4,AD=AC-CD=10-4=6. 在RtABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64. (8分) 在RtBDC中,BC= = =4
5、 ,即BC的长为4 . (9分),4.(2016河南,18,9分)如图,在RtABC中,ABC=90,点M是AC的中点,以AB为直径作O分别交AC,BM于点 D,E. (1)求证:MD=ME; (2)填空:若AB=6,当AD=2DM时,DE= ; 连接OD,OE,当A的度数为 时,四边形ODME是菱形.,解析 (1)证明:在RtABC中,ABC=90,点M是AC的中点, MA=MB.A=MBA. (2分) 四边形ABED是圆内接四边形, ADE+ABE=180. 又ADE+MDE=180, MDE=MBA. 同理可证:MED=A. (4分) MDE=MED, MD=ME. (5分) (2)2.
6、 (7分) 60(或60). (9分),解题关键 熟记圆内接四边形的对角互补,结合直角三角形的性质判断角相等是本题关键.,5.(2015河南,17,9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC= PB,D是AC的中点,连接PD,PO. (1)求证:CDPPOB; (2)填空: 若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为 ; 连接OD,当PBA的度数为 时,四边形BPDO是菱形.,解析 (1)证明:D是AC的中点,且PC=PB, DPAB,DP= AB.CPD=PBO. (3分) OB= AB,DP=OB.CDPPOB. (5分) (2)4. (7
7、分) 60. (9分),思路分析 (1)根据三角形中位线定理得出三角形全等的一个条件,由SAS判定全等;(2)当POAB时,四 边形AOPD的面积最大;当PBA=60时,等腰三角形OBP中BO=BP,四边形BPDO为菱形.,答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.POB=100-55=45.故选B.,B组 20152019年全国中考题组,2.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若AB=12,OMMD=58,则O 的周长为 ( ) A.26 B.13 C. D.,答案 B 连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=
8、12,ABCD,CD为O的直径,AM= 6.在RtAOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x= (舍负),半径OA= ,O的周长为13.,方法规律 如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则 +d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其 中任意两个量即可求出其余两个量.,3.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则CD 的长为 .,答案,解析 如图,连接OC、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB, COB为等边三角形,BC=2.CBA=45,CDAB, CB= CD,CD= .,解题关键 连
9、接OC、OB得到COB是等边三角形是解答本题的关键.,4.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则 AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ACB=ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以 BAD=30,因为 =cos 30,所以AB= = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2 .,5.(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为ABC的外心,若BIC=100,则A的度数为 .,答案 50或130,解析 当I在ABC的内部时,如图1,A= BIC=50; 当I在AB
10、C的外部时,如图2,A+ BIC=180,A=130. 综上,A的度数为50或130. 图1 图2,6.(2015江苏南京,15,2分)如图,在O的内接五边形ABCDE中,CAD=35,则B+E= .,答案 215,解析 连接AO,CO,DO,则COD=2CAD=70,又因为B= (AOD+COD),E= (AOC+COD), 所以B+E= (AOD+COD+AOC+COD)= (360+70)=215.,7.(2019内蒙古包头,24,10分)如图,在O中,B是O上一点,ABC=120,弦AC=2 ,弦BM平分ABC交AC 于点D,连接MA,MC. (1)求O半径的长; (2)求证:AB+B
11、C=BM.,解析 (1)ABC=120,BM平分ABC, MBA=MBC= ABC=60. 易知ACM=ABM=60,MAC=MBC=60, AMC是等边三角形. 如图,连接OA,OC, AO=CO,AOC=2AMC=120, OAC=OCA=30.作OHAC于点H, AH=CH= AC= . 在RtAOH中,cosOAH= , 即 = ,AO=2. O的半径为2. (4分),(2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE, MBC=60,BE=BC,EBC为等边三角形, CE=CB=BE,BCE=60,BCD+DCE=60. ACM=60,ECM+DCE=60,ECM=BCD. AMC为等边三
12、角形,AC=MC,ACBMCE,AB=ME. ME+EB=BM,AB+BC=BM. (10分),8.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD 于BC,过点C作CEAD交ABC 的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:CO平分BCE.,证明 (1)B=D,B=E,D=E. CEAD,E+DAE=180. D+DAE=180.AEDC. 四边形AECD是平行四边形. (5分) (2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N. 四边形AECD是平行四边形,AD=EC. 又AD=BC,EC=BC, OM=
13、ON,CO平分BCE. (10分),思路分析 (1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D=B,CEAD 可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出EC=BC,再根据“同 一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的判定定理可得结论.,解题关键 抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等”是解决本 题的关键.,答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP
14、-AOB =360-90-90-110=70.故选B.,方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆 中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.,2.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等 于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.80,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC=40, 由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD= ODA+OA
15、D=80.,3.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C,CAB =90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 .,答案 2,解析 连接CD,BD是直径, DCB=90, 又CAB=90,ABC=CBD, CABDCB, = , 即 = , BC= =2 .,4.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点, BD= AB=
16、BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360- 90-90-120=60.,解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,5.(2016黑龙江哈尔滨,18,3分)如图,AB为O的直径,直线l与O相切于点C,ADl,垂足为D,AD交O于 点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 .,答案 4,解析 设OC与BE相交于点F, AB是O的直径,AEB=90, AO=5,AB=10.在RtAEB中,AE=6, BE= =8. 直线l是O的切线,OCCD, 又ADCD,AEEB, 四边形CDEF为矩形, DC=EF=
17、BE=4.,6.(2019江西,19,8分)如图1,AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CDAB交AF 于点D,连接BC. (1)连接DO,若BCOD,求证:CD是半圆的切线; (2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断AED和ACD的数量关系,并证明你的结论.,解析 (1)证法一:连接OC. AF为半圆的切线,A=90. BCDO,CBO=AOD,BCO=COD. OC=BO,CBO=BCO. COD=AOD. 在OAD和OCD中, OADOCD(SAS). OCD=A=90.,CD是半圆的切线. 证法二:连接OC. CDAB,BCOD, 四边
18、形BCDO是平行四边形,CD=BO. OB=OA,CD=OA. CDOA,四边形OADC是平行四边形. 又AF为半圆的切线,A=90. OADC是矩形,OCD=90. CD是半圆的切线. (2)AED+ACD=90. 证法一:CDAB,ACD=BAC. 四边形ABCE是圆内接四边形, B+AEC=180.,AED+AEC=180, AED=B. AB为半圆的直径, BCA=90. CAB+B=90. AED+ACD=90. 证法二:连接BE, 则ACD=ABE. CDAB,AED=BAE. AB为半圆的直径, AEB=90, ABE+BAE=90, AED+ACD=90.,思路分析 (1)要证
19、CD与半圆相切,由于点C为半圆上一点,所以必须连接OC并证明OCD=90,其中证法 一的思路是通过证明OCDOAD,从而得到OCD=A=90.证法二的思路是证明四边形OADC是矩 形,从而得到OCD=90. (2)通过观察,易得到AED+ACD=90.证法一的思路是由ABCD得DCA=CAB,由四边形ABCE为圆 内接四边形得到B=AED,由AB为直径得ACB=90,从而得到B+CAB=90,最终推出AED+ ACD=90.证法二的思路是连接BE,易证DCA=EBA,由ABCD得EAB=AED,由AB为直径易得E- BA+EAB=90,最终推出AED+ACD=90.,7.(2018天津,21,
20、10分)已知AB是O的直径,弦CD与AB相交,BAC=38. (1)如图,若D为 的中点,求ABC和ABD的大小; (2)如图,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DPAC,求OCD的大小.,解析 (1)AB是O的直径, ACB=90. BAC+ABC=90. 又BAC=38, ABC=90-38=52. 由D为 的中点,得 = . ACD=BCD= ACB=45. ABD=ACD=45. (2)如图,连接OD.,DP切O于点D, ODDP,即ODP=90. 由DPAC,又BAC=38, P=BAC=38. AOD是ODP的外角, AOD=ODP+P=128. ACD= AOD=64.
21、 又OA=OC,得ACO=BAC=38. OCD=ACD-ACO=64-38=26.,思路分析 (1)根据直径所对的圆周角是直角,等弧所对的圆周角相等可以求解;(2)连接OD,根据平行线的 性质,圆的切线的性质求得P,AOD的度数,即可求得OCD的大小.,答案 B 连接CO,DO,五边形ABCDE为正五边形,COD= 360=72,CPD= COD=36,故 选B.,2.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半 径为 ,AB=4,则BC的长是 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 B 连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90
22、.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC, D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD= AB=2,OB= ,OD= =1,BD=2OD=2,即BD= BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90, DOC=90,CD= OC= ,CBD=45,BD=2,BE=ED= ,根据勾股定理得CE= = 2 ,BC=BE+CE=3 ,故选B.,方法指导 在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关 系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解.,3.(201
23、7陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点,在 ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( ) A.5 B. C.5 D.5,答案 D 连接OB、OA、OP, C=30, AOB=60, OA=OB, OAB是等边三角形, AB=5. PB=AB=OA=OP, OBAP, AP=2ABcos 30=25cos 30=25 =5 .故选D.,4.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD互 余的角是 ( ) A.ADC B.ABD C.BAC D.BAD,答案 D AB是O的直径,ADB=
24、90,BAD+B=90,易知ACD=B,BAD+ACD=90, 故选D.,5.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若BAC与BOC互补, 则弦BC的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B BOC+CAB=180,BOC=2CAB, BOC=120,作ODBC交BC于点D, BC=2BD. OB=OC, OBD=OCD= =30, BD=OBcos 30=2 , BC=2BD=4 , 故选B.,6.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C 是 的中点,点D是
25、AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 ( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m,答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= AB=20 m, 设OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A.,思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三角 形中,然后由勾股定理求出.,7.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在O上, = ,CAD=30,ACD=50,则AD
26、B= .,答案 70,解析 = ,BAC=CAD=30.又BDC=BAC=30,ACD=50,ADB=180-30-30-50 =70.,8.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点, = .若CAB=40,则CAD= .,答案 25,解析 连接BC,BD,AB为O的直径,ACB=90,ABC=90-CAB=90-40=50. = , ABD=CBD= ABC=25,CAD=CBD=25.,9.(2016山东青岛,11,3分)如图,AB是O的直径,C,D是O上的两点,若BCD=28,则ABD= .,答案 62,解析 AB是O的直径,ACB=90.BCD=28, ACD
27、=90-28=62,ABD=ACD=62.,10.(2016湖南长沙,16,3分)如图,在O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则O的半径长为 .,答案,解析 由题意得OCAB,AC=BC= AB=3,在RtOCA中,OA= = = .O的半径长 为 .,评析 本题考查了垂径定理、勾股定理,属容易题.,11.(2016江苏南京,13,2分)如图,扇形AOB的圆心角为122,C是 上一点,则ACB= .,答案 119,解析 如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.AOB=122,D=61,ACB+D= 180,ACB=119.,12.(2016吉林,13,3分)如图,
28、四边形ABCD内接于O,DAB=130,连接OC.点P是半径OC上任意一点,连接 DP,BP,则BPD可能为 度(写出一个即可).,答案 60(答案不唯一,大于等于50且小于等于100即可),解析 连接OB,OD, 四边形ABCD是圆内接四边形, DAB+DCB=180. DCB=180-DAB=50. DOB=2DCB=100. 50BPD100.,评析 本题考查圆内接四边形的性质,圆周角定理,连接OB,OD,利用圆周角定理是关键,属容易题.,13.(2019福建,24,12分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=AC,ACBD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF =DC,连接AF,CF
29、. (1)求证:BAC=2CAD; (2)若AF=10,BC=4 ,求tanBAD的值.,解析 (1)证明:ACBD,AED=90, 在RtAED中,ADE=90-CAD. AB=AC, = , ACB=ABC=ADE=90-CAD. 在ABC中,BAC+ABC+ACB=180, BAC=180-(ABC+ACB)=180-2(90-CAD), 即BAC=2CAD. (2)DF=DC,FCD=CFD. BDC=FCD+CFD,BDC=2CFD. BDC=BAC,且由(1)知BAC=2CAD, CFD=CAD, CAD=CBD,CFD=CBD,CF=CB. ACBF,BE=EF,故CA垂直平分B
30、F,AC=AB=AF=10. 设AE=x,则CE=10-x. 在RtABE和RtBCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2, 又BC=4 ,102-x2=(4 )2-(10-x)2, 解得x=6. AE=6,CE=4,BE= =8. DAE=CBE,ADE=BCE, ADEBCE, = = , DE=3,AD=3 . 过点D作DHAB,垂足为H.,SABD= ABDH= BDAE,BD=BE+DE=11, 10DH=116,故DH= . 在RtADH中,AH= = , tanBAD= = .,14.(2019天津,18,3分)如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,ABC的顶点A在格点
31、上,B是小正方形边 的中点,ABC=50,BAC=30,经过点A,B的圆的圆心在边AC上. (1)线段AB的长等于 ; (2)请用 的直尺,在如图所示的网格中,画出一个点P,使其满足PAC=PBC=PCB,并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明) .,答案 (1) (2)如图,取圆与网格线的交点E、F,连接EF,与AC相交,得圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长,交 O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P,连接AP,则点P满足PAC=PBC=PCB,解析 (1)根据勾股定理得AB= = . (2)取圆与网格线的交点E、F,连接EF与AC相交,根据90度的圆周
32、角所对的弦是直径,可得EF与AC的交点为 圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长交O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P, 连接AP. 由图形可知点D为AB的中点,ODAB, OA=OB,BAC=30, BAC=ABO=30,AOD=BOD=60, BOC=60, ABC=50,CBP=20, AOD=COQ=60,BOC=COQ. OB=OQ,OC=OC,COQCOB, Q=CBO=20,AOP=POQ=120, 且OA=OQ,OP=OP, POQPOA, Q=CAP=20, ABC=50,BAC=30, ACB=100, ACP=Q+COQ=20+60=80, P
33、CB=ACB-ACP=100-80=20, PAC=PBC=PCB=20,点P符合条件.,难点突破 点P位置的确定需要学生清楚BAC=30,经过点A、B的圆的圆心在边AC上,进而确定圆心位 置,利用圆的对称性把PAC转化到Q,最后只要求PCB=20,便可把所求问题进行有效转化,显然射线 QC与线段OB的交点即为所求的点P.,15.(2019云南,23,12分)如图,AB是C的直径,M、D两点在AB的延长线上,E是C上的点,且DE2=DBDA.延 长AE至F,使AE=EF,设BF=10,cosBED= . (1)求证:DEBDAE; (2)求DA,DE的长; (3)若点F在B、E、M三点确定的圆
34、上,求MD的长.,解析 (1)证明:DE2=DBDA, = . (1分) 又BDE=EDA, DEBDAE. (3分) (2)AB是C的直径,E是C上的点, AEB=90,即BEAF. 又AE=EF,BF=10, AB=BF=10. DEBDAE, EAD=BED,cosBED= ,cosEAD=cosBED= . 在RtABE中,由AB=10,cosEAD= , 得AE=ABcosEAD=8,BE= =6. (5分) DEBDAE, = = = = . DB=DA-AB=DA-10, 解得 经检验, 是 的解. (8分),(3)连接FM. BEAF,即BEF=90, BF是B、E、F三点确定
35、的圆的直径. 点F在B、E、M三点确定的圆上,即F、E、B、M四点在同一个圆上, 点M在以BF为直径的圆上. FMAB. (10分) 在RtAMF中,由cosFAM= , 得AM=AFcosFAM=2AEcosEAB=28 = . (11分) MD=DA-AM= - = . MD= . (12分),思路分析 (1)将DE2=DBDA转化为比例式 = ,又由BDE=EDA,即可证明DEBDAE. (2)由直径所对的圆周角为90得出BEAF,由AE=EF,BF=10得出AB=BF=10,由DEBDAE得出BED =EAD,所以cosBED=cosEAD= ,即可求出AE,BE的长度,再利用 = =
36、 ,即可求出DA,DE的长. (3)连接FM,易得BEF=90,可得点F,E,B,M四点共圆,则点M在以BF为直径的圆上,FMAB,在RtAMF 中,利用锐角三角函数值求出AM的值,则MD=AD-AM.,16.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析 (1)尺规作图如图所示. (4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以 = , 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-
37、EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为 . (10分),思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得 = ,可推出OEBC,最后利 用勾股定理求出CE.,17.(2016宁夏,23,8分)已知ABC,以AB为直径的O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC. (1)求证:AB=AC; (2)若AB=4,BC=2 ,求CD的长.,评析 本题考查圆内接四边形的性质,三角形相似的判定与性质.属中档题.,18.(2016福建福州,24,12分)如图,正方
38、形ABCD内接于O,M为 中点,连接BM,CM. (1)求证:BM=CM; (2)当O的半径为2时,求 的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, AB=CD, = . M为 中点, = , = ,BM=CM.,考点二 与圆有关的位置关系 1.(2019河北,25,10分)如图1和图2,ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB= .点P为AB延长线上一点,过点A作O 切CP于点P,设BP=x. (1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系; (2)当x=4时,如图2,O与AC交于点Q,求CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧 长
39、度的大小; (3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 图1 图2,解析 (1)O切CP于点P,OPPC,即CPB=90. 由四边形ABCD是平行四边形得ADBC, tanCBP=tanDAB= , 设PC=4k,BP=3k,则BC= =5k, 5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9. (2分) PE与BC垂直. (3分) (2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K,OHAP于点H, 同(1)得CK=12,BK=9. AK=AB+BK=12,CK=AK.CAP=ACK=45. (4分),BP=4,AP=7,HP= AP= . 又PK=BK-BP=5,PC=13.
40、 HOP=90-OPH=CPK,RtHOPRtKPC. = ,即 = , OP= . (6分) POQ=2PAQ=90,l = . (8分) l . (9分),(3)x18. (10分) 详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在AP下方.如图, 当O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则OAD=OPC=90.由OA=OP得OAP=OPA, DAP=CBP=CPA, BC=PC.作CKAP于K,则BK=PK. 由(1)知,BP=2BK=18,即x=18. 当x18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.x的取值范围是x18.,思路分析 (1)根据切线的性质有O
41、PPC,由ADBC可得tanCBP=tanDAB= ,设PC=4k,BP=3k,根据勾 股定理可得BC=5k=15,解得k=3,即可求出x的值,根据圆的直径所对的圆周角AEP为直角及ADBC可得 PE与BC垂直;(2)同(1)的方法可得CK=12,BK=9,进而得出CK=AK,CAP=45,POQ=90,根据切线的性质 有OPPC,易得RtHOPRtKPC,可得 = ,进而求得OP的长,利用弧长公式求出劣弧 的长度, 与弦AP的长度比较即可;(3)由上面两问可知满足此问的点O在AP的下方,显然当O与AD相切于点A时,两 者只有一个公共点A,此时DAP=CBP=CPA,BP=2BK=18,从而推
42、出x的取值范围为x18.,难点突破 本题是以圆心O在AP的上下方不断变化为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于 从动态位置中寻找与x相关的等量关系.利用切线的性质求出x的值是解决问题的关键.,2.(2019四川成都,20,10分)如图,AB为O的直径,C,D为圆上的两点,OCBD,弦AD,BC相交于点E. (1)求证: = ; (2)若CE=1,EB=3,求O的半径; (3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O于F,Q两点(点F在线段 PQ上),求PQ的长.,解析 (1)证明:连接OD. OCBD, OCB=DBC, OB=OC, OCB=O
43、BC, OBC=DBC, AOC=COD, = . (2)连接AC. = , CBA=CAD. 又BCA=ACE, CBACAE., = . CA2=CECB=CE(CE+EB)=1(1+3)=4. CA=2. AB为O的直径, ACB=90. 在RtACB中,由勾股定理,得AB= = =2 . O的半径为 .,(3)如图,设AD与CO相交于点N, AB为O的直径, ADB=90, OCBD, ANO=ADB=90. PC为O的切线,PCO=90. ANO=PCO. PCAE. = = . PA= AB= 2 = . PO=PA+AO= + = . 过点O作OHPQ于点H,则OHP=90=AC
44、B. PQCB, BPQ=ABC. OHPACB. = = .,OH= = = ,PH= = = . 连接OQ. 在RtOHQ中,由勾股定理,得HQ= = = . PQ=PH+HQ= .,思路分析 (1)依据题意推得AOC=COD,可证 = ;(2)先证CBACAE,求得CA的长,再在Rt ACB中,由勾股定理求得AB的长,进而可得半径长;(3)作OHPQ,证OHPACB,根据相似的性质以及勾 股定理求得HQ的长,再求PQ的长.,3.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与O相切于点A,B,APB=80,C为O上一点. (1)如图,求ACB的大小; (2)如图,AE为O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求EAC的大小.,解析 (1)如图,连接OA,OB, PA,PB是O的切线, OAPA,OBPB,即OAP=OBP=90, APB=80, 在四边形OAPB中,AOB=360-OAP-OBP-APB=10
