1、 有限元法是力学模型系统上近似的数值计算方有限元法是力学模型系统上近似的数值计算方法。它先将要分析的工程结构模型，假想地分割成法。它先将要分析的工程结构模型，假想地分割成有限个单元，组成离散化模型。有限个单元，组成离散化模型。各个单元之间在单元的外节点处互相连接起来。各个单元之间在单元的外节点处互相连接起来。然后导出各单元体的运动方程，然后由各个单元的然后导出各单元体的运动方程，然后由各个单元的运动方程组合而形成原工程结构的有限元运动方程。运动方程组合而形成原工程结构的有限元运动方程。有限元法中分析的结构，是一个由有限个单元有限元法中分析的结构，是一个由有限个单元组成的与原结构非常接近的离散系
2、统。计算所得结组成的与原结构非常接近的离散系统。计算所得结果的精确程度取决于单元体的划分。果的精确程度取决于单元体的划分。有限元计算的基本过程：有限元计算的基本过程：（1）将结构离散化，即把结构划分成离散的单）将结构离散化，即把结构划分成离散的单元。元。（2）考虑单元的性质，建立单元的）考虑单元的性质，建立单元的质量矩阵质量矩阵、刚度矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵阻尼矩阵、载荷矩阵载荷矩阵，推导出单元体的运，推导出单元体的运动方程式。动方程式。（3）组合各单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼）组合各单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵，得到整个离散系统的运动方程。矩阵，得到整个离散系统的运动方程。（4）解特
3、征方程，求出频率与振型。）解特征方程，求出频率与振型。（5）求解动力响应问题。）求解动力响应问题。有限元法中采用的单元类型很多，其形状、有限元法中采用的单元类型很多，其形状、大小可以变化，各单元互相之间也容易连接，因大小可以变化，各单元互相之间也容易连接，因此它能适应复杂的结构，也适用于各种不同的边此它能适应复杂的结构，也适用于各种不同的边界条件。界条件。有限元法中的分析顺序是比较固定的，因此有限元法中的分析顺序是比较固定的，因此便于计算机计算，并有标准程序和通用程序。便于计算机计算，并有标准程序和通用程序。取一单元体，设单元体的动能为取一单元体，设单元体的动能为T，应变能为，应变能为U，阻尼
4、消耗的能量为阻尼消耗的能量为Wd，外力的势能为，外力的势能为We。建立拉格。建立拉格朗日函数为朗日函数为 8.1 8.1 单元体的运动方程式单元体的运动方程式edWWUTL 设设q为单元体中任一点的位移矢量，为单元体中任一点的位移矢量，qe为单元体上为单元体上各节点的位移矢量，它是时间各节点的位移矢量，它是时间t t的函数。令单元体中的函数。令单元体中任一点的位移矢量任一点的位移矢量q用单元体上各节点的位移矢量用单元体上各节点的位移矢量qe表示为表示为 eNqq 式中式中N为为形函数矩阵形函数矩阵，它是坐标，它是坐标x、y、z的函数。的函数。式中式中u(t)、v(t)、w(t)分别表示该点沿分
5、别表示该点沿x、y、z方向方向的位移，它们都是时间的位移，它们都是时间t的函数。的函数。T)()()(twtvtuq 单元体中任一点的位移矢量单元体中任一点的位移矢量q又可表示为又可表示为 eqNwvuq T式中式中r r为单元体积的质量为单元体积的质量 VVeeVqNNqVqqTd)(21d21TTTr rr r单元体的单元体的动能动能为为单元体中任一点的速度矢量可表示为单元体中任一点的速度矢量可表示为 D为应力应变关系矩阵，又称为弹性矩阵，所为应力应变关系矩阵，又称为弹性矩阵，所以单元体的以单元体的应变能应变能为为eBq eDBqD VVeeVDBqBqVUd)(21d21TTT由弹性力学
6、公式，应变与位移的关系为由弹性力学公式，应变与位移的关系为 式中式中B为应变位移关系矩阵，是几何矩阵，与为应变位移关系矩阵，是几何矩阵，与t无关。无关。单元体上的应力单元体上的应力 为为 设单元体振动时，阻尼系数为设单元体振动时，阻尼系数为c，则阻尼力为，则阻尼力为 。单元体上阻尼力所消耗的能量单元体上阻尼力所消耗的能量Wd为为 单元体上所受的外力分为两部分，即体积力单元体上所受的外力分为两部分，即体积力FV和表面力和表面力FS。它们的。它们的势能势能分别为分别为 VeeVdVNqNqcVqqcWd)(21d21TTT VVeeVFNqVFqWd)(dVTTVT1SFNqSFqWeSSed)(
7、dSTTST2 qc21eeeWWW 拉格朗日函数拉格朗日函数SFNqVFNqqNNqcDBqBqqNNqLeSeeeeeeeVd)(d)(2 )()()(21STTVTTTTTTTT r r由哈密尔顿原理，将其在时间区间由哈密尔顿原理，将其在时间区间(t1,t2)上对上对L积分，积分，并使其变分等于零，考虑到并使其变分等于零，考虑到D的对称性后，有的对称性后，有 eVeeVettqVNNqqVDBBqL)d()()d()(TTTT21r r 0d)d()()d()()d()(STTVTTTT tSFNqVFNqqVNNcqSeVeeVe tqVNNqqVNNqtqVNNqeVetttteVe
8、eVettd)d()()d()(d)d()(TTTTTT212121 r r r r r r 式中式中 qe(t1)=0，qe(t2)=0，则只剩下第二项。，则只剩下第二项。应用分步积分公式，上式的第二项有应用分步积分公式，上式的第二项有tqVNNqtqVNNqeVetteVettd)d()(d)d()(TTTT2121 r r r r tqVNNcqtqVNNcqeVetteVettd)d()(d)d()(TTTT2121 用同样的方法可得到用同样的方法可得到VDBBKVdTeq VNNMVdTeqr r VNNcCVdTeq)d()d(STVTeqSFNVFNFSV 令令0d)d()d()
9、d()d()d()(STVTTTTT21 tSFNVFNqVNNcqVNNqVDBBqLSVeVeVeVett r r 于是变分式成为于是变分式成为0d)()(eqeqeqeqT21 tFqCqMqKqLeeeett 由于单元位移的变分由于单元位移的变分 是任取的，所以可由式是任取的，所以可由式得到得到单元的运动方程单元的运动方程为为 T)(eqeqeqeqeqFqKqCqMeee 由此得到由此得到 Keq、Meq、Ceq、Feq分别表示单元体的刚度分别表示单元体的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和载荷矩阵矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和载荷矩阵 8.2 单元体的特性分析单元体的特性分析 在有限元中，形
10、函数的作用十分重要，因为单在有限元中，形函数的作用十分重要，因为单元形状和相应的形函数确定以后，其它运算可依照元形状和相应的形函数确定以后，其它运算可依照标准步骤和普遍公式进行。单元上任一点的位移用标准步骤和普遍公式进行。单元上任一点的位移用节点的位移表示为节点的位移表示为eNqq 8.2.1 形函数矩阵形函数矩阵N用用u、v、w表示一点在空间沿表示一点在空间沿x、y、z方向的位移方向的位移 332211uNuNuNuNuii 332211vNvNvNvNvii 332211wNwNwNwNwii 式中式中Ni为形函数，为形函数，ui、vi、wi是第是第i个节点的位移。个节点的位移。形函数形函
11、数Ni是单元内部坐标的连续函数，它所满足的是单元内部坐标的连续函数，它所满足的条件是：条件是：(1)在节点在节点i处，处，Ni=1;(2)在其它节点处，在其它节点处，Ni=0;(3)满足满足 Ni=1。332211uNuNuNuNuii 332211vNvNvNvNvii 332211wNwNwNwNwii 用它定义的未知量用它定义的未知量u、v、w保证了相邻单元间的保证了相邻单元间的连续性。连续性。为了保证收敛于精确解，形函数应包含任意线为了保证收敛于精确解，形函数应包含任意线性项和使单元包含有常应变状态和刚体位移。性项和使单元包含有常应变状态和刚体位移。单元的形状越复杂，形函数的阶次就越高
12、，单单元的形状越复杂，形函数的阶次就越高，单元适应能力就越强。元适应能力就越强。形函数矩阵为形函数矩阵为 222111212121000000000000wvuwvuNNNNNNwvuq 212121000000000000NNNNNNN写成矩阵形式写成矩阵形式于是得到于是得到形函数的边界条件形函数的边界条件)()()()(),(2211tuxNtuxNtxu )(),0(1tutu)(),(2tutlu 1)0(1 N0)(1 lN0)0(2 N1)(2 lN 在一维单元中，在一维单元中，有二个节点，节点的位有二个节点，节点的位移为移为u1(t)u2(t)。设单。设单元上距元上距1点距离为点
13、距离为x点的点的位移为位移为 式中式中N1(x)、N2(x)为形函数也称为插值函数，为形函数也称为插值函数，它们应使点的位移满足它们应使点的位移满足单元的边界条件单元的边界条件，即，即 满足满足 Ni=1。所以对于一维单元，形函数矩阵。所以对于一维单元，形函数矩阵为为lxxN 1)(1lxxN)(2 lxlxN1 设形函数设形函数Ni（x）=ai+bix，包含常数项和线性，包含常数项和线性项。将边界条件代入可得项。将边界条件代入可得形函数是用局部坐标在单元中定义的。形函数是用局部坐标在单元中定义的。对于二维单元（对于二维单元（，），正方形单元有），正方形单元有4 4个节点，个节点，经推导可得其
14、形函数为经推导可得其形函数为4)1)(1(1 N4)1)(1(2 N4)1)(1(3 N4)1)(1(4 N 引入新的变量引入新的变量 0=i，0=i。其中。其中 i、i为节点为节点i的坐标，于是上面的四个形函数可合并表示为的坐标，于是上面的四个形函数可合并表示为（i=1，2，3，4）4)1)(1(00 iN 对于三维单元（对于三维单元（，），正六面体，将坐标原），正六面体，将坐标原点取在单元形心上，单元边界是六个平面点取在单元形心上，单元边界是六个平面 =1，=1，=1，单元有单元有8 8个节点，经推导可得其形函个节点，经推导可得其形函数为数为8)1)(1)(1(000 iN（i=1，2，3
15、，4，5，6，7，8）对于其它单元的形函数可参阅有关书籍。对于其它单元的形函数可参阅有关书籍。zuxwywzvxvyuzwyvxuzyxzyx 8.2.2 应变位移关系矩阵应变位移关系矩阵B 将位移函数矩阵表达式，代入由弹性力学的应将位移函数矩阵表达式，代入由弹性力学的应变与位移的关系变与位移的关系其中子矩阵为其中子矩阵为 xNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii000000000可得到可得到eeqBBBBq321 决定了应变与形决定了应变与形函数之间的关系函数之间的关系对于一维单元，可求得对于一维单元，可求得B为为eeeqllqlxlxxNqxxu 11)1()(llB11
16、即即其中其中E为弹性模量，为弹性模量，G为剪切弹性模量，为剪切弹性模量，为泊松比为泊松比)(1zyxxE )(1zxyyE )(1yxzzE Gxyxy Gxzxz Gyzyz )1(2 EG8.2.3 弹性矩阵弹性矩阵D材料力学中的广义虎克定律材料力学中的广义虎克定律剪应变与剪应力的关系为剪应变与剪应力的关系为写成矩阵形式写成矩阵形式)(1yxxE )(1xyyE xyxyxyEG )1(2 )(12yxxE )(12xyyE xyxyE )1(2 D 对于平面应力问题，对于平面应力问题，z=xz=yz=0，可得到应力与，可得到应力与应变的弹性方程应变的弹性方程 2100010112 ED
17、)1(22100011011)21)(1()1(ED平面应力问题的弹性矩阵为平面应力问题的弹性矩阵为平面应变问题的弹性矩阵为平面应变问题的弹性矩阵为可得到单元体的运动方程式可得到单元体的运动方程式 eqM eqeqCeqeqKeqeqF 将以上推导的形函数矩阵将以上推导的形函数矩阵N，应变与位移的关应变与位移的关系矩阵系矩阵B，弹性矩阵弹性矩阵D代入以下有关方程代入以下有关方程VDBBKVdTeq VNNMVdTeqr r VNNcCVdTeq)d()d(STVTeqSFNVFNFSV 计算的质量矩阵称为一致质量矩阵，它总是正计算的质量矩阵称为一致质量矩阵，它总是正定的。如果选择的位移函数接近
18、真实位移，那么计定的。如果选择的位移函数接近真实位移，那么计算的结果比较正确，频率与振型比较可靠，算的结果比较正确，频率与振型比较可靠，接近频接近频率的上界率的上界。但是它是一个满矩阵。但是它是一个满矩阵。VNNMVdTeqr r 8.2.4 质量矩阵质量矩阵质量矩阵的计算公式为质量矩阵的计算公式为 另一种质量矩阵。即将单元体的质量简单地分配另一种质量矩阵。即将单元体的质量简单地分配于单元的节点上，每个节点上分配到质量的多少，要于单元的节点上，每个节点上分配到质量的多少，要根据该节点所管辖的范围而定，这样得到的质量矩阵根据该节点所管辖的范围而定，这样得到的质量矩阵称为集中质量矩阵，它是一个对角
19、矩阵。一般应用集称为集中质量矩阵，它是一个对角矩阵。一般应用集中质量矩阵得到的中质量矩阵得到的频率比较偏低频率比较偏低。其中其中m为为三角形单元三角形单元体的质量，体的质量，计算的频率计算的频率接近实际频接近实际频率的上界率的上界。2104104100210410414102104100410210414104102100410410213eqmM以平面问题中的三角形单元，其以平面问题中的三角形单元，其一致质量矩阵一致质量矩阵为为 如果用如果用集中质集中质量矩阵量矩阵，则只要将，则只要将单元的质量一分为单元的质量一分为三，集中作用在三三，集中作用在三个节点上，即个节点上，即 100000010
20、0000010000001000000100000013eqmM 对角矩阵。得到的对角矩阵。得到的频率比实际频率偏低。频率比实际频率偏低。在有限元法中，所用的坐标系是局部坐标系，由在有限元法中，所用的坐标系是局部坐标系，由于单元在空间的局部坐标系不同。但描述整个结构于单元在空间的局部坐标系不同。但描述整个结构的运动，需要选择一个统一的坐标系，称为总体坐的运动，需要选择一个统一的坐标系，称为总体坐标系。在分析计算时，必须将单元特征的各个方程标系。在分析计算时，必须将单元特征的各个方程通过方向余弦矩阵转换到总体坐标系中。通过方向余弦矩阵转换到总体坐标系中。设设 为为总体坐标系，总体坐标系，x，y，
21、z为局部坐标系，其方为局部坐标系，其方向余弦矩阵为向余弦矩阵为zyx,zzyzxzzyyyxyzxyxxxllllllllll8.3 坐标转换坐标转换 式式 中表示轴中表示轴x与与 轴之间夹角的余弦等等。轴之间夹角的余弦等等。xxlx zyxlzyx则有则有 zzyzxzzyyyxyzxyxxxllllllllll将以上两位移分量式合并，可写成将以上两位移分量式合并，可写成 321321uuuluuu 321321vvvlvvveeeqllLqq 00 同样位移矢量间也适用此交换关系。对于平面同样位移矢量间也适用此交换关系。对于平面二维系统单元二维系统单元 除了某些单元在空间具有相同的方位，即
22、其局部除了某些单元在空间具有相同的方位，即其局部坐标系是平行的情况外，不同单元的矩阵坐标系是平行的情况外，不同单元的矩阵L是不同的。是不同的。由于由于l表示两个正交轴系间的一种变换，所以矩阵表示两个正交轴系间的一种变换，所以矩阵L是是正交的，即正交的，即 。TLL 1 特例：在平面结构的特殊情况下，所有各单元特例：在平面结构的特殊情况下，所有各单元的局部坐标系中，都有一根坐标的局部坐标系中，都有一根坐标z轴与总体坐标系的轴与总体坐标系的一根一根z轴平行。单元体上任意一点轴平行。单元体上任意一点M的局部坐标在总的局部坐标在总体坐标系中的关系为体坐标系中的关系为1000cossin0sincos
23、zyxzzyxyzyxx 写为矩阵形式写为矩阵形式 xyxy zyxzyx1000cossin0sincos 1000cossin0sincos l称为称为方向余弦矩阵方向余弦矩阵。于是可得到在总体坐标系中的该于是可得到在总体坐标系中的该单元的运单元的运动方程式动方程式LMLMeqTeq LKLKeqTeq LCLCeqTeq eqTeqFLF eqM eqeqCeqeqKeqeqF 有了变换矩阵之后，可以将单元的质量矩阵、刚度矩有了变换矩阵之后，可以将单元的质量矩阵、刚度矩阵等换算至总体坐标系中，即阵等换算至总体坐标系中，即由单元载荷由单元载荷Feq按其相应的贡献叠加，可的节点载荷按其相应的
24、贡献叠加，可的节点载荷矢量矢量F。于是。于是整个结构的运动方程整个结构的运动方程式为式为eqMM eqCC eqKK eqM eqC eqKF 并将用总体坐标系的单元质量矩阵、阻尼矩阵、并将用总体坐标系的单元质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，按其相应的贡献叠加到总质量矩阵、总阻刚度矩阵，按其相应的贡献叠加到总质量矩阵、总阻尼矩阵、总刚度矩阵中。尼矩阵、总刚度矩阵中。为书写方便，将总体坐标系的运动方程式中的矩为书写方便，将总体坐标系的运动方程式中的矩阵上的横线省略。阵上的横线省略。总质量矩阵、总阻尼矩阵、总刚度矩阵为总质量矩阵、总阻尼矩阵、总刚度矩阵为例例8.1 试用有限元法列出图示的简支梁的弯曲自
25、由振试用有限元法列出图示的简支梁的弯曲自由振动方程式。已知梁长为动方程式。已知梁长为L，抗弯截面模量为，抗弯截面模量为EI，单位，单位长度的质量为长度的质量为m。解解:将梁离散分为将梁离散分为二个单元，单元长二个单元，单元长l=L/2，现取其中一，现取其中一个单元研究，并确个单元研究，并确定形函数定形函数N及应变及应变与位移的关系矩阵与位移的关系矩阵 B。2211 vvqe单元节点位移矢量单元节点位移矢量 由于单元有四个端点位移，所以有四个待定常数由于单元有四个端点位移，所以有四个待定常数a1、a2、a3、a4。写成矩阵形式为。写成矩阵形式为342321)(xaxaxaaxv 4321321)
26、(aaaaxxxxv现假设单元中的点的位移函数为多项式现假设单元中的点的位移函数为多项式0 x1)(vxv 1dd xv11va 12 alx 2342321)(vlalalaaxv 1dd xv2243232dd lalaaxv由边界条件由边界条件时时得得时时即即写为矩阵形式写为矩阵形式 43212322211320100100001aaaallllllvv 由此解出四个待定常数为由此解出四个待定常数为 221123232243211212132300100001 vvllllllllaaaa 4321321)(aaaaxxxxv 321xxx 22112323221212132300100
27、001 vvllllllll得到得到eNqvvlxlxlxlxlxlxxlxlxxv 221123233222323322232231)(即即其中其中 )()()()(4321xNxNxNxNN 33221231)(lxlxxN 23222)(lxlxxxN 3322323)(lxlxxN 2324)(lxlxxN 于是有于是有eeBqqxNxyxvy )(dddd2222 222232226212664126)(ddlxylylxylylxylylxylyxNxyB应变与位移的关系矩阵应变与位移的关系矩阵B梁的应变梁的应变应变与应力的关系为应变与应力的关系为=E，即，即D=E，可求得单元，可
28、求得单元刚度矩阵刚度矩阵Keq。VDBBKVdTeq xSEBBSld)d(T0 ISyS d2注意到注意到单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为 32223eq46266126122646612612lllllllllllllEIK单元质量矩阵为单元质量矩阵为 2222eq422313221561354313422135422156420llllllllllllmlMVNNMVdTeqr r 积分得积分得求结构的总刚度矩阵和总质量矩阵。求结构的总刚度矩阵和总质量矩阵。单元编码单元编码 单元编码如图示，取统一的总体坐标系，写出结单元编码如图示，取统一的总体坐标系，写出结构的位移列矩阵和单元的位移列矩阵。
29、构的位移列矩阵和单元的位移列矩阵。结构位移列矩阵结构位移列矩阵 T332211 vvvqs T22111 vvqe T33222 vvqe T22111 vvqe T33222 vvqe 结构位移列矩阵结构位移列矩阵 0 0I I0 00 00 0I I33221122111000010010000000000001001 vvvvvqe 332211 vvvsqe1 T332211 vvvqs 单元节点位移转换矩阵单元节点位移转换矩阵 0 0I I0 00 00 0I I1e同理，单元同理，单元节点位移转换矩阵节点位移转换矩阵 I I0 00 00 0I I0 02e其中其中0和和I都是都是
30、22阶子矩阵阶子矩阵两单元的刚度矩阵分别为两单元的刚度矩阵分别为 122121112111223223223223146612266122661246612KKKKlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIKeq 222221212211223223223223246612266122661246612KKKKlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIKeq22T211T1eKeeKeKeqeq 0 00 00 00 00 012212111211111T1KKKKeKeeq 22222
31、121221122T2KKKKeKeeq0 00 00 00 00 0 222221212211122121112111KKKKKKKKK0 00 0总刚度矩阵总刚度矩阵其中其中代入上式得代入上式得同样质量矩阵也可按类似方法叠加得到。同样质量矩阵也可按类似方法叠加得到。简支梁整个结构系统的刚度矩阵和质量矩阵。简支梁整个结构系统的刚度矩阵和质量矩阵。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIK4626006126120026802661202461200264600612612222
32、3232223323222323 22222224223130022156135400313803131354031213540031342200135422156420lllllllllllllllllllmlM 因简支梁在因简支梁在x=0和和x=l处，处，点的位移为零，点的位移为零，即即v1=v3=0，因，因此此,可以删去第可以删去第一行、第五行一行、第五行及第一列、第及第一列、第五列五列 于是得简支梁的振动方程式为于是得简支梁的振动方程式为 322122222224313038031303121303134420 vlllllllllllml04260280260246026432212
33、2222223 vllllllllllllEI将将l=L/2代入，得到代入，得到 32212222222432603803260124826032643360 vLLLLLLLLLLLmL084240416042401922404248322122222223 vLLLLLLLLLLLLEI0 0esesKqqM 矩阵形式矩阵形式8.4 8.4 固有频率及主振型固有频率及主振型 0 0 esesKqqM ptqqessin0 0 0 02)(qMpK020MqpKq 用有限元法求得结构的自由振动方程式为用有限元法求得结构的自由振动方程式为设结构做简谐振动，其解为设结构做简谐振动，其解为或或 式
34、中式中q0是位移是位移qSe的振幅矢量，的振幅矢量，p是系统的固有频率，是系统的固有频率，将其代入振动方程，消去将其代入振动方程，消去sinpt得到得到 用有限元法计算时，质量矩阵总是对称的正定矩阵，用有限元法计算时，质量矩阵总是对称的正定矩阵，而刚度矩阵则因为在考虑在考虑单元体的位移模式时，而刚度矩阵则因为在考虑在考虑单元体的位移模式时，考虑了刚体位移和常应变状态，即各单元体都被看成考虑了刚体位移和常应变状态，即各单元体都被看成是不受约束的，所以刚度矩阵是半正定的，系统含有是不受约束的，所以刚度矩阵是半正定的，系统含有刚体运动模态。为了以后计算方便，可将系统分为约刚体运动模态。为了以后计算方
35、便，可将系统分为约束系统和无约束系统，对于无约束系统要从其中消去束系统和无约束系统，对于无约束系统要从其中消去刚体运动模态。刚体运动模态。对于无约束系统，由于刚度矩阵是奇异的，所以可对于无约束系统，由于刚度矩阵是奇异的，所以可以给出一些位移矢量，并满足以给出一些位移矢量，并满足0 00Kq 它们对应于零频率，一个完全自由的系统，具有六它们对应于零频率，一个完全自由的系统，具有六个刚体运动模态，所以有六个零频率，对应这些零频个刚体运动模态，所以有六个零频率，对应这些零频率的特征矢量，相互之间应满足对率的特征矢量，相互之间应满足对M的正交关系，则的正交关系，则0)(0T0 jiMqqji 利用正交
36、关系，可以找到各位移之间的变换关系。利用正交关系，可以找到各位移之间的变换关系。经过坐标变换，可以从运动方程式中消去刚体运动模经过坐标变换，可以从运动方程式中消去刚体运动模态。并使得总刚度矩阵变为对称正定矩阵，可以求解态。并使得总刚度矩阵变为对称正定矩阵，可以求解广义特征值和特征矢量。广义特征值和特征矢量。由于总刚度矩阵是大型稀疏矩阵，常采用子空间迭由于总刚度矩阵是大型稀疏矩阵，常采用子空间迭代法，行列式搜索法、雅可比方法、代法，行列式搜索法、雅可比方法、QL方法和迭代方法和迭代法等进行计算。法等进行计算。例例8-2 求解例求解例8-1所示简支梁的自由振动频率。所示简支梁的自由振动频率。解：由
37、例解：由例8-1，已解出简支梁的振动方程式为，已解出简支梁的振动方程式为 32212222222432603803260124826032643360 vLLLLLLLLLLLmL084240416042401922404248322122222223 vLLLLLLLLLLLLEImEILp211945.9 mEILp23113.110 由上述计算可见，单元划分的太粗影响计算结由上述计算可见，单元划分的太粗影响计算结果的精确度。果的精确度。mEILp22154.47 mEILp24198.184 mEILp211867.9 mEILp22148.39 mEILp23183.88 本题的精确解
38、为本题的精确解为经计算可得经计算可得例例8-3 8-3 某人行中承式钢管混凝土拱桥全长126m,主桥跨中心线间距110m，桥面全宽7m，全桥钢结构净重约248t。桥高8m。本桥按超静定结构设计，承载主体为钢管混凝土拱肋，拱肋两端锚固于拱座基础内，全桥采用两根平行、对称的主拱肋，主拱肋采用等截面单圆钢管结构。平面框架由横梁、纵梁及桥面板组成，其中横梁为主要承载结构，纵梁为次要承载结构。荷载直接作用于桥面，经横梁传递至吊杆，吊杆两端分别锚于主拱肋和横梁上，垂直与主拱肋及桥面，所有吊杆均采用不锈钢拉杆。桥台采用实体式钢筋混凝土桥台,基础采用钢筋混凝土扩大基础。求该桥的前阶固有频率和振型。解：根据桥梁
39、的特点，采用多种单元形成混合力学模型，其中、横梁、纵梁、横撑、立柱、主拱肋、立柱横联钢管采用空间梁单元，吊杆采用三维杆单元，桥面采用空间壳单元。共计6920个节点，8763个单元，有限元模型如图8-8(a)所示。计算结果如图8-8(b)(f)所示。有限元模型 桥面竖向反对称振型桥面竖向反对称振型(固有频率固有频率0.707347Hz)桥面竖向对称振型桥面竖向对称振型(固有频率固有频率1.295 Hz)两拱及桥面微扭振型两拱及桥面微扭振型(固有频率固有频率1.345 Hz)桥面横向对称振型桥面横向对称振型(固有频率固有频率1.741 Hz)桥面竖向反对称振型(固有频率2.372 Hz)通过建立典
40、型的中承式钢管混凝土拱桥空间有限元模型，利用软件计算了其前阶固有频率和相应的振型，从而对其动力学性能加深了了解，对中承式钢管混凝土拱桥的设计和施工提供了一定的帮助。8.5 系统的响应系统的响应 esqM esqC esqKsF 用有限元法解系统的响应问题就是解动用有限元法解系统的响应问题就是解动力方程组力方程组 目前普遍使用的有两种方法，一种是振型目前普遍使用的有两种方法，一种是振型叠加法叠加法(最低几阶振型最低几阶振型)，另一种是逐步积分法，另一种是逐步积分法(高频振型高频振型)。在振型叠加法的计算中，假定结构的响应在振型叠加法的计算中，假定结构的响应能用前能用前s个较低的振型（个较低的振型
41、（sn来描述来描述,这时这时可以将所求的个主振型依此排列，构成一个可以将所求的个主振型依此排列，构成一个ns阶的截断振型矩阵。阶的截断振型矩阵。)()2()1(spAAAA当然也可以用正则振型构成截断振型矩阵。当然也可以用正则振型构成截断振型矩阵。一、振型叠加法一、振型叠加法(最低几阶振型最低几阶振型)，用截断振型矩阵进行坐标变换。可求出截断主质量用截断振型矩阵进行坐标变换。可求出截断主质量矩阵、截断主刚度矩阵和阻尼矩阵及载荷矢量，即矩阵、截断主刚度矩阵和阻尼矩阵及载荷矢量，即pppMAAMT)(pppKAAKT)(pppCAACT)(spsFAFT)(其中其中 、都是对角矩阵，而且阶都是对角
42、矩阵，而且阶次已由次已由nn阶降为阶降为ss阶阶pMpKpC 于是系统被变换成为于是系统被变换成为s个自由度，运动方程为个自由度，运动方程为s个个互相独立的振动方程，即互相独立的振动方程，即 sipiipiipiiFqKqCqM 逐步积分法是通过数值积分来近似求解微逐步积分法是通过数值积分来近似求解微分方程的一种方法。在计算中，把作用力的时间分方程的一种方法。在计算中，把作用力的时间区间分成许多段，然后计算出每段离散时间点上区间分成许多段，然后计算出每段离散时间点上的状态矢量，即位移、速度、加速度。的状态矢量，即位移、速度、加速度。目前计算的方法有多种，这些方法的差别是目前计算的方法有多种，这些方法的差别是对加速度表达式的假设各不相同。常用的一种方对加速度表达式的假设各不相同。常用的一种方法是将加速度假设成线性加速度，如威尔逊法是将加速度假设成线性加速度，如威尔逊 法法等。等。二、逐步积分法二、逐步积分法(高频振型高频振型)。
