1、考点1 一元二次方程的解法及应用,A组 20152019年江苏中考题组,1.(2017无锡,7,3分)某商店今年1月份的销售额是2万元,3月份的销售额是4.5万元,从1月份到3月份,该店销 售额平均每月的增长率是 ( ) A.20% B.25% C.50% D.62.5%,答案 C 设该店销售额平均每月的增长率为x,则2月份的销售额为2(1+x)万元,3月份的销售额为2(1+x)2万元, 由题意可得2(1+x)2=4.5, 解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去). 该店销售额平均每月的增长率为50%.,2.(2019南京,10,2分)已知2+ 是关于x的方程x2-4x+m=
2、0的一个根,则m= .,答案 1,解析 把x=2+ 代入方程得(2+ )2-4(2+ )+m=0, 解得m=1.,3.(2019扬州,12,3分)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是 .,答案 1或2,解析 x(x-2)=x-2, x(x-2)-(x-2)=0, (x-2)(x-1)=0, x-2=0或x-1=0, x1=2,x2=1.,4.(2018扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2 015的值为 .,答案 2 018,解析 由题意可知2m2-3m-1=0, 2m2-3m=1, 原式=3(2m2-3m)+2 015=2 018.,5.(2018南通
3、,14,3分)某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率 为x,根据题意列出的方程是 .,答案 100(1+x)2=160,解析 二、三月份每月的平均增长率为x, 则100(1+x)2=160.,6.(2019南京,25,8分)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩形广 场长与宽的比为32.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地 砖费用每平方米100米.如果计划总费用为642 000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?,解析 设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m. 根
4、据题意,得3x 2x100+30(3x2x-5040)=642 000. 解得x1=30,x2=-30(不合题意,舍去). 所以3x=90,2x=60. 答:扩充后广场的长和宽应分别为90 m和60 m. (8分),7.(2016泰州,20,8分)随着互联网的迅速发展,某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的 392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.,解析 设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x, 根据题意,得200(1+x)2=392, 解得x1=0.4=40%,x2=-2.4(不符合题意,舍去). 答:该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%.,8
5、.(2018盐城,23,10分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利, 该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均 每天可多售出2件. (1)若降价3元,则平均每天销售数量为 件; (2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元?,解析 (1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+23=26件. 故答案为26. (2)设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1 200元. 根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200, 整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x
6、2=20. 要求每件盈利不少于25元,x=10. 答:每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元.,思路分析 (1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出23=6 件,即平均每天销售数量为20+6=26件; (2)利用“商品平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这种商品的利润”列出方程解答即可.,方法总结 本题主要考查了一元二次方程的应用,利用数量关系:平均每天售出的件数每件盈利=每天销 售的利润列出方程求解即可.,考点2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系,1.(2019泰州,3,3分)方程2x2+6x-1=0的两根为x1、x2,则x1
7、+x2等于 ( ) A.-6 B.6 C.-3 D.3,答案 C 由于=62-42(-1)=440, x1+x2=-3. 故选C.,2.(2019泰州,14,3分)若关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 .,答案 m1,解析 根据题意得=22-4m0,解得m1.,3.(2019连云港,14,3分)已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则 +c的值等于 .,答案 2,解析 根据题意得=4-4a(2-c)=0,即4a(c-2)=-4, 方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程, a0,等式两边同时除以4a得c-2=- , 则 +c=2
8、.,4.(2018扬州,16,3分)关于x的方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是 .,答案 m 且m0,解析 一元二次方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,0且m0,即4-12m0且m0, m 且m0.,主要考点 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)根的判别式=b2-4ac.当0时,方程有 两个不相等的实数根;当=0时,方程有两个相等的实数根;当0时,方程没有实数根.也考查了一元二次方 程的定义,二次项系数不为0.,5.(2018南京,12,2分)设x1,x2是一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=
9、 ,x2= .,答案 -2;3(或3;-2),解析 关于x的方程x2-mx-6=0的两根之和为x1+x2=1, m=1,则原方程为x2-x-6=0,解得x1=-2,x2=3(或x1=3,x2=-2).,思路分析 由根与系数的关系可得出m的值,代入一元二次方程,解之即可得出结论.,解题关键 本题考查了根与系数的关系,根据根与系数的关系得到m=1是解题的关键.,6.(2017盐城,13,3分)若方程x2-4x+1=0的两根是x1,x2,则x1(1+x2)+x2的值为 .,答案 5,解析 根据题意得x1+x2=4,x1x2=1, 所以x1(1+x2)+x2=x1+x1x2+x2=x1+x2+x1x2
10、=4+1=5.,7.(2017连云港,12,3分)已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是 .,答案 1,解析 关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根, =(-2)2-4m=4-4m=0,解得m=1.,解题关键 本题考查了一元二次方程根的判别式,牢记“当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根”是 解题的关键.,8.(2017淮安,14,3分)关于x的一元二次方程x2-x+k+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .,答案 k-,解析 由题意,得0,即(-1)2-4(k+1)0,解得k- .,9.(2016南通,16,3分)设一元二次方程x2-3x-1=
11、0的两根分别是x1,x2,则x1+x2( -3x2)= .,答案 3,解析 由条件得 -3x2=1,x1+x2=3.原式=x1+x2=3.,考点3 分式方程的求解及应用,1.(2019苏州,6,3分)小明用15元买售价相同的软面笔记本,小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱 恰好用完).已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元,且小明和小丽买到相同数量的笔记本.设软面笔记本 每本售价为x元,根据题意可列出的方程为 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 A 软面笔记本每本售价为x元,则硬面笔记本每本售价为(x+3)元,根据“小明和小丽买到相同数量 的笔记本”可得 = .故选A.
12、,2.(2019宿迁,16,3分)关于x的分式方程 + =1的解为正数,则a的取值范围是 .,答案 a5且a3,解析 去分母得1-a+2=x-2, 解得x=5-a, 由题意得5-a0, 解得a5. 当x=5-a=2时,a=3,不符合题意, 故a5且a3.,3.(2017南京,11,2分)方程 - =0的解是 .,答案 x=2,解析 去分母,得2x-x-2=0,解得x=2. 经检验,x=2是分式方程的解.,4.(2017宿迁,14,3分)若关于x的分式方程 = -3有增根,则实数m的值是 .,答案 1,解析 去分母,得m=x-1-3(x-2), 由分式方程有增根,得x-2=0,即x=2, 把x=
13、2代入整式方程可得m=1.,解题关键 了解使分式方程分母为零的未知数的值是该分式方程的增根,是解决此类问题的关键.,5.(2019南京,18,7分)解方程 -1= .,解析 方程两边乘(x-1)(x+1), 得x(x+1)-(x-1)(x+1)=3. 解得x=2. 检验:当x=2时,(x-1)(x+1)0. 所以,原分式方程的解为x=2. (7分),6.(2019常州,24,8分)甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的 时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件?,解析 设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(30-x)个零件, 由题意得 = ,解得x=1
14、8, 经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意, 则30-18=12(个). 答:甲每小时做18个零件,乙每小时做12个零件.,7.(2018徐州,24,8分)徐州至北京的高铁里程约为700 km,甲、乙两人从徐州出发,分别乘坐“徐州号”高铁 A与“复兴号”高铁B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80 km/h,A车的行驶时间比B车的 行驶时间多40%,两车的行驶时间分别为多少?,解析 设B车的行驶时间为t小时,则A车的行驶时间为1.4t小时, 根据题意得 - =80, 解得t=2.5, 经检验,t=2.5是原分式方程的解,且符合题意. 1.4t=3.5. 答:A车的行驶时间为
15、3.5小时,B车的行驶时间为2.5小时.,8.(2018扬州,23,10分)京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉,全长1 462 km,是我国最繁忙的 铁路干线之一.如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍,客车比货车少用6 h,那么货车的速度是多 少?(精确到0.1 km/h),解析 设货车的速度是x km/h,则客车的速度是2x km/h, 根据题意得 - =6,解得x= . 经检验,x= 是分式方程的解,且符合题意. 121.8. 答:货车的速度约是121.8 km/h.,9.(2016连云港,18,6分)解方程 - =0.,解析 移项得 = , (2分) 去分母得2x+2=
16、x,解得x=-2. (5分) 经检验,x=-2是原方程的解. (6分),易错警示 解分式方程必须检验.,10.(2016南通,23,8分)某列车平均提速60 km/h.用相同的时间,该列车提速前行驶200 km,提速后比提速前多 行驶100 km.求提速前该列车的平均速度.,解析 设提速前该列车的平均速度为x km/h,列方程得 = , 解得x=120,经检验,x=120是原方程的解,且符合题意. 答:提速前该列车的平均速度为120 km/h.,思路分析 根据提速前行驶200 km所用时间=提速后多行驶100 km所用时间列方程求解.,解题关键 本题考查了分式方程的应用,解题关键是读懂题意,设
17、出未知数、找出合适的等量关系.,11.(2018南京,19,8分)刘阿姨到超市购买大米,第一次按原价购买,用了105元.几天后,遇上这种大米8折出售, 她用140元又买了一些,两次一共购买了40 kg.这种大米的原价是多少?,解析 设这种大米的原价为每千克x元. 根据题意,得 + =40. 解这个方程,得x=7. 经检验,x=7是所列方程的解,且符合题意. 答:这种大米的原价为每千克7元.,解题关键 本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.,B组 20152019年全国中考题组,考点1 一元二次方程的解法及应用,1.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程
18、ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他 核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根,答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应该 为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40,所以原方程不存在实数根,故选A.,2.(2016天津,8,3分)方程x2+x-12=0的两个根为 ( ) A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2 C.x1=-3
19、,x2=4 D.x1=-4,x2=3,答案 D a=1,b=1,c=-12,b2-4ac=1+48=490,x= = ,x1=-4,x2=3.故选D.,3.(2017甘肃兰州,10,4分)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如 图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为 ( ) A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-4x2=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-4x2-(70+80)x=3 00
20、0,答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形, 由题意可得(80-2x)(70-2x)=3 000.,思路分析 用含x的代数式分别表示出长方体底面的长和宽,然后根据“面积=长宽”列方程.,解题关键 本题考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是找出题目中的相等关系.,4.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房 每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用. 当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,
21、则有 ( ) A.(180+x-20) =10 890 B.(x-20) =10 890 C.x -5020=10 890 D.(x+180) -5020=10 890,答案 B 当房价定为x元时,空闲的房间有 个,所以有游客居住的房间有 个,则宾馆当天 的利润为 (x-20)元,故B正确.,思路分析 先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的20元,从而得 出宾馆当天的利润并列出等式.,5.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周 长为 .,答案 16,解析 x2-10x+21=(x-
22、3)(x-7)=0, x1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16.,6.(2019安徽,15,8分)解方程:(x-1)2=4.,解析 (x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1. 所以原方程的解为x1=3,x2=-1. (8分),7.(2018内蒙古呼和浩特,23,7分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根x1,x2,请你用配方 法探索有实数根的条件,并推导出求根公式,证明x1x2= .,解析 ax2+bx+c=0(a0), x2+ x=- , x2+ x+ =-
23、+ , = , 4a20,当b2-4ac0时,方程有实数根. x+ = .,思路分析 本题需要借助配方法解含字母系数的一元二次方程,同时借助求根公式验证推导是否正确.,解题关键 正确解决本题的关键是要通过求根公式进行验证,同时要具有计算含字母系数的方程的能力.,考点2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系,1.(2019内蒙古呼和浩特,8,3分)若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则 -4 +17的值为 ( ) A.-2 B.6 C.-4 D.4,答案 A x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,x1+x2=-1, =-x1+3, =-x2+3. -4 +1
24、7=x2(-x2+ 3)-4(-x1+3)+17=- +3x2+4x1-12+17=4(x1+x2)+2=-4+2=-2,故选A.,2.(2017甘肃兰州,6,4分)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值范围为 ( ) A.m B.m C.m= D.m=,答案 C 因为一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m= ,故选C.,思路分析 一元二次方程有两个相等的实数根,则判别式=0,列出关于m的方程,解方程即可.,方法规律 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),当b2-4ac0时,一元二次方程有两个不相等的
25、实数根;当b2- 4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b2-4ac0时,一元二次方程没有实数根.,3.(2016福建福州,12,3分)下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是 ( ) A.a0 B.a=0 C.c0 D.c=0,答案 D 若一元二次方程ax2-4x+c=0有实数根, 则=(-4)2-4ac=16-4ac0,且a0. ac4,且a0. A.若a0,则当a=1,c=5时,ac=54,故此选项错误; B.a=0不符合一元二次方程的定义,故此选项错误; C.若c0,则当a=1,c=5时,ac=54,故此选项错误; D.若c=0,则ac=04,
26、故此选项正确.故选D.,易错警示 一元二次方程的根的情况可根据一元二次方程根的判别式进行判断,不能盲目求解.,4.(2016河南,11,3分)若关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .,答案 k-,解析 根据题意得=b2-4ac=9+4k0,所以k- .,易错警示 一元二次方程的根的情况可根据一元二次方程根的判别式进行判断,不能盲目求解.,5.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.,解析
27、 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0, x1=x2=-1.,考点3 分式方程的求解及应用,1.(2019四川成都,7,3分)分式方程 + =1的解为 ( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2,答案 A 原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)0,所以x=-1是原分式方程 的解,故选A.,2.(2016安徽,5,4分)方程 =3的解是 ( ) A.
28、- B. C.-4 D.4,答案 D 去分母得,2x+1=3x-3,x=4,经检验,x=4是原方程的根,故选D.,评析 本题考查了分式方程的解法,不要忘记检验,属容易题.,3.(2016河北,12,2分)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情 形,所列关系式成立的是 ( ) A. = -5 B. = +5 C. =8x-5 D. =8x+5,答案 B 3x的倒数是 ,而嘉淇同学求的是 ,因为她求得的值比 小5,所以可得 +5= .,4.(2018黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的方程 + = 无解,则m的值为 .,答案 -1或5或- (答对一个
29、得1分),解析 去分母,得x+4+m(x-4)=m+3, 去括号,移项,合并同类项,得(m+1)x=5m-1, 因为分式方程无解,所以分下面三种情况: (1)当m+1=0,即m=-1时,5m-10,方程无解; (2)当x=4时,解方程得m=5; (3)当x=-4时,解方程得m=- . 综上,m的值为-1或5或- .,5.(2017湖北黄冈,18,6分)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”,购买了一批图书,其中科普类图书平均每本 的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12 000元购买的科普类图书的本数与用9 000元购 买的文学类图书的本数相等,求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每
30、本的价格各是多少元.,解析 设文学类图书平均每本的价格为x元,则科普类图书平均每本的价格为(x+5)元,依题意可列方程: = . (3分) 解得x=15. (4分) 经检验,x=15是原分式方程的解,且符合题意. (5分) x+5=15+5=20. 答:科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为20元和15元. (6分),C组 教师专用题组 考点1 一元二次方程的解法及应用,1.(2019甘肃兰州,5,4分)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b= ( ) A.-2 B.-3 C.4 D.-6,答案 A 将x=1代入方程可得1+a+2b=0,即a+2b=-1,2a+
31、4b=2(a+2b)=-2,故选A.,2.(2019新疆,7,5分)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根 据题意,可列方程为 ( ) A. x(x-1)=36 B. x(x+1)=36 C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36,答案 A 根据题意可列方程为 x(x-1)=36,故选A.,3.(2015重庆A卷,8,4分)一元二次方程x2-2x=0的根是 ( ) A.x1=0,x2=-2 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=-2 D.x1=0,x2=2,答案 D x2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2,故选D.,4.(
32、2015宁夏,7,3分)如图,某小区有一块长为18 m,宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿 地,它们的面积之和为60 m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行通道的宽度为x m,则 可以列出关于x的方程是 ( ) A.x2+9x-8=0 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0,答案 C 由题意得(18-3x)(6-2x)=60,化简得x2-9x+8=0.,5.(2017杭州,7,3分)某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16.8万人次,设参观 人次的年平均增长率为x,则 ( ) A.10.
33、8(1+x)=16.8 B.16.8(1-x)=10.8 C.10.8(1+x)2=16.8 D.10.8(1+x)+(1+x)2=16.8,答案 C 根据“2014年的人次(1+年平均增长率)2=2016年的人次”列方程得10.8(1+x)2=16.8,故选C.,解题关键 确定等量关系是解决此类题目的关键.,6.(2016连云港,13,3分)已知关于x的方程x2+x+2a-1=0的一个根是0,则a= .,答案,解析 由x=0是方程x2+x+2a-1=0的根,得2a-1=0, a= .,7.(2019内蒙古呼和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.,解析
34、 原方程可化为2x2-9x-34=0, x2- x-17=0,x2- x=17, x2- x+ =17+ , = , x- = , x1= ,x2= .,8.(2019辽宁大连,21,9分)某村2016年的人均收入为20 000元,2018年的人均收入为24 200元. (1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率; (2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年该村的人均收入是 多少元.,解析 (1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x,由题意得20 000(1+x)2=24 200, 解得x1=-2.1(舍),x2=0.
35、1=10%. 答:2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%. (2)24 200(1+10%)=24 2001.1=26 620元. 答:预测2019年该村的人均收入为26 620元.,9.(2016安徽,16,8分)解方程:x2-2x=4.,解析 两边都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5, (4分) 所以x-1= ,所以原方程的解是x1=1+ ,x2=1- . (8分),10.(2017甘肃兰州,21(2),5分)解方程:2x2-4x-1=0.,解析 这里a=2,b=-4,c=-1, =b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240, (2分) x= = , (
36、4分) 即x1= ,x2= . (5分),方法规律 一元二次方程常见的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.一般情况下,直接开 平方法适用于解形如(x+m)2=n(n0)的一元二次方程;配方法通常适用于解二次项系数化为1后,一次项系 数是偶数的一元二次方程;当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就 用分解因式的方法来解;实际解题过程中,用以上三种方法不好解时,再选用公式法.在解一元二次方程时要 根据一元二次方程的特点,选择适合的解法.,考点2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 1.(2019新疆,6,5分)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x
37、+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ( ) A.k B.k C.k 且k1 D.k 且k1,答案 D 关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根, 解得k 且k1.故选D.,2.(2018河南,7,3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是 ( ) A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=0,答案 B 选项A,=0,方程有两个相等实数根;选项B,x2-x=0,=10,方程有两个不相等的实数根;选项C,x2-2 x+3=0,=-80,方程无实数根;选项D,(x-1)2=-1无实数根,故选B.,3.(2016河北,14,2分)a,b
38、,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0,答案 B 由(a-c)2a2+c2,得a2-2ac+c2a2+c2,即-2ac0,所以-4ac0. 又因为b20,所以=b2-4ac0,所以方程有两个不相等的实数根.,4.(2015宁夏,5,3分)关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根,则m的取值范围是 ( ) A.m- B.m- C.m D.m,答案 D 由题意知,=b2-4ac=12-41m=1-4m0,解得m .故选D.,5.(2017河南,6,3分)一元二次方
39、程2x2-5x-2=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根,答案 B =(-5)2-42(-2)=25+16=410,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B.,6.(2019吉林长春,11,3分)一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为 .,答案 5,解析 一元二次方程根的判别式=(-3)2-411=5.,7.(2019四川成都,22,4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且 + -x1x2=13,则k的 值为 .,答案 -2,解析 x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2
40、x+k-1=0的两个实数根,=b2-4ac=4-4(k-1)0,k2.由题意知, x1+x2=-2,x1x2=k-1, + -x1x2=13,(x1+x2)2-3x1x2=13,(-2)2-3(k-1)=13,k=-2.-22,k的值为-2.,易错警示 运用根与系数的关系求一元二次方程中参数的值,需要用根的判别式进行验证,否则会错解失 分.,8.(2016镇江,7,2分)关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m= .,答案,解析 若一元二次方程有两个相等的实数根,则=(-3)2-42m=0,m= .,解题关键 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数的值.掌握一元二
41、次方程根与判别式的关系是解 题关键.,9.(2016南京,12,2分)设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,则x1+x2= ,m= .,答案 4;3,解析 根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=4,x1x2=m,又x1+x2-x1x2=1,4-m=1,m=3.,10.(2019北京,19,5分)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.,解析 由题意,得=(-2)2-4(2m-1)0. 解得m1. m为正整数,m=1. 此时,方程为x2-2x+1=0. 解得x1=x2=1. m=1,方程的根为x1=x2=1.
42、,11.(2016北京,20,5分)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.,解析 (1)依题意,得=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+50, 解得m- . (2)答案不唯一.如:m=1. 此时方程为x2+3x=0. 解得x1=-3,x2=0.,考点3 分式方程的求解及应用 1.(2017河南,4,3分)解分式方程 -2= ,去分母得( ) A.1-2(x-1)=-3 B.1-2(x-1)=3 C.1-2x-2=-3 D.1-2x+2=3,答案 A 分式方程两边同乘(x-1),得
43、1-2(x-1)=-3.故选A.,2.(2018四川成都,8,3分)分式方程 + =1的解是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3,答案 A + =1, (x+1)(x-2)+x=x(x-2), x2-x-2+x=x2-2x, 解得x=1, 检验,当x=1时,x(x-2)0. 所以x=1是原分式方程的解.故选A.,3.(2017新疆,8,5分)某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器,现在生产600台机器所需的时间与原计 划生产480台机器所用的时间相同.设原计划每天生产x台机器,根据题意,下面列出的方程正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 B
44、 原计划平均每天生产x台机器,则现在每天生产(x+40)台机器,根据“现在生产600台机器所需的 时间与原计划生产480台机器所用的时间相同”,得 = .故选B.,4.(2016南京,11,2分)方程 = 的解是 .,答案 x=3,解析 方程两边同时乘x(x-2),得x=3(x-2), 解得x=3,经检验,x=3是原分式方程的解.,5.(2017四川绵阳,14,3分)关于x的分式方程 - = 的解是 .,答案 x=-2,解析 - = , - =- , 2(x+1)-(x-1)=-(x+1), 2x+2-x+1=-x-1,2x=-4,x=-2. 检验:当x=-2时,(x+1)(x-1)0, x=
45、-2是原分式方程的根.,6.(2016镇江,19(1),5分)解方程: = .,解析 去分母,得x=3(x-3), (2分) 解得x= . (4分) 经检验,x= 是原方程的解. (5分),7.(2016扬州,24,10分)动车的开通为扬州市民的出行带来了方便.从扬州到合肥,路程为360 km,某趟动车的 平均速度比普通列车快50%,所需时间比普通列车少1小时,求该趟动车的平均速度.,解析 设普通列车的平均速度为x km/h. 根据题意,得 -1= ,解得x=120, 经检验,x=120是原分式方程的解,且符合题意. (1+50%)x=(1+50%)120=180. 答:该趟动车的平均速度为1
46、80 km/h.,8.(2016宁夏,22,6分)某种型号油电混合动力汽车,从A地到B地燃油行驶纯燃油费用为76元,从A地到B地用 电行驶纯用电费用为26元.已知每行驶1千米,纯燃油费用比纯用电费用多0.5元. (1)求每行驶1千米纯用电的费用; (2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元,则至少用电行驶多少千米?,解析 (1)设纯用电每行驶1千米所需要的费用为x元,则纯燃油每行驶1千米所需要的费用为(x+0.5)元,根据 题意,得 = , (2分) 解得x=0.26,经检验,x=0.26是原方程的根且符合题意. 所以,每行驶1千米纯用电的费用为0.26元. (3分)
47、 (2)纯燃油每行驶1千米所需要的费用为0.5+0.26=0.76(元),从A地到B地的距离为260.26=100(千米),设用电 行驶y千米,则燃油行驶(100-y)千米. 根据题意,得0.26y+0.76(100-y)39, (5分) 解得y74,即至少用电行驶74千米. (6分),评析 本题考查分式方程、一元一次不等式的应用.应注意检验分式方程的解.属易错题.,9.(2015山东聊城,23,8分)在“母亲节”前夕,某花店用16 000元购进第一批礼盒鲜花,上市后很快预售一空. 根据市场需求情况,该花店又用7 500元购进第二批礼盒鲜花.已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜 花的盒数的
48、,且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元.问第二批鲜花每盒的进价是多少元?,解析 设第二批鲜花每盒的进价是x元,根据题意,得 = , (4分) 解这个方程,得x=150. (6分) 经检验,x=150是原方程的根,且符合题意. (7分) 所以第二批鲜花每盒的进价是150元. (8分),评析 在列方程解决实际问题时,一是找到题目中的相等关系;二是设未知数,注意选择和题目中各个量都 关系密切的量,注意根据问题情况灵活选择设法,如直接设、间接设,设多元等;三是求分式方程的根,要验 根,根既要使方程本身有意义,又要符合实际意义.,10.(2017广州,21,12分)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程,先由甲队筑路60公里,再由乙队完成剩下的筑 路工程,已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍,甲队比乙队多筑路20天. (1)求乙队筑路的总公里数; (2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为58,求乙队平均每天筑路多少公里.,
