1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1圆心为 ，半径为 3 的圆的方程是（）ABCD2直线的倾斜角为（）ABCD3若直线与圆相切，则的值为（）A1BCD24双曲线的渐近线方程为（）ABCD5已知两条直线和，若，则实数的值为（）A-2 或 1B-2C1D-16如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（）ABCD7黄金分割起源于公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前 300 年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最
2、早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（）ABC2D8已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）ABCD9若圆上总存在两个点到坐标原点的距离为 1，则实数的取值范围是（）ABCD10已知，分别为双曲线的左，右焦点，双曲线上的点 A 满足，且的中点在轴上，则双曲线的离心率为（）ABC2D11已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，则直线的斜率为（）A1BCD12已知，分别为椭圆的左，右焦点，过原点的直线与椭圆交于，两点，
3、且，四点共圆，则四边形的面积为（）A3B4C6D8二、填空题二、填空题13两平行直线，之间的距离为 .14已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则实数的值为 .15设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为 .16若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为 .三、解答题三、解答题17如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为 1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心.（1）求点，的坐标及；（2）求向量在方向上的投影数量.18已知在中，.（1）求边的垂直平分线的方程；（2）求的外接圆的方程.19某市为庆祝建党 100 周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过
4、一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：）.（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程；（2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高，此车能否安全通过隧道？请说明理由.20已知点，动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）直线 与点的轨迹交于，两点，若弦的中点坐标为，求直线 的方程.21已知圆，两条直线，.（1）证明：直线、均与圆相交；（2）设直线交圆于，两点，直线交圆于，两点，求的最大值.22已知椭圆经过点和.（1）求椭圆的方程；（2）经过点的直线 与相交于，两点（
5、不经过点），设直线，的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】因为圆心为 ，半径为 3，故圆的方程为：.故答案为：D.【分析】根据圆心和半径可直接得到圆的方程.2【答案】C【解析】【解答】直线可化为，设直线的倾斜角为，则斜率，即.故答案为：C【分析】先把已知直线化为斜截式，再利用倾斜角的正切值等于斜率，求得答案.3【答案】B【解析】【解答】由题设，圆心为，又直线与圆相切，所以.故答案为：B.【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得 r 的值.4【答案】C【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为：.故答案为：C【
6、分析】由双曲线的渐近线方程为，即可得到所求双曲线的渐近线方程.5【答案】B【解析】【解答】解：因为直线和，所以，解得或，当时，直线和重合，不满足；当时，直线和，满足平行.所以故答案为：B【分析】由，利用直线与直线平行的条件能求出 m 的值.6【答案】A【解析】【解答】A：，A 符合题意；B：，B 不符合题意；C：，C 不符合题意；D：，D 不符合题意；故答案为：A【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解出答案.7【答案】A【解析】【解答】焦点在轴上的椭圆中，所以，由题意得，即，即，解得，故答案为：A.【分析】根据椭圆方程，可得，长轴长，再结合条件，列出方程，求解可得出实数的值
7、.8【答案】B【解析】【解答】解：设点，因为点与点关于直线对称，所以，解得，所以故答案为：B【分析】设点，由两点的中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得的方程组，解方程可得点的坐标.9【答案】C【解析】【解答】解：到原点的距离为 的点的轨迹为圆，因此圆上总存在两个点到原点的距离均为转化为圆与圆有两个交点，两圆的圆心和半径分别为，解得实数的取值范围是.故答案为：C【分析】根据题意，求出到坐标原点的距离为 1 的点的轨迹为圆，结合圆与圆的位置关系分析，可求出实数的取值范围.10【答案】B【解析】【解答】设，双曲线上的点 A 满足，的中点在轴上，可得，即有轴，A 的横坐标为，如图所示：令，可得，在直角
8、三角形中，可得，即为，即，解得，或(不合题意，舍去)；双曲线的离心率是故答案为：B【分析】根据题意画出图形，结合图形用 a、b、c 表示出 A 点坐标，得出轴，在直角三角形中，利用，求得 a、c 的关系，求出双曲线的离心率.11【答案】C【解析】【解答】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，因为，由抛物线的定义可知：，所以，直线的斜率为：.故答案为：C.【分析】利用抛物线的定义，结合已知条件，求解直线 PQ 的斜率即可.12【答案】D【解析】【解答】解：因为过原点的直线与椭圆交于，两点，且，四点共圆，所以根据椭圆的对称性得四边形是矩形，所以，所以，解得所以四边形的面积为 8 故答案为：D【分析
9、】利用已知条件，判断四边形的形状，结合椭圆的定义，转化求解四边形的面积.13【答案】【解析】【解答】解：直线，即为，所以两平行直线与之间的距离为.故答案为：【分析】根据已知条件，结合两平行直线的距离公式，即可求解出答案.14【答案】8【解析】【解答】由题设，抛物线焦点为，而双曲线的右顶点为，所以，即.故答案为：8.【分析】求出双曲线的顶点坐标，结合抛物线的焦点坐标，求解实数的值.15【答案】【解析】【解答】由题设，则，而，所以.故答案为：.【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式和椭圆的性质，即可求解出椭圆离心率的取值范围.16【答案】【解析】【解答】设，则 的图象是一条过定点的直线，的图
10、象是圆 的上半圆部分，注意到点在圆上，故关于原点的对称点也在圆上，如图示：当直线经过点时，满足关于的不等式，由关于的不等式的解集为，且，可知：，此时直线的斜率即实数，故答案为：【分析】构造函数，则 的图象是一条过定点的直线，的图象是圆 的上半圆部分，作出图象，由图象分析求解即可得实数的值.17【答案】（1）解：因为正方体的棱长为 1，位于坐标原点，是棱的中点，是侧面的中心，所以，则，故.（2）解：由题设，则，所以，所以向量在方向上的投影数量.【解析】【分析】(1)由已知条件，直接可推得，再结合向量模公式，即可求解出；(2)根据已知条件，结合投影公式，即可求解出向量在方向上的投影数量.18【答案
11、】（1）解：由题意知，设 AB 的中点为 E，则，又直线 AB 的斜率为，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为 2，得其方程为，即；（2）解：由可得边 AC 的垂直平分线方程为，所以，解得，即的外接圆的圆心为(1，-2)，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为：.【解析】【分析】(1)直接利用点的坐标求出直线的斜率，进一步求出边的垂直平分线的方程；(2)首先求出中垂线的交点，即求出圆心的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出 的外接圆的方程.19【答案】（1）解：由题设，可设抛物线方程为，由图知：，所以，则，故抛物线所在抛物线的方程.（2）解：由题设，令，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，则，由（1）
12、并将点代入可得：，故.所以此车不能安全通过隧道.【解析】【分析】(1)设抛物线的方程为，由题意可知抛物线过点，代入求出 a 的值，即可求出抛物线所在抛物线的方程；(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，集装箱角离隧道的底于箱高，比较即可做出判断.20【答案】（1）解：根据双曲线的定义得动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，所以，所以动点的轨迹方程（2）解：设，则，所以，即，所以，因为弦的中点坐标为，所以，所以所以直线 的方程为，即.联立方程得，此时，满足题意.所以直线 的方程为【解析】【分析】(1)由题意结合双曲线的定义求解其动点的轨迹方程；(2)利用点差法求得直线的斜率，然后可得直
13、线 的方程.21【答案】（1）证明：直线变形得，直线变形得，所以直线、过定点，将圆的方程化为标准方程得，因为，所以点在圆内，所以直线、均与圆相交.（2）解：因为圆的圆心为，半径为，所以到直线的距离为，到直线的距离为所以所以，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，即的最大值为.【解析】【分析】(1)由已知可得直线、都过定点(2，0)，判断点(2，0)在圆 C 内部，即可得证直线、均与圆相交；(2)设圆心 C 到直线、的距离分别为 d1，d2(d1，d20)，所以有，将|AB|，|EF|用 d1和 d2表示出来，转化为基本不等式求最值，可得 的最大值.22【答案】（1）解：因为椭圆经过点和，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）解：根据题意，设直线 的斜率必存在，故可设方程为，所以联立方程得，所以，解得，所以，所以因为，所以.所以为定值，【解析】【分析】(1)由已知可得 b，再由 B 点坐标求得 a，则可求出椭圆的方程；(2)根据题意，设直线 的斜率必存在，故可设方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，再求出 k1，k2，利用根与系数的关系求解，即可证得 为定值.
