1、1.(2018广西百色,11,3分)已知AOB=45,求作AOP=22.5,作法: (1)以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于点N,M; (2)分别以N,M为圆心,以OM长为半径在角的内部画弧交于点P; (3)作射线OP,则OP为AOB的平分线,可得AOP=22.5. 根据以上作法,某同学有以下3种证明思路:,可证明OPNOPM,得POA=POB,可得; 可证明四边形OMPN为菱形,OP,MN互相垂直平分,得POA=POB,可得; 可证明PMN为等边三角形,OP,MN互相垂直平分,从而得POA=POB,可得. 你认为该同学以上3种证明思路中,正确的有 ( ) A. B. C. D.,
2、答案 A 由作图得OM=ON,PM=PN, OP=OP,OMPONP(SSS), POA=POB,故正确; 由作图得OM=ON=PM=PN, 四边形MONP是菱形, OP平分MON, POA=POB, 故正确;,2.(2018黑龙江牡丹江,14,3分)如图,AC=BC,请你添加一对边或一对角相等的条件,使AD=BE.你所添加的条 件是 .,答案 A=B或ADC=BEC或CE=CD,解析 因为AC=BC,C=C,所以添加A=B或ADC=BEC或CE=CD, 可得ADC与BEC全等,利用全等三角形的性质得出AD=BE.,3.(2016随州)如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O
3、.有直角MPN,使直角顶点P与点O重 合,直角边PM,PN分别与OA,OB重合,然后逆时针旋转MPN,旋转角为(090),PM,PN分别交AB,BC 于E,F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是 . EF= OE;S四边形OEBFS正方形ABCD=14;BE+BF= OA;在旋转过程中,当BEF与COF的面积之和 最大时,AE= ;OGBD=AE2+CF2.,答案 ,解析 四边形ABCD是正方形,OB=OC,OBE=OCF=45,BOC=90,BOF+COF=90, EOF=90,BOF+BOE=90,BOE=COF, BOECOF(ASA), OE=OF,BE=CF, EF= O
4、E.故正确; S四边形OEBF=SBOE+SBOF=SBOF+SCOF=SBOC= S正方形ABCD, S四边形OEBFS正方形ABCD=14.故正确; BE+BF=BF+CF=BC= OA.故正确; 过点O作OHBC交BC于点H,BC=1,OH= BC= ,设AE=x,则BE=CF=1-x,BF=x,SBEF+SCOF= BEBF+ CFOH= x(1-x)+ (1-x) =- + ,- 0,当x= 时,SBEF+SCOF最大,即在旋转过程中,当 BEF与COF的面积之和最大时,AE= .故错误;,EOG=BOE,OEG=OBE=45,OEGOBE,OEOB=OGOE,OGOB=OE2,OB
5、= BD,OE= EF,OGBD=EF2,在BEF中,EF2=BE2+BF2, EF2=AE2+CF2,OGBD=AE2+CF2.故正确. 故答案为.,4.(2019南京,27,11分)【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走. 可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(x1,y1)和B(x2,y2),用以下方式定义两点间 距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|. 【数学理解】 (1)已知点A(-2,1),则d(O,A)= ; 函数y=-2x+4(0x2)的图象如图所示,B是图象上一点,d(O
6、,B)=3,则点B的坐标是 .,解析 (1)3;(1,2). (2分) (2)证明:假设函数y= (x0)的图象上存在点C(x,y),使d(O,C)=3. 根据题意,得|x-0|+ =3. 因为x0,所以 0,所以|x-0|+ =x+ . 所以x+ =3. 方程两边同乘x,得x2+4=3x. 整理,得x2-3x+4=0. 因为a=1,b=-3,c=4,b2-4ac=(-3)2-414=-70)的图象上不存在点C,使d(O,C)=3. (5分) (3)设D(x,y).,根据题意,得d(O,D)=|x-0|+|x2-5x+7-0|=|x|+|x2-5x+7|. 因为x2-5x+7= + 0,又x0
7、, 所以d(O,D)=|x|+|x2-5x+7|=x+x2-5x+7=x2-4x+7=(x-2)2+3. 所以当x=2时,d(O,D)有最小值3,此时点D的坐标是(2,1). (8分) (4)如图,以M为原点,MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移,直到 与景观湖边界所在曲线有交点时停止.设交点为E,过点E作EHMN,垂足为H. 修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处. 理由:设过点E的直线l1与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点P作直线l2l1,l2与x轴相 交于点G.因为EFH=45,所以EH=HF,d(O,
8、E)=OH+EH=OF. 同理d(O,P)=OG.因为OGOF,所以d(O,P)d (O,E).因此,上述方案修建的道路最短. (11分),思路分析 (1)根据定义可求出d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3;由两点间距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|及点B是函 数y=-2x+4(0x2)的图象上的一点,可得出关于x的方程,解方程即可求出点B的坐标; (2)由条件知x0,根据题意得x+ =3,整理得x2-3x+4=0,由0可证得该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3. (3)根据条件可得d(O,D)=|x|+|x2-5x+7|,去绝对值后由二次函数的性质可求出最
9、小值; (4)以M为原点,MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移,直到与 景观湖边界所在曲线有交点时停止,设交点为E,过点E作EHMN,垂足为H,修建方案是:先沿MN方向修建 到H处,再沿HE方向修建到E处,可证得d(O,E)最小.,解后反思 本题是一道综合题,考查了绝对值的定义、反比例函数、一元二次方程根的判别式以及运用二 次函数的性质求二次函数的最值,本题的难点在第(4)问,理解题目中的两点间距离定义是解决问题的关键, 难点的突破在于建立平面直角坐标系,找到最小距离的关键点,即可解决该问题.这是一道压轴题,难度较大.,5.(2018盐城,26,1
10、2分)【发现】如图,已知等边ABC,将直角三角板的60角顶点D任意放在BC边上(点D 不与点B、C重合),使两边分别交线段AB、AC于点E、F. (1)若AB=6,AE=4,BD=2,则CF= ; (2)求证:EBDDCF. 【思考】若将图中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在,连 接EF,如图所示,问:点D是否存在某一位置,使ED平分BEF且FD平分CFE?若存在,求出 的值;若不 存在,请说明理由; 【探索】如图,在等腰ABC中,AB=AC,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处(其 中MON=B),使两条边分别交边AB、AC于点
11、E、F(点E、F均不与ABC的顶点重合),连接EF.设B=, 则AEF与ABC的周长之比为 (用含的表达式表示).,解析 (1)ABC是等边三角形, AB=BC=AC=6,B=C=60. AE=4, BE=2, 则BE=BD, BDE是等边三角形, BED=EDB=60, 又EDF=60, CDF=180-EDF-EDB=60, CDF=C=60, CDF是等边三角形, CF=CD=BC-BD=6-2=4. 故答案是4.,(2)证明:EDF=60,B=60, CDF+BDE=120,BED+BDE=120, BED=CDF. 又B=C=60, EBDDCF. 【思考】存在.理由:如图1,过D作
12、DMBE,DGEF,DNCF,垂足分别是M、G、N, ED平分BEF且FD平分CFE. DM=DG=DN. 又B=C=60,BMD=CND=90, BDMCDN, BD=CD,即点D是BC的中点, = .,图1 【探索】如图2,连接AO,作OGBE,ODEF,OHCF,垂足分别是G、D、H. 则BGO=CHO=90, AB=AC,O是BC的中点, B=C,OB=OC, OBGOCH, OG=OH,GB=CH,BOG=COH=90-, 则GOH=180-(BOG+COH)=2, EOF=B=,GOH=2=2EOF. 图2 由(2)可猜想应用EF=ED+DF=GE+FH(可通过半角旋转证明), 则
13、CAEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG, 设AB=m,则OB=mcos ,GB=mcos2. = = = =1-cos . 故答案是1-cos .,思路分析 (1)先求出BE的长度,可得BE=BD,又B=60,可知BDE是等边三角形,又可证得CDF是等边 三角形,从而CF=CD=BC-BD; (2)根据“两角相等”判定相似; 【思考】根据角平分线的性质证明BDMCDN,从而可得BD=CD,再根据D为BC的中点,即可求解; 【探索】设AB=m,由已知不难求得CABC=2AB+2OB=2(m+mcos ),题中已知点O是BC的中点,应用(2)题的方 法和结论,证明可
14、求得CAEF=AE+EF+AF=AG+AH=2AG.列式即可.,解题反思 本题主要考查的是三角形的综合应用,解答本题主要应用了角平分线的性质、等边三角形的性 质、全等三角形的判定,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数等知识,综合性较强,难度较大,需要学生具 备对所学几何知识的综合应用能力.,6.(2018山西,22,12分)综合与实践 问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一 点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与 DE的位置关系. 探究展示:勤奋小组发
15、现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:,图1,证明:BE=AB,AE=2AB. AD=2AB,AD=AE. 四边形ABCD是矩形, ADBC. = .(依据1) BE=AB, =1.EM=DM. 即AM是ADE的DE边上的中线, 又AD=AE,AMDE.(依据2) AM垂直平分DE. 反思交流: (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么? 试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;,(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CE- FG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;
16、探索发现: (3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线 上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上, 请写出一个你发现的结论,并加以证明. 图2 图3,解析 (1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例). (1分) 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”). (2分) 点A在线段GF的垂直平分线上. (3分) (2)证明:过点G作GHBC于点H. (4分) 四边形ABCD是矩形
17、,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=GHC=90.1+2=90. 四边形CEFG为正方形, CG=CE,GCE=90. 1+3=90,2=3.,GHCCBE. (6分) HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH. GH垂直平分BC.点G在BC的垂直平分线上. (7分) (3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分) 证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N. (9分) BMN=ENM=ENF=90. 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=90.,四边形BEN
18、M为矩形. (10分) BM=EN,BEN=90. 1+2=90. 四边形CEFG为正方形, EF=EC,CEF=90.2+3=90. 1=3. CBE=ENF=90, ENFEBC. (11分) NE=BE.BM=BE. 四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,AB=BE,BC=2BM. BM=MC. FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上. (12分),证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC. (9分) 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=N=90. 1+3=90. 四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90. 1+2=9
19、0,2=3. ENFCBE. (10分) NF=BE,NE=BC. 四边形ABCD是矩形,AD=BC.,AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a. BF= = = a, CE= = = a, CF= = CE= a. (11分) BF=CF. 点F在BC边的垂直平分线上. (12分),7.(2017湖北天门)在RtABC中,ACB=90,点D与点B在AC同侧,DACBAC,且DA=DC,过点B作BE DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME. (1)如图,当ADC=90时,线段MD与ME的数量关系是 ; (2)如图,当ADC=60时,试探究线段MD与ME的数量
20、关系,并证明你的结论; (3)如图,当ADC=时,求 的值.,解析 (1)MD=ME.提示:延长EM交AD于F,证BMEAMF,得EM=FM,又ADC=90,所以DM=ME=MF. (2)MD= ME. 证明:如图,延长EM交DA于点F, BEDA,FAM=EBM, 又AM=BM,AMF=BME, AMFBME,AF=BE,MF=ME, DA=DC,ADC=60, BED=ADC=60,ACD=60, ACB=90,ECB=30, EBC=30,CE=BE,AF=CE,DF=DE, DMEF,DM平分ADC,MDE=30. 在RtMDE中,tanMDE= = .,MD= ME. (3)如图,延长EM交DA于点F, BEDA,FAM=EBM, 又AM=BM,AMF=BME,AMFBME,AF=BE,MF=ME, 延长BE交AC于点N,BNC=DAC, DA=DC,DCA=DAC,BNC=DCA, ACB=90,ECB=EBC, CE=BE,AF=CE, DF=DE,DMEF,DM平分ADC, ADC=,MDE= , 在RtMDE中, =tanMDE=tan .,
