1、1.(2019枣庄,25,10分)已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标; (2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面 积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求点M的坐标.,解析 (1)抛物线的对称轴是直线x=3, - =3,解得a=- , 抛物线的解析式为y=- x2+ x+4
2、. 当y=0时,- x2+ x+4=0,解得x1=-2,x2=8, 点B在点A右侧, 点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0). (2)当x=0时,y=- x2+ x+4=4, 点C的坐标为(0,4). 设直线BC的解析式为y=kx+b(k0),将(8,0),(0,4)代入y=kx+b得 解得,直线BC的解析式为y=- x+4. 假设存在点P,使四边形PBOC的面积最大, 设点P的坐标为 (0x8),如图所示,过点P作PDy轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为 , 则PD=- x2+ x+4- =- x2+2x, =SBOC+SPBC = 84+ PDOB =16+ 8 =-x2+8x
3、+16 =-(x-4)2+32.,0x8,当x=4时,四边形PBOC的面积最大,最大值是32. 存在点P(4,6),使得四边形PBOC的面积最大, 四边形PBOC面积的最大值为32. (3)设点M的坐标为 ,则点N的坐标为 , MN= = , 又MN=3, =3, 当08时,- m2+2m+3=0,解得m3=4-2 ,m4=4+2 , 点M的坐标为(4-2 , -1)或(4+2 ,- -1).,综上,点M的坐标为(2,6)或(6,4)或(4-2 , -1)或(4+2 ,- -1).,2.(2018德州,25,14分)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x-1与抛物线y=-x2+bx+c交于A,
4、B两点,其中A(m,0),B (4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D. (1)求m,n的值及该抛物线的解析式; (2)如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A,D重合),分别以AP,DP为斜边,在直线AD的同侧作等腰直角 APM和等腰直角DPN,连接MN,试确定MPN面积最大时P点的坐标; (3)如图3,连接BD,CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似?若存在,请直 接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.,解析 (1)把(m,0)、(4,n)代入y=x-1,得m=1,n=3, A(1,0),B(4,3). y=-x2+bx+c的图象过点A、点B, 解得 y=-x2+6x-5. (2)APM和DPN均为等腰直角三角形, APM=DPN=45,MPN=90, MPN为直角三角形. 令-x2+6x-5=0,解得x1=1,x2=5, D(5,0),AD=4. 设AP=m(0m4),则DP=4-m, PM= m,PN= (4-m),SMPN= PMPN= m (4-m)=- m2+m =- (m-2)2+1. 0m4,当m=2,即AP=2时,MPN的面积最大,此时OP=3,P(3,0). (3)存在,点Q的坐标为(2,-3)或 .,
