1、1.(2018山东聊城,17,3分)若x为实数,则x表示不大于x的最大整数,例如1.6=1,=3,-2.82=-3等.x+1是大 于x的最小整数,对任意的实数x都满足不等式xxx+1.利用这个不等式,求出满足x=2x-1的所有解,其 所有解为 .,答案 x=0.5或x=1,解析 对任意的实数x都满足不等式xxx+1,x=2x-1, 2x-1x2x-1+1, 解得0x1, 2x-1是整数, x=0.5或x=1.,2.(2019连云港,27,14分)问题情境:如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的 一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段D
2、N、MB、EC之间的数量关系,并说明理由. 问题探究:在“问题情境”的基础上. (1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F,求AEF的度数; (2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将APN沿着AN翻折,点P落在点P处,若正方形 ABCD的边长为4,AD的中点为S,求PS的最小值. 问题拓展:如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分 别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折, 使得BC的对应边BC恰好经过点A,CN交AD于点F. 分别过点A、F作AGMN,FHMN,垂足分别为G、 H.若AG= ,
3、请直接写出FH的长.,解析 问题情境: 线段DN、MB、EC之间的数量关系为DN+MB=EC. 理由如下: 四边形ABCD是正方形, ABE=BCD=90,AB=BC=CD,ABCD, 过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F,如图所示: 四边形MBFN为平行四边形, NF=MB, BFMN,MNAE,BFAE, BGE=90, CBF+AEB=90, BAE+AEB=90, CBF=BAE, 在ABE和BCF中, ABEBCF(ASA), BE=CF, DC=BC,即DN+NF+CF=BE+EC, DN+MB=EC.,问题探究: (1)连接AQ,过点Q作HIAB,分别交AD、BC于点H、I
4、,如图所示: 四边形ABCD是正方形, 四边形ABIH为矩形, HIAD,HIBC,HI=AB=AD, BD是正方形ABCD的对角线, BDA=45, DHQ是等腰直角三角形,HD=HQ,AH=QI, MN垂直平分AE, AQ=QE,在RtAHQ和RtQIE中, RtAHQRtQIE(HL), AQH=QEI, AQH+EQI=90, AQE=90, AQE是等腰直角三角形, EAQ=AEQ=45,即AEF=45. (2)连接AC交BD于点O,如图所示: 则APN的直角顶点P在OB上运动,当点P与点B重合时,点P与点D重合;设点P与点O重合时,点P落在点O处, AO=OD,AOD=90, OD
5、A=ADO=45, 当点P在线段BO上运动时,过点P作PGCD于点G,过点P作PHCD交CD的延长线于点H,连接PC, 点P在BD上, AP=PC, 在APB和CPB中, APBCPB(SSS), BAP=BCP, BCD=MPA=90, PCN=AMP,ABCD, AMP=PNC, PCN=PNC, PC=PN, AP=PN, PNA=45, PNP=90, PNH+PNG=90, PNH+NPH=90,PNG+NPG=90, NPG=PNH,PNG=NPH, 由翻折的性质得:PN=PN, 在PGN和NHP中,PGNNHP(ASA), PG=NH,GN=PH, BD是正方形ABCD的对角线,
6、 PDG=45, 易得PG=GD,GN=DH, DH=PH, PDH=45,故PDA=45, 点P在线段DO上运动. 过点S作SKDO,垂足为K,PS的最小值即为KS的长. 点S为AD的中点, DS=2,则PS的最小值为 . 问题拓展: 延长AG交BC于E,交DC的延长线于Q,延长FH交CD于P,如图.,则EG=AG= ,PH=FH, AE=5, 在RtABE中,BE= =3, CE=BC-BE=1, B=ECQ=90,AEB=QEC, ABEQCE, = =3, QE= AE= ,AQ=AE+QE= . AGMN, AGM=90=B, MAG=EAB, AGMABE, = ,即 = , 解得
7、AM= . 由折叠的性质得:AB=EB=3,B=B=90,C=BCD=90, BM= = ,AC=1, BAD=90, BAM=CFA,AFCMAB, = = , 解得AF= , DF=4- = , AGMN,FHMN, AGFH,AQFP, DFPDAQ, = ,即 = ,解得FP= ,FH= FP= .,疑难突破 本题是四边形综合题目,考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直 角三角形的判定与性质、正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识点.本题综合性强,有一定难 度,证明三角形全等和三角形相似是突破难点的关键.,3.(2018淮安,26,12分)如果三角形的两个内
8、角与满足2+=90,那么我们称这样的三角形为“准互余三角 形”. (1)若ABC是“准互余三角形”,C90,A=60,则B= ; (2)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=5.若AD平分BAC,不难证明ABD是“准互余三角形”. 试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存 在,请说明理由; (3)如图,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BDCD,ABD=2BCD,且ABC是“准互余三角形”,求对 角线AC的长.,解析 (1)ABC是“准互余三角形”,C90,A=60, 2B+A=90, 解得B=15, 故答案为
9、15. (2)如图, 在RtABC中,B+BAC=90,BAC=2BAD, B+2BAD=90, ABD是“准互余三角形”,ABE也是“准互余三角形”, 只有2B+BAE=90, B+BAE+EAC=90, CAE=B, 又C=C=90, CAECBA, 可得CA2=CECB, CE= , BE=5- = . (3)如图,将BCD沿BC翻折得到BCF.,CF=CD=12,BCF=BCD,CBF=CBD, ABD=2BCD,BCD+CBD=90, ABD+DBC+CBF=180, A、B、F三点共线, CAF+ACF=90, 2ACB+CAB90,只有2BAC+ACB=90, FCB=FAC,
10、又F=F, FCBFAC, CF2=FBFA,设FB=x,则有x(x+7)=122, x=9或x=-16(舍弃),AF=7+9=16, 在RtACF中,AC= = =20.,思路分析 (1)根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题; (2)只要证明CAECBA,可得CA2=CECB,由此即可解决问题; (3)将BCD沿BC翻折得到BCF.先证FCBFAC,从而可得CF2=FBFA,设FB=x,则有x(x+7)=122,推出x =9或x=-16(舍弃),再利用勾股定理求出AC即可.,解后反思 本题考查相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题 意,利用翻折变换
11、,构造相似三角形,属于中考压轴题.,4.(2019北京,28,7分)在ABC中,D,E分别是ABC两边的中点,如果 上的所有点都在ABC的内部或边 上,则称 为ABC的中内弧.例如,下图中 是ABC的一条中内弧. (1)如图,在RtABC中,AB=AC=2 ,D,E分别是AB,AC的中点.画出ABC的最长的中内弧 ,并直接写出 此时 的长;,(2)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(0,0),C(4t,0),(t0).在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点. 若t= ,求ABC的中内弧 所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围; 若在ABC中存在一条中内弧 ,使得 所在圆的圆心P在ABC的内
12、部或边上,直接写出t的取值范 围.,解析 (1)ABC的最长的中内弧 ,如图. 的长为. (2)当t= 时,点C(2,0). 取BC的中点F(1,0), 则四边形DEFB为正方形.,(除端点外)在线段DE的上方, 当 所在圆P1与AC相切时,圆心P1是正方形DEFB的中心. 点P1 . 结合图形,可得点P的纵坐标yP . (除端点外)在线段DE的下方, 当 所在圆P2与AB相切时,圆心P2是线段DE的中点. 点P2 . 结合图形,可得点P的纵坐标yP1. 综上所述,圆心P的纵坐标yP的取值范围是yP 或yP1. t的取值范围是0t . 提示:如图1,当 (除端点外)在线段DE上方,即P与AC相切时,PEAC,易证EFCPFE,可求得t=,结合图象可知0t ;如图2,当 (除端点外)在线段DE下方,即P与BC相切时,易证PFC ABC,可求得PF=1.5,设PF与DE交于点G,PG=0.5,进而在RtPDG中可求t= ,结合图象可知0t .综 上,t的取值范围是0t 图1 图2,
